Giáo trình Đại số hiện đại (Phần 1: Đại số trừu tượng): Phần 2

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:121

Thêm vào BST

Báo xấu

593
lượt xem 106
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn giáo trình "Đại số hiện đại (Phần 1: Đại số trừu tượng)", phần 2 trình bày các nội dung: Vành, tường và vành đa thức; mô đun; môđun trên vành giao hoán. Cuối mỗi chương đều có phần bài tập về người học có thể ôn tập và củng cố kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Đại số hiện đại (Phần 1: Đại số trừu tượng): Phần 2

C h ư ơ n g III VÀNH, T R Ư Ờ N G VÀ V ÀN H ĐA THỨC Trên m ột tậ p hợp có th ể xác định nhiều phép to án đ ể lập nên m ộ t cấu trúc đại số. T ậ p h ợ p các số nguyên z là m ột ví dụ đ iển hình với hai phép toán ” cộng” và ’■n h â n '’ quen biết m à phép n h ân có tín h p h â n phối với phép cộng. C hư ơng này chính là d à n h cho việc nghiên cứu m ộ t cách m ờ đ ầ u và cô đọng nh ữ ng cấu trú c đại số đ ư ợ c xác đ ịn h bời hai phép toán. §1. C ác đ in h n g h ĩa v à v í du 1.1. Đ i n h n g h ĩ a , (i). M ột tậ p hợp R đ ư ợ c gọi là m ột vành nếu trên R có liai phép to á n hai ngôi, m ột gọi là phép cộng và m ột gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau đ ư ợ c th ỏ a mãn: ( R \) T ậ p hợp R là m ộ t nhóm Abel đối với phép cộng. (/?■>) P h ép n h â n trê n /? là kết hợp và có đ ơ n vị. {R:ị) Luật phân phối: P h cp n h ân là p h ân phối đối với phép cộng. Tức. với các phần tir .V. ụ, z G R tu y ý, ta luôn có {x + y ) z = x z + y z v à z ( x + y) = z x + zy. Như thông th ư ờ n g t a ký hiệu p h ầ n t ử đ ơ n vị đối với phép n h â n củ a R là en và p h ần t ử không của nhóm Abel cộng của R là 0/Ị. T rư ờ n g h ợ p vàn h /? đ ã xác đ ịn h cụ th ể trư ớ c thì t a ký hiệu đ ơ n giản 1 cho p h ần t ử đ ơ n vị v à 0 cho phần t ừ không c ủ a R. Một vành R đ ư ợ c gọi là vành giao hoán. Iiếu phép nh ản của R th ỏ a m ãn thêm điều kiện x y — y x , Vx. y e R. C ần chú ý ờ đ ây rằ n g tro n g các giáo trìn h về đ ại số kết h ợ p m ộ t v à n h không đòi hòi phải có đ ơ n vị. Tuy nhiên, trong nhiều hướng nghiên cứ u khác thì luôn cần già thiết th è m sự tồn tại đ ơ n vị cùa một vành và chúng t a đi theo hướng này.
64 Giáo trình đại s ố hiện đại (ii). Một vành R đ ư ợ c gọi là m ột tr ư ờ n g , nếu R là một v à n h giao hoán và mọi phần t ử khác không củ a R đều có nghịch đào. Nghĩa là tậ p hợp fí* = R \ {0} lập th à n h m ộ t nhóm đối với phép n h â n củ a R. Trước hết t a tóm t ắ t m ột số tín h ch ất đ ơ n giản n h ấ t về v à n h và trirờng. 1 .2 ể T í n h c h ấ t . Cho R là m ộ t vành. Khi đó t a có các tín h ch ất sau đảv. 1 ) J'0 = Ox = 0, Vx € R. T h ậ t vậy, t ừ luật p h ân phối của ph cp Iihân đối với phép cộng Ox + X — Ox + \ x — (0 + 1 ) x — X ta suy ra 0.r = 0. T ư ơng tự , t a cũng có xO - 0. 2) Nếu R có ít n h ấ t hai ph ần t ử thì 0 ^ 1 . T h ậ t vậy. nếu 0 = 1 thì X = x \ = xQ = 0. Va- G /?. 3) ( - x ) y = —(x y ) với hai ph ần từ x , y G R tu ỳ ý. T h ậ t vậy. t ừ xy + ( - x ) y = (x + { - x ) ) y = Oy = 0 ta suy ra {—x ) y là p h ầ n t ử đối củ a xy. 4) Trên vành R t a x ây d ự n g phép ” t r ừ ” n h ư sau: X - y — X + ( - y ) , V x . y € R. Khi đó phép nh ân là p h ả n phối với phép trừ , tứ c {x - y)z = xz - yz và z(x - y) = zx - zy , V.T. y. z e R. T h ậ t vậy. từ {x - y ) z + y z = (x - y + y ) z = x z ta suy ra (x — y ) z = x z — y z . Đẳng th ứ c t h ứ hai cũng đ ư ợ c chứng m inh tư ơ n g tự. 5) B ằng quy n ạp t a dễ d à n g chứ ng m inh sự p h ân phối của phép n h ả n đối với phép cộng cho nhiều p h ầ n t ừ n h ư sau: (y 1 + + y, , ) x = y i x + ... + y nx và x ( y i + ... + y n) = x y i + + x y n. 6 ) M ột p h ần t ư khác không a G R đ ư ợ c gọi là m ột ước của không, nếu tồn tại một phần t ử khác khôn g b E R sao cho ab = ba = 0. Khi đ ó v à n h R
C hư ơn g III. Vành, tr ư ờn g và đa thức 65 không có ph ần t ử nào là ước của không, khi và chi khi luật giản ước trái VO / i e i?, Va. b e R, xa — xb =>■ a = b hoặc luật giản ước phải VO 7- X e R. Va. ò e R, a x = bx ==>• a = b đ ư ợ c thòa m ãn trong R. T h ậ t vậy, giả sử R không có ước củ a không. T ừ xa = xb kéo theo x ( a - b) = 0. t ừ đây suy ra a = b vì X Ỷ 0- L uật giản ước phải cũng đ ư ợ c chứng m inh tư ơ n g tự. Ngược lại. giả sử chẳng hạn trên R có luật giản ước trái. K hi đó. với hai phần t ử a.b e R tu ỳ ý sao cho ab = 0 và a Ỷ 0 . t ừ ab — aữ ta suy r a theo luật giản ước rằn g 6 = 0 . M ột vành giao hoán không có ước của không đ ư ợ c gọi là m ột m iền nguyên. 7) Nếu R là m ộ t tr ư ờ n g thì R không có ước củ a không, suy ra là m ột miền nguyên. T h ậ t vậy, cho x y = 0. nếu X ^ 0 thì y = {x~ì x)y = x ~ lxy = 0. 1.3. V í d u . 1) Ta ký hiệu z là tậ p hợp t ấ t cả các số nguyên, Q là tậ p h ợp t ấ t cả cả số h ữ u tỷ v à Z ,1 là tậ p hợp t ấ t cả các số nguyên m ô đ u n 71, với n là m ột số nguyên d ư ơ n g nào đó. Khi đó. với các phép to á n n h â n v à cộng các số thông th ư ờ n g t a th ấ y ngay rằng: - z là m ột v à n h giao hoán, h ơn n ữ a nó là m ột miền nguyên như n g không phải là m ột trư ờ ng. - Q là một trư ờ ng. - z „ là m ộ t v à n h giao hoán, như ng không là một miền nguyên nếu n không là m ộ t số ngu yên tố. T h ậ t vậy. giả sử n — kl với k v à / là hai số nguyên dương khác không và thực sự nhỏ hơn 77. rõ ràng k ^ 0(mod n) và ỉ 0 (niod rì) nlnm g ki = 0(m od n). T rư ờn g hợp n là m ột số nguyên tố, t a có th ể chứng m inh dề d àn g rằ n g z „ là m ộ t trường. 2) Cho tậ p h ợ p M n (R ) gồm t ấ t cả các m a tr ậ n vuông cấp n có hệ số trong tậ p hợp các số th ự c R . Dễ kiểm t r a th ấ y rằ n g M n (R ) lập th à n h m ột vành với phép cộng và n h â n m a tr ậ n thông thường. Hơn nữa, nếu n > 2 th ì vành này không là v à n h giao hoán.
66 Giáo trình đạt s ố hiện đại 3) Cho s là m ột tậ p hợp v à R là m ột vành. Khi đ ó tậ p h ợp M ( S . R ) tấ t cả các ánh xạ / : s — » R lập th à n h m ộ t vành với phép cộng v à n h ả n như sau: ( / + g){s) = f ( s ) + g{s). Vs € s. Ư9 ) ( s ) = f ( s ) g ( s ) , Vs G s. P h ần t ử không của vàn h này là án h xạ h ằn g cho giá trị là p h ần t ử không của R và phần t ử đ ơ n vị của nó là ánh xạ h ằn g cho giá trị là ph ần t ử đ ơ n vị của R. Rõ ràng M ( S , R ) là giao hoán khi v à chỉ khi R là m ộ t v à n h giao hoán. 4) Cho A là m ột nhóm Abel. Xét tậ p h ợp End(A ) t ấ t cả các đồng cấu nhóm từ A vào A. Với ph ép cộng là cộng các ánh xạ th ô n g th ư ờ n g v à phép nhân là phép lấy án h x ạ hợp th à n h , t a có th ể kiểm t r a m ột cách không khó khăn đư ợc rằn g E n d(Ẩ ) với các phép toán này lập th à n h m ộ t v à n h và vành này nói chung không là v àn h không giao hoán. 1 .4 Ề Đ i n h n g h ĩ a . C ho R là m ột vành. Nếu tồn tại m ộ t số nguyên dương n nhỏ n h ấ t sao cho n l — 0. thì t a nói rằ n g v àn h R có đặc s ố n. T rư ờ n g hợp ngược lại, không tồn tại số t ự nhiên n Iiào đ ể n l = 0 th ì t a nói R có đặc s ố 0. Đặc số của vành R đ ư ợ c ký hiệu là c h (R). l ể5. M ê n h đ ề . Các m ệ n h đ ề sau là đ ú n g đối với m ọi m iền n guvcn R. (i) N ếu c h ( R ) = 0 thì cấp cùa m ọi phần tủ trong n hó m A b e l cộng của R đều là vô hạn. (ii) N ếu ch(R ) = n, với n là m ộ t s ố nguvên dương, thì cấp cùa m ọi phần tử trong n h óm A b c l cộng của R đ cu là n và h un nửa, n phải là m ộ t s ố nguyên tố. Chứng minh. (i). G iả sử ngược lại, tồn tại m ộ t ph ần t ử khác không X € R và m ột số nguyên d ư ơ n g n sao cho ĨỈX = 0. T ừ đ â y t a suy ra n ( l x ) = (ríl)a : — Ox = 0. Do R là miền nguyên, nên n l = 0. Điều này kéo theo ch (/ỉ) < n. m â u th u ẫ n với giả th iết là R có đ ặ c số không. (ii). K ết luận đ ầ u củ a m ệnh đ ề lập tứ c đ ư ợ c suy ra, nếu t a chứng m inh đư ợc rằng: với hai p h ầ n t ừ khác không x . y G R tu ỳ ý v à m là m ộ t số Iiguyên.
Chươ ng III. Vành, t r ư ờ n g và đa thức 67 t ừ rn.v = 0 kéo theo m ụ = 0. T h ậ t vậy, từ x { m y ) = m ( x y ) = (■m x ) y = Oy = 0 t a suy ra. đo R là miền nguyên rằ n g m y = 0. Bây giờ giả sử ngược lại rằ n g n không phải là m ộ t số nguyên tố, tứ c tồn tại hai số nguyên d ư ơ n g p .q th ự c sự nhò hơn 77 sao cho n = pq. Khi đ ó ta có {pì)(ql )=pqì = n\ = 0. T ừ đày suy ra. do R là m iền nguyên, p l = 0 hoặc q\ = 0. T rư ờ n g h ợ p nào cùng đi đến ch ( R) < n. Vậy n p hải là m ột số nguyên tố. □ Ịị2. Iđ êa n v à đ ồ n g c ấ u v à n h 2.1 Đ i n h n g h ĩ a , (i) M ột tậ p hợp COI1 A của một vành R đ ư ợ c gọi là m ột vành con cùa R. nếu .4 lập th à n h một nhóm con Abel với phép cộng của R v à đóng đối với phép nhàn, tứ c ab e A. Va.b G A. T rư ờ ng hợp R là m ột trư ờ n g t h ì m ộ t v à n h COI1 c ủ a R đ ư ợ c gọi l à m ộ t trường con n ế u n ó là m ộ t t r ư ờ n g với các phép toán trên fí. (ii) Một tậ p h ợp con a củ a m ột vành R đ ư ợ c gọi là m ột iđêan trái (hoặc iđêan phải) của /?, Iiếu a là m ột vàn h con của R v à thỏa m ã n tín h chất Ra c a (hoặc a/? c a). Nếu a vừa là iđõan phải vừa là iđêan trái của /? thì đ ư ợ c gọi là m ột iđèan cùa /?. C hú ý rằng, ta không đòi hỏi m ột vàn h con A của v àn h R phải ch ứ a đ ơ n vị cùa R. liên Iiói chung m ột vàn h con chư a phải là một vành. Rõ ràn g R v à {0} là nh ữ n g iđêan của R. M ột iđêan (trái, phải) của R khác với R đ ư ợ c gọi là iđêan (trái, phải) thực sự. 2.2. M ê n h đ ề . Giao cùa m ộ t họ bất k ỳ các vành con (hoặc iđêan trái, phải) cùa m ộ t vành R cho trư ớ c là m ộ t vành con (hoặc iđẽan trái, phãi) của R. Chứng minh. G iả sử ( Aj ) i £Ị là m ột họ các vành con (hoặc iđ êan trá i phải) cùa /?. Đặt
68 Giáo trình đại s ố hiện đại Theo II. (2.4) thì A là m ột nhóm con củ a nhóm Abel cộng R. H iển nhiên là A đóng với phép nh ản c ủ a R. vì mỗi Aị đều đóng với phép n h â n đ ó (hoặc R A ç A hoặc A R ç A vì mỗi A l đ ều có các tín h ch ất tư ơ n g ứng). □ Cho s là m ột tậ p h ợ p con của m ột vàn h R. Khi đó, giao củ a t ấ t cả các vành con (hoặc iđêan trái, phải) của R chứ a s theo (2.2) lại là m ột v à n h con (hoặc iđêan trái, phải) củ a R. V àn h con (hoặc iđêan trái, phải) n ày đ ư ợ c gọi là vành con (hoặc iđêan trái, phải) sinh bời s và s đ ư ợ c gọi là hệ sinh của chúng. Đối với iđêan trái sinh bời m ột tậ p h ợp s t a th ư ờ n g ký hiệu là ¿(S ) hoặc R( S) . Tương t ự t a ký hiệu cho iđêan phải s i n h bời s là { S ) n hoặc (S ) R . Còn với iđêan sinh bới 5 th ì ký hiệu đ ơ n giản là (5) (khi vàn h R đ ã xác định trước). Cho X là m ột p h ầ n t ử tu ỳ ý của vàn h /?, th ì các tạ p h ạ p R x . x R và R x R là nh ữ ng ví dụ đ ơ n giản cho các iđêan trái, phải v à iđêan của R có một phần tử sinh là X, chúng đ ư ợ c gọi m ột cách tư ơ n g ứng là iđêan trái, pháỉ chính hoặc iđêan chính củ a R. M ột vàn h giao hoán R m à mọi iđéan đ ều là iđêan chính thì đ ư ợ c gọi là vành iđêan chính. Bây giờ cho a là m ột iđ êan củ a m ột v àn h R. Vì a là nhó m con củ a nhóm Abel cộng của R. nên th eo II. (3.7) t a có nhóm th ư ơ n g R / a củ a t ấ t cả các lớp ghép { x + a}x e /Ị. T a sẽ chứ ng m inh rằn g R / a có cấu trú c của m ột vành. 2.3. Đ i n h lý. Cho a là m ộ t iđêan của m ộ t vành R. K h i đó R / a là m ộ t vành với p h ép nhân đ ư ợ c định nghĩa n h ư sau: (x + a)(y + a) = x y + a, Vx. y e R. Chúng minh. Trư ớc h ết t a chứng m inh phép n h ân đ ư ợ c xác đ ịn h n h ư trén là có nghĩa, tứ c là nó không p h ụ thuộc vào cách chọn đại diện của lớp ghép. Cụ thể, cho a = X (m od a) v à b = y (m od a), t a phải chứng m inh rằ n g ab = x y (mod a). T h ậ t vậy, tồn tại theo giả th iế t hai p h ầ n t ử c. d £ a sao cho a = X + c và b — y + d. Khi đó nh ờ luật p h â n phối c ủ a R . t a có ab = (x + c) ( y + d) = x y + (x d + cy + cd).
Chư ơng III. Vành, t r ư ờ n g và đa thức 69 Rõ ràng x d + cy + cd € a vì a là một iđêan. T ừ đ ây ta suy ra ab — x y G a là điều cần chứng minh. Dễ th ấ y lớp ghép 1 + a là phần t ử đ ơ n vị đối với phép nh ân trên. Việc chứ ng m inh phép n h ân định nghĩa như trên p h ân phối với phép cộng các lớp ghép củ a R / a là hiển Iiliiên d ự a vào tín h p h â n phối củ a phép nhân đối với ph ép cộng trong vành R. Vậy R / a là m ột vành. □ V ành R / a xác đ ịn h n h ư trê n đư ợc gọi là vành thương củ a R theo iđêan a. 2.4. Đ i n h n g h ĩ a . C ho R v à 5 là hai vành tu ỳ ý. M ột ánh xạ ĩ : R —>s đư ợ c gọi là m ột đồng cấu vành, nếu nó th ỏ a m ãn các điều kiện sau với mọi phần t ử x . y € R f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) , f ( r y) = f (x)f (y). Đống cấu v àn h / đ ư ợ c gọi là đ ơ n cấu. toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh x ạ f tư ơ n g ứng là đ ơ n cấu. to àn cấu hay đ ẳ n g cấu. 2.5. B ổ đ ề . Cho f : R — + s là m ộ t đòng cấu vành từ vành R vào vành s . K h i đó tập hợp ảnh Im ( / ) = f ( R ) là m ộ t vành con của s và h ạ t nhàn Ker(/) = r 1(0s) là m ộ t iđcan của R. Chứng minh. Ta đ ã biết trong chương II về nhóm rằ n g I m ( / ) và K e r ( / ) tư ơ n g ứng là n h ữ n g nhóm C011 của nhóm Abel cộng của 5 và R. H iển nhiên I n i( / ) đóng đối với phép n h ả n củ a s . nên Im( f) là m ột v à n h con của 5. Ngoài r a , v ớ i c á c p h ầ n t ử (1 E K er( / ) v à X G R t u y ý t a có . f { a x ) = f ( a ) f (.r) = 0 f ( x ) = 0 và / ( x o ) = / ( x ) / ( o ) = f ( x ) 0 = 0 . Đicu này kéo theo a x . x a € K e r ( / ) . V ậy K e r ( /) là một iđêan của R. □ 2.6 . C h ú ý ẳ B ảy giờ ta xét lớp ÍH t ấ t cả các vàn h mà cấu x ạ giữ a hai v ậ t R. s 9 ÍH là đồng c ấ u vèilll y à tích cùa hai cấu xa chính là án h xa h a n th à n h
70 Giáo trinh đại s ố hiện đại Dễ chứng minh đ ư ợ c rằ n g h ợp th à n h của hai đồng cấu vàn h lại là m ột đồng cấu vành. Khi đó, rõ ràng SR th ỏ a m ã n các tiên đề ( K i). (A >). (A.ỉ) trong II. (5.1) nên lập th à n h m ột p h ạm tr ù gọi là phạm trù các vành. T ừ háy giờ trớ đi, khi nói tới m ột đồng cấu ta hiểu nó là m ột đồng cấu nhóm nếu t a đang xét trong p hạm tr ù các nhóm 0 . hay là m ột đồng cấu v à n h n ếu ta đ a n g làm việc với phạm trù các vành ÍK. 2.7. V í d u . 1) Cho a là iđẻan củ a một vành R. Xét v à n h th ư ơ n g R a như đ ã định nghĩa trong (2.3). Ta đ ã biết rằn g ánh xạ p : R ---- ♦ R / a . p( x) = X + a. v.r e R là một toàn cấu chính tắ c t ừ nhóm Abel c ộng của R lén nhóm cộng cùa R /a . Vì p ( x y ) = x y + a = (x + a)(y + a) = p( x) p( y) . nên p cũng là m ột to à n cấu vành. H ơn nửa. ta có a = Ker(p). Như vậy, k ết h ợ p với (2.6) ta đ ã chứng m inh đ ư ợ c m ệnh đ ề sau đây: M ột tập hợp con a cùa vành R là m ột iđêan khi và chi khi tòn tại một đồng cấu f : R — - 5 tủ R vào m ột vành s sao cho a — K e r ( / j . 2) Xét v àn h các t ự đồng cấu nhó m Abel cộng E n d (R ) = E c ủ a m ộ t vành R (xem Ví dụ 1.2. (4)). C ho a € R là m ột p h ần t ử tu v ý. Ta xét á n h xạ ỉa : R ---- ’ R- f a ( x ) = ax. Vx
Ch ư ơng III. Vành, t n r ờ n g và đa thức 71 Bây giờ. cho f :R — ■* s là m ột đồng cấu t ừ vàn h R vào v àn h s v à a. b là nhữ ng iđêan tư ơ n g ứ n g củ a R v à s sao cho / ( a ) Ç b. K hi đó t a th ấ y rà n g / cảm sinh m ột án h xạ r : R/a — s/b. đư ợ c xác đ ịn h bời f * ( x + a) = X + b. Hail nửa. /* là m ột đồng cấu v à n h làm cho biểu đồ sau giao hoán p Q R/a — * s/b. t ứ c là /* o p = q o /, trong đó p. q là n h ữ n g to à n cấu chính tắc. /* đ ư ợ c gọi là đòng cấu cảm sinh của f. Trường hợp đ ặc biệt, nếu / là m ột toàn cấu, a = Ker / v à b = 0. th ì s / b = s và f* là m ộ t đ ằ n g cấu. Nói cách khác, ta đ ã chứng m in h đ ư ợ c đ ịn h lý về đ ẳn g cấu sau đây. 2.8. Đ i n h l ý ễ Cho f : R — » s là m ộ t toàn cấu từ vành R vào vành s . K hi đó đòng cấu cảm sinh r : i ? / K e r / — >5 là Iìiột d ằ n g cấu. Trờ lại với p h ạ m tr ù các vành ÍR . Khi đó ta có đ ịn h lý về sự tồn tại tích và đối tích trong p h ạ m t r ù n ày m à chứng minh của nó đ ư ợ c suy ra dễ dàn g t ừ sự tồn tại của tích và đối tích tron g phạm tr ù các nhóm Abel. 2 ẳ9 Ế Đ i n h lý. Tích và đối tích tồn tại trong p h ạ m trù các vành ÍR. Chứng minh. Với m ột họ ( R, ) i £Ị các v àn h cho trư ớ c ta xem họ này n h ư là họ các nhóm Abel với phép to á n cộng. K hi đó tích trự c tiếp R = Yl &ĩ Rị . (Pì)íg/. trong đó p, là các to à n cấu chính tắ c nhóm, là tích v à tổ n g trự c tiế p X — (j , ) , ei - tro n g đ ó j, là các đ ơ n cấu chính tắ c nhóm , là đối tích củ a họ nhóm này tro n g p h ạ m t r ù các nhóm Abel 21 (xem Định lý 6.1, C h ư ơ n g II). Bây giờ ta đ ịn h nghĩa phép n h â n trẽii^i? (suy ra cho cả trê n À”) chính là
72 'Giáo trinh đại s ố hiện đại phép nhản từ n g th à n h p h ần , tứ c với a — (a,)i£Ị, b = (b , ) , e i £ R ta x á c đ ịn h ab = (a?6,)iG/. Khi đó dễ dàng th ấ y rằn g các đồng cấu p, và ji là n h ữ n g đồng cấu vành. Vậy R là tích v à X là đối tích của họ (/?,),£/ tro n g p h ạ m tr ù các vành ÍH. _ §3ế V à n h giao h o á n Ta giả thiết mọi v àn h đ ư ợ c xét trong tiết này đ ề u là vàn h giao hoán, như vậy các khái niệm về iđêan trái, iđêan phải là trù n g n h a u và chúng đều là những iđêan. 3 .1 ế Đ i n h n g h ĩ a , (i) M ột iđêan th ự c sự a củ a m ộ t vành R đ ư ợ c gọi là ìđèan nguyên sơ, nếu x y G a. v ả y ị a = > 3n : x n E a. (ii) Iđêan th ự c sự p đ ư ợ c gọi là iđêan nguyên tố. nếu x y € p ==ỉ> x E p h o ặ c y e p. (iii) Iđêan m đ ư ợ c gọi là iđêan cực đại. nếu m là p h ầ n t ử cực đ ại (theo quan hệ bao hàm ) tro n g tậ p hợp t ấ t cả các iđêan th ự c sự của R. (iv) Cho a là một iđêan của R. T ậ p h ợ p Rad(/?) xác đ ịn h bời R ad (a) = {x G R I 3n : x " E f l } được gọi là cản của a. Dẻ thấy. R ad (a) củng là m ột iđ êan của R. Đặc biệt, căn của iđêan không {0} đ ư ợ c gọi là căn luỹ linh của R và đ ư ợ c ký hiệu là Rad(i?). T ứ c V R ad(i?) = { x e R \ 3 n : x n = 0 }. M ột phần t ử của Rad(i?) đ ư ợ c gọi là phần tủ luỹ linh của R. Trước h ết t a nêu lên n h ữ n g tín h ch ất đ ơ n giàn n h ấ t đ ư ợ c suy ra t ừ các định nghĩa trên tro ng m ệnh đề sau đáy. 3.2. M ệ n h đ e . Cho a là m ộ t iđêan của vành fí. K h i đ ó các m ện h đ ẽ sau là đ úng: (i) a là iđêan n guyên t ố k h i và chi k h i R / a là m ộ t m iền nguyên. (ii) a là iđóan cục đại kh i và chi kh i R / a là m ột trường. (iii) a là iđôan n guyên sơ k h i đó R ad (a) là iđcan nguyên tố.
Chư ơng III. Vành, t r ư ờ n g và đa thức 73 (iv) M ộ t iđèan cực đại luôn là iđêan nguvên tố. m ộ t iđôan nguyên tố luôn, là iđôan nguyên sơ. Chứng minh. (i). G iả sử a là m ột iđẻan nguyên tố và x . y G R là hai p h ầ n t ử tu y ý củ a R m à (x + a ) ( y + a) = xy + a = 0 + a. T ừ đ ày ta suy ra x y € a. Do a là iđêan nguyên tố. nên một trong hai p h ần t ử X. ụ phải n ằ m trong iđêan a. chẳng hạn .r 6 a. Điều này chứng tỏ R / ữ là m ột miền nguyên. C hiều ngược lại cùng dề dàng đ ư ợ c chứng minh tư ơ n g tự. Rỏ ràng (ii) là một hệ quà trự c tiếp của (i); (iii) và (iv) là hiển nhiên đư ợ c suy ra từ các đ ịn h nghĩa iđêan nguyên tố. iđêan nguyên sơ v à iđêan cực đại. □ C hú ý rằng các m ện h đề ngược của (iv) trong (3.2) là không đúng. Điều đó ta sẽ th ấ y trong ví dụ dư ới đây. 3.3 . V í d u . Trong vanh các số nguyên z thì tậ p hợp 7ỉZ = { n k I k 6 Z} là một iđêan. 1) Dề kiểm tra đ ư ợ c với mỗi số t ự nhiên n rằng, liến n là m ột số nguyên tố thì vành các lớp th ặ n g d ư theo m ôđu n n : z „ = Z / n Z là m ột m iền nguyên và hưn nửa nó là m ộ t trư ờ n g. Vậy. theo (3.2). (i) thì n z là m ột iđèan nguyên tố khi và chi khi n là m ộ t s ố n g u y ê n t ố v à k h i đ ó n ó c ủ n g l à m ộ t i đ ê a n c ự c đại n hờ vào T ính ch ất (ii). (3.2). Ngoài ra. ta biết z là m ột m iền nguyên, nên {0 } là iđẻan nguyên tố của z nhưng không là iđêan cực đ ại vì nó chứa th ự c sự trong mọi iđèan nguyên tố pZ . với p là một số nguyên tố. 2) Cho p là m ột số nguyên tố và Q là một số t ự nhiẻn tu ỳ ý. Ta th ấ y ngay rằng R a d (p QZ) = p Z là iđẽan cực đại. Điều n ày chứng tỏ (xem bài tậ p 11 ) rằn g p QZ là m ộ t iđêan nguyên sơ của z . Vậy. n z là iđêan nguyên sơ khi v à chi khi n là luỹ th ừ a của một số nguyèn tố. Do đ ó ta có ngay phản ví dụ cho m ệnh đ ề ngư ợc của mệnh đề th ứ hai tro n g (iv), (3.2), chằng hạn. 32z là iđêan nguyên sơ n hư n g không là iđêan nguyên tố.
J4 Giáo trình đại s ố hiện đại 3 4. BỔ đ ề . Trong m ột vành giao hoán R luôn tòn tại ít n h ấ t m ộ t iđẽan cực đại. Chứng minh. Xét tậ p h ợ p n t ấ t cả các iđêan khác với R. Khi đ ó fỉ với th ứ tự b a o h à m th e o n g h ĩa t ậ p h ợ p sẽ lậ p t h à n h m ộ t t ậ p h ợ p đ ư ợ c s ắ p b ộ p h ận . Vì {0} e Ü nên Í7 0. G iả sử ai < C12 < 0.-5 < ••• là một xích tuỳ ý các iđêan tro n g Í1 Rõ ràng ÓC' a = | J a* i= 1 lại là m ột iđêan củ a R. H ơn nữa, 0 € fỉ. Vì, nếu 1 G a, th ì tồn tại m ột iđêan an trong xích sao cho 1 e a„, tứ c a n = R. Vậy mọi xích tro n g fỉ đ ề u bị chặn. Khi đó theo bổ đề K uratow ski-Zorn tron g có ít n h ấ t m ộ t p h à n t ử cực đại m. Hiển nhiên khi đó m là m ột iđêan cực đ ại củ a R. □ 3.5. H ê q u ả . Mọi iđêan th ự c sự của m ộ t vành giao hoán luôn n ằ m trong m ộ t iđêan cực đại. Chứng minh. C ho a là m ộ t iđêan th ự c sự củ a v àn h giao hoán R. Xét vành R / a rồi áp d ụn g (3.4) t a đ ư ợ c ngay điều cần chứng minh. □ Một vàn h giao hoán đ ư ợ c gọi là vành địa phương, nếu nó chì có một iđêan cực đ ại d uy n h ấ t. K hi đó, theo Hệ q u ả 3.5 thì mọi iđ êan th ự c sự của một vành đ ịa ph ư ơ n g đ ề u n ằ m tro n g iđêan cực đ ại d u y n h ấ t của nó. Đảy là lớp vành giao hoán r ấ t q u a n trọng, có nhiều ứng dụ ng tro n g hình học đại số. Bây giờ, ngoài giao c ủ a n h ữ n g iđêan t a xác đ ịn h th ê m m ộ t số ph ép toán trên iđêan. - Tổng của hai iđ êan a v à b tro ng m ộ t v à n h R là tậ p h ợ p xác đ ịn h bời a + b = {a + b I a € a, b 6 b}. Rõ ràng a -f b là m ộ t iđêan v à nó chính là iđêan bé n h ấ t ch ứ a a và b. - Tích củ a hai iđ êan a v à b tro n g m ộ t v à n h R là iđêan xác đ ịn h bỡi ab = { ] T a lbl I dị e a, bi G b, phép lấy tổ n g là h ữ u h ạ n }
C hư ơn g III. Vành, t r ư ờ n g và đa thức 75 K h i đ ó , k h ô n g k h ó k h ă n t a c ó t h ê c h ứ n g m i n h c á c i đ ẻ a n n à y t h ò a ũ iã a i b a o hàm th ứ c sau đây. a b C a f l b Ç a + b. Một cách tư ơ n g tự . t a có th ể m ờ rộng khái niệm iđêan tô n g ai v à tích r i i e / a ' ch ° m 9t họ tu v V các iđêan (a ,),e / cho trước. Có rất nhiều các qu an hệ th ú vị giữa các iđêan nguyên sơ, nguyên tố và iđêan căn trong vàn h giao hoán. Định lý sau đây là m ột minh họa cho điều này. 3 . 6 ế Đ ị n h lý. Căn lu ỹ linh Rad(/?) của m ột vành giao hoán R là giao cua tấ t cà các idean nguvôn tố cùa R. Chứng minh. Ta gọi 91 là iđêan đ ư ợ c xác định bời giao của t ấ t cả các iđêan nguyên tố của R. C ho X e R ad(/?) và p là một iđêan nguyên tố tu ỳ ý củ a R. Khi đó tồn tại m ột số t ự nhiên rì sao cho x n = 0 e p . T ừ đ ây ta suy ra, d ự a vào tín h nguyên tố của p, X € p. T ứ c ta đ ã chứng m inh đư ợc Rad(i?) Ç m. Đè chứng minh bao h à m th ứ c ngược lại. t a chỉ cần chỉ ra rằng, với m ộ t p h ần tử 0 7^ X € R cho trư ớ c. 1 ' ệ Rad(Z?) ==> X Ệ ữt. T h ật vậy. xét tậ p h ợ p E tấ t cả các iđêan a của R có tính ch ất x n Ệ a, với mọi số tự nhiên 77. Rõ ràn g £ là một tậ p h ợp đư ợ c sắp t h ứ t ự với q u a n hệ bao h àm theo nghĩa tậ p h ợ p v à E Ỷ 0' V1 {0} G E. Giả sử 0 ]
76 Giáo trình đại s ố hiện đại trong £ đều bị chặn, nên theo bô đề Kuratow ski-Zorn phải tồn tại m ộ t phần tử cực đại p trong E. Nếu p là iđêan nguyên tố, thì t a suy ra X Ệ và mệnh đề đư ợc chứng minh xong. G iả sứ ngược lại rằng, p không là iđẻan nguyên tố. Khi đó, tồn tại hai p h ầ n t ử a.b ị p m à ab e p. Điều này chứng tò p nằm thự c sự trong các iđêan a R + p và bR + p, nghĩa là hai iđèan này không thuộc vào tậ p hợp E. Vậy. tồn tại hai số t ự nhiên n. m sao cho x n e a R + p v à x m e b R + p. T ừ đ ây ta suy ra x nm 6 (a R + p ){bR + p) = abR + p = p. Điều này m âu th u ẫ n với tín h ch ất p 6 E. Định lý đ ư ợ c chứng m inh hoàn toàn. □ 3 .7 ẽ Đ i n h l ý ễ Cho a i , . . . , a „ là n h ữ n g iđêan trong m ộ t vành giao hoán R thỏa m ãn tính chất a1 + aj — R. Vi ^ j. Khi đó các m ệnh đ ề sau là đúng: 0). n n fW ni=l* - i=l (ii) Với m ỗi họ t u ỳ ý { x i , . . . , x n } các phằn tứ của R. luôn tòn tại m ột p h ầ n t ứ X G R s a o cho X = Xị(mod a¿), Vz = Chứng minh. (i). T a chứ ng m inh (i) b ằ n g quy nạp theo n. Với Tì — 2. ta dễ dàng chứng minh đ ư ợ c rằ n g (dj + 0 2 )(ai n Q2 ) Ç aia-2 - Vì aia2 ç n a2 và ai + Ũ2 = R , nên suy ra a i n 02 = Ũ\ ữ2-
Chư ơn g III. Vành, t r ư ờ n g và đa thức 77 G iả sử t a đ ã chứng m inh đ ư ợ c cho trư ờ n g hợp n — 1 iđêan d i , a „ _ i . Đặt Tỉ —1 n —1 b= 0 = ỊỊ*- i=l 1=1 Vì a, + a„ — R. Vi = 1......n — 1, nên tồn tại nhữ ng p h ần t ừ Xi € a, v à Ui G an sao cho Xi + y, = 1. T ừ đ ây ta suy ra n — 1 71 — 1 n * = n < i - - i (m od “ ")■ i=l i=l Điều này chứng tỏ a„ + b = R. Áp dụng m ột lần n ử a trư ờ n g h ợ p n = 2 cho các iđêan an và b, ta đ ư ợ c n Tì P l a, = b n an = ban = a¿. 1 = 1 1 = 1 (ii). Ta cũng chứng m inh m ệnh đề bằn g quy nạp theo n. Với n = 2, do Ql + a 2 = R ' nên tồn tạ i các p h ần t ừ ai e ai và
78 Giáo trình đại s ố hiện đại (ii) Cho a , .........an là n h ữ n g iđêan và p là m ộ t iđêan n g u yên tố cùa R. Nếu n"=1a, ç p thì khi đó tòn tại m ộ t chi số i sao cho a, Ç p. Hơn nửa. khi n ' L j d , = p thì tòn tại m ộ t ch ỉ s ố i s a o cho a, = p. 'Chứng minh, (i) Ta chứng m in h m ệnh đề b ằ n g quy n ạp theo n. K hi n = 1 thì kết luận là hiển nhiên. G iả sử (i) đ ã đ ư ợ c chứng m inh cho tr ư ờ n g h ợ p 77- 1 . tức a
Ch ư ơng III. Vành, t r u ờ n g và đa thức 79 T rên tích D escartes 5 X R ta xét m ột quan nệ ~ xác đ ịn h bởi: với s. t .€ s . a. b 6 R , ( s , a ) ~ ( í, 6) < = > 3 u e 5 s a o c h o u ( a t — sb) = 0. Rõ ràng quan hệ này là p h àn x ạ và đối xứng. Để chứng minh nó cũng là qu an hệ bắc càu, già sử (s . a ) ~ (t.b) và (í, b) ~ (u.c). Khi đó tồn tại v , w E s sao cho v (a t — bs) = 0 v à w(bu — ct) = 0 . T h ế ò từ hai p hư ơ ng tr ìn h này. t a đi đ ến t v w ( a u — cs) = 0. Vì s là tậ p n h â n đ ón g nên tv w e 5. t ừ đây kéo theo (s , a ) ~ («, c). V ậy ~ là m ột quan hệ tư ơ n g đư ơ ng . T a ký hiệu a / s là lớp tư ơ n g đ ư ơ n g của p h ầ n t ử ( s. a) v à S ~ l R l à 't ậ p h ợ p t ấ t cả các lớp tư ơ n g đ ư ơ n g này. 4 .2 . Đ ị n h lý. Sừ d ụ n g các k v hiệu ở trên thì s 1R là m ộ t vành giao hoán với cấc phép toán đ ư ợ c xá c định nh ư sau: Vs, t e s , a ,b e R. ( a / s ) + ( b/ t ) = {at + b s ) / s t , (a / s ) ( b / t ) = ab/ st . Chứng minh. T rư ớc h ế t ta cần chứng minh rằng, các đ ịn h nghĩa ờ trê n là không phụ thuộc vào cách chọn đại diện. T h ậ t vậy, giả sử a / s = d \ / s \ v à b /t = b \ / t \ . Ta cần ch ứ ng tò rằn g (at + b s ) / s t = ( d i t i + bịSi) / S ị t ị . Theo giả thiết, tồn tại hai p h ầ n t ử u . v e s sao cho u( as 1 — a i s ) = 0 v à v(bt 1 — bit) = 0 . N hản đ ằ n g th ứ c th ứ n h ấ t v ớ i vt t 1 v à đ ẳ n g th ứ c th ứ hai vớ i ussị rồi c ộ n g chúng lại và rút uv ra. ta đ ư ợ c u v ( s i t ị ( a t + b s ) - s t ( a i t i + b i S i ) ) = 0.
80 Giáo trình đại s ố hiện đại Đó chính là điều ta càn chứng minh. B ằng p hư ơng p h áp hoàn to à n tư ơ n g tự. t a c ủ n g c h ứ n g m i n h đ ư ợ c p h é p n h ả n x á c đ ị n h n h ư t r ê n là k h ó n g p h ụ . t h u ộ c vào cách chọn đại diện. H ơn nữa. khỏng khó khăn có th ê kiểm t r a đ ư ợ c các phép toán trên th ỏ a m ãn các tiên đề đ ể S ^ 1R lập th à n h một v àn h giao hoán v ớ i p h ầ n t ử đ ơ n vị là 1 /1 . □ T ừ đinh nehĩa của vành các phán th ứ c ta xác đ ịn h đ ư ợ c m ột ánh xạ ỉ ■R — » S ~ l R. f ( x ) = x / 1. Rõ ràng ánh xạ này là m ột đồng cấu vàn h (nói chung nó không phải là một đơn cấu). Hơn nữa, vành R v à đồng cấu / có các tín h chất: 1 ) Mọi ph àn t ử thuộc f ( S ) đ ều khả nghịch trong s ~ } R. 2) f ( a ) = 0 = > 3.S 6 S. as = 0. 3) Mọi p h ần t ử của S ~ i R đ ều có dạng / ( a ) f ( s ) ~ l với a G R và s G s nào đó. Chú ý này làm v à n h các p h â n th ứ c có tín h chất p h ổ dụng n hư sau. 4.3. Đ i n h lý. Cho g : R — * X là m ộ t đòng cấu giữa các vành giao hoán. K hi đó các m ệnh đề sau là đúng: (i) N ếu m ọi phần t ủ thuộc g ( S ) đều khà nghịch trong X . thì tòn tại duy nhất m ộ t đòng cấu h : S ~ l R — ■>X sao cho g — h o f . (ii) N ế u g t h ỏ a m ã n c á c đ i ề u ki ện 1) Mọi phần tủ thuộc g ( S ) đều khà nghịch trong X : 2) g{ò) — 0 = > ELs € S, as = 0: 3) Mọi phần từ của X đ ều có dạ ng f ( a ) f ( s ) ~ l với a € R và s e s nào đó. K hi đó. tòn tại d u y n h ấ t m ộ t đ ằ n g cấu h : s ~ l R — » X sao cho g = h o f . Chúng minh. (i). T rư ớ c h ết. t a chứng m inh rằ n g tư ơ n g ứng h : s ~ l R — - X xác định bời h{a/s) = g(a)(g(s))~1 là một đồng cấu. T h ậ t vậy. tư ơ n g ứng tr ê n hiển nhiên là m ột đồng cấu nếu nó là m ột ánh xạ. Giả sử a / s = b ịt. Khi đó. tồn tại m ộ t p h ầ n t ử lí G 5 bao cho u(at — bs) = 0. T ừ đ â y suy ra g ( u) ( g ( a ) g ( t ) - g{ b) g( s ) ) = 0.
C hư ơng III. Vành, t r ư ờ n g và đa thức 81 Vì g(u) khả nghịch trong X . nên g(a)(gịsỴ )~ l = g( b) {g( t ) ) ~l . T heo cách xác địn h của h rõ ràng t a có q = h o / . Ta chứng minh tín h duy n h ấ t củ a h. Giả sử h' : s ~ l fí — > X m à g = h' o f. Cho a e R và s E s tu ỳ ý, t a có h'{a/s) = h !( a / l ) h '{ l / s ) = / ỉ ' ( / ( a ) ) ( / ỉ ' ( / ( s ) ) ) _1 = g(a)(g{s))~l . Vậy /ỉ' = h. (ii). Theo (i) ta chi CÒ11 phải chứng minh đồng cấu h : S ~ l R — * X xác địn h bời h ị a / s ) = g{ a) {g( s) ) ~l là m ột đ ẳ n g cấu. Rõ ràn g h là m ột toàn cấu do tính chất 3). Đè chứng m inh h là đ ơ n cấu, t a xét h ạ t n h â n của đồng cấu này. G iả sử h ( a / s ) = 0 . tứ c g(a) = 0. T heo 2) p hải tồn tại t € s sao cho at = 0. nghĩa là a / s — 0/ t . V ậy Ker / = 0. □ 4 .4 . C h ú ý . 1 ) Clio R là m ột vàn h giao hoán v à s là m ột tậ p n h â n đóng của R. Xét họ R 5 tấ t cả các cặp ( f . X ) . trong đó X là m ột v à n h giao hoán và / : R — * X là một đồng cấu vành sao cho mọi ph ần t ừ của f { S ) k h ả nghịch trong À'. Một cấu x ạ giữa hai cặp ( f . X ) và ( g . Y ) là một đồng cấu vành h : X — * Y sao cho g = h o f . K hông khó khăn t a có th ể th ấ y R.S là m ột p hạm trù với tích của hai cấu x ạ là ánh x ạ hợp th à n h . Khi đó. d ự a vào Định lý 4.3 và đ ịn h nghĩa v ật phổ dụng của phạm trù (xem III. (5.10)) thì S ~ l R không gì khác là vật phô dụng trong p hạm trù R-,. 2) Rõ ràng, nếu 0 6 5. th ì s ~ l R = 0. Vì vậy người ta th ư ờ n g đòi hỏi thêm điều kiện 0 0 5 tro n g đ ịn h nghĩa tậ p n h ân đóng. Clio I là iđêan của m ột v àn h giao hoán R và s là m ộ t tậ p n h â n đóng trong R. Khi đó dề kiêm tra th ấ y rằn g tậ p hợp S ~ l I = { a / s |a e l . s e S} là một iđêan của s ~ l R. 4 .5 . M ê n h đ ề . C ho s là m ộ t tập nhàn đ ó n g và I là m ộ t iđẽan của R. K h i đ ó S ~ ] I = S ~ l R k h i v à chi k h i / n 5 # 0. Chứng minh. G ià sử S ~ l I = s ~ ] R. Khi đó s ~ l I chứa p h ầ n t ử đ ơ n vị 1/1 của S ~ l R. tứ c tồn tại nh ữ n g p h ần t ừ Ö € / v à s £ s sao cho 1/1 = a / s . Suv ra tồn tại t e s đ ể t(a - s) = 0. Điều này chứng tò p h ần t ử ta = t s thuộc vào
g 2 Giáo trình đại s ố hiện đại Ị n s. Ngược lại. giả sử tồn tại s e i n s. Khi đó s / s = 1/1 € S ~ l I. suy ra S ~ l I = S ~ l R. □ 4 . 6 ẻ V í d ụ . Ta hãy xét m ột số tậ p n h ân đóng quen biết nh ư n g rất quan trọng. 1 ) Cho R là m ột v àn h và s là tậ p h ợ p t ấ t cả các ph ần t ử khà nghịch của /?. Rõ ràng s là m ột tậ p n h â n đổng và tron g trư ờ n g hợp này t a có S ~ l R = R. 2) Cho R là m ột miền nguyên và s = R \ {0} là m ột tậ p n h ân đóng. Khi đó s ~ ' R là m ột trư ờ n g , gọi là trư ờ n g phán thức củ a miền nguyên R. 3) Xét s là tậ p t ấ t cả các p h ần t ử không là ước của không của một vành R. Vì tích hai ph ần t ừ không là ước của không lại là m ộ t p h ầ n t ừ không là ước của không nên 5 là m ộ t tậ p n h â n đóng. Khi đó v à n h S ~ l R đ ư ợ c gọi là vành phân thức toàn phần củ a R. 4) Cho p là m ột iđêan nguyên tố của m ột vành R. D ự a vào tín h nguyên tố của p ta th ấ v ngay rằng, tậ p h ợ p s = R \ p là m ột tậ p n h â n đóng. Trong trư ờng hợp này, v àn h các p h â n th ứ c S ~ l R đ ư ợ c ký hiệu là Rp. Rõ ràng tập hợp t ấ t cà các ph ần t ử củ a Rp có dạng a / s với a G p. .s Ệ p lập th à n h một iđêan m của 7?p. N ếu a / s ị m. thì a ị p. nghĩa là a / s k h ả nghịch trong R v. Điều này nói lên rằn g m là iđêan cực đại duy n h ấ t của Rp (xem bài tậ p 20). tức R p là m ột v à n h đ ịa phương. Q uá trìn h t ừ R đ ế n Rp đ ư ợ c gọi là địa phương hoá và vàn h Rp đ ư ợ c gọi là vành đìa p h ư ơ n g hoá của R tại iđéan p. 5) Cho / € R là m ộ t p h ần t ử khác 0. khi đó tậ p hợp s = { / " } n >0 là một tậ p nhân đóng. T rư ờ n g h ợ p này t a cũng viết R ị th a y cho S ~ 1R. 6 ) T rư ờn g h ợ p đ ặc biệt. R = z là vàn h các số nguyên và p = (pjZ. p là một số nguyên tố. Khi đó. Rp — { các số h ữ u tỷ m / n , n không chia h ết cho p}. Và, với / # 0. thì R f = { các số h ữ u tỷ m à m ẫ u số là luỹ t h ừ a của / } .