Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4): Phần 1

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:174

Thêm vào BST

Báo xấu

305
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4) trình bày các nội dung: Tích phân trên các nhóm compắc địa phương, đại số định chuẩn và lý thuyết phổ. Mời các bạn cùng theo dõi nội dung chi tiết giáo trình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4): Phần 1

7 IEUDONNÉ cơ sớ GIÃI TÍCH HIÊN AM TẬP IV NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI HỌC VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP
JEAN I) I E u no N.N É Cơ sớ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI TẬP IV PHAN VĂN CHƯƠNG dịch XUẤT BẲN B Ạ I HỌC VÀ T R U N G HỌC CHUYỂN NGHIỆP HÀ NỘI — 1977
ELEMENTS D'ANALYSE J. DIEUDONNÉ Professeur ã la Faculle des Sciences lie Nice
CHƯƠNG XIV 'TÍCH P H Â N T R Ê N CÁC N H Ó M COMPẲC ĐỊA PHƯƠNG B ộ đ o Ha va p h é p chập t r ê n các n h ỏ m compắc địa í ] H>hư
Trong loàn bộ chương này, đề đơn qiầh, ta sẽ nói « nhóm compãc địa phương* thay cho ((nhóm comipắc địa phương khả metric và khả ly)). 1. sự TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẮT CỦA ĐỘ ĐO HA Giả sử G là m ộ t n h ó m c o m p ắ c địa p h ư ơ n g ( k h ả m ê - trie và k h ả l y ) . V ớ i m ọ i á n h xạ f của G vào m ộ t tập 'họp E và m ọ i .5 ^ (ì, ta ký h i ệ u Ỵ ( S ) / và ỗ(s)f là c á c ánlh xa của 6 v à o E đ ư ợ c xác đ ị n h b ổ i (14.1.1) Ợ(s)f)(x) = f(s^x), (ồ(s)f)(x) = f(xs) (tịnh liến sang t r á i và tịnh t i ế n sang p h ả i củi! / b ở i Si). T ứ định nghĩa ta có ngay (14.1.1.1) T (s0/-= ĩ(s)(ĩJ)n, ô w = (*) (0(0/) v ờ i m ọ i 5, í thuộc G. Cho m ộ i d ỏ đo (phức) ạ t r ê n G, ta ký h i ệ u Ỵ(.S-) và ỗ(s) là đ ộ đ o t r ê n G, ả n h của ạ qua c á c p h é p đ ò n g p h ô i 1 X —*• sx và .r —> xs" t ư ơ n g ứ n g (13.1.6) ; ta có 1 (14.1.2) < f , r(.s> > = < TÍ*- )/-, ịx > , < ĩ , ỗ(s)ịx > = < ỗ(s-% ụ > v ớ i m ọ i Ị £E S^c (^)- ì ù đ ị n h nghĩa la cỏ (14.1.2.1) r(.v/),u = T(*)(T(0H)> Ô(s0^ - ô ( * ) ( ô ( / ) ụ) v ố i m ọ i 5, / thuộc G. Ta n ổ i r ằ n g , ịi là bối biến /rót ( t ư ơ n g ủ n g , ýDÀíỉí) nếu v ớ i m ọ i s ^ G ta có Ỵ(.S) p, = ,u ( t ư ơ n g ứ n g , ỗ(s)ịi = Nếu m ộ t đ ọ đo n =f= 0 t r ê n ổ là bất b i ế n t r ả i , ta có Supp(n) = G, bởi vì theo (Ị3.19.4) Supp ( Ỵ ( Ẵ ) , U ) = 4
s. Supp(fi) v ố i mọi G, và Supp(fi) 4= 0 . Ta cũng có điều tượng t ự đ ố i với độ đo hất biến phải. Giả s ư ụ là một đ ộ đo trên G bất biến t r á i ; khi đó, nếu f là một ánh xạ ụ, — khả tích của G vào R hoặc c , thì v ớ i m ọ i s 6 G, h à m X -*• fa- x) cũng là |i — khả 1 tích và ta có (14.1.2.2) J" / ( s - \ r ) dịx(x) = ị* f(x)địi(x) (13.7.10); nói riêng, với mọi tập hợp ụ, — khả tích A, sA là ịi — khả tích và ta có (14.1.2.3) ịx(sA) = n(A). Vói mọi á n h xạ f của G vào một tập hợp E, ta đặt V _ 1 (14.1.3) f(x) = / " ( x ) \ 0 i mọi ÍT € G. V Với mọi độ đo ụ. trên (ì, ta ký hiệu |i là ảnh của ụ, - 1 qua phép đòng phôi X —• X của G lên chinh n ó ; n h ư vậy ta có (14.1.4) < / • , ( ! > = < / , n> với m ọ i /• $ % (G). Từ định nghĩ a suy ngay' ra là c (
í ) Tồn tại. Ta ký h i ệ u 5 £ * là tập h ợ p c á c b á m g>0 1 thuộc 9 £ R ( G ) và k h á c v ớ i h à m 0. V ớ i m ọ i h à m / ^ ^ 3 1 (G) v à m ọ i h à m g £ S £ * , t ò n t ạ i n h ữ n g số d ư ơ n g R c Cz, . . . , c 1( r và những điếm Si, «2. s x sao cho ta có (14.1.5.1) f < ỵ^Ciyisỳg r ( n ó i cách k h á c , f ( x ) < ^ c^Sị^x) vời mọi X ^ G) • i=l t h ự c v ậ y , c ó m ộ t phẫn m ở k h ô n g r ỗ n g lĩ của G sao cho a = i n f g(x) > 0 ; vì Supp(/") là compắc, n ê n có một số h ữ u h ạ n n h ư n g d i ê m .Sj €5 ổ (Ì < í < / • ) sạo cho s// p h ủ S ú p p ( / ' ) , k h i đ ó , v á i m ỗ i ĩ ta l ị y Cị = 1 1 / " l i la, ta n h ậ n đ ư ợ c (14.1.5.1). Ta ký hiệu ( f : g) là cận dưới c ủ a ;• các số ^ Cj l ị y theo c á c h ệ ( c i , C2 C T , S . v r ) thỏa i=l m ã n (14.1.5.1). Trướo hết ta chứng m i n h các tính chịt sau : (i) ( ĩ ( * ) y : .9) = (ĩ •• u) v ờ i / ' € Xa («)'. ỡ ; (ií) ( « / • : ) = a(A: í/) \ ớ i /• £ X ỡ R (G), ơ € , a > í); + Í 2 : 9) < ( À : ơ) + ( f : ớ) v ớ i /-ị, /" Hiu ộc 2 2 6
( i v ) ( f : g ) > sup/-(a;)/sup g(x) v ớ i /"€ % R (G), g € ; (V) (/•: ft) < ( f : g ) ( g : h) v ó i f € (G); g, h t h u ộ c ^ ị ; (vi) 0 < - ỉ - < (í, /ó) v ớ i f , f , g thuộc 0 . Thực^vậy, c á c t í n h chất (i), ( l i ) , ( i i i ) suy ra ngay t ừ đ ị n h nghĩa. T ừ (3.17.10) ta suy ra rằng, n ế n c ó (14.1.5.1) cho f và g t ồ n t ạ i s SE (ì sao cho t Ì i 1 s ú p /•(*) = /•(«) < V c (.s-- .?)< (Ỵ iỡ Ci) sup ff(x), 1=1 i=l t ừ đ ó suy ra (iv). Đ ê chứng minh (v), ta n h ậ n xét r ằ n g , nếu Ị < ai Ỵ(jf )gr v à ớ t ỉ>iĩ(tù > h t h ỉ ta có /• < i j ^ ^ aibịy(Sịtị)h, n ê n , theo định nghĩa, ta c ó ! aiỉi = a f t j : tf *)
m ỗ i lì, g n là một hầm thuộc ^ * sao cho Supp(Ợn) C . V n (4.5.2). Mặt k h á c , g i ả s ử f 0 là một h à m c ố đ ị n h t h u ộ c 5 £ * , ta đặt (14.1.5.2) U f ) = ự : g M o - g n ) vời m ọ i h à m ĩ
Uf) n 9L* là đồ/1/7 lien tục. V i vậy, ta k ế t luận (7.5.5) * rằng, l i m /•„(/) = / ( / ) tồn tại v ớ i mọi Ị £ 9 1 * và nhận n—*• 3= n h ữ n g g i ả trị =/= 0. B â y g i ờ ta c h ứ n g tỏ (14.1.5.3) /(/ + /') = /(/) + /(/•) với mọi / v à / ' thuộc SL* . T ừ (iii) suy ra rằng, ta chỉ c ầ n c h ứ n g tỏ / ( / ) -Ị- / ( / ' ) < / ( / + / ' ) . T a h ã y cho m ộ t s ố e > ơ, v à m ạ i k h á c , giả s ử li là m ộ t h à m > 0 t h u ộ c 5 K R ( G ) sao cho h(x) > Ì t r ê n hợp c ủ a c á c g i á ( c o m p ắ c ) c ủ a / v à / ' ( ( 3 . 1 8 . 2 ) v à (4.5.2)) : c h ỉ c ầ n c h ứ n g tỏ r ằ n g , t ò n tại m ộ t l â n c ậ n compắc V c ủ a e trong G sao cho, v ớ i mọi hàm g €E 3L* + v ớ i Supp(y) c V, ta c ó (14.1.5.4) (/:
v ậ y , đ i ề u đ ỏ là h i ề n nhiên v ớ i n h ũ n g í m à t ạ i đ ỏ ~((s)g t r i ệ t t i ê u , d o đ ó v ớ i m ọ i í n ằ m n g o à i sV, m à c ũ n g là h i ề n n h i ê n v ớ i m ọ i t $ sV, v ì k h i đ ó ta c ó v(t) « ^ 11(5) + + TỊ; c ũ n g v ậ y , ta c ó v'.y (s)g < (y'(s) + ĩ)) . y(s)g. Bấy giờ, g i ả s ử Cj(l < í < / ỉ ) l à n h ữ n g số > 0, < ỉ < n) n l à n h ữ n g p h ầ n t ử c ủ a G sao c h o lí < C\ĩ( i)g;s ta cỏ n n 7 / = vu < Cìư.yịsỳg < ^ Cj(w(.«i) + ì)-r(s )
0 đ ó c h ỉ c ầ n l ấ y TỊ t h ỏ a mãn 8 (2((/ + / ' ) : / i ) + e)< Y ì c ỏ n g a y (14.1.5.4). B â y g i ờ ta t h á c t r i ề n / l ê n t o à n < X (G) b ằ n g c á c h đ ặ t R 0) = 0 v à / ( / ) -= / ( / Ọ - ĩ ( f ) với mội hàm ỉ = f y - 2 ù o n g đ ó / ì 6 9L+VỀL Ị2 € *3L{-\ t ừ (14.1.5.3) suy n g a y ì r ằ n g , b ằ n g c á c h x á c đ ị n h n à v chỉ p h ụ t h u ộ c v à o / à k h ô n g p h ụ thuộc vào biêu thức / ì — / đã chọn và 2 ì t h ứ c (14.15.3) v ẫ n c ò n đúiìịị v ớ i m ọ i / v à / ' t h u ộ c I ( Ổ ) . M ặ t k h á c , c á c h x á c đ ị n h / c h ứ n g tỏ ngay rằng, R Yi mọi số thực X > 0 và mọi hàm / $ , ta có \ f ) = Ằ l ( f ) . V ớ i c á c h x á c đ ị n h t r ê n , h ệ t h ứ c này suy >ng n g a y c h o t r ư ờ n g h ợ p k h i Ả ^ R v à / c 3£R((Ì). Ì v ậ y t a c ỏ t h ề k ế t l u ậ n l ằ n g , / là m ộ t đ ộ đ o d ư ơ n g é n ì, k h á c k h ô n g v à , theo cách xây d ự n g , thỏa m ã n í thức 7(r0)/) = / ( / ) v ớ i m ọ i / £ % ( G ) . Nói cách B >ác, ta đ ã x â y d ự n g đ u ợ j m ộ t đ ộ đ o đ ư ơ n g k h á c k h ô n g t bất biến trái t r ê n (ì. 2) Duy nhất. G i ả s ử ụ, ( t ư ơ n g ứ n g , v) là m ộ t đ ộ đ o =f= 0 V ít b i ến t r á i ( t ư ơ n g ứ n g , p h ủ i ) ; k h i đ ó , V l à m ộ t đ ộ đ o b ấ t V ấ n t r á i , t a sẽ c h ứ n g m i n h r ằ n g , ịx v à V là t ỷ l ệ v ớ i n h a u điêu n à y sẽ k ế t thiíc chứng minh (14.1.5). Giả sử ỄE % f ( í ì ) sao cho ị ị ( f ) =f í) và /.)[ l à hàm xác định â n G bải thức công ,-1 t c h ứ n g t ỏ r ằ n g , DỊ l à liên lực t r o n g í/ ; đ i ê u n à y suy t ừ b ỗ đ è t ố n g q u á t sau : l i /
(14.1.5.5) Giã sử G là một nhóm compổc địa phương, là một nhóm con đỏng của (ì, a lò một độ đo trên lì, ị một ánh xạ liên tục của G vào c. Ta giả thiết rái, hoặc Supp(/) là compẳc, hoặc S u p p ( a ) lá compãc. li đó, các ánh xạ ỳ f(st)da ự) vàs ^ (si) da (t) oà s - ị. \f(ts)da(t) là liên tục trong (ỉ. T a chứng minh điều này, chẳng hạn, cho tích phi thứ nhất. Giả sử So ^ G, Vo là một lân cận compẳc C1 1 So; với mỗi Ê >-0 la phải tìm một làn cận V c ' * í của s sao cho với s (~ V, ta có 0 IJ (/ (xí) — f ịsj)) da ự)ị e 1 < - Nếu K = Supp(/) là compắc, thì với / . = V ta cỏ ị ựựạạ tt )) -- ff (( ss jj )) )) dd * ( l ) = j \*( f ( s t ) ~ f ( S o t))(la(t); bởi vì / là liên tục đều với mọi" khoảng cách bất b i phải trên G (3.16.5), nên tồn tại một lân cận \v củ trong G i-ao cho hệ thức 5 ệ Ws k é o theo I / ( s i ) 0 — / (Sót) ị < ni ị a I (L) với mọi G, do đó ta I cần lấy V = Vo A Ws . 0 Nếu s = Supp(a) là COIĨ1Ị ta có J f' (//((.. vVO O - • // ((«. v 0„ //))))(d / *a((//)) = Jị ( / ( . s O - / ( . S o O ) f i a ( 0 , và với mọi /
ỏ thể c h ọ n w sao cho hệ thức s £j Ws a k é o theo f(st)—f(iỉ„t) ị < e/ I a I (S) v ó i m ọ i /
cha. SLciG), do đ ó , là đ ú n g trong t o à n SC (G), C h ở i vì I h a i v ế c ủ a n ó l à n h ữ n g dạng t u y ế n t í n h đ ổ i v ớ i / . B vì V =Ị= 0, n ê n D(e) =Ị= 0, v à đ i ề u n à y thiết lập quan ] V tỷ l ệ g i ữ a ạ v à V , v à n h ư v ậ y , kết t h ú c c h ứ n g m i n h T a g ọ i l à đọ đo Ha trải (phải) t r ê n G, m ọ i đ ộ đ o (Ị ươi k h á c k h ô n g t r ê n Y í v à bất b i ế n trái ( l ư ơ n g ứ n g , p h ả T ừ (14.1.5) suy r a r ằ n g , tất c ả c á c đ ộ đ o bất b i ể n ti' ( t ư ơ n g ứ n g , p h ả i ) t r ê n G là tỷ l ệ v ớ i n h a u . TOÁN 1. Giả s ử G là một n h ó m compắc địa p h ư ơ n g , A la một phi trù mật khắp n ơ i của G, (-1 là một độ đo Ha t r á i trên G, li một phần ịi — đ o được của (ì cỏ tính chất sau : vói niụi s ^ sù À (CH) và H r\ (CsH) là ụ. — bỏ qua đ ư ợ c . Chửng rằng, hoặc / / là bỏ qua đ ư ợ c , hoặc phần bù của nỏ là bỏ qi đ ư ợ c (chứng t ỏ rằng độ đo cp . ịx là bất biến t r á i ) . H 2 . Giẫ sử G là một nhóm compẳc địa p h ư ơ n g , ịX là một i đo Ha t r á i t r ê n G, A và B là hai phần của G. a) Ta giả t h i ế t rằng, 'một trong hai điêu k i ệ n sau đìu thỏa mãn : a) Á là ụ — khả tích. P) ụ* U ) < + oe và D là ụ — đo được. Chửng tỏ rằng, trong mỗi một trong hai t r ư ờ n g hợp nề h à m f(s) = | i * ( S A A -B) là liên tục đều trong G đ ố i v ớ i lĩ khoảng c á c h bát biến phải trong G. ( V ớ i hai p h ầ n M và A tro r G, ta đặt p(M, N) = A CJV) V ( N A CM)) T r ư ớ c hết xét t r ư ờ n g hợp khi A là compẳc : chửng tỏ rai vó-i m ọ i e ^> 0, t ồ n t ạ i một lân cận u của e trong G sao ct v ớ i m ọ i s ^ (ỉ \kt é. u, ta cỏ p(sA A B, si A r\ B ) < 6. s đ ó , á p dụng bài t o á n 5 của tiết Ì ? . 9 . Nếu B là ịX — đo đ ư ợ c ụ* (A)
tố rằng, ịx*(sA A lì) = inf (ịi%A A B)) ( t i ế t 13.9, bài toan n 2a)); mặt k h á c , đề ý rằng, ịí(A„ A m + l ) (làn t ớ i 0 c ù n g v ớ i 1/n). b) Nếu A là n - khả tích và nếu |a*(J3) < + =0, t h ì h à m /" cũng là liên tục đ ề u đ ố i v ớ i m ộ i khoảng c á c h bất b i ể n . t r ả i trong G ; nếu ngoài r a, Ả 1 là f l — khả t í c h , ta có J*/(s)rfs = G = ịi(A~ ) |a*(J3). (Đưa về t r ư ờ n g hợp k h i D ìằ ịi — k h ả l tích; J nhạn xét rằng, k h i đó ta có ịi(sA r\ B) = ịi(A r\ - B), cp S gA A B= = = CP -*B Và q > < / ) = c p _ i < s ) ) . SA s A | A c) T ừ a) suy ra rằng, trong cả hai t r ư ờ n g h ợ p xét t r ê n , c á c p h à n trong của AB và của BẢ đều là k h ô n g rỗng n ê u Ả và B k h ô n g là ụ — bỏ qua được. d) Trong nhổm G = SL2(R). cho vi dụ về một tập h ợ p com- pắc A và một tập h ọ p l-l — đo (lược B sao cho h à m f(s) = = ịi(sA A B) k h ô n g là liên tục đều đ ố i v ớ i một khoảng c á c h bất biền tr ái tr ong G- (Nhận xét rằng. tồn t ạ i một dãv (in) n h ữ n g p h à n t ử của G dàn t ớ i e và một dãy ( s ) những p h à n t ử của G n 1 sao cho dãy s / S n dằn tói diêm vô tận). n 3. .Giả sử G là một nhóm compile địa p h ư ơ n g , | i là một đ ộ đo 'ỊỊa trái tròn G, A là một phẫn khả tích cùg G v ớ i ịx(A) >> 0. Chứng tỏ rằng, tập hợp IỈ(A) các s €z Cr thỏa m ã n ịx(A) = ịi(A A /~\ SA) là một n h ó m c o m p ẳ c (Từ bài toán 2 suy ra rằng H(A) là dóng trong G. Đề thấy rằng. lí (Á) là compắc, xét một p h â n cotnpắc tì của Ả sao cho ịx(B) j > pC0.'2 và chứng m i n h r ằ n g , 1 7/(4) c= B Í T ) . 4. Giả sử (í là một nhóm compile (tia p h ư ơ n g giao hoán với p h é p toán cộng, ụ là một độ đo Ha trôn G, A và Blií hai phần khá tích của G. a) V ớ i m ọ i s € G, ta đạt .4' = ơ ( / l , B) = s A \J Ui + s), Ù = T ( A , B) 8 = = (A — .s) ^ /ị. Chứng tỏ rằng, ta có ụ(A') + ịx(rr) = ịx(A) + ỊX(B) và A' + + ỉ'a + B.
b) Ta gia thiết rằng, điềm 0 thuộc A A f i . Ta nói rằng, một cặp| ( Ẩ \ n ) Dhững phần khả t í c h c ủ a G là dần xuất c ủ a (A, fì), nếu; tòn tai một dãy ( ) ^ những phan l ử của G và hai dãy s k Ì í^k ^ n (A.) - , ^ > (B ) ^- những phần của (ì sao cho A = Af 0 T B =B, A = ơ 0 k (Ak-1, B _ ) , B k = S k C4k-1, B kj) với 1 < K » V 1 S k k Sìn Ẩ k _ l v ớ i Ì 0. Chứng tỏ rằng, pCD) = n ( F « J và + D c= c; từ đó suy ra rằng, Z) chứa trong n h ó m con H(c) xác định trong bài toán 3, và H(c) là mở và compẳc trong G. Guối cùng chứng^, tỏ rằng, c + lao = c, n(c) > |i(A) -f- ịX(B) - | i ( / / ( c ) ) -và. c c A + B (xét độ đo của r\ (c - / O với- mỗi c ịl(A) -ị- ịX (D); hoặc t ồ n t ạ i một n h ó m con m m ở compắc H của (ì sao cho Ẩ + lì chứa một l ớ p mod.//, và k h i đó, | i ( A + li) > n(A) + ịx(B) - ụ(H). Xét t r ư ờ n g hựp k h i # G là.liên t h ô n g - 5. a) Trong R, giả sử A ( t ư ơ n g ú n g , B) là t ậ p hợp c á c số I 00 T X— x n + ^2 - í2trong đó Xo là sổ n g u y ê n , X, là bang 0 i=l hoặe Ì và Xi — 0 v ớ i m ọ i í chẵn ^> 0 ( t ư ơ n g ứng, Xị = 0 v ớ i m ọ i í l ẻ ) . Chứnẵ tó rằng, Á và 2J cỏ độ đ o L ơ b e g ơ bằng k h ô n g , n h ư n g A + B = R. 16
b) T ừ a) suy ra rang, t ồ n t ạ i một cơ sở Hamen H của K ( t r ê n ọ ) chửa trong A V B, do đ ó , có độ đo không. Tập hợp Pl các số rh, trong đó 7 Q vá lì £E H, cũng có độ đo k h ô n g . c) Ta ký h i ệ u p là tập bợp các số thực v ớ i nhiều nhất là n lì tọa độ đ ố i v ó i cơ sờ li k h á c không. Chổng tỏ rằng, nếu p n là bỏ qua đ ư ợ c và Pn+1 là đo đ ư ợ c đ ổ i v ớ i độ đo L ơ b e g ơ , thi p - i - l là bỏ qua được- (Giả sử /i„ € H ; t r ư ớ c hết chổng tỏ rằng, n tập h ạ p s c á c .1- (E ỉ'n_, Ì v ó i hộ số củi) /ì trong biếu diễn của 0 X t h à n h tô h ọ p n h ù n g phần tử của / / là khác không, là bỏ qua được. Sử dụng bài t o á n 2c) chửng tỏ rằng, nếu Pn+1 k h ô n g lỉi bỏ qua đ ư ợ c , thì t ồ n tại x', x " ^ -Pn-1 ^ cs sao cho (x* — x' ),'Ao là hữu t ỷ - và từ dó đi (len mâu thuẫn). d) T ừ b) và c) SUN ra rằng, lon tại ti-ong R hai tập hợp bỏ qua đ ư ợ c c, D sao cho c + D không là đo đ ư ợ c ( đ ố i v ớ i độ đo L ơ b e g ơ ) . 6. Giả sử G là m ộ i n h ó m tác động bên trái trổng một tập hợp X- Ta nói rằng, một tập hợp p ( t ư ơ n g ổng, c) là một G — lấp ( t ư ơ n g ử D g , một G — phủ) nếu, v ớ i mọi s =f= e trong G, ta có s.p A P = 0 ( t ư ơ n g ổng, nếu X - u s.c). Ta gọi là một sềẾG G — lát, mọi p h à n p vừa' là một G — l á p , vừa là một G — p h ủ . a) Ta già thiết rằng, X lá compắc địa p h ư ơ n g , khả metric và khẫ Iv, G nhiều nhất là đếm được và t á c động liên tục trong X ( đ ố i v ớ i tôpô r ờ i rạc tròng G) và t ồ n t ạ i một độ đo dương khác k h ô n g ụ, t r ê n X bắt biến đ ố i với G. Giả sử p và c là một G — l ấ p và một G — p h ủ và cả hai đêu là ịi — khả tích. Chửng tỏ rằng, (J.(c) > ịx(P). ịtihịn xét rang ịl(c) > ^ |i(c A .s.p).j b) Ta giả thiết rằng, tồn t ạ i trên X một khoảng cách rf xác định tòpô của X và bẫt biến d ố i v ớ i G- Mặt k h á c , ta ký hiệu A (Í;) là cận đ ư ờ i của các số [í (c) lấy theo các G—phủ khả tích c cùa X. Giả sử /• 0 là m ọ i số sao cho tòn t ạ i một phan t ử a € X đề ụ. (B (a ; r ) ) > A (G) ; chửng tỏ rằng, tôn t ạ i X =/=-- e trong G sao cho ta cỏ d ((ỉ, ,s\ à) ttc"đĩá"pĩíữơng, ụ> là một đ ộ (lo Ha t r á i , G là mệtJ.óXóm_con đếm được của X tác 17
động bởi phép tịnh tiền trải. Chửng tỏ rằng, nếu A là mội phàn khả tích cua X sao cho n U ) > A (G) thi tồn tại s ^Grị A AA 1 v à s =f= é. ' Ị d) C h ứ n g t ỏ r a n g , v ớ i c á c đ i ề u k i ệ n c ủ a a), n ế u F l à m ộ t G — l á t | i — k h ả t í c h v à Go là m ộ t n h ó m c o n của G v ớ i c h ỉ sổ h ữ u h ạ n (G : Go) = Ai t h i , n ể u Sị, S2 Sh l à m ộ t h ệ đ ạ i d i ệ n c ủ a c á c lớp p h á i m o d . Go t r o n g G, thì Eo = u ' i -F- l à s l < i < h m ộ t Go — l á t . e) V ớ i n h ữ n g g i ả t h i ế t c ủ a a), g i ả S ừ f l à m ộ t h à m ~> 0 v à ịx — k h ả t í c h t r ê n X . C h ứ n g t ỏ r ằ n g , t ồ n t ạ i h a i đ i ề m r i , b c ủ a X sao cho neo £ /• (s . a) > Ị / (x) đ n (x) và ụ (p) £ f ( s . b ) < J f i x ) dụ (x). ( N h ậ n xét r ằ n g , n ế u g là m ộ t h à m k h ả tích > 0 và E là m ộ i t ậ p h ợ p k h ả t í c h t r o n g X, t h ì t ồ n t ạ i c €z E sao cho ị g (x) d ịí ( x ) < g (c) H ( £ ) E Tà c' 6 £ sao cho ịg (x) d ụ, (x) > g (c') H (E). ) 2. C Ắ C T R Ư Ờ N G HỢP RIÊNG VÀ ví DỤ (14.2.1) Trong nhỏm cộng R, độ đo Lơbegơ (13.1.4 là một độ đo Ha (trái và phải, bởi vi R là giao hoán) 18
Ịthực v ậ v , tử còng thức thay hiến (8.7.4) á p d ụ n g c h o ị ý. X hàm • >> 0 ; h i ê n n h i ê n , đ ó là m ộ t n h ó m giao h o á n c o m p ẳ c đ ị a p h ư ơ n g ((3.18.4), (4.1.2) v à (4.1.4)); mặt k h á c , v ớ i m ọ i h à m f €E JC ( R ) , t ò n tại một c o m p ắ c [ũ, b\ sao cho C 0 < ơ < í) v à c h ứ a g i á c ệ a f ; do đ ó , v ớ i m ọ i k h o ả n g (Ì [ « . ? , . r . , l g . . + . b ử . g U n^UCph-JirtO -0« là c xác định và c ỏ c ù n g một g i á trị m à ta ký hiệu là + 00 -ị-x J* (ĩ ự) dt)lt. T a c h ứ n g tỏ r ằ n g , ĩ — j* (ĩ ự) dt)H là o o 'một đ ộ đ o H a t r ê n R * : t h ự c vạy, từ công thức thay b i ê n (8.7.4) ta c ỏ ngay + 0O - f 00 -Ị- oe d t ị f v ) = j* lip.. s d l = Ị ẨM v ớ i m ọ i .s- > 0, t ừ đ ó SUY ra (tiên k h ẳ n g đ ị n h . ( 1 4 . 2 . 3 ) Giả sử (ì là mội nhóm compắc địa phương, c là phàn tử trung hòa của (ì, U là một độ đo lỉu bất biến trái hoặc phải trên G. Đe (ì là rời rạc, cún vá đả là ịx (ịeị) > 0. Đề G là cornpắc, cần Dà đủ là, l i * (G) < -f- oe ( n ó i c á c h k h á c , ị.1 là một đ ộ đ o bị chặn (13.20)). 19