intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình phân tích các tính chất của hàm điều hòa có đạo hàm riêng trong tập số phức p1

Chia sẻ: Fdsf Gfjy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
74
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải tích trong miền D sao cho u = Ref hoặc u = Imf. Chứng minh Do h m u điều ho trong miền D đơn liên nên dạng vi phân ω = − u ′y dx + u ′ dy xl dạng vi phân đúng. Suy ra tích phân của nó không phụ thuộc v o đ−ờng lấy tích phân. Cố định a ∈ D với mọi z ∈ D, h m v(x, y) = ∫ − u ′y dx + u ′x dy

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phân tích các tính chất của hàm điều hòa có đạo hàm riêng trong tập số phức p1

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W Giáo trình phân tích các tính chất của hàm điều O O N N y y bu bu to to k k hòa có đạo hàm riêng trong tập Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc số phức lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k gi¶i tÝch trong miÒn D sao cho u = Ref hoÆc u = Imf. Chøng minh • Do h m u ®iÒu ho trong miÒn D ®¬n liªn nªn d¹ng vi ph©n ω = − u ′y dx + u ′ dy x l d¹ng vi ph©n ®óng. Suy ra tÝch ph©n cña nã kh«ng phô thuéc v o ®−êng lÊy tÝch ph©n. Cè ®Þnh a ∈ D víi mäi z ∈ D, h m z v(x, y) = ∫ − u ′y dx + u ′x dy (3.7.2) a thuéc líp C2 trong miÒn D v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann v ′ = - u ′y v v ′y = u ′ x x Suy ra h m phøc f(z) = u(x, y) + iv(x, y) l gi¶i tÝch trong miÒn D v u = Ref. • LËp luËn t−¬ng tù ®Ó t×m h m f(z) sao cho u = Imf. VÝ dô Cho h m u = x2 - y2 t×m h m w = f(z) gi¶i tÝch sao cho u = Ref KiÓm tra trùc tiÕp h m u l h m ®iÒu ho u ′ = 2x = v ′y , u ′y = - 2y = - v ′x v ∆u = u ′′ + u ′yy = 0 ′ x xx T×m h m v ®iÒu ho liªn hîp víi h m u v(x, y) = ∫ v ′ dx = ∫ 2ydx = 2xy + ϕ(y) x §¹o h m theo biÕn y v ′y = 2x + ϕ’(y) ≡ 2x ⇒ ϕ’(y) = 0 ⇒ ϕ(y) = C Suy ra h m phøc f(z) = (x2 - y2) + i(2xy + C) l h m gi¶i tÝch cÇn t×m. HÖ qu¶ 1 H m ®iÒu ho cã ®¹o h m riªng mäi cÊp v c¸c ®¹o h m riªng cña nã còng l h m ®iÒu ho . Chøng minh Theo c¸c ®Þnh lý ë trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Khi ®ã ®¹o h m c¸c cÊp cña h m f còng l h m gi¶i tÝch v cã phÇn thùc, phÇn ¶o l c¸c ®¹o h m riªng cña h m u. HÖ qu¶ 2 H m ®iÒu ho ®¹t trÞ trung b×nh t¹i t©m cña h×nh trßn n»m gän trong miÒn D. 2π 1 ∫ u(a + Re )dt ∀ R > 0 : B(a, R) ⊂ D, u(a) = it (3.7.3) 2π 0 Chøng minh T−¬ng tù nh− trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Theo c«ng thøc (3.6.1) víi n = 0 2π 1 ∫ Re f (a + Re )dt it u(a) = Ref(a) = 2π 0 HÖ qu¶ 3 H m u ®iÒu ho ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn ∂D. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 55
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chøng minh Sö dông c«ng thøc (3.7.3) v lËp luËn t−¬ng tù nh− chøng minh nguyªn lý cùc ®¹i. HÖ qu¶ 4 H m ®iÒu ho v bÞ chÆn trªn to n tËp sè phøc l h m h»ng. Chøng minh T−¬ng tù nh− trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Tõ gi¶ thiÕt h m u bÞ chÆn v c«ng thøc (3.7.4) d−íi ®©y suy ra h m f bÞ chÆn. Theo ®Þnh lý Liouville suy ra h m f l h m h»ng. Suy ra h m u l h m h»ng. C«ng thøc Schwartz Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y) gi¶i tÝch trªn miÒn D v B(0, R) ⊂ D. Re i.t + a 2π 1 2π ∫ ∀ a ∈ B(0, R), f(a) = u(Re i.t ) i.t dt + iv(0) (3.7.4) Re − a 0 Chøng minh Víi mäi a ∈ B(0, R) 2π 2π Re i.t 1 f(z) 1 dt v f(0) = 1 ∫ f(Re i.t )dt 2 πi ∂∫ z - a 2π ∫ f(Re i.t ) i.t dz = f(a) = Re − a 2π 0 B 0 R2 Do a ∈ B(0, R) nªn a1 = ∉ B(0, R) suy ra a 2π ae i.t 1 f(z) 1 2 πi ∂∫ z - a 1 2π ∫ i.t dz = 0= f(Re ) i.t dt ae − R B 0 BiÕn ®æi 2π 2π 2π i.t 1 f(Re i.t )dt - 1 f(Re i.t ) ae dt = 1 ∫ f(Re i.t ) i.t R dt - ∫ ∫ f(0) = ae − R ae − R 2π 0 2π 0 2π 0 i.t 2π +R 2π 1 i.t 1 i.t ae -R ∫ f(Re ) ae i.t − R dt + 2 π ∫ f(Re ) ae i.t − R dt i.t 0= 2π 0 0 Suy ra 2π 2π f(0) = 1 ∫ f(Re i.t ) Re -i.t + a dt v f(0) = 1 ∫ f(Re i.t ) Re i.t + a dt -i.t i.t Re − a Re − a 2π 0 2π 0 2π f(a) - iv(0) = f (a ) − 1 [f (0) − f (0)] = 1 ∫ u(Re i.t ) Re i.t + a dt i.t Re − a 2 2π 0 •H m S(a, t) = Re i.t + a i.t Re − a gäi l nh©n Schwartz. Theo c«ng thøc (3.7.4) nÕu biÕt gi¸ trÞ trªn biªn cña phÇn thùc u v gi¸ trÞ v(0) th× suy ra ®−îc gi¸ trÞ cña h m f bªn trong h×nh trßn B(0, R). BiÕn ®æi Trang 56 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 2 R Im(ae − it ) R 2 − | a |2 +i S(a, t) = | Re it + a | 2 | Re it − a | 2 Hm P(a, t) = ReS(a, t) = R − | a | 2 2 2 | Re + a | it gäi l nh©n Poisson. Tõ c«ng thøc (3.7.4) suy ra 2π u(a) = Ref(a) = 1 ∫ u(Re it ) R − | a | 2 dt 2 2 (3.7.5) 2π 0 | Re it + a | gäi l c«ng thøc Poisson. Sau n y chóng ta cã thÓ dïng c«ng thøc (3.7.5) ®Ó t×m nghiÖm cña b i to¸n Dirichlet trong h×nh trßn. B i tËp ch−¬ng 3 • Tham sè ho¸ ®−êng cong ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. ∫ e dz víi Γ l cung parabole y = x3, 1 ≤ x ≤ 2 z 1. Γ ∫ tgzdz víi Γ l cung parabole x = y2, 0 ≤ y ≤ 1 2. Γ ∫ z Im zdz víi Γ l 3. ®−êng gÊp khóc nèi c¸c ®iÓm 1, i, -1 v -i Γ ∫ (z + zz )dz víi Γ l cung trßn | z | = 1, 0 ≤ arg z ≤ π 2 4. Γ z ∫ z − 1 dz víi Γ l ®−êng ellipse x2 + 4y2 = 4 5. Γ • Sö dông ®Þnh lý Cauchy ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. ∫ z sin zdz víi Γ l ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm 0 v πi 6. Γ ∫ (z − 1) cos zdz víi Γ l ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm π, πi 7. Γ dz ∫ z − 1 víi Γ l 8. ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm -1 v 1 + i Γ ∫ | z | zdz víi Γ l biªn ®Þnh h−íng cña miÒn D = { | z | = 1, Im z ≥ 0 } 9. Γ z ∫ | z | dz víi Γ l biªn ®Þnh h−íng cña miÒn D = {1 < | z | < 2, Im z ≥ 0 } 10. Γ Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 57
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k dz ∫z víi Γ l ®−êng cong kÝn kh«ng ®i qua ®iÓm ±i 11. +1 2 Γ • Sö dông c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. z 2 dz ∫ z − 2i víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1 v | z | = 3 12. Γ dz ∫z víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1, | z - 2i | = 1 v | z + 2i | = 1 13. +4 2 Γ dz ∫z víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1, | z - 2 | = 1 v | z | = 3 14. + 2z 2 Γ zshzdz ∫z víi Γ l ®−êng cong kÝn kh«ng ®i qua ®iÓm ±i 15. +1 2 Γ • TÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. cos zdz 16. ∫ 2 víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 Γ z −1 sin zdz ∫z víi Γ l ®−êng trßn | z | = 3 17. − 2z 2 Γ ze z dz ∫ (z + i) 3 víi Γ l ®−êng trßn | z + i | = 1 18. Γ shzdz ∫ (z − 1) víi Γ l ®−êng trßn | z - 1 | = 1 19. (z + 3) 2 Γ ln( z + 3 ) dz víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 ∫ 20. ( z 2 − 1) 3 Γ z sin z ∫ (z dz víi Γ l ®−êng ellipse 4x2 + y2 - 2y = 0 21. + 1) 2 3 Γ • T×m h m gi¶i tÝch biÕt phÇn thùc, phÇn ¶o. y u(x, y) = x3 - 3xy2 u(x, y) = x2 - y2 + 5x + y - 22. 23. x + y2 2 x x 24. u(x, y) = arctg 25. u(x, y) = - 2y x + y2 2 y v(x, y) = 2x2 - 2y2 + x 26. v(x, y) = 2xy + 3 27. y v(x, y) = ln(x2 + y2) + x - 2y v(x, y) = 3 + x2 - y - 28. 29. x( x + y 2 ) 2 Trang 58 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 4 CHUçI h m PHøC v ThÆng d− §1. Chuçi h m phøc • Cho d y h m (un : D → ∀)n∈∠. Tæng v« h¹n +∞ ∑u (z) = u0(z) + u1(z) + ... + un(z) + ... (4.1.1) n n =0 +∞ ∑u gäi l chuçi h m phøc. Sè phøc a gäi l ®iÓm héi tô nÕu chuçi sè phøc (a ) héi tô. n n =0 TËp c¸c ®iÓm héi tô gäi l miÒn héi tô v th−êng kÝ hiÖu l D. +∞ n Trªn miÒn héi tô h m S(z) = ∑ u n (z) gäi l tæng, h m Sn(z) = ∑ u k (z) gäi l tæng riªng n =0 k =0 thø n v h m Rn(z) = S(z) - Sn(z) gäi l phÇn d− thø n cña chuçi h m phøc. +∞ D ∑u (z) = S (z) nÕu Chuçi h m phøc gäi l héi tô ®Òu trªn miÒn D ®Õn h m S(z), kÝ hiÖu n n =0 ∀ ε > 0, ∃ N > 0 sao cho ∀ z ∈ D, ∀ n ≥ N ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε +∞ ∑a Tiªu chuÈn Weierstrass NÕu cã chuçi sè d−¬ng héi tô sao cho n n =0 ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, | un(z) | ≤ an (4.1.2) th× chuçi h m phøc héi tô ®Òu trªn miÒn D. • Sau n y chóng ta xem c¸c chuçi héi tô ®Òu còng tho¶ m n tiªu chuÈn Weierstrass. Chuçi h m phøc héi tô ®Òu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. +∞ D ∑ u n (z) = S(z) th× h m 1. TÝnh liªn tôc NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn miÒn D v n =0 S(z) còng liªn tôc trªn miÒn D. Chøng minh Víi mäi a ∈ D v ε > 0 bÐ tuú ý Do tÝnh héi tô ®Òu ∃ N > 0 : ∀ n > N , ∀ z ∈ D ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε / 3 v | S(a) - Sn(a) | < ε / 3 Do tÝnh liªn tôc Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 59
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2