zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình Toán cao cấp 3

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao cấp 3 gồm các nội dung chính như sau: Tích phân bội hai; tích phân bội ba; tích phân đường; tích phân mặt. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp 3

TS. BÙI THANH DUY KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Trường Đại học Kiến trúc thành phố Hồ Chí Minh TOÁN CAO CẤP 3
Mục lục 1 TÍCH PHÂN BỘI HAI 1 1.1 GIỚI THIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BỘI HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 TÍCH PHÂN BỘI BA 15 2.1 GIỚI THIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 24 3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 GIỚI THIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5 ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.7 BÀI TOÁN DẪN ĐẾN TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 . . . . . . . . . . . . . 28 3.8 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9 ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 TÍCH PHÂN MẶT 32 4.1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 BÀI TOÁN DẪN ĐẾN TÍNH TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.6 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.7 MẶT CONG ĐỊNH HƯỚNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.8 BÀI TOÁN TÍNH LƯU LƯỢNG CỦA DÒNG CHẢY QUA MỘT MẶT CONG ĐỊNH HƯỚNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.9 ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.10 PHƯƠNG PHÁP TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chương 1 TÍCH PHÂN BỘI HAI I= f ( x, y)dxdy, D trong đó f ( x, y) là một hàm hai biến xác định trên miền bị chặn D ⊂ R2 . dxdy gọi là yếu tố diện tích. 1.1 GIỚI THIỆU Cho R = [ a, b] × [c, d] và hàm số f ( x, y) xác định trên R. Giả sử f ( x, y) 0, ∀( x, y) ∈ R và có đồ thị là một mặt cong (S) nằm phía trên (Oxy). Xét vật thể (Ω) bị giới hạn trên bởi (S), giới hạn dưới bởi (Oxy) và bị giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz có đường chuẩn là biên của miền R. Bài toán đặt ra là làm thế nào để xác định được thể tích V của vật thể này. Để giải bài toán này người ta làm như sau 1. Chia đoạn [ a, b] thành m đoạn bằng nhau [ xi−1 , xi ] có độ dài ∆x = (b − a)/m. Chia đoạn [c, d] thành n đoạn bằng nhau [yi−1 , yi ] có độ dài ∆y = (d − c)/n. Khi đó hình chữ nhật R được 1
TOÁN CAO CẤP 3 chia thành những hình chữ nhật nhỏ Rij có dạng Rij = [ xi−1 , xi ] × [y j−1 , y j ] = {( x, y)/xi−1 x x i , y j −1 y yj } có diện tích là ∆x∆y = ( xi − xi−1 ) · (y j − y j−1 ). ∗ ∗ ∗ ∗ 2. Tại ô Rij ta tính thể tích hình hộp chữ nhật có đáy Rij chiều cao f ( xij , yij ), (với ( xij , yij ) tùy ý thuộc ô Rij ), cụ thể bằng ∗ ∗ f ( xij , yij )∆x∆y. 3. Dựng các khối trụ có đáy Rij quét khắp R. Tổng thể tích các khối này gần bằng thể tích khối cần tìm. Tính tổng thể tích của dãy hình trụ thì ta được thể tích Vmn như sau m n Vmn = ∑ ∑ f (xij , yij )∆x∆y. ∗ ∗ i =1 j =1 Thể tích này xấp xỉ gần bằng thể tích V của vật thể ban đầu. TS. Bùi Thanh Duy 2 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 4. Độ chính xác càng cao tức xấp xỉ càng tốt khi lưới được chia dày đặc hơn, hay m, n đủ lớn. Khi đường kính lớn nhất của các miền Rij dần tới 0, tức là m, n → +∞ thì Vmn dần tới một giới hạn. Giới hạn này chính là thể tích V của vật thể ban đầu và bài toán đặt ra đã được giải. Vậy m n V= lim m,n→+∞ Vmn = lim m,n→+∞ ∑ ∑ f (xij , yij )∆x∆y. ∗ ∗ i =1 j =1 Từ bài toán này người ta xây dựng định nghĩa tích phân bội hai cũng tương tự như vậy nhưng lúc này hàm f có dấu bất kì trên miền R. Ta có định nghĩa sau: Cho hàm z = f ( x, y) xác định trên hình chữ nhật R. Nếu m n lim m,n→+∞ ∑ ∑ f (xij , yij ) · ∆x∆y ∗ ∗ i =1 j =1 tồn tại thì giới hạn này được gọi là tích phân bội hai của f trên R, ký hiệu là f ( x, y)dxdy. Vậy R m n f ( x, y)dxdy = lim m,n→+∞ ∑ ∑ f (xij , yij ) · ∆x∆y ∗ ∗ . R i =1 j =1 Như vậy trong trường hợp hàm f ( x, y) 0, ∀( x, y) ∈ R thì thể tích của vật thể (Ω) được chính là tích phân bội hai của f trên R, tức là V= f ( x, y)dxdy. R Để khảo sát tích phân f ( x, y)dxdy trên miền D bất kỳ (hình bên dưới) D ta mở rộng hàm f xác định trên hình chữ nhật R bao quanh D bằng hàm F sau đây f ( x, y), ( x, y) ∈ D F ( x, y) = (Equation 1) 0, ( x, y) ∈ D / Nếu F có tích phân trên R thì f ( x, y)dxdy = F ( x, y)dxdy. D R TS. Bùi Thanh Duy 3 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 1.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN Ta có một vài tính chất cơ bản của tích phân bội hai như sau 1. ( f ( x, y) + g( x, y))dxdy = f ( x, y)dxdy + g( x, y)dxdy. D D D A f ( x, y)dxdy = A f ( x, y)dxdy. D D 2. Nếu D chia thành hai miền D = D1 ∪ D2 trong đó D1 , D2 không trùng lắp lên nhau thì f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy. D D1 D2 3. Nếu f ( x, y) g( x, y), ∀( x, y) ∈ D thì f ( x, y)dxdy g( x, y)dxdy. D D 1.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BỘI HAI Xét tích phân I= f ( x, y)dxdy. D Ta chia D thành các trường hợp sau. 1. Nếu D = {( x, y)/a x b, c y d} (Miền hình chữ nhật) thì     b d d b I=  f ( x, y)dydx =  f ( x, y)dx dy. a c c a 2. Nếu D là miền loại 1, tức là D = {( x, y)/a x b, g1 ( x ) y g2 ( x )} TS. Bùi Thanh Duy 4 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 thì   b g2 ( x ) I= f ( x, y)dydx.    a g1 ( x ) 3. Nếu D = {( x, y)/c y d, h1 (y) x h2 (y)} (Miền loại 2) thì   d h2 ( y ) I= f ( x, y)dx dy.    c h1 ( y ) Ta xem giải thích về công thức 2 trong tài liệu Calculus của James Stewart như sau. Chứng minh tương tự cho công thức 3. Ví dụ: 1. Tính tích phân I= ( x + 2y)dxdy D 32 với D giới hạn bởi đường cong y = 2x2 ; y = 1 + x2 . Đáp số I = . 15 2. Tính tích phân I= xydxdy D trong đó D giới hạn bởi đường cong y = x − 1; y2 = 2x + 6. Đáp số I = 36. TS. Bùi Thanh Duy 5 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 TS. Bùi Thanh Duy 6 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 Bài tập: 1. Tính I= xe xy dxdy, D trong đó D là hình chữ nhật 0 x 1, 1 y 2. 2. Tính I= x sin ydxdy, D trong đó D là hình tam giác OAB với A(π, 0), B(π, π ). 3. Tính I= x2 y − 2xy dxdy, D trong đó D là hình chữ nhật x ∈ [0, 3], y ∈ [−2, 0]. 4. Tính I= ye xy dxdy, D trong đó D là miền bị giới hạn bởi các đường y = 1; y = 4; x = 0; xy = 1 TS. Bùi Thanh Duy 7 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 5. Tính xe2y I= dxdy, 4−y D trong đó D là miền bị giới hạn bởi các đường x = 0; y = 0; y = 4 − x2 và nằm trong miền x, y 0. 6. Tính I= ( x − y)dxdy, D trong đó D là miền bị giới hạn bởi các đường y = x; y = 2 − x2 . 7. Tính I= x2 ydxdy, D trong đó D là miền bị giới hạn bởi các đường y = x2 ; 4y = x2 ; y = 4 và nằm trong miền x 0. 8. Tính I= x2 ydxdy, D x 2 y2 trong đó D là miền bị giới hạn bởi đường ( E) : + = 1. 4 9 9. Tính I= | cos( x + y)|dxdy, D trong đó D là miền bị giới hạn bởi tam giác OAB với A(π, 0), B(0, π ). 10. Tính I= |y − x2 |dxdy, D trong đó D là hình chữ nhật | x | 1, 0 y 2. 1.4 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ Xét tích phân bội hai sau đây I= f ( x, y)dxdy. D Trường hợp 1: Đặt x = h(u, v), y = k (u, v). TS. Bùi Thanh Duy 8 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 ∂h ∂h ∂u ∂v Lúc này, với mọi ( x, y) ∈ D, ta suy ra (u, v) ∈ D . Ta định nghĩa J = . Lúc này, ta có ∂k ∂k ∂u ∂v I= f (h(u, v), k (u, v)) | J |dudv. D Công thức đổi sang tọa độ cực. Với mọi M ( x, y) ∈ (Oxy). Đặt r = OM, ϕ = (Ox, OM) và đặt x = h(r, ϕ) = r cos ϕ, y = k (r, ϕ) = r sin ϕ. Lúc này, với mọi ( x, y) ∈ D, ta suy ra (r, ϕ) ∈ D và ta có ∂h ∂h ∂r ∂ϕ J= = r, ∀(r, ϕ) ∈ D . ∂k ∂k ∂r ∂ϕ Suy ra I= f (h(r, ϕ), k (r, ϕ)) rdrdϕ. D Ví dụ: Tính I= x2 + y2 dxdy, D D là miền nằm giữa hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 = 1; (C2 ) : x2 + y2 = 4. Bài tập: TS. Bùi Thanh Duy 9 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 Trường hợp 2: Đặt u = h( x, y), v = k ( x, y). Lúc này, với mọi ( x, y) ∈ D, ta suy ra (u, v) ∈ D . Giả sử ∂h ∂h ∂x ∂y J= = 0, ∀( x, y) ∈ D. ∂k ∂k ∂x ∂y Ta có I= g (u, v) | J |−1 dudv. D Ví dụ: Tính I= ( x + y)3 ( x − y)2 dxdy, D D là miền bị giới hạn bởi d1 : x + y = 1; d2 : x + y = 3; d3 : x − y = 1; d4 : x − y = −1. TS. Bùi Thanh Duy 10 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 1.5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI HAI 1. Diện tích hình phẳng được cho bởi công thức S( D ) = dxdy. D 2. Thể tích hình trụ cong bị giới hạn trên bởi mặt (S) : z = f ( x, y), f ( x, y) 0, giới hạn dưới bởi mặt z = 0 và bị giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với Oz có đường chuẩn là biên của D được cho bởi công thức V= f ( x, y)dxdy. D 3. Diện tích mặt cong (S) : z = f ( x, y) có hình chiếu xuống (Oxy) là D được cho bởi công thức S= 2 2 1 + f x + f y dxdy. D 4. Khối lượng của một mảnh phẳng D trong (Oxy) với hàm khối lượng riêng là p( x, y) được cho bởi công thức M= p( x, y)dxdy. D 5. Mômen quán tính của mảnh phẳng D với hàm khối lượng riêng là p( x, y) được cho bởi công thức Ix = y2 p( x, y)dxdy D đối với trục Ox, Iy = x2 p( x, y)dxdy D TS. Bùi Thanh Duy 11 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 đối với trục Oy và IO = ( x2 + y2 ) p( x, y)dxdy D đối với gốc O. 6. Mômen tĩnh của mảnh phẳng D với hàm khối lượng riêng là p( x, y) được cho bởi công thức Mx = yp( x, y)dxdy, D My = xp( x, y)dxdy. D My M x 7. Tọa độ trọng tâm được cho bởi công thức , . M M TS. Bùi Thanh Duy 12 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 TS. Bùi Thanh Duy 13 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 1.6 BÀI TẬP y 1. Tính I = dxdy, trong đó D là miền bị giới hạn bởi các đường xy = 1; xy = 2; y = x; x D y = 3x. 1 2. Tính I = dxdy, trong đó D là miền ( x − 1)2 + y2 1; y 0. 4− x2 − y2 D 3. Tính I = x2 + y2 dxdy, trong đó D là miền ( x − a)2 + y2 a2 ( a > 0). D x 2 y2 x 2 y2 4. Tính I = 1− − 2 dxdy, trong đó D là miền bị giới hạn ellipse ( E) : 2 + 2 = 1. a2 b a b D 5. Tính diện tích hình phẳng D bị giới hạn bởi các đường y = 0; y = 4x; x + y = 3 và D nằm phía trên Ox. 6. Tính diện tích hình phẳng D bị giới hạn bởi các đường x2 + y2 = 2x; x2 + y2 = 4x; y = x và y = 0. √ 7. Tính thể tích vật thể (V ) bị giới hạn bởi các mặt z = 1 − x2 − y2 ; y = x; y = 3x và z = 0 ( x, y, z 0). 8. Tính thể tích khối bị giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2 , y = 2x, y = x2 . √ 9. Tính diện tích mặt trụ x2 = 2z bị cắt bởi các mặt x − 2y = 0; y = 2x; x = 2 2. 10. Tính e x+y sin 2x (1 + sin y) I= dxdy, 1 + cos y D π π trong đó D là miền 0 x ;0 y . 2 2 11. Tính +∞ 2 I= e− x dx. −∞ 12. Tính x2 I= +y 1 + x2 dxdy, 2 D trong đó D là miền 0 x 1; 0 y 1. TS. Bùi Thanh Duy 14 duybui55@gmail.com
Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI BA I= f ( x, y, z)dxdydz, E trong đó f ( x, y, z) là một hàm ba biến xác định trên miền bị chặn E ⊂ R3 . dxdydz gọi là yếu tố thể tích. 2.1 GIỚI THIỆU Cho khối hộp chữ nhật B = [ a, b] × [c, d] × [r, s] trong không gian và hàm f ( x, y, z) 0, ∀( x, y, z) ∈ B là hàm mật độ khối lượng của khối B hay còn gọi là hàm khối luợng riêng. Bài toán đặt ra là làm thế nào để xác định được khối lượng m của vật thể này. Để giải bài toán này người ta làm như sau 1. Đầu tiên chia B thành những hình hộp chữ nhật nhỏ bằng cách: chia [ a, b] thành l khoảng con [ xi−1 , xi ] = ∆x, chia [c, d] thành m khoảng con [y j−1 , y j ] = ∆y, chia [r, s] thành n khoảng con [zk−1 , zk ] = ∆z. Mỗi hình hộp chữ nhật con Bijk = [ xi−1 , xi ] × [y j−1 , y j ] × [zk−1 , zk ] có thể tích ∆V = ∆x∆y∆z. 15
TOÁN CAO CẤP 3 2. Lập tổng khối luợng của dãy các khối Bijk l m n mlmn = ∑∑∑ ∗ ∗ ∗ f ( xijk , yijk , zijk )∆V. i =1 j =1 k =1 ∗ ∗ ∗ với ( xijk , yijk , zijk ) lấy (tùy ý) trong hình hộp Bijk . Khối lượng này xấp xỉ gần bằng khối lượng m của B. 3. Để tăng thêm độ chính xác ta sẽ giảm bớt kích thước của các phần Bijk bằng cách tăng số lượng các phần Bijk lên. Khi đường kính lớn nhất của các khối Bijk dần tới 0, tức là l, m, n → +∞ thì mlmn dần tới một giới hạn. Giới hạn này chính là khối lượng m của B và bài toán đặt ra đã được giải. Vậy l m n m= lim l.m,n→+∞ ∑∑∑ ∗ ∗ ∗ f ( xijk , yijk , zijk )∆x∆y∆z. i =1 j =1 k =1 Từ bài toán này người ta xây dựng tích phân bội ba cũng tương tự như vậy nhưng lúc này hàm f có dấu bất kì trên miền hình hộp chữ nhật B. Ta có định nghĩa sau: Cho hàm f ( x, y, z) xác định trên B = [ a, b] × [c, d] × [r, s]. Nếu l m n lim ∑∑∑ l,m,n→∞ i =1 j=1 k=1 f ( xijk , yijk , zijk )∆x∆y∆z tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là tích phân bội ba của f trên B, ký hiệu là f ( x, y, z)dxdydz. B Vậy l m n f ( x, y, z)dxdydz = lim ∑∑∑ l,m,n→∞ i =1 j=1 k=1 f ( xijk , yijk , zijk )∆x∆y∆z. B Trong trường hợp f là hàm mật độ khối lượng của B thì tích phân của f trên B chính là khối lượng của B, tức là m = f ( x, y, z)dxdydz. B Ta định nghĩa tích phân bội ba trên miền bị chặn Ω trong không gian ba chiều tương tự như tích phân bội hai. Bằng cách đựng Ω trong hình hộp B, khi đó định nghĩa hàm F = f trên Ω và F = 0 bên ngoài Ω. Nếu tích phân của F trên B tồn tại thì f ( x, y, z)dxdydz = F ( x, y, z)dxdydz. Ω B TS. Bùi Thanh Duy 16 duybui55@gmail.com
TOÁN CAO CẤP 3 2.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN Ta có một vài tính chất cơ bản của tích phân bội ba như sau 1. ( f ( x, y, z) + g( x, y, z))dxdydz = f ( x, y, z)dxdydz + g( x, y, z)dxdydz Ω Ω Ω A f ( x, y, z)dxdydz = A f ( x, y, z)dxdydz. Ω Ω 2. Nếu D chia thành hai miền Ω = Ω1 ∪ Ω2 trong đó Ω1 , Ω2 không trùng lắp lên nhau thì f ( x, y, z)dxdydz = f ( x, y, z)dxdydz + f ( x, y, z)dxdydz Ω Ω1 Ω2 3. Nếu f ( x, y, z) g( x, y, z), ∀( x, y, z) ∈ Ω thì f ( x, y, z)dxdydz g( x, y, z)dxdydz. Ω Ω 2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA Xét tích phân I= f ( x, y, z)dxdydz. E Lấy điểm ( x, y, z) ∈ E. 1. Nếu a x b, c y d, r z s thì     b d s I=   f ( x, y, z)dz dydx. a c r 2. Nếu ( x, y) ∈ D, trong đó D là hình chiếu vuông góc của E lên (Oxy) và u1 ( x, y) z u2 ( x, y) thì   z2 ( x,y) I= f ( x, y, z)dzdxdy.    D z1 ( x,y) 3. Nếu ( x, z) ∈ D, trong đó D là hình chiếu vuông góc của E lên (Oxz) và u1 ( x, z) y u2 ( x, z) thì   y2 ( x,z) I= f ( x, y, z)dydxdz.    D y1 ( x,z) TS. Bùi Thanh Duy 17 duybui55@gmail.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.