GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 6

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

82
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CáC ĐặC TRƯNG THốNG KÊ CủA SóNG GIó 6.1 Các phương pháp thống kê dùng mô tả sóng ngẫu nhiên 6.1.1 Sóng mặt đại dương như là một hàm thống kê Tốc độ gió là một biến ngẫu nhiên cả về quy mô thời gian ngắn và dài. Trong một quy mô ngắn, một vài phút, tốc độ gió tại một điểm có một giá trị và hướng trung bình nào đó, nhưng nó thay đổi xung quanh các giá trị này một cách ngẫu nhiên, không dự đoán được. Tuy nhiên, trong một khoảng thời gian ngắn thì các đặc...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 6

Ch−¬ng 6 C¸C §ÆC TR¦NG THèNG K£ CñA SãNG GIã 6.1 C¸c ph−¬ng ph¸p thèng kª dïng m« t¶ sãng ngÉu nhiªn 6.1.1 Sãng mÆt ®¹i d−¬ng nh− lµ mét hµm thèng kª Tèc ®é giã lµ mét biÕn ngÉu nhiªn c¶ vÒ quy m« thêi gian ng¾n vµ dµi. Trong mét quy m« ng¾n, mét vµi phót, tèc ®é giã t¹i mét ®iÓm cã mét gi¸ trÞ vµ h−íng trung b×nh nµo ®ã, nh−ng nã thay ®æi xung quanh c¸c gi¸ trÞ nµy mét c¸ch ngÉu nhiªn, kh«ng dù ®o¸n ®−îc. Tuy nhiªn, trong mét kho¶ng thêi gian ng¾n th× c¸c ®Æc tr−ng thèng kª ë mét møc ®é nµo ®ã lµ kh«ng ®æi. Do vËy mµ ta cã thÓ coi ®ã lµ mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn dõng. C¸c biÕn ®æi ng¾n h¹n nµy cã thÓ ®−îc m« t¶ mét c¸ch thèng kª. C¸c quan tr¾c cho thÊy r»ng biªn ®é cña vËn tèc giã t¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã mét c¸ch gÇn ®óng tu©n theo ph©n bè Gauss (xem H×nh 6.1) Trªn mét quy m« thêi gian dµi h¬n, c¸c gi¸ trÞ trung b×nh trong kho¶ng thêi gian ng¾n tù th©n chóng lµ biÕn ®æi. ë ®©y, ta cã thÓ ph©n biÖt c¸c quy m« thêi gian vµi giê, vµi ngµy, vµi tuÇn, vµi th¸ng, mÊy mïa, mÊy n¨m hay mÊy thËp kû v.v.... ë quy m« thêi gian nhiÒu nhÊt lµ vµi ngµy, cã thÓ dù b¸o ®−îc vËn tèc giã trung b×nh ng¾n h¹n b»ng mét m« h×nh khÝ quyÓn víi sè liÖu ®Çu vµo lµ tr¹ng th¸i thêi tiÕt hiÖn t¹i (dù b¸o thêi tiÕt). Trong ngµnh kü thuËt ngoµi kh¬i vµ bê biÓn, ng−êi ta th−êng ph¶i xem xÐt nh÷ng hiÖu øng tÝch lòy nhiÒu n¨m hay nhiÒu thËp kû (nh− h×nh th¸i bê biÓn, sù ®æ vì cña c¸c c«ng tr×nh) hay c¸c sù kiÖn ®Æc biÖt cã x¸c suÊt x¶y ra nhá trong kho¶ng thêi gian nhiÒu n¨m, nh− lµ tuæi thä thiÕt kÕ cña c«ng tr×nh. Trong c¶ hai tr−êng hîp quy m« thêi gian lµ vµi thËp kû. Víi quy m« thêi gian ®ã, vËn tèc giã trung b×nh ng¾n h¹n lµ kh«ng thÓ dù b¸o ®−îc mét c¸ch x¸c ®Þnh v× ta kh«ng biÕt r»ng khi nµo th× mét c¬n b·o víi mét c−êng ®é vµ h×nh th¸i nµo ®ã x¶y ra, hoÆc lµ thËm chÝ nã cã x¶y ra hay kh«ng. Trªn mét quy m« thêi gian dµi ®ã, trung b×nh ng¾n h¹n cña vËn tèc giã cã thÓ ®−îc xö lý nh− lµ mét biÕn ngÉu nhiªn cã c¸c tÝnh chÊt thèng kª nhÊt thiÕt ph¶i ®−îc tÝnh to¸n tõ c¸c quan tr¾c (c¸c sè liÖu chÕ ®é giã). Trong nh÷ng tr−êng hîp nµy ta nãi tíi c¸c ®Æc tr−ng thèng kª dµi h¹n. Nh÷ng ph−¬ng ph¸p ph©n lo¹i t−¬ng tù cã thÓ ®−îc ¸p dông cho sãng giã. Sãng giã trong biÓn cã thÓ ®−îc coi lµ c¸c qu¸ tr×nh dõng trong mét kho¶ng thêi gian cho tíi kho¶ng chõng nöa giê. Trªn mét quy m« thêi gian dµi h¬n, nh÷ng biÕn ®æi vÒ vËn tèc giã, sù thay ®æi cña mùc n−íc triÒu hay dßng triÒu cã thÓ thay ®æi c¸c ®Æc tr−ng cña sãng giã. 66
Hµm ph©n bè Gauss BiÓu ®å Tèc ®é giã (m/s) H×nh 6.1 Ph©n bè x¸c suÊt cña vËn tèc giã tøc thêi t¹i ®é cao 12 m trªn mùc n−íc biÓn (MSL), so s¸nh víi mét hµm Gauss pdf (Theo Battjes, 1984) HiÖn t¹i, chóng ta h·y bá qua c¸c tÝnh chÊt kh«ng gian cña mÆt biÓn vµ chØ xem xÐt dao ®éng cña mÆt n−íc ζ (t ) ®èi víi mÆt n−íc biÓn trung b×nh ng¾n h¹n t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh. H×nh 6.2 cho ta mét sè ghi nhËn cña ζ (t ) trong mét sè tr−êng hîp biÕn ®æi nhiÒu, tõ sãng giã víi quy m« hÑp cña phßng thÝ nghiÖm tíi sãng lõng ®¹i d−¬ng. C¸c ghi chÐp nµy cã mét ®iÓm chung lµ chóng cho thÊy mét bé phËn cña c¸c dao ®éng biÕn ®æi theo d¹ng vµ ®é cao, vµ kh«ng bao giê lÆp l¹i mét c¸ch chÝnh x¸c. Bëi v× mét tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sãng bÒ mÆt lµ tÝnh ngÉu nhiªn cña nã, viÖc dù b¸o sãng chØ cã thÓ thùc hiÖn ®−îc b»ng c¸ch ph©n tÝch thèng kª mÆt biÓn qua ba miÒn: thêi gian, tÇn sè vµ x¸c suÊt. Trong miÒn thêi gian, c¸c hµm tù t−¬ng quan vµ t−¬ng quan chÐo ®−îc tÝnh tõ c¸c ghi chÐp sãng. Hµm tù t−¬ng quan lµ th−íc ®o cña mèi liªn hÖ gi÷a hai gi¸ trÞ ζ (t ) vµ ζ (t + τ ) cña biÕn ngÉu nhiªn ζ . Tõ chuçi thêi gian cña mét ®¹i l−îng cho tr−íc, nh− bÒ mÆt n−íc, vËn tèc quü ®¹o hay ¸p suÊt, c¸c moment thèng kª ®Çu tiªn cã thÓ ®−îc tÝnh to¸n mét c¸ch trùc tiÕp. Ph©n tÝch tÇn sè ¸p dông chñ yÕu cho viÖc ®¸nh gi¸ sù ph©n bè cña n¨ng l−îng sãng theo tÇn sè vµ h−íng. Cã hai ph−¬ng ph¸p t×m phæ tÇn sè. Ph−¬ng ph¸p truyÒn thèng lµ dùa trªn viÖc biÕn ®æi Fourier cña hµm t−¬ng quan. C¬ së lý thuyÕt cña phÐp biÕn ®æi nµy ®−îc cho bëi ®Þnh lý Wiener-Khinchine. ViÖc biÕn ®æi hµm t−¬ng quan cho ta hµm mËt ®é phæ cña mét biÕn nµo ®ã. Mét c¸ch biÓu hiÖn phæ tæng hîp cña sãng mÆt cã thÓ cã ®−îc khi mµ ph©n 67
bè n¨ng l−îng theo tÇn sè còng nh− h−íng ®−îc tÝnh ®Õn. Phæ ®¹t ®−îc ®−îc gäi lµ phæ tÇn sè vµ h−íng. H×nh 6.2 Ghi chÐp cña mÆt n−íc khi cã sãng (Wiegel, 1964) Ph−¬ng ph¸p thø hai lµ chuyÓn mét c¸ch trùc tiÕp chuçi thêi gian thµnh c¸c thµnh phÇn 68
Fourier. Kü thuËt nµy, th−êng ®−îc gäi lµ biÕn ®æi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform, FFT), ®−îc Cooley and Tukey (1965) ®−a ra lÇn ®Çu tiªn. Nã gi¶m bít sè l−îng c¸c tÝnh to¸n tõ mét sè tû lÖ víi n 2 (n lµ sè l−îng c¸c mÉu) thµnh mét sè gÇn tû lÖ víi n log n vµ ®· t¹o ra mét cuéc c¸ch m¹ng trong ph©n tÝch phæ c¸c chuçi thêi gian. NÕu sãng lan truyÒn trong mét m«i tr−êng kh«ng ®ång nhÊt, phæ cña sãng biÕn ®æi theo kh«ng gian vµ thêi gian. §iÒu nµy chñ yÕu lµ do t−¬ng t¸c cña sãng víi tr−êng giã, dßng ch¶y biÕn ®æi vµ ®é s©u n−íc. ViÖc biÕn ®æi chËm ch¹p cña phæ ®−îc biÓu diÔn b»ng ph−¬ng tr×nh vËn chuyÓn bøc x¹ (hay ph−¬ng tr×nh vËn chuyÓn hay ph−¬ng tr×nh ®éng n¨ng). Trong miÒn x¸c suÊt, c¸c th«ng sè sãng cô thÓ nh− lµ täa ®é cña c¸c dÞch chuyÓn bÒ mÆt t¹i mét thêi ®iÓm cho tr−íc, biªn ®é sãng, ®é cao sãng, chu kú sãng v.v... ®−îc coi lµ c¸c sù kiÖn ngÉu nhiªn c¬ b¶n. C¸ch tiÕp cËn b»ng x¸c suÊt lµ dÔ hiÓu khi ta xö lý c¸c sè liÖu ®· ®−îc sè ho¸. C¸c sè liÖu ®· ®−îc sè ho¸ cña mét th«ng sè nµo ®ã t¹o ra mét tËp hîp c¸c thÓ hiÖn ngÉu nhiªn cña mét biÕn ngÉu nhiªn, khi mµ chuçi thêi gian cña biÕn ®−îc xem xÐt. KÕt qu¶ cuèi cïng cña ph−¬ng ph¸p tiÕp cËn nµy ®−îc biÓu hiÖn b»ng c¸c hµm mËt ®é x¸c suÊt, c¸c hµm ph©n bè vµ c¸c moment thèng kª. Cã thÓ thu ®−îc ®Æc tr−ng thèng kª ®¬n gi¶n nhÊt khi mµ ta gi¶ thiÕt r»ng tr−êng sãng quan tr¾c lµ tæng cña mét sè l−îng rÊt lín c¸c sãng ®éc lËp vÒ mÆt ®éng lùc häc. §©y lµ c¬ së cña m« h×nh Gauss, mµ nã chØ cÇn hai moment ®Çu tiªn lµ ®ñ ®Ó m« t¶ tr−êng sãng mét c¸ch thèng kª hoµn chØnh. Tuy nhiªn, trong ®¹i d−¬ng thùc, do cã t−¬ng t¸c phi tuyÕn cña c¸c thµnh phÇn phæ vµ c¸c qu¸ tr×nh tiªu t¸n n¨ng l−îng, cã thÓ thÊy mét sù kh¸c biÖt lín so víi m« h×nh Gauss. Sãng ®¹i d−¬ng trong rÊt nhiÒu tr−êng hîp cÇn ®−îc xem lµ c¸c qu¸ tr×nh thèng kª phi Gauss. 6.1.2 C¸c ®Þnh nghÜa vµ kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ph©n tÝch chuçi thêi gian a) BiÕn thèng kª Nh− ®· tr×nh bµy tr−íc, mùc n−íc t¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã sÏ ®−îc coi lµ mét biÕn thèng kª ζ . Hµm mËt ®é x¸c suÊt p (ζ ) , ®Þnh nghÜa lµ x¸c xuÊt ®Ó ζ cã ®−îc mét gi¸ trÞ gi÷a ζ 1 vµ ζ 2 ®−îc cho bëi: ζ 1 + dζ Pr {ζ 1 < ζ < ζ 1 + dζ } = ∫ p(ζ )dζ (6.1) ζ1 69
ζ P(ζ ) = ∫ p(x)dx −∞ H×nh 6.3 Hµm mËt ®é x¸c suÊt p (ζ ) vµ hµm ph©n bè P (ζ ) t−¬ng øng Theo ®ã th× x¸c xuÊt ®Ó ζ lµ nhá h¬n hay b»ng ζ 1 lµ: ζ1 Pr {ζ ≤ ζ 1 } = ∫ p(ζ )dζ = P(ζ ) (6.2) 1 −∞ P (ζ ) ®−îc gäi lµ hµm ph©n bè cña ζ . Mét diÔn gi¶i cña hµm mËt ®é x¸c suÊt p (ζ ) vµ hµm ph©n bè P (ζ ) ®−îc tr×nh bµy trªn h×nh 6.3. Mét biÕn thèng kª ζ cã thÓ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng gi¸ trÞ trung b×nh, ®é lÖch tiªu chuÈn, skewness vµ kurtosis t−¬ng øng ®−îc ®Þnh nghÜa lµ: ∞ = μζ = E [ζ ] = ∫ ζp(ζ )dζ trung b×nh (6.3) −∞ 70
1/ 2 ⎡∞ ⎤ ®é lÖch tiªu chuÈn = σ ζ = ⎢ ∫ (ζ − μζ ) p (ζ )dζ ⎥ 2 (6.4) ⎣ −∞ ⎦ 1/ 3 1⎡ ⎤ ∞ ⎢ ∫ (ζ − μζ ) p(ζ )dζ ⎥ 3 = skewness (6.5) σ ζ ⎣ −∞ ⎦ 1/ 4 1⎡ ⎤ ∞ ⎢ ∫ (ζ − μζ ) p(ζ )dζ ⎥ 4 = kurtosis (6.6) σ ζ ⎣ −∞ ⎦ víi E [ζ ] ký hiÖu gi¸ trÞ trung b×nh cña ζ . B×nh ph−¬ng cña ®é lÖch tiªu chuÈn ®−îc gäi lµ variance cña biÕn thèng kª ζ . Mét hµm mËt ®é x¸c suÊt rÊt phæ biÕn lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt Gauss, ®−îc ®Þnh nghÜa lµ: ⎡ (ζ − μζ )2 ⎤ 1 p (ζ ) = exp ⎢− ⎥ (6.7) 2πσ ζ 2σ ζ2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ Trong thùc tÕ, c¸c gi¸ trÞ trung b×nh th−êng ®−îc tÝnh kh«ng ph¶i tõ c¸c hµm mËt ®é x¸c suÊt mµ tõ mét tËp hîp c¸c gi¸ trÞ mÉu cña ζ (ensemble). Gi¸ trÞ trung b×nh ®−îc tÝnh nh− vËy ®−îc gäi lµ trung b×nh tËp hîp vµ ®−îc ký hiÖu lµ: N 1 ∑ζ = μζ = trung b×nh (6.8) i N i =1 2 ∑ (ζ − μζ ) 1N = σ ζ2 = variance (6.9) N i =1 víi N lµ sè l−îng c¸c sè liÖu cña tËp hîp mÉu. Mét tËp hîp cña hai biÕn thèng kª ζ ,ξ ®−îc ®Æc tr−ng hoµn toµn b»ng mét hµm mËt ®é x¸c suÊt chung p (ζ ,ξ ) (mét hµm mËt ®é x¸c suÊt hai chiÒu). T−¬ng tù víi ë trªn, hµm nµy ®−îc ®Þnh nghÜa sao cho x¸c suÊt ®Ó ζ nhËn mét gi¸ trÞ gi÷a ζ 1 vµ ζ 1 + dζ , vµ ®Ó ξ nhËn mét gi¸ trÞ gi÷a ξ1 vµ ξ1 + dξ ®−îc cho bëi ζ 1 + dζ ξ1 + dξ Pr {ζ 1 ≤ ζ ≤ ζ 1 + dζ , ξ1 ≤ ξ ≤ ξ1 + dξ } = ∫ ξ∫ p(ζ , ξ )dζdξ ≈ p(ζ , ξ )dζdξ (6.10) 1 1 ζ1 1 Mèi liªn hÖ gi÷a hai biÕn thèng kª ®−îc biÓu thÞ b»ng hÖ sè t−¬ng quan, ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: E {(ζ − μζ )(ξ − μξ )} 1 Kζ ,ξ = (6.11) σζσξ b) C¸c qu¸ tr×nh thèng kª 71
Mét tËp hîp c¸c biÕn thèng kª cã thÓ ®−îc xÕp thø tù theo mét nghÜa nµo ®ã. ThÝ dô, mét tËp hîp rÊt lín ®é cao cña mÆt n−íc biÓn t¹i mét vÞ trÝ nµo ®ã cã thÓ ®−îc xÕp thø tù c¨n cø vµo thêi gian quan tr¾c. Chó ý r»ng mét biÕn thèng kª ζ t¹i mét thêi ®iÓm t lµ mét biÕn thèng kª kh¸c ζ t¹i thêi ®iÓm t 2 , vµ lµ mét biÕn thèng kª kh¸c ζ t¹i thêi ®iÓm t 3 v.v... Mét tËp hîp cã thø tù nh− vËy cña c¸c biÕn thèng kª ζ (ti ) ®−îc gäi lµ mét qu¸ tr×nh thèng kª, biÓu thÞ nh− lµ {ζ (t )} . ThÝ dô nh− chóng ta h·y xem xÐt mét m¸ng sãng trong ®ã cã mét m¸y t¹o giã ®Ó t¹o ra sãng t¹i mÆt n−íc trong m¸ng. M¸y ®o sãng ®o ®¹c ®é cao mùc n−íc nh− lµ mét hµm cña thêi gian t¹i mét ®iÓm nµo ®ã trong m¸ng. C¸c ®o ®¹c b¾t ®Çu khi mµ giã b¾t ®Çu thæi, tøc lµ tõ mét mÆt n−íc ph¼ng. Ban ®Çu c¸c sãng cßn nhá nh−ng khi mµ giã tiÕp tôc thæi th× sãng trë nªn lín h¬n vµ dµi h¬n. Cuèi cïng ®¹t tíi mét tr¹ng th¸i theo mét sè nghÜa nµo ®ã lµ kh«ng ®æi theo thêi gian. KÕt qu¶ cña thÝ nghiÖm lµ mét chuçi mÉu cña c¸c biÕn thèng kª ζ (t1 ) , ζ (t 2 ) , ζ (t3 ) v.v..., víi ζ (ti ) lµ ®é cao mÆt n−íc t¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã trong thÝ nghiÖm. Mét thÝ nghiÖm gièng hÖt nh− thÕ cã thÓ ®−îc lÆp l¹i ®Ó cã ®−îc nhiÒu mÉu sè liÖu trong nh÷ng ®iÒu kiÖn gièng hÖt nhau. BiÕn thèng kª ζ (ti ) gièng nh− nhiÒu biÕn thèng kª kh¸c, ®−îc ®Æc tr−ng bëi hµm mËt ®é x¸c suÊt (cã thÓ lµ hay kh«ng ph¶i lµ d¹ng Gauss). §iÒu nµy cã nghÜa lµ cÇn mét hµm mËt ®é x¸c suÊt (th−êng lµ kh¸c nhau) ®Ó ®Æc tr−ng cho mùc n−íc t¹i mçi thêi ®iÓm ti . C¸c hµm mËt ®é x¸c xuÊt chung cña biÕn t¹i hai thêi ®iÓm kh¸c nhau ti lµ cÇn thiÕt ®Ó biÓu thÞ c¸c biÕn thèng kª nh− lµ mét qu¸ tr×nh, thÝ dô nh− tËp hîp cña mùc n−íc ®−îc xÕp theo thø tù thêi gian. Mçi mÉu sè liÖu ®−îc gäi lµ mét thÓ hiÖn cña biÕn thèng kª vµ ®−îc biÓu thÞ b»ng mét chØ sè thÓ hiÖn k vµ nh− vËythÓ hiÖn thø k cña biÕn thèng kª ζ (ti ) ®−îc ký hiÖu b»ng ζ k (ti ) . TËp hîp cña tÊt c¶ c¸c thÓ hiÖn ®−îc gäi lµ mét tËp hîp. C¸c gi¸ trÞ trung b×nh tÝnh tõ c¸c thÓ hiÖn nµy ®−îc gäi lµ trung b×nh tËp hîp. NÕu tÊt c¶ c¸c hµm mËt ®é x¸c suÊt cña c¸c biÕn thèng kª cña mét qu¸ tr×nh lµ Gaussian, qu¸ tr×nh ®−îc gäi lµ qu¸ tr×nh Gauss. Mét qu¸ tr×nh Gauss lµ kh¸ ®¬n gi¶n ®Ó m« t¶ v× ta chØ cÇn gi¸ trÞ trung b×nh vµ covariance. Gi¶ thiÕt lµ tån t¹i mét tËp hîp k c¸c ghi chÐp sãng {ζ k (t )} , thu ®−îc víi c¸c ®iÒu kiÖn vÜ m« gièng hÖt nhau, thÝ dô nh− vÞ trÝ trªn mÆt ®¹i d−¬ng, ®é s©u n−íc, tèc ®é giã trung b×nh, vËn tèc giã trung b×nh, nhiÖt ®é n−íc vµ kh«ng khÝ v.v... ThËm chÝ trong c¸c ®iÒu kiÖn ®ång nhÊt, chóng ta kh«ng thÓ hy väng r»ng c¸c ghi chÐp sãng nµy lµ ®ång nhÊt hay rÊt gièng nhau vÒ c¸c chi tiÕt. V× vËy, mét hä {ζ k (t )} diÔn t¶ k thÓ hiÖn cña qu¸ tr×nh thèng kª ζ (t ) . Víi 72
mét k cho tr−íc, ζ (t ) lµ mét hµm cña thêi gian t, khi mµ t = t1 , {ζ k (t )} lµ mét biÕn ngÉu nhiªn. C¸c qu¸ tr×nh thèng kª cã thÓ thuéc vÒ mét trong ba lo¹i: a) dõng vµ ergodic, b) dõng, vµ c) kh«ng dõng. Mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn (hay hµm ngÉu nhiªn) lµ dõng theo mét nghÜa réng nÕu nã cã mét gi¸ trÞ trung b×nh theo thêi gian kh«ng ®æi vµ mét hµm tù t−¬ng quan cã gi¸ trÞ chØ phô thuéc vµo kh¸c biÖt thêi gian E [ζ (t )] = ζ = const (6.12) K (t1 , t 2 ) = K (t1 − t 2 ) = E [ζ (t1 )ζ (t 2 )] = K (τ ) , τ = t1 − t 2 (6.13) trong ®ã K( ) lµ mét hµm tù t−¬ng quan. Nãi mét c¸ch chÆt chÏ, mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn lµ dõng nÕu nh− nã kh«ng ®æi cho dï cã biÕn ®æi thêi gian. C¶ hai ®Þnh nghÜa dõng nµy lµ trïng hîp khi mµ ζ lµ mét qu¸ tr×nh Gauss víi tÊt c¶ c¸c ®Æc tr−ng thèng kª cña ζ hoµn toµn ®−îc x¸c ®Þnh bëi c¸c moment thø nhÊt vµ thø hai. §Þnh nghÜa chÆt chÏ nµy th−êng ®−îc níi láng vµ kh¸i niÖm dõng theo nghÜa réng th−êng ®−îc sö dông. Nãi chung, khi mµ dïng mét tËp hîp c¸c ghi chÐp sãng {ζ k (t )} , chóng ta cã thÓ t×m ra mét hµm bÊt kú cña ζ , thÝ dô F, sao cho F {ζ k (t )} . Cô thÓ h¬n, chóng ta h·y chän thêi gian t = t1 , trong hä {ζ k (t )} . Khi mµ F chÝnh lµ gi¸ trÞ ζ th× phÐp lÊy trung b×nh F {ζ k (t1 )} víi k sÏ cho ta mét trung b×nh tËp hîp cña qu¸ tr×nh t¹i t = t1 , tøc lµ: N ∑ ζ (t ) k 1 E [F {ζ k (t1 )}]k = E [ζ k (t1 )]k = lim k =1 (6.14) N N →∞ §iÒu kiÖn N → ∞ chØ lµ kh¸i niÖm v× trong thùc tÕ N lu«n lu«n lµ h÷u h¹n. Khi mµ F {ζ k (t1 )} = [ζ k (t1 )] , th× phÐp lÊy trung b×nh F {ζ k (t1 )} víi k cho ta variance t¹i 2 t = t1 . B©y giê ta ®Þnh nghÜa F nh− sau: a < ζ k (t1 ) ≤ b ⎧1 nÕu F {ζ k (t1 )} = ⎨ (6.15) ⎩0 tr−êng hîp kh¸c PhÐp lÊy trung b×nh trªn mét tËp hîp E [F {ζ k (t1 )}]k cã thÓ ®−îc diÔn gi¶i lµ x¸c suÊt tËp hîp sao cho ζ k (t1 ) n»m trong kho¶ng tõ a tíi b t¹i t = t1 . LÆp l¹i phÐp lÊy trung b×nh trªn t¹i c¸c thêi gian kh¸c nhau gióp cho ta cã ®−îc c¸c gi¸ 73
trÞ sè trÞ kh¸c nhau cña c¸c ®Æc tr−ng thèng kª. Tuy nhiªn, kü thuËt quan tr¾c lÆp l¹i cho phÐp ta cã ®−îc mét tËp hîp k ghi chÐp sãng cã thÓ ¸p dông trong bÓ sãng phßng thÝ nghiÖm, nh−ng kh«ng thÓ ¸p dông cho hiÖn t−îng sãng ngoµi hiÖn tr−êng. §Ó gi¶i quyÕt c¸c khã kh¨n nµy, ®Þnh lý ergodic th−êng ®−îc sö dông. §Þnh lý nµy cho phÐp ta thay thÕ trung b×nh tËp hîp b»ng trung b×nh thêi gian. §Þnh lý ergodic ph¸t biÓu r»ng (Kinsman, 1965): NÕu ζ k (t ) lµ mét hµm ngÉu nhiªn dõng tháa m·n tÝnh ergodic, c¸c ®Æc tr−ng thèng kª tÝnh ®−îc b»ng c¸ch lÊy trung b×nh tËp hîp t¹i mét thêi ®iÓm t = t * lµ ®ång nhÊt víi c¸c ®Æc tr−ng thèng kª t−¬ng øng tÝnh b»ng phÐp lÊy trung b×nh thêi gian ®èi víi mçi thÓ hiÖn cho tr−íc k = k * . Nh− vËy, mét qu¸ tr×nh dõng tháa m·n tÝnh ergodic cÇn tháa m·n ®¼ng thøc sau: N ∑ ζ (t = t ) [{ }] k * E [F {ζ k (t = t* )}]k = lim = E F ζ k =k* (t ) k =1 N t N →∞ (6.16) T ∫ F {ζ (t )}dt 1 = lim k = k* 2T t →∞ −T Chóng ta cã thÓ nãi r»ng c¸c qu¸ tr×nh dõng lµ mét tËp hîp con cña c¸c qu¸ tr×nh thèng kª th× c¸c qu¸ tr×nh ergodic thËm chÝ cßn lµ mét tËp hîp con cña c¸c qu¸ tr×nh dõng. TÇm quan träng cña ®Þnh lý ergodic lµ nã cho phÐp ta t×m ®−îc c¸c ®Æc tr−ng thèng kª cña qu¸ tr×nh ζ (t ) b»ng c¸ch dïng mét thÓ hiÖn ®ñ dµi. Tuy nhiªn, ng−êi ta ch−a bao giê chøng minh ®−îc tÝnh ergodic cña sãng ®¹i d−¬ng v× c¸c thÝ nghiÖm kh«ng thÓ lÆp l¹i mét c¸ch chÝnh x¸c trong ®¹i d−¬ng nh− chóng ®−îc lÆp l¹i trong phßng thÝ nghiÖm. Cã thÓ chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét qu¸ tr×nh sãng dõng ζ (t ) lµ ergodic lµ hµm tù tu¬ng quan K (τ ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau (Tikhonov, 1966): K (τ ) = 0 t¹i τ → ∞ (6.17) Giê chóng ta h·y biÓu diÔn kh¶ n¨ng ¸p dông cña ®Þnh lý ergodic vµ ®iÒu kiÖn (6.17) cho mét qu¸ tr×nh ®¬n gi¶n. Chóng ta gi¶ thiÕt lµ chóng ta cã mét tËp hîp c¸c ghi chÐp cña mét qu¸ tr×nh {ζ k (t )} = z k . §iÒu nµy cã nghÜa lµ víi mét k nµo ®ã, qu¸ tr×nh ζ k (t ) lµ kh«ng ®æi vµ b»ng z k . Râ rµng lµ qu¸ tr×nh nµy lµ dõng. T¹i mét thêi ®iÓm t, bÊt cø mét ®Æc tr−ng thèng kª nµo, thÝ dô nh− gi¸ trÞ trung b×nh tÝnh víi c¶ tËp hîp cho mét sè ®ång nhÊt. Tuy nhiªn khi mµ mét ghi chÐp ®¬n ζ k =k* (t ) ®−îc lùa chän ngÉu nhiªn vµ trung b×nh thêi gian cña nã ®−îc tÝnh nh− sau: 74
[ ] T 1 E ζ k = k* (t ) t = lim ζ k = k* (t )dt 2T −∫ (6.18) T t →∞ th× râ rµng lµ: [ ] E [ζ k (t = t* )]t ≠ E ζ k = k* (t ) t (6.19) Nh− vËy, râ rµng lµ qu¸ tr×nh ®¬n gi¶n nµy lµ dõng, nh−ng kh«ng ergodic. §iÒu kiÖn (6.17) râ rµng lµ kh«ng ®−îc tháa m·n v×: [ ] T 1 K (τ ) = E ζ k = k* (t )ζ k =k* (t + τ ) = lim ∫z dt = z k* 2 2 (6.20) k* t →∞ 2T −T Trong c¸c phÇn tiÕp theo ta gi¶ thiÕt r»ng tÝnh ergodic lµ tháa m·n cho c¸c qu¸ tr×nh tr×nh bµy trong bµi gi¶ng nµy. Nh− vËy, thay thÕ cho mét tËp hîp c¸c ghi chÐp {ζ k (t )} , mét ghi chÐp ®¬n ζ (t ) sÏ ®−îc sö dông. 6.1.3 C¸c c¬ së cña viÖc m« t¶ phæ sãng ®¹i d−¬ng Chóng ta h·y b¾t ®Çu b»ng viÖc m« t¶ chuçi sãng quan tr¾c ®−îc t¹i mét ®iÓm P(x,y) b»ng ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh. Ph−¬ng ph¸p m« t¶ x¸c ®Þnh lµ khëi ®Çu tù nhiªn cña c¸c m« h×nh ngÉu nhiªn ®−îc cho sau ®©y. D¹ng mÆt n−íc cña mét sãng lan truyÒn theo ph−¬ng t¹o mét gãc θ víi trôc x cã thÓ ®−îc biÓu thÞ nh− sau: ζ (x, y , t ) = a cos[k ( x cos θ + y sin θ ) − ωt + ϕ ] (6.21) trong ®ã h lµ ®é s©u n−íc, ϕ lµ dÞch chuyÓn pha vµ k lµ sè sãng ( = 2π / L víi L lµ b−íc sãng) liªn hÖ víi tÇn sè gãc ω ( = 2π / T = 2πf víi f lµ tÇn sè sãng) b»ng mèi liªn hÖ ph©n t¸n tuyÕn tÝnh: ω 2 = gk tanh (kh ) (6.22) C¸ch ®¬n gi¶n vµ tù nhiªn nhÊt dïng ®Ó diÔn t¶ mÆt n−íc lµ chång chÊt tuyÕn tÝnh nhiÒu thµnh phÇn ®iÒu hoµ lan truyÒn theo nhiÒu h−íng kh¸c nhau. Mét diÔn gi¶i ®¬n gi¶n cña qu¸ tr×nh chång chÊt nµy lµ thÝ dô trªn h×nh 6.4 mµ 13 thµnh phÇn ®−îc céng l¹i ®Ó t¹o ra mét profile sãng cuèi cïng. Nh− vËy, dïng ph−¬ng tr×nh (6.21), ph−¬ng tr×nh m« t¶ mÆt n−íc khi cã sãng cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: N ζ (x, y, t ) = ∑ al cos[k l (x cosθ l + y sin θ l ) − ω l t + ϕ l ] (6.23) l =1 H−íng θ l vµ pha ϕ l phñ mét kho¶ng − π , π ; vµ biªn ®é sãng vµ tÇn sè n»m trong kho¶ng 0 ≤ al ≤ ∞ vµ 0 ≤ ω l ≤ ∞ . 75
MÆt n−íc biÓn Thêi gian MÆt n−íc khi cã sãng C¸c thµnh phÇn phæ Biªn ®é N¨ng l−îng phæ H×nh 6.4 Chång chÊt cña c¸c thµnh phÇn phæ vµ phæ kÕt qu¶ NÕu nh− cã thÓ gi¶ thiÕt lµ mÆt sãng lµ mét chång chÊt tuyÕn tÝnh cña mét sè v« h¹n c¸c sãng ®iÒu hoµ lan truyÒn theo c¸c h−íng kh¸c nhau vµ cã biªn ®é thay ®æi liªn tôc theo tÇn sè vµ h−íng truyÒn, ph−¬ng tr×nh (6.23) trë thµnh: ∞π ζ ( x, y, t ) = 2 ∫ ∫ a (ω ,θ ) cos[k ( x cos θ + y sin θ ) − ωt + ϕ ]dωdθ (6.24) 0 −π Dïng ký hiÖu cña Euler's: 1 [exp(iα ) + exp(− iα )] cos α = (6.25) 2 chóng ta cã thÓ viÕt l¹i ph−¬ng tr×nh (6.24) d−íi d¹ng: 76
∞π ζ ( x, y, t ) = ∫ ∫ a(ω ,θ ) exp[iϕ (ω ,θ )]exp[ik ( x cos θ + y sin θ )]dωdθ (6.26) 0 −π 6.2 M« t¶ sãng giã b»ng phæ 6.2.1 Phæ n¨ng l−îng cña sãng giã Variance cña mÆt n−íc, ®−îc viÕt lµ σ ζ2 trong ®ã σ ζ lµ ®é lÖch tiªu chuÈn, lµ mét ®¹i l−îng quan träng ®Ó m« t¶ thèng kª c¸c qu¸ tr×nh sãng. Gi¸ trÞ nµy liªn hÖ chÆt chÏ víi n¨ng l−îng sãng trung b×nh trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch E E = ρgσ ζ2 (6.27) V× lý do nµy mµ hai kh¸i niÖm “variance” vµ “n¨ng l−îng” sÏ ®−îc dïng thay thÕ cho nhau v× thùc ra chØ lµ bá qua ρg khi nãi tíi n¨ng l−îng sãng. Víi mét qu¸ tr×nh dõng, cÇn ph¶i x¸c ®Þnh gi¸ trÞ trung b×nh (hay lµ gi¸ trÞ b×nh ph−¬ng trung b×nh cña c¸c dao ®éng xung quanh gi¸ trÞ trung b×nh) trong mét ghi chÐp trong mét kho¶ng thêi gian ®ñ dµi (vÒ mÆt lý thuyÕt lµ dµi v« h¹n). Víi c¸c ®iÒu kiÖn nµo ®ã lu«n tho¶ m·n cho sãng t¹o bëi giã, thÝ dô nh− c¸c trung b×nh thêi gian cho kÕt qu¶ ®ång nhÊt víi c¸c kÕt qu¶ cña trung b×nh tËp hîp t−¬ng øng. §iÒu nµy dïng rÊt nhiÒu trong tù nhiªn, lo¹i trõ lµ kho¶ng thêi gian lÊy trung b×nh lµ h÷u h¹n (th−êng lµ 15 tíi 30 phót víi sãng giã) vµ t¹o ra c¸c sai sè lÊy mÉu trong c¸c kÕt qu¶. Tuy nhiªn, nÕu ta cè g¾ng gi¶m c¸c sai sè nµy b»ng c¸ch dïng c¸c ghi chÐp thêi gian dµi h¬n, cã thÓ ph¸t sinh vÊn ®Ò vÒ tÝnh kh«ng dõng cña bµi to¸n. Nh− ta ®· tr×nh bµy tr−íc, tÝnh dao ®éng cña sãng giã (vµ c¸c qu¸ tr×nh t−¬ng tù) cho ta gi¶ thiÕt r»ng ta cã thÓ xem nã nh− lµ mét chång chÊt tuyÕn tÝnh cña mét sè sãng h×nh sin cã biªn ®é, tÇn sè vµ pha kh¸c nhau. C¸c sãng nµy ®−îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn phæ. Trong phÐp ph©n tÝch phæ hay ph©n tÝch Fourier, mét ghi chÐp nµo ®ã ®−îc ph©n chia thµnh c¸c thµnh phÇn phæ. C¸c hµm biÓu thÞ sù ph©n bè cña n¨ng l−îng vµ pha cña c¸c sãng thµnh phÇn theo tÇn sè ®−îc gäi lµ c¸c phæ (tÇn sè) n¨ng l−îng. NÕu qu¸ tr×nh chØ bao gåm hay ®−îc biÓu thÞ b»ng c¸c ®ãng gãp cña mét sè ®Õm ®−îc c¸c thµnh phÇn phæ th× phæ ®−îc gäi lµ phæ rêi r¹c. Kh«ng cã lý do nµo mµ sãng g©y ra bëi rèi giã l¹i cã mét sè ®Õm ®−îc c¸c chu kú. V× vËy, phæ sãng giã ®−îc cho lµ liªn tôc. 77
V× sãng ®¹i d−¬ng lµ mét biÕn ngÉu nhiªn, khi mµ cho tr−íc phæ biªn ®é vµ pha, kh«ng thÓ nµo t¹o ra mét c¸ch chÝnh x¸c bÒ mÆt n−íc dïng ®Ó tÝnh c¸c phæ nµy. V× vËy, chóng ta ph¶i tËp trung vµo viÖc m« t¶ mét c¸ch thèng kª tËp hîp cña nh÷ng thÓ hiÖn cã thÓ cã cña c¸c biÕn thèng kª. Tuy nhiªn, sÏ lµ rÊt h÷u Ých nÕu nh− chóng ta chØ tËp trung vµo nghiªn cøu n¨ng l−îng (hay variance) vµ bá qua pha. §iÒu nµy dÉn tíi viÖc dïng ph©n bè phæ cña variance (hay n¨ng l−îng hoÆc lµ biªn ®é b×nh ph−¬ng) nh− lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña sãng giã. Nã cho ta th«ng tin vÒ phÇn ®ãng gãp cña c¸c thµnh phÇn phæ kh¸c nhau vµo n¨ng l−îng (hay variance) cña qu¸ tr×nh. Eζζ ( f ) H×nh 6.5 Ph¸c th¶o mËt ®é phæ variance §Ó lµm râ h¬n kh¸i niÖm nµy, ta h·y xem xÐt biÕn ®æi thêi gian cña mÆt n−íc ®èi víi MSL t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh {ζ (t )} khi cã sãng giã. Variance cña mÆt n−íc ®−îc viÕt lµ var ζ hay σ ζ2 . MËt ®é phæ variance liªn quan víi biÕn ®æi nµy ®−îc viÕt lµ S ( f ) , trong ®ã f lµ tÇn sè cña mét thµnh phÇn phæ, hay lµ sè c¸c dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian (trong hÖ ®¬n vÞ SI: [f] = 1 Hz). MËt ®é phæ ®−îc ®Þnh nghÜa sao cho viÖc tÝch ph©n trªn mét kho¶ng tÇn sè nµo ®ã, thÝ dô tõ fa tíi fb (xem h×nh 6.5) lµ b»ng víi sù ®ãng gãp cña c¸c thµnh phÇn phæ cã tÇn sè n»m trong kho¶ng trªn vµo variance tæng céng σ ζ2 : fb = Δ[var ζ ]a ,b ∫ S ( f )df (6.28) fa NÕu ta tÝch ph©n theo tÊt c¶ c¸c tÇn sè tõ 0 tíi ∞ , ta sÏ cã variance tæng céng: 78
∞ ∫ S ( f )df = var ζ = σ ζ2 (6.29) 0 MÆt kh¸c, nÕu kho¶ng tÇn sè cã mét d¶i rÊt hÑp víi chiÒu réng Δf (xem h×nh 6.5), ph−¬ng tr×nh 6.28 trë thµnh: S ( f )Δf = Δ[var ζ ] (6.30) hay Δ[var ζ ] S( f ) = (6.31) Δf C¸c ph−¬ng tr×nh nµy cho ta ý nghÜa cña S ( f ) : nã chØ ra r»ng variance (hay n¨ng l−îng) tæng céng ph©n bè theo tÇn sè cña c¸c thµnh phÇn phæ nh− thÕ nµo. Ph−¬ng tr×nh 6.62 chØ ra r»ng S ( f ) cã nghÜa cña variance trªn mét ®¬n vÞ tÇn sè. Trong hÖ SI, ®¬n vÞ cña nã lµ m2/Hz. §iÒu nµy gi¶i thÝch ý nghÜa cña tªn hµm lµ mËt ®é phæ variance. TËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña mËt ®é phæ cña tÊt c¶ c¸c tÇn sè lµ mËt ®é phæ variance, hay th−êng ®−îc gäi mét c¸ch ®¬n gi¶n lµ phæ variance hay phæ n¨ng l−îng. Phæ variance trong mét møc ®é ®¸ng kÓ cã thÓ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng mét d·y c¸c moment phæ, ®Þnh nghÜa nh− sau ∞ mn = ∫ f n S ( f )df (n = 0, 1, etc.) (6.32) 0 Moment bËc kh«ng ( m0 ) chØ lµ diÖn tÝch phÝa d−íi ®−êng cong phæ, hay lµ variance cña qu¸ tr×nh (xem ph−¬ng tr×nh 6.29). Ký hiÖu nµy cña variance th−êng ®−îc dïng ®Ó nhÊn m¹nh mèi liªn hÖ cña nã víi phæ. Tû sè m1 / m0 biÓu thÞ kho¶ng c¸ch tõ “t©m träng lùc” cña phæ tíi ®−êng f = 0. Nãi c¸ch kh¸c, theo mét sè nghÜa th× nã diÔn t¶ mét tÇn sè trung b×nh. §iÒu nµy còng ®óng cho ®¹i l−îng (m 2 / m0 ) (“b¸n kÝnh håi chuyÓn” cña phæ ®èi víi ®−êng 1/ 2 f = 0). Sù kh¸c nhau gi÷a hai ®¹i l−îng nµy lµ th−íc ®o chiÒu réng cña phæ. Trong thùc tÕ, phæ n¨ng l−îng hay lµ phæ variance ®−îc tÝnh tõ mét ghi chÐp thêi gian trong kho¶ng T b»ng c¸ch khai triÓn c¸c tÝn hiÖu ghi ®−îc (víi mét gi¸ trÞ trung b×nh b»ng kh«ng) thµnh mét chuçi Fourier, tøc lµ mét chuçi víi víi c¸c hµm sine hay cosine phï hîp víi sè nguyªn thêi gian cña kho¶ng thêi gian ghi nhí T, vµ v× vËy phï hîp víi c¸c tÇn sè rêi r¹c lµ tÝch nguyªn cña c¸c tÇn sè (®iÒu hoµ) c¬ b¶n 1/T: η (t ) = ∑ a n cos(2π f n t + α n ) (6.33) n trong ®ã: 79
f n = nf 1 = n / T for n = 1, 2, …. (6.34) Chó ý r»ng c¸c tÇn sè rê r¹c fn lµ ®ång kho¶ng c¸ch v× r»ng Δf n ≡ f n+1 − f n = 1 / T , ®äc lËp víi n. Cã thÓ chøng minh r»ng trung b×nh b×nh ph−¬ng cña (6.33) lµ: E{ 2 (t )} = ∑ an N 12 η (6.35) n =1 2 §©y lµ mét gi¸ trÞ −íc tÝnh cña qu¸ tr×nh mµ ghi chÐp ®−îc lÊy mÉu. V× vËy, ®¹i l−îng (1 / 2)an2 lµ phÇn ®ãng gãp cña thµnh phÇn phæ víi tÇn sè f n tíi gi¸ trÞ −íc tÝnh cña variance. TËp hîp cña c¸c gi¸ trÞ nµy nh− lµ mét hµm cña c¸c tÇn sè rêi r¹c f n cho ta gi¸ trÞ xÊp xØ cña mËt ®é phæ variance liªn tôc. Mèi liªn hÖ gi÷a hai ®¹i l−îng cã thÓ ®−îc biÓu thÞ b»ng 12 an = S ( f n )Δf n (6.36) 2 Eζζ ( f ) H×nh 6.6 Ghi chÐp cña mÆt n−íc vµ phæ variance t−¬ng øng (Battjes, 1984) 2 Thùc ra, v× nh÷ng sai sè lÊy mÉu trong 1 / 2a n (−íc tÝnh tõ chØ mét thÓ hiÖn), ®©y kh«ng 80
ph¶i lµ mét ph−¬ng ph¸p ®¸ng tin cËy ®Ó −íc tÝnh S ( f ) . CÇn ph¶i lÊy trung b×nh trªn mét tËp 2 hîp c¸c gi¸ trÞ 1 / 2a n ®Ó cã ®−îc mét ®¸nh gi¸ ®ñ tin cËy. Tuy nhiªn, chóng ta sÏ kh«ng nghiªn cøu thªm vÒ vÊn ®Ò nµy ë gi¸o tr×nh nµy. H×nh 6.6 cho ta mét thÝ dô vÒ mét ®o¹n ghi chÐp ng¾n cña bÒ mÆt n−íc vµ mét phæ mËt ®é variance −íc tÝnh t−¬ng øng, chó ý tíi tû lÖ vÏ phæ. §Ó kiÓm tra s¬ bé c¸c sè vµ diÔn gi¶i ý nghÜa cña phæ, chóng ta cã thÓ xÊp xØ ®−êng cong phæ b»ng mét tam gi¸c víi gi¸ trÞ trªn ®Ønh b»ng 20m2/Hz vµ gi¸ trÞ d−íi ®¸y b»ng 0.1Hz. Tõ ®ã, chóng ta cã thÓ −íc tÝnh ®−îc diÖn tÝch phÝa d−íi ®−êng cong (variance) lµ 1/2X(20m2/Hz )X(0.1 Hz)=1m2, t−¬ng øng víi ®é lÖch tiªu chuÈn lµ 1m. Gi¸ trÞ nµy t−¬ng ®èi phï hîp víi ghi chÐp sãng. Chó ý r»ng phæ variance hay n¨ng l−îng kh«ng cho biÕt g× vÒ pha cña c¸c thµnh phÇn phæ. V× vËy, kh«ng thÓ dïng phæ nµy ®Ó t¹o ra b¶n ghi chÐp mµ ta ®· dïng nã ®Ó x¸c ®Þnh phæ. Ng−îc l¹i, b»ng c¸ch dïng c¸c tËp hîp pha kh¸c nhau, ta cã thÓ t¹o ra c¸c thÓ hiÖn kh¸c nhau mµ tÊt c¶ chóng ®Òu cã phæ variance (hay n¨ng l−îng) gièng hÖt nhau. §iÒu nµy cho ta manh mèi ®Ó x©y dùng c¸c m« h×nh x¸c suÊt sãng mµ ta sÏ m« t¶ d−íi ®©y. 6.2.2 ChiÒu réng cña phæ vµ d¹ng phæ a) ChiÒu réng phæ Nãi chung, d¹ng cña phæ tÇn sè sãng phô thuéc vµo c¸c ®iÒu kiÖn t¹o sãng bªn ngoµi (tèc ®é giã, ®µ giã, thêi gian t¸c ®éng cña giã, ®é s©u n−íc, sù tån t¹i cña sãng lõng, giai ®o¹n cña b·o) còng nh− c¸c c¬ chÕ néi t¹i (t−¬ng t¸c phi tuyÕn gi÷a c¸c sãng thµnh phÇn, tiªu t¸n n¨ng l−îng do sãng vì hay ma s¸t ®¸y). Tuy nhiªn, d¹ng cña phæ kh«ng ph¶i lµ tuú ý vµ mét sè ®Æc tÝnh c¬ b¶n cña ph©n bè n¨ng l−îng ®−îc ¸p dông cho tÊt c¶ c¸c phæ. Bëi v× sÏ lµ rÊt thuËn lîi nÕu nh− ta xö lý c¸c phæ tÇn sè b»ng c¸ch dïng tÇn sè gãc ω ( = 2π / T = 2πf , rad/s) thay cho tÇn sè f (Hz). Trong phÇn nµy, tÇn sè gãc còng ®−îc gäi v¾n t¾t lµ tÇn sè. Khi dïng ω , chóng ta kh«ng nªn nhÇm lÉn víi tÇn sè f. N¨ng l−îng cña phæ sãng ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i t¹i ω = ω p , vµ gi¶m dÇn víi c¶ c¸c tÇn sè lín h¬n vµ nhá h¬n. Th«ng th−êng, tèc ®é gi¶m t¹i kho¶ng tÇn sè thÊp lµ nhanh h¬n t¹i kho¶ng tÇn sè cao. TÇn sè ω p mµ t¹i ®ã n¨ng l−îng cña phæ sãng ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i ®−îc gäi lµ tÇn sè ®Ønh. TÇn sè thÊp nhÊt cña sãng träng lùc do giã g©y ra ®−îc −íc tÝnh lµ xÊp xØ 0.03 Hz (0.2 rad/s). N¨ng l−îng t¹i c¸c tÇn sè thÊp h¬n gi¸ trÞ nµy sãng ®Ëp, seiches hay thuû triÒu. 81
TÇn sè cao nhÊt cña sãng träng lùc do giã g©y ra t−¬ng øng víi vËn tèc pha nhá nhÊt lµ 23 cm/s t¹i b−íc sãng nhá nhÊt lµ 1.7 cm (trong n−íc s¹ch ë 20oC). Nh− vËy, tÇn sè cao nhÊt lµ 13.6 Hz (85 rad/s). Lùc c¶n do søc c¨ng mÆt ngoµi kh«ng cho phÐp t¹o ra sãng cã c¸c tÇn sè cao h¬n. C¸c tÇn sè giíi h¹n nµy ®−îc cho bëi c¸c xÊp xØ lý thuyÕt. Trong thùc tÕ chóng ta chØ sö dông mét d¶i tÇn sè cho sãng träng lùc g©y bëi giã hÑp h¬n nhiÒu. H¬n n÷a, phæ th−êng lµ cã quy luËt, thÝ dô nh− cã vïng quy luËt hµm mò mµ S (ω ) ~ ω − n víi mét sè mò n nµo ®ã. Mét thÝ dô hay cña tÝnh quy luËt ®ã ®−îc cho bëi kho¶ng b·o hoµ (hay kho¶ng c©n b»ng) trong phæ sãng, khi mµ phæ phô thuéc vµo tÇn sè theo quy luËt ω −5 (hay ω −4 ). Kho¶ng b·o hßa nµy biÓu thÞ sù c©n b»ng gi÷a n¨ng l−îng mÊt m¸t do sãng vì vµ n¨ng l−îng sãng nhËn ®−îc tõ giã. Mét lo¹t c¸c hµm mò ®· ®−îc ®Ò nghÞ ®Ó cã thÓ bao hµm phÇn dÔ thay ®æi nhÊt cña phæ. C¸c phæ kh¸c nhau nµy th−êng lµ kÕt qu¶ ph©n tÝch c¸c chuçi thêi gian thu ®−îc tõ c¸c thÝ nghiÖm víi c¸c ®iÒu kiÖn t¹o sãng kh¸c nhau. Phæ cho ta mét m« t¶ hoµn chØnh vÒ sãng ®¹i d−¬ng chØ khi mµ nã ®−îc coi lµ chång chÊt tuyÕn tÝnh cña rÊt nhiÒu thµnh phÇn h×nh sin c¬ b¶n. Tuy nhiªn, ®Æc biÖt lµ trong n−íc n«ng, sãng ®¹i d−¬ng lu«n cho ta thÊy mét ®Ønh nhän h¬n vµ mét bông n«ng h¬n, g©y ra do c¸c thµnh phÇn ®iÒu hoµ ®−îc t¹o thµnh vµ sù t−¬ng t¸c cña chóng. Sù hiÖn diÖn cña c¸c thµnh phÇn ®iÒu hoµ cã thÓ thÊy trong phæ sãng ®¹i d−¬ng nh− lµ c¸c ®Ønh thªm vµo trong kho¶ng tÇn sè cao. Th«ng tin nµy kh«ng ®ñ ®Ó cho thÊy c¸c phèi hîp cña tÇn sè t−¬ng t¸c t¹o ra c¸c ®Ønh ®ã. §Ó t¹o ra mét “b¶n ®å” cña c¸c tÇn sè t−¬ng t¸c, cÇn ph¶i ¸p dông phÐp ph©n tÝch phæ bËc cao h¬n. Do tÝnh phøc t¹p cña viÖc truyÒn n¨ng l−îng tõ khÝ quyÓn vµo ®¹i d−¬ng, sãng bÒ mÆt lµ ®a h−íng. ChØ cã mét phÇn n¨ng l−îng sãng lµ lan truyÒn theo h−íng giã. Bëi v× cã sù giíi h¹n cña c¸c ph−¬ng ph¸p quan tr¾c, kiÕn thøc vÒ ph©n bè h−íng lµ kh¸ nghÌo nµn so víi kiÕn thøc vÒ phæ tÇn sè. Trong phÇn nµy ta sÏ xem l¹i c¸c diÔn gi¶i hiÖn t¹i vÒ phæ h−íng cña sãng ®¹i d−¬ng, gäi lµ m« h×nh mò cosine, m« h×nh Gauss bäc xung quanh, m« h×nh von Mises, m« h×nh d¹ng hyperbolic, vµ m« h×nh tr¶i hai ®Ønh . H×nh 6.7 chØ ra mét hµm phæ tÇn sè sãng ®iÓn h×nh vµ mét hµm tù t−¬ng quan t−¬ng øng. Hµm tù t−¬ng quan ®· ®−îc chuÈn ho¸ K (τ ) / σ ζ2 b¾t ®Çu b»ng 1 t¹i τ = 0. Víi tÊt c¶ c¸c qu¸ tr×nh, K (τ ) → 0 khi mµ τ → ∞ , vµ thêi gian t¾t ®Æc tr−ng cho tÝnh chÊt nµy ®−îc gäi lµ quy m« t−¬ng quan. ThÝ dô nh− mét qu¸ tr×nh Markov cã mét hµm tù t−¬ng quan d¹ng: 82
⎛ τ⎞ K (τ ) = K 0 exp⎜ − ⎟ (6.37) ⎜τ⎟ ⎝ 0⎠ trong ®ã τ 0 ®−îc gäi lµ quy m« t−¬ng quan. Nh− vËy, τ = τ 0 khi K (τ 0 ) = e −1 ≈ 0.368 . Thêi gian TÇn sè H×nh 6.7 Hµm tù t−¬ng quan K (τ ) vµ hµm mËt ®é phæ S (ω ) . Dïng ®Þnh nghÜa cña quy m« t−¬ng quan, ta cã thÓ nhËn ra r»ng trong tr−êng hîp cña chóng ta τ 0 ≈ 7s. Trong tr−ênghîp nµy, hµm tù t−¬ng quan K (τ ) cña mét tÝn hiÖu cosin cã pha ngÉu nhiªn ®−îc cho bëi: K (τ ) ⎞ ⎛ 2πτ = cos(ω 0τ ) = cos⎜ ⎟ (6.38) ⎟ ⎜T K0 ⎠ ⎝0 trong ®ã T0 lµ chu kú cña tÝn hiÖu. Hµm K (τ ) biÕn mÊt víi τ 1 = T0 / 4 . Gi¶ thiÕt r»ng phÇn lín n¨ng l−îng sãng ®−îc tËp trung xung quanh tÇn sè ®Ønh ω p = 2π / T0 th× sÏ lµ rÊt tù nhiªn nÕu ta liªn kÕt ®iÓm c¾t ®−êng kh«ng ®Çu tiªn cña hµm K (τ ) t¹i τ = τ 1 víi chu kú thèng trÞ 83
cña qu¸ tr×nh. Nh− vËy, tÇn sè ®Ønh ω p = 2π / 4τ 1 . Trong h×nh 6.7, τ 1 ≈ 1.7 s, t−¬ng øng víi chu kú ®Ønh ω p = 2π / (4 × 1.7 ) = 0.92 rad/s. Nh×n nhanh h×nh 6.7 ta cã thÓ thÊy r»ng phæ trong h×nh cã mét ®Ønh t¹i ω p = 0.85 rad/s, gÇn víi gi¸ trÞ xÊp xØ lµ 0.92 rad/s. Hµm S (ω ) biÓu thÞ mét ph©n bè cña n¨ng l−îng sãng trong miÒn tÇn sè. V× vËy, t−¬ng tù víi S ( f ) , moment tÇn sè mr ®−îc ®Þnh nghÜa lµ: ∞ mr = ∫ ω r S (ω )dω (6.39) 0 Mét sè moment ®Çu tiªn lµ ®Æc biÖt quan träng ®èi víi viÖc m« t¶ phæ cña sãng ®¹i d−¬ng. Moment ®Çu tiªn x¸c ®Þnh tÇn sè sãng trung b×nh ω vµ chu kú trung b×nh T , tøc lµ: 2π m m ω= 1 = 2π 0 T= and (6.40) ω m0 m1 ~ Còng nh− c¸c moment m , c¸c moment phæ trung t©m m còng ®−îc dïng tíi. Chóng r r ®−îc ®Þnh nghÜa lµ: ∞ mr = ∫ (ω − ω ) S (ω )dω ~ r (6.41) 0 V× vËy: 2 m ~ ~ ~ m1 = m1 − ω m0 = 0 , m0 = m0 , m2 = m2 − 1 (6.42) m0 ~ Momen trung t©m m2 lµ mét th−íc ®o møc ®é tËp trung cña n¨ng l−îng phæ sãng xung quanh tÇn sè ω . ( ) ~ Khi mµ chóng ta chuÈn ho¸ m2 trong ph−¬ng tr×nh (6.42) b»ng tÝch ω 2 m0 , ta cã ®−îc mét th«ng sè kh«ng thø nguyªn ν 2 nh− sau: ~ mm m2 ν2 = = 0 2 2 −1 (6.43) ω m0 2 m1 84
Sù dÞch chuyÓn bÒ mÆt Sù dÞch chuyÓn bÒ mÆt H×nh 6.8: BiÕn tr×nh thêi gian cña dao ®éng mùc n−íc: a) phæ hÑp vµ b) phæ réng. Th«ng sè ν 2 lµ mét ®¹i l−îng bËc thÊp vµ thuËn tiÖn ®Ó ®o chiÒu réng phæ. Ph−¬ng tr×nh (6.43) chØ ra mét c¸ch râ rµng r»ng khi mµ tÊt c¶ n¨ng l−îng sãng tËp trung vµo mét tÇn sè ω = ω , ta cã ν 2 → 0 . Khi mµ n¨ng l−îng sãng ph©n bè réng r·i quanh c¸c tÇn sè, ν 2 t¨ng lªn. Trong c¸c c¬n b·o ®iÓn h×nh, th«ng sè chiÒu réng phæ ν xÊp xØ b»ng 0.3. C¸c profile sãng ®iÓn h×nh t−¬ng øng víi c¸c phæ réng vµ phæ hÑp ®−îc chØ ra trong h×nh 6.8. Ta cã thÓ thÊy r»ng c¸c sãng cña mét phæ hÑp gÇn nh− cã tÇn sè gièng nhau nh−ng biªn ®é biÕn ®æi. C¸c ®−êng bao trªn vµ d−íi trïng lÆp mét c¸ch chÝnh x¸c víi ®Ønh vµ bông, vµ t¹o ra mét cÆp c¸c ®−êng cong ®èi xøng ®èi víi mét gi¸ trÞ trung b×nh. Trong tr−êng hîp nh− vËy, dÞch chuyÓn d−¬ng vµ ©m cña mÆt sãng lµ b»ng nhau, vµ b»ng víi biªn ®é sãng. §èi víi phæ réng, hiÖn diÖn c¸c sãng cã nhiÒu tÇn sè vµ chóng c−ìi lªn nhau t¹o ra nh÷ng cùc ®¹i ®Þa ph−¬ng thÊp h¬n mùc n−íc biÓn trung b×nh. b) D¹ng phæ Sù ph¸t triÓn cña sãng d−íi t¸c ®éng cña giã kh«ng ph¶i lµ v« h¹n. N¨ng l−îng mµ giã truyÒn cho sãng ®−îc c©n b»ng bëi t−¬ng t¸c cña c¸c sãng, truyÒn n¨ng l−îng tõ mét d¶i cho tr−íc tíi c¸c d¶i kh¸c, vµ bëi tiªu t¸n n¨ng l−îng. T¹i n−íc s©u, qu¸ tr×nh tiªu t¸n n¨ng l−îng th−êng ®−îc x¶y ra d−íi d¹ng sãng b¹c ®Çu víi quy m« nhá h¬n b−íc sãng. Sãng b¹c ®Çu x¶y 85