zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p1

Chia sẻ: Dsadf Fasfas | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

66
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p1

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý O O N N y y bu bu to to k k của hàm phức giải tích dạng vi phân Ph©n Phøc lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k gi¶i tÝch trong miÒn D sao cho u = Ref hoÆc u = Imf. Chøng minh • Do h m u ®iÒu ho trong miÒn D ®¬n liªn nªn d¹ng vi ph©n ω = − u ′y dx + u ′ dy x l d¹ng vi ph©n ®óng. Suy ra tÝch ph©n cña nã kh«ng phô thuéc v o ®−êng lÊy tÝch ph©n. Cè ®Þnh a ∈ D víi mäi z ∈ D, h m z v(x, y) = ∫ − u ′y dx + u ′x dy (3.7.2) a thuéc líp C2 trong miÒn D v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann v ′ = - u ′y v v ′y = u ′ x x Suy ra h m phøc f(z) = u(x, y) + iv(x, y) l gi¶i tÝch trong miÒn D v u = Ref. • LËp luËn t−¬ng tù ®Ó t×m h m f(z) sao cho u = Imf. VÝ dô Cho h m u = x2 - y2 t×m h m w = f(z) gi¶i tÝch sao cho u = Ref KiÓm tra trùc tiÕp h m u l h m ®iÒu ho u ′ = 2x = v ′y , u ′y = - 2y = - v ′x v ∆u = u ′′ + u ′yy = 0 ′ x xx T×m h m v ®iÒu ho liªn hîp víi h m u v(x, y) = ∫ v ′ dx = ∫ 2ydx = 2xy + ϕ(y) x §¹o h m theo biÕn y v ′y = 2x + ϕ’(y) ≡ 2x ⇒ ϕ’(y) = 0 ⇒ ϕ(y) = C Suy ra h m phøc f(z) = (x2 - y2) + i(2xy + C) l h m gi¶i tÝch cÇn t×m. HÖ qu¶ 1 H m ®iÒu ho cã ®¹o h m riªng mäi cÊp v c¸c ®¹o h m riªng cña nã còng l h m ®iÒu ho . Chøng minh Theo c¸c ®Þnh lý ë trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Khi ®ã ®¹o h m c¸c cÊp cña h m f còng l h m gi¶i tÝch v cã phÇn thùc, phÇn ¶o l c¸c ®¹o h m riªng cña h m u. HÖ qu¶ 2 H m ®iÒu ho ®¹t trÞ trung b×nh t¹i t©m cña h×nh trßn n»m gän trong miÒn D. 2π 1 ∫ u(a + Re )dt ∀ R > 0 : B(a, R) ⊂ D, u(a) = it (3.7.3) 2π 0 Chøng minh T−¬ng tù nh− trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Theo c«ng thøc (3.6.1) víi n = 0 2π 1 ∫ Re f (a + Re )dt it u(a) = Ref(a) = 2π 0 HÖ qu¶ 3 H m u ®iÒu ho ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn ∂D. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 55
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chøng minh Sö dông c«ng thøc (3.7.3) v lËp luËn t−¬ng tù nh− chøng minh nguyªn lý cùc ®¹i. HÖ qu¶ 4 H m ®iÒu ho v bÞ chÆn trªn to n tËp sè phøc l h m h»ng. Chøng minh T−¬ng tù nh− trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Tõ gi¶ thiÕt h m u bÞ chÆn v c«ng thøc (3.7.4) d−íi ®©y suy ra h m f bÞ chÆn. Theo ®Þnh lý Liouville suy ra h m f l h m h»ng. Suy ra h m u l h m h»ng. C«ng thøc Schwartz Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y) gi¶i tÝch trªn miÒn D v B(0, R) ⊂ D. Re i.t + a 2π 1 2π ∫ ∀ a ∈ B(0, R), f(a) = u(Re i.t ) i.t dt + iv(0) (3.7.4) Re − a 0 Chøng minh Víi mäi a ∈ B(0, R) 2π 2π Re i.t 1 f(z) 1 dt v f(0) = 1 ∫ f(Re i.t )dt 2 πi ∂∫ z - a 2π ∫ f(Re i.t ) i.t dz = f(a) = Re − a 2π 0 B 0 R2 Do a ∈ B(0, R) nªn a1 = ∉ B(0, R) suy ra a 2π ae i.t 1 f(z) 1 2 πi ∂∫ z - a 1 2π ∫ i.t dz = 0= f(Re ) i.t dt ae − R B 0 BiÕn ®æi 2π 2π 2π i.t 1 f(Re i.t )dt - 1 f(Re i.t ) ae dt = 1 ∫ f(Re i.t ) i.t R dt - ∫ ∫ f(0) = ae − R ae − R 2π 0 2π 0 2π 0 i.t 2π +R 2π 1 i.t 1 i.t ae -R ∫ f(Re ) ae i.t − R dt + 2 π ∫ f(Re ) ae i.t − R dt i.t 0= 2π 0 0 Suy ra 2π 2π f(0) = 1 ∫ f(Re i.t ) Re -i.t + a dt v f(0) = 1 ∫ f(Re i.t ) Re i.t + a dt -i.t i.t Re − a Re − a 2π 0 2π 0 2π f(a) - iv(0) = f (a ) − 1 [f (0) − f (0)] = 1 ∫ u(Re i.t ) Re i.t + a dt i.t Re − a 2 2π 0 •H m S(a, t) = Re i.t + a i.t Re − a gäi l nh©n Schwartz. Theo c«ng thøc (3.7.4) nÕu biÕt gi¸ trÞ trªn biªn cña phÇn thùc u v gi¸ trÞ v(0) th× suy ra ®−îc gi¸ trÞ cña h m f bªn trong h×nh trßn B(0, R). BiÕn ®æi . Trang 56 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 2 R Im(ae − it ) R 2 − | a |2 +i S(a, t) = | Re it + a | 2 | Re it − a | 2 Hm P(a, t) = ReS(a, t) = R − | a | 2 2 2 | Re + a | it gäi l nh©n Poisson. Tõ c«ng thøc (3.7.4) suy ra 2π u(a) = Ref(a) = 1 ∫ u(Re it ) R − | a | 2 dt 2 2 (3.7.5) 2π 0 | Re it + a | gäi l c«ng thøc Poisson. Sau n y chóng ta cã thÓ dïng c«ng thøc (3.7.5) ®Ó t×m nghiÖm cña b i to¸n Dirichlet trong h×nh trßn. B i tËp ch−¬ng 3 • Tham sè ho¸ ®−êng cong ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. ∫ e dz víi Γ l cung parabole y = x3, 1 ≤ x ≤ 2 z 1. Γ ∫ tgzdz víi Γ l cung parabole x = y2, 0 ≤ y ≤ 1 2. Γ ∫ z Im zdz víi Γ l 3. ®−êng gÊp khóc nèi c¸c ®iÓm 1, i, -1 v -i Γ ∫ (z + zz )dz víi Γ l cung trßn | z | = 1, 0 ≤ arg z ≤ π 2 4. Γ z ∫ z − 1 dz víi Γ l ®−êng ellipse x2 + 4y2 = 4 5. Γ • Sö dông ®Þnh lý Cauchy ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. ∫ z sin zdz víi Γ l ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm 0 v πi 6. Γ ∫ (z − 1) cos zdz víi Γ l ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm π, πi 7. Γ dz ∫ z − 1 víi Γ l 8. ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm -1 v 1 + i Γ ∫ | z | zdz víi Γ l biªn ®Þnh h−íng cña miÒn D = { | z | = 1, Im z ≥ 0 } 9. Γ z ∫ | z | dz víi Γ l biªn ®Þnh h−íng cña miÒn D = {1 < | z | < 2, Im z ≥ 0 } 10. Γ . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 57
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k dz ∫z víi Γ l ®−êng cong kÝn kh«ng ®i qua ®iÓm ±i 11. +1 2 Γ • Sö dông c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. z 2 dz ∫ z − 2i víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1 v | z | = 3 12. Γ dz ∫z víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1, | z - 2i | = 1 v | z + 2i | = 1 13. +4 2 Γ dz ∫z víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1, | z - 2 | = 1 v | z | = 3 14. + 2z 2 Γ zshzdz ∫z víi Γ l ®−êng cong kÝn kh«ng ®i qua ®iÓm ±i 15. +1 2 Γ • TÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. cos zdz 16. ∫ 2 víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 Γ z −1 sin zdz ∫z víi Γ l ®−êng trßn | z | = 3 17. − 2z 2 Γ ze z dz ∫ (z + i) 3 víi Γ l ®−êng trßn | z + i | = 1 18. Γ shzdz ∫ (z − 1) víi Γ l ®−êng trßn | z - 1 | = 1 19. (z + 3) 2 Γ ln( z + 3 ) dz víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 ∫ 20. ( z 2 − 1) 3 Γ z sin z ∫ (z dz víi Γ l ®−êng ellipse 4x2 + y2 - 2y = 0 21. + 1) 2 3 Γ • T×m h m gi¶i tÝch biÕt phÇn thùc, phÇn ¶o. y u(x, y) = x3 - 3xy2 u(x, y) = x2 - y2 + 5x + y - 22. 23. x + y2 2 x x 24. u(x, y) = arctg 25. u(x, y) = - 2y x + y2 2 y v(x, y) = 2x2 - 2y2 + x 26. v(x, y) = 2xy + 3 27. y v(x, y) = ln(x2 + y2) + x - 2y v(x, y) = 3 + x2 - y - 28. 29. x( x + y 2 ) 2 . Trang 58 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 4 CHUçI h m PHøC v ThÆng d− §1. Chuçi h m phøc • Cho d y h m (un : D → ∀)n∈∠. Tæng v« h¹n +∞ ∑u (z) = u0(z) + u1(z) + ... + un(z) + ... (4.1.1) n n =0 +∞ ∑u gäi l chuçi h m phøc. Sè phøc a gäi l ®iÓm héi tô nÕu chuçi sè phøc (a ) héi tô. n n =0 TËp c¸c ®iÓm héi tô gäi l miÒn héi tô v th−êng kÝ hiÖu l D. +∞ n Trªn miÒn héi tô h m S(z) = ∑ u n (z) gäi l tæng, h m Sn(z) = ∑ u k (z) gäi l tæng riªng n =0 k =0 thø n v h m Rn(z) = S(z) - Sn(z) gäi l phÇn d− thø n cña chuçi h m phøc. +∞ D ∑u (z) = S (z) nÕu Chuçi h m phøc gäi l héi tô ®Òu trªn miÒn D ®Õn h m S(z), kÝ hiÖu n n =0 ∀ ε > 0, ∃ N > 0 sao cho ∀ z ∈ D, ∀ n ≥ N ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε +∞ ∑a Tiªu chuÈn Weierstrass NÕu cã chuçi sè d−¬ng héi tô sao cho n n =0 ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, | un(z) | ≤ an (4.1.2) th× chuçi h m phøc héi tô ®Òu trªn miÒn D. • Sau n y chóng ta xem c¸c chuçi héi tô ®Òu còng tho¶ m n tiªu chuÈn Weierstrass. Chuçi h m phøc héi tô ®Òu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. +∞ D ∑ u n (z) = S(z) th× h m 1. TÝnh liªn tôc NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn miÒn D v n =0 S(z) còng liªn tôc trªn miÒn D. Chøng minh Víi mäi a ∈ D v ε > 0 bÐ tuú ý Do tÝnh héi tô ®Òu ∃ N > 0 : ∀ n > N , ∀ z ∈ D ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε / 3 v | S(a) - Sn(a) | < ε / 3 Do tÝnh liªn tôc . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 59
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∃ δ > 0 : ∀ n ≤ N , ∀ z ∈ D, | z - a | ≤ δ ⇒ | un(z) - un(a) | < ε / 3N Suy ra ∀ z ∈ D, | z - a | ≤ δ ⇒ N ∑| u | S(z) - S(a) | ≤ | S(z) - Sn(z) | + (z) − u n (a ) | + | S(a) - Sn(a)| < ε n k =0 VËy h m S(z) liªn tôc trªn miÒn D. 2. TÝch ph©n tõng tõ NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc, +∞ D ∑ u n (z) = S(z) th× h m S(z) còng kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ. n»m gän trong miÒn D v n =0 +∞    +∞   ∑ u n (z ) dz = ∑  ∫ u n (z)dz  ∫  n =0 (4.1.3)    Γ  n =0  Γ  Chøng minh Theo tÝnh chÊt 1. h m S(z) liªn tôc v Γ tr¬n tõng khóc nªn kh¶ tÝch trªn Γ. b KÝ hiÖu s(Γ) = ∫ | γ ′(t ) | dt . Do tÝnh héi tô ®Òu a ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∀ n > N , ∀ z ∈ Γ ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε / s(Γ) Suy ra n ∫ S(z)dz − ∑ ∫ u n (z)dz ≤ ∫ S(z) − S (z) dz < ε n k =0 Γ Γ Γ +∞ D ∑u 3. §¹o h m tõng tõ NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) gi¶i tÝch trong miÒn D v (z) = S (z) th× n n =0 h m S(z) còng gi¶i tÝch trong miÒn D. +∞ D ∑ u (nk ) (z) = S ( k ) (z) ∀ k ∈ ∠, (4.1.4) n =0 Chøng minh Víi mäi z ∈ D, ∃ B(z, R) ⊂ D. KÝ hiÖu Γ = ∂B+ v G = D - B(z, R/2) khi ®ã u (ζ ) u (ζ ) G S (ζ ) +∞ gi¶i tÝch trong G v ∑ n ∀ n ∈ ∠, n = ζ−z n =0 ζ − z ζ−z Sö dông c«ng thøc (3.4.3) v c«ng thøc (4.1.3) 1 +∞ u n (ζ ) 1 S (ζ ) +∞ ∑ ∫ ζ − z dζ = 2πi ∫ ζ − z dζ S(z) = ∑ u n (z) = 2πi n =0 Γ n =0 Γ Theo ®Þnh lý vÒ tÝch ph©n Cauchy h m S(z) gi¶i tÝch trong miÒn D v do ®ã cã ®¹o h m mäi cÊp trªn miÒn D. KÕt hîp c«ng thøc (3.5.3) v c«ng thøc (4.1.3) u n (ζ ) S (ζ ) +∞ +∞ k! k! dζ = ∑ dζ = ∑ u (nk ) (z) ∫ 2 πi ∫ (ζ − z) k +1 ∀ k ∈ ∠, S(k)(z) = n = 0 2 πi Γ (ζ − z ) k +1 n =0 Γ . Trang 60 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 4. X¸c ®Þnh trªn biªn NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn miÒn D , gi¶i tÝch trong miÒn D +∞ +∞ ∂D D ∑ u n (z) = S(z) th× ∑u (z ) = S(z) . v n n =0 n =0 Chøng minh Theo nguyªn lý cùc ®¹i n n ∑u ∑u ∀ z ∈ D, ∃ a ∈ ∂D : | S(z) - (z) | ≤ | S(a) - (a ) | < ε k k k =0 k =0 §2. Chuçi luü thõa phøc • Chuçi h m phøc +∞ ∑c (z − a ) n = c0 + c1(z - a) + ... + cn(z - a)n + ... (4.2.1) n n =0 gäi l chuçi luü thõa t©m t¹i ®iÓm a. §Þnh lý Abel NÕu chuçi luü thõa héi tô t¹i ®iÓm z0 ≠ a th× nã héi tô tuyÖt ®èi v ®Òu trong mäi h×nh trßn B(a, ρ) víi ρ < | z0 - a |. Chøng minh +∞ Do chuçi sè phøc ∑ c n (z 0 − a ) n héi tô nªn lim cn(z0 - a)n = 0. Suy ra n → +∞ n =0 ∃ M > 0 sao cho ∀ n ∈ ∠, | cn(z0 - a)n | ≤ M Víi mäi z ∈ B(a, ρ) ®Æt q = | z - a | / | z0 - a | < 1 ta cã n z−a ∀ n ∈ ∠, ∀ z ∈ B(a, ρ), | cn(z - a) | = | cn(z0 - a) | ≤ M qn n n z0 − a +∞ ∑q n Do chuçi sè d−¬ng héi tô, theo tiªu chuÈn Weierstrass suy ra chuçi luü thõa héi tô n =0 tuyÖt ®èi v ®Òu. Hª qu¶ 1 NÕu chuçi luü thõa ph©n kú t¹i z1 th× nã ph©n kú trªn miÒn | z - a | > | z1 - a | Chøng minh Gi¶ sö tr¸i l¹i chuçi luü thõa héi tô t¹i z : | z - a | > | z1 - a |. Tõ ®Þnh lý suy ra chuçi luü thõa héi tô t¹i z1. M©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. HÖ qu¶ 2 Tån t¹i sè R ≥ 0 sao cho chuçi luü thõa héi tô trong ®−êng trßn | z - a | = R v . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 61
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ph©n kú ngo i ®−êng trßn | z - a | = R. Chøng minh Râ r ng chuçi luü thõa lu«n héi tô t¹i z = 0 v ph©n kú t¹i z = ∞. KÝ hiÖu R1 = Max{ρ ∈ 3+ : chuçi luü thõa héi tô trong | z - a | < ρ} R2 = Min{ρ ∈ 3+ : chuçi luü thõa ph©n kú ngo i | z - a | < ρ} Ta cã R1 = R2 = R • Sè R gäi l b¸n kÝnh héi tô cßn h×nh trßn B(a, R) gäi l h×nh trßn héi tô cña chuçi luü thõa. NÕu D l miÒn héi tô cña chuçi luü thõa th× ta lu«n cã B(a, R) ⊂ D ⊂ B (a, R) HÖ qu¶ 3 B¸n kÝnh héi tô ®−îc tÝnh theo mét trong c¸c c«ng thøc sau ®©y cn 1 R = lim = lim (4.2.2) c n +1 n → +∞ n → +∞ | cn | n Chøng minh LËp luËn t−¬ng tù chuçi luü thõa thùc. • KÝ hiÖu +∞ ∑c (z − a ) n víi z ∈ B(a, R) S(z) = (4.2.3) n n =0 KÕt hîp c¸c tÝnh chÊt cña h m luü thõa víi c¸c tÝnh chÊt cña chuçi héi tô ®Òu ta cã c¸c hÖ qu¶ sau ®©y. HÖ qu¶ 4 H m S(z) liªn tôc trong h×nh trßn B(a, R) Chøng minh Suy ra tõ tÝnh liªn tôc cña h m luü thõa v chuçi héi tô ®Òu. HÖ qu¶ 5 H m S(z) kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc, n»m gän trong B(a, R) +∞ ∑ c ∫ (z − a ) ∫ S(z)dz = n dz (4.2.4) n n =0 Γ Γ Chøng minh Suy ra tõ tÝnh kh¶ tÝch cña h m luü thõa v c«ng thøc tÝch ph©n tõng tõ. HÖ qu¶ 6 H m S(z) gi¶i tÝch trong h×nh trßn B(a, R) +∞ ∑ n(n − 1)...(n − k + 1)c (z − a ) n − k ∀ k ∈ ∠, S(k)(z) = (4.2.5) n n=k Chøng minh Suy ra tõ tÝnh gi¶i tÝch cña h m luü thõa v c«ng thøc ®¹o h m tõng tõ. . Trang 62 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 1 (k) HÖ qu¶ 7 ∀ k ∈ ∠, ck = S (a) (4.2.6) k! Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (4.2.5) víi z = a. +∞ 1 ∑z n VÝ dô Chuçi luü thõa héi tô ®Òu trong h×nh trßn B(0, 1) ®Õn h m S(z) = . 1− z n =0 Suy ra dζ +∞ z z +∞ 1 ∑ ∫ ζ n dζ = ∑ n + 1 z n +1 = ∫ 1 − ζ = - ln(1 - z) ∀ z ∈ B(0, 1), n =0 0 n =0 0 (k) +∞ 1 k! ∑ n(n − 1)...(n − k + 1)z n−k ∀ k ∈ ∠, =  = , ... 1 − z  (1 − z) k +1 n=k §3. Chuçi Taylor §Þnh lý Cho D = B(a, R), Γ = ∂D+ v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. f (ζ ) +∞ 1 ∑c ∫ ( ζ − a ) n +1 d ζ , n ∈ ∠ ∀ z ∈ D, f(z) = (z − a ) n víi cn = (4.3.1) n 2 πi Γ n =0 C«ng thøc (4.3.1) gäi l khai triÓn Taylor cña h m f t¹i ®iÓm a. Chøng minh Víi mäi z ∈ D cè ®Þnh. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy f (ζ ) 1 ∫ ζ − z dζ f(z) = (1) 2 πi Γ Víi ζ ∈ Γ ta cã q = | z - a | / | ζ - a | < 1 suy ra khai triÓn n n 1 z−a f (ζ ) f (ζ )  z − a  +∞ +∞ 1 1 1 ∑ζ −a ζ −a v ζ −z = ∑ ζ − a  ζ − a  (2) = =     z−a ζ−a ζ−z     1− n =0 n =0 ζ−a Do h m f liªn tôc nªn cã module bÞ chÆn trªn miÒn D suy ra n f (ζ )  z − a  Mn ∃ M > 0 : ∀ ζ ∈ Γ, ≤   q ζ −a ζ −a R   Theo tiªu chuÈn Weierstrass chuçi (2) héi tô ®Òu trªn Γ, do ®ã cã thÓ tÝch ph©n tõng tõ däc theo ®−êng cong Γ. TÝch ph©n tõng tõ c«ng thøc (1) suy ra c«ng thøc (4.3.1) . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 63
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ KÕt hîp c«ng thøc (4.2.6) v (4.3.1) ta cã 1 (k) ∀ k ∈ ∠, ck = f (a) (4.3.2) k! NhËn xÐt Theo ®Þnh lý Cauchy cã thÓ lÊy Γ l ®−êng cong bÊt k× ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc bao a v z, ®Þnh h−íng d−¬ng v n»m gän trong B(a, R). Th«ng th−êng, chóng ta khai triÓn h m f(z) trong h×nh trßn B(0, R) chuçi nhËn ®−îc gäi l chuçi Maclorinh t−¬ng tù nh− h m thùc. VÝ dô +∞ zn zn +∞ zn 1 ∑ (−1) n ∑ n! v e-z = 1. ez = 1 + z+…+ +… = n! 1! n! n =0 n =0 (−1) n 2 n +∞ ( −i ) n n 1 i 1 1 1 ∑ (2n)! z 2. cos z = (eiz + e-iz) = ∑ ( + )z n = 1 - z2 + z4 + ... = 2 n! n! 2 2! 4! n =0 T−¬ng tù khai triÓn 1 iz -iz 1 1 (e - e ), ch z = (ez + e-z), sh z = (ez - e-z) sin z = 2i 2 2 m(m − 1)...( m − n + 1) n m ( m − 1) 2 +∞ z +… = ∑ 3. (1 + z)m = 1 + mz + z n! 2! n =0 Víi m = 1 1 +∞ ∑ (−1) = 1 - z + z2 - … = nn z 1+ z n =0 Thay z b»ng z2 +∞ 1 = 1 - z2 + z4 - … = ∑ ( −1) n z 2 n 1 + z2 n =0 Suy ra dζ z (−1) n n +1 +∞ z +∞ ∑ n + 1z ∑ (−1) n ∫ ζ n dζ = ∫1+ ζ = ln(1 + z) = n =0 n =0 0 0 (−1) n 2 n +1 z +∞ +∞ dζ z = ∑ (−1) n ∫ ζ 2 n dζ = ∑ 2n + 1z ∫ 1 + ζ 2 n =0 arctanz = n =0 0 0 §4. Kh«ng ®iÓm cña h m gi¶i tÝch §Þnh lý Cho h m f gi¶i tÝch trong miÒn D v d y sè (zn)n∈∠ héi tô trªn miÒn D ®Õn ®iÓm a ∈ D. NÕu ∀ n ∈ ∠, f(zn) = 0 th× ∃ R > 0 sao cho ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0. . Trang 64 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.