intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình phân tích các tính chất của tích phân phức và quá trình hình thành công thức tính tích phân cauchy p5

Chia sẻ: Fewte Dsafw | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
176
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hệ quả 2 Cho f(z) l phân thức hữu sao cho bậc của mẫu số lớn hơn bậc tử số ít nhất l một đơn vị,Tham số hoá cung Γρ : z = b + ρeit với t ∈ [π, 0]. Tính trực tiếp c −1 ∫ z − b dz = - πiResf(b) Γρ Thay (2) v (3) v o (1) suy ra công thức (4.9.1) +∞

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phân tích các tính chất của tích phân phức và quá trình hình thành công thức tính tích phân cauchy p5

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∫ g(z)dz ∃ M > 0 : ∀ z ∈ Γρ , | g(z) | < M ≤ Mπρ ρ→0 → 0  ⇒ (2) Γρ Tham sè ho¸ cung Γρ : z = b + ρeit víi t ∈ [π, 0]. TÝnh trùc tiÕp c −1 ∫ z − b dz = - πiResf(b) (3) Γρ Thay (2) v (3) v o (1) suy ra c«ng thøc (4.9.1) +∞ x −1 ∫ (x VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = dx + 1) 2 2 −∞ z −1 Ph©n thøc f(z) = cã cùc ®iÓm kÐp a = i thuéc nöa mÆt ph¼ng trªn (z + 1) 22 ′  z −1   1 2(z − 1)  1  ( z + i ) 2 − (z + i ) 3  = 4 i Resf(i) = lim = z →i  ( z + i ) 2      z =i π I = 2πiResf(i) = - Suy ra 2 HÖ qu¶ 2 Cho f(z) l ph©n thøc h÷u sao cho bËc cña mÉu sè lín h¬n bËc tö sè Ýt nhÊt l mét ®¬n vÞ, cã c¸c cùc ®iÓm ak víi k = 1...p n»m trong nöa mÆt ph¼ng trªn v cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n bj víi j = 1...q n»m trªn trôc thùc. KÝ hiÖu g(z) = f(z)eiαz ta cã +∞ p q dx = 2πi ∑ Re sg(a k ) + πi ∑ Re sg(b j ) iαx ∫ f (x)e (4.9.4) k =1 j=1 −∞ Chøng minh LËp luËn t−¬ng tù nh− chøng minh hÖ qu¶ 1. +∞ +∞ e ix sin x 1 VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = ∫ dx = Im ∫ dx x 2 −∞ x 0 1 cã cùc ®iÓm ®¬n b = 0 thuéc trôc thùc v Resg(0) = lim eiz = 1 Ph©n thøc f(z) = z z →0 π 1 I = Im(πi) = Suy ra 2 2 HÖ qu¶ 3 Cho ®−êng cong ΓR = { | z | = R, Rez ≤ α } v h m f gi¶i tÝch trong nöa mÆt ph¼ng D = { Rez < α } ngo¹i trõ h÷u h¹n ®iÓm bÊt th−êng v lim f(z) = 0. z →∞ λz ∫ f (z)e ∀ λ > 0, lim dz = 0 (4.9.5) R → +∞ ΓR Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 75
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh lý b»ng c¸ch quay mÆt ph¼ng mét gãc π/2. HÖ qu¶ 4 Víi c¸c gi¶ thiÕt nh− hÖ qu¶ 3, kÝ hiÖu g(z) = eλzf(z) α + i∞ 1 ∑ Re sg(a λz ∫i∞e f (z)dz = ∀ λ > 0, I(λ) = ) (4.9.6) 2πi α − k Re a k < α Chøng minh KÝ hiÖu Γ = ΓR ∪ [α - iβ, α + iβ] víi R ®ñ lín ®Ó bao hÕt c¸c cùc ®iÓm cña h m f(z) Theo c«ng thøc (4.7.6) α + iβ 1 1 1 ∑ Re sg(a λz ∫ e f (z)dz = 2πi λz ∫e λz ∫ f (z)e dz + 2πi ) f (z )dz = k 2 πi Γ Re a k < α ΓR α − iβ Suy ra α + iβ 1 ∑ Re sg(a λz ∫ f (z)e iλz ∫iβe f (z)dz = )- dz k 2 πi α − Re a k < α ΓR Cho β → +∞ v sö dông hÖ qu¶ 3 chóng ta nhËn ®−îc c«ng thøc (4.9.6) B i tËp ch−¬ng 4 1. T×m miÒn héi tô v tæng cña c¸c chuçi sau ®©y. +∞ −2 +∞ ni n 2 n 1 ∑ ( z + i ) n +1 ∑ (n + 1)i ∑ (z − 2) n n +2 (z − i ) n a. c. b. n =1 n = −∞ n =0 2. T×m miÒn héi tô cña chuçi Marlaurin cña c¸c h m sau ®©y. 3z + 1 z 2 − 2 z + 19 z a. b. c. (z − 3) 2 (2 z + 5) 4 + z2 ( z − 2) 3 d. (1 - z)e-2z e. sin3z f. ln(1 + z2) 3. T×m miÒn héi tô cña chuçi Taylor t¹i ®iÓm a cña c¸c h m sau ®©y. 1 1 1 a. ,a=1 b. 2 ,a=3 c. , a = 3i z−2 1− z z − 6z + 5 1 2 f. e z − 4 z +1 , a = 2 d. sin(z2 + 4z), a = -2 e. 2 , a = 2 z Trang 76 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 4. X¸c ®Þnh cÊp kh«ng ®iÓm cña c¸c h m sè sau ®©y. sin 3 z a. (z2 + 9)(z2 + 4)5 b. (1 - ez)(z2 - 4)3 c. z 5. T×m h m f gi¶i tÝch t¹i z = 0 v tho¶ m n n2 + 1 πn 1 1 1 1 , n ∈ ∠* b. f(± , n ∈ ∠* c. f( ) = sin , n ∈ ∠* a. f( )= )= 3n + 1 4 n n n 2 n 6. T×m miÒn héi tô cña chuçi Laurent t¹i ®iÓm a cña c¸c h m sau ®©y. 1 1 ,a=0v a=∞ , a = 0, a = 1 v a = ∞ a. b. z−2 z(1 − z) 1 z 2 − 4z c. z2 e z , a = 0 v a = ∞ d. cos ,a=2 ( z − 2) 2 7. T×m chuçi Laurent trong cña h m f trong c¸c miÒn D sau ®©y. z 2 − 2z + 5 1+ z , 1
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k e z dz zdz ∫ z2 + 4 , Γ : | z | = 3 ∫ (z − 1)(z − 2) , Γ : | z - 2 | = 2 a. b. Γ Γ dz dz ∫z ∫ (z − 1) , Γ : x2 + y2 = 2x + 2y - 1 , Γ : x 2 + y2 = 2x c. d. +1 (z + 1) 4 2 2 Γ Γ dz dz ∫ (z − 3)(z ∫z ,Γ:|z|=2 , Γ: |z|=2 e. f. + 1) +1 5 10 Γ Γ n  1 dz ∫  sin z  ∫z dz , Γ : | z | = 1 , Γ : 4x 2 + 2y2 = 3 g. h. +1 3   Γ Γ 11. TÝnh c¸c tÝch ph©n x¸c ®Þnh sau ®©y π 2π π dϕ dϕ dϕ ∫ 13 + 12 sin ϕ a. ∫ b. ∫ c. 1 + cos ϕ 0 (1 + cos ϕ) 2 −π 0 12. T×m sè nghiÖm cña c¸c ®a thøc trong miÒn D sau ®©y. z5 + 2z2 + 8z + 1, | z | < 1 v 1 ≤ | z | 0 c. 2z4 - 3z3 + 3z2 - z + 1, Rez > 0 v Imz > 0 d. 13. TÝnh c¸c tÝch ph©n suy réng sau ®©y. +∞ +∞ +∞ x2 + 1 dx dx a. ∫ 2 b. ∫ 4 ∫ (x dx c. − ∞ ( x + 9) −∞ x + 1 + 1)(x 2 + 4) 2 2 0 +∞ +∞ +∞ dx x cos dx x sin x ∫ (x ∫ (x ∫x d. e. f. dx + 1) n + 4) 2 − 2x + 10 2 2 2 −∞ −∞ 0 +∞ 2 +∞ +∞ 2 x 2 ln x  sin x  ln x g. ∫  h. ∫ i. ∫  dx dx dx 0 1+ x 0 (1 + x ) 2 22 x − ∞ x(1 − x ) 1 1 dx ∫ ∫ j. k. dx x +1 (1 − x)(1 + x) 2 3 −1 0 Trang 78 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 5 BiÕn ®æi fourier v BiÕn ®æi laplace §1. TÝch ph©n suy réng • Trong ch−¬ng n y chóng ta kÝ hiÖu F(3, ∀) = { f : 3 → ∀} l ®¹i sè c¸c h m biÕn thùc, trÞ phøc +∞ ∫ | f (t) | dt l || f ||∞ = SupR| f(t) | v || f ||1 = c¸c chuÈn trªn F(3, ∀) −∞ L∞ = { f ∈ F(3, ∀) : || f ||∞ ≤ +∞ } l ®¹i sè c¸c h m cã module bÞ chÆn C0 = { f ∈ C(3, ∀) : lim f(t) = 0 } l ®¹i sè c¸c h m liªn tôc, dÇn vÒ kh«ng t¹i ∞ t →∞ L = { f ∈ F(3, ∀) : || f ||1 ≤ +∞ } l ®¹i sè c¸c h m kh¶ tÝch tuyÖt ®èi trªn 3 1 Chóng ta ® biÕt r»ng h m kh¶ tÝch tuyÖt ®èi l liªn tôc tõng khóc, dÇn vÒ kh«ng t¹i v« cïng v bÞ chÆn trªn to n 3. Tøc l L1 ⊂ CM0 ⊂ L∞ • Cho kho¶ng I ⊂ 3 v h m F : I × 3 → ∀, (x, t) α F(x, t) kh¶ tÝch trªn 3 víi mçi x ∈ I cè ®Þnh. TÝch ph©n suy réng +∞ ∫ F(x, t )dt víi x ∈ I f(f) = (5.1.1) −∞ gäi l bÞ chÆn ®Òu trªn kho¶ng I nÕu cã h m ϕ ∈ L1 sao cho ∀ (x, t) ∈ I × 3,  F(x, t)  ≤ | ϕ(t) | §Þnh lý TÝch ph©n suy réng bÞ chÆn ®Òu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1. NÕu h m F(x, t) liªn tôc trªn miÒn I × 3 th× h m f(x) liªn tôc trªn kho¶ng I +∞ ∂F ∂F ∫ ∂x (x, t )dt liªn tôc trªn miÒn I × 3 v tÝch ph©n 2. NÕu c¸c h m F(x, t), còng bÞ ∂x −∞ chÆn ®Òu trªn kho¶ng I th× h m f(x) cã ®¹o h m trªn kho¶ng I +∞ +∞ ∂F d dx −∫ ∫ ∂x (x, t )dt ∀ x ∈ I, F(x, t )dt = ∞ −∞ 3. NÕu h m F(x, t) liªn tôc trªn I × 3 th× h m f(x) kh¶ tÝch ®Þa ph−¬ng trªn kho¶ng I +∞ b   b ∫  ∫ F(x, t )dx dt ∫ f (x)dx = ∀ [a, b] ⊂ I,     −∞ a a • KÝ hiÖu Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 79
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2