Giáo trình Xác suất: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

163
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình này được viết dựa trên các bài giảng của tác giả về lý thuyết xác suất, dành cho sinh viên và học viên cao học ngành Toán. Giáo trình gồm 4 chương. Phần 1 sau đây gồm nội dung chương 1, chương 2. Chương 1 trình bày về một số khái niệm và tính chất mở đầu của lý thuyết xác suất: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố, xác suất có điều kiện, tính độc lập của các biến cố, dãy phép thử Bernoulli.... Các khái niệm và tính chất này sẽ được dùng nhiều ở các chương sau. Chương 2 trình bày các vấn đề liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên: Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên, các loại đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối, bảng phân phối và hàm mật độ xác suất, các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất: Phần 1

NGUYỄN VĂN QUẢNG GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI HỌC Quốc G I A HÀ NỘI
MỤC L Ụ C L ờ i nói đ ầ u 3 Ì B i ế n c ô v à x á c suất 5 1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp 5 1.2 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố l i 1.3 Xác suất của biến cố 17 1.4 Xác suất có điều k i ệ n . . . 27 1.5 Dãy phép thử Bernoulli 37 Bài tập 41 2 Đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n v à p h â n p h ố i x á c s u ấ t 49 2.1 Đ ạ i lượng ngẫu nhiên 49 2.2 Các loại đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n 55 2 3 Các số đặc t r ư n g của đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n 61 2.4 Một số phân phối xác suất quan trọng 73 2.5 Vectơ ngẫu nhiên 89 Bài tập 102 ì
3 Một s ố đ ị n h lý giới h ạ n 114 3.1 M ộ t số bất đẳng thức cơ bản 114 3.2 Các dạng hội t ụ 120 3.3 M ộ t số định lý giới h ạ n theo p h â n phối 134 3.4 Chuỗi các đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập 145 3.5 L u ậ t số lớn 148 Bài tập 160 4 K ỳ vọng c ó đ i ề u k i ệ n v à martingale 166 4.1 Kỳ vọng có điều k i ừ n 166 4.2 Thời điểm Markov và thời điểm dừng Ì76 4.3 Martingale • 181 4.4 M ộ t số bất đẳng thức cơ bản 194 4.5 Một số định lý giới h ạ n 200 4.6 L u ậ t số lớn 208 Bài tập 217 Hướng dẫn giải bài tập 224 Tài l i ệ u tham khảo 255 2 i
L Ờ I NÓI ĐẦU Giáo trình này được viết dựa trên các bài giảng của tác giả về lý thuyết xác suất, d à n h cho sinh viên và học viên cao học n g à n h Toán. Giáo t r ì n h gồm 4 chương. Chương Ì t r ì n h bày về một số khái niệm và t í n h chất mở đ ầ u của lý thuyết xác suất: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố. xác suất có điều kiện. tính độc lập của các biến cố, dãy p h é p t h ử Bernoulli.... Các khái niệm và t í n h chất này sẽ được d ù n g nhiều ở các chương sau. C h ư ơ n g 2 t r ì n h bày các vấn đề liên quan đến đ ứ i lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên: Khái niệm đ ứ i lượng ngẫu nhiên, các loứi đ ứ i lượng ngẫu nhiên, h à m p h â n phối, bảng p h â n phối và h à m mật độ xác suất. các số đặc trưng của đ ứ i lượng ngẫu nhiên... C h ư ơ n g 3 t ậ p trung nghiên cứu về các định lý giới hứn đối với d ã y đ ứ i lượng ngẫu nhiên độc lập. Trong chướng này, trước hết chúng tôi đề cập đến bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Kolmogorov, vì đây là những bất đẳng thức cơ bản để nghiên cứu các định lý giới hứn nói chung và luật số lớn nói riêng. Sau đó chúng tôi giới thiệu về các dứng hội tụ và t r ì n h bày vắn t ắ t định nghĩa và t í n h chất của h à m đặc t r ư n g , d ù n g làm công cụ để nghiên cứu một số dứng của định 3
lý giới hạn trung t â m . Cuối cùng, chúng tôi t r ì n h bày sự hội t ụ của chuỗi các đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập và l u ậ t số lớn. Chương 4 t r ì n h bày về kỳ vọng có điều k i ệ n và martingale. Trong chương này. sau khi giới t h i ệ u khái n i ệ m k ỳ vọng có điều kiện, chúng tôi trình bày về thời đ i ể m Markov và thời đ i ể m dẳng, d ù n g làm công cụ đê nghiên cứu về martingale và các khái niêm liên quan. M ộ t số bất đ ẳ n g thức cơ bản, một số định lý giới hạn và luật số lớn đ ố i với martingale và các khái niệm liên quan cũng đ ã được đề cập đ ế n trong chương này. C h ú ý rằng. tẳ các kết quả của chương 4 có t h ể t h u l ạ i được m ộ t số kết quả của chương 3. Cuối mỗi chương đều có khá nhiều bài t ậ p , trong đó có m ộ t số bài tương đ ố i khó và còn ít x u ấ t hiện ở các giáo t r ì n h khác. Đ ố i với những bài này. chúng tôi có hướng dẫn giải ở cuối giáo t r ì n h Giáo trình này được hoàn t h à n h với sự hợp t á c , đ ó n g góp của các thạc sĩ va học viên cao học: Lê Văn T h à n h . Võ Thị Hồng Vân, Nguyễn Văn Huấn, Nguyễn Ngọc Huy, Phan Huy Hoàng, Nguyễn T h ị Thế.... N h â n dịp này, t á c giả x i n cảm ơn sự hợp tác, đóng góp của các hạn đó. Tác giả cũng xin cảm ơn các đồng nghiệp ở bộ môn X á c suất - T h ố n g kê và T o á n ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đ ạ i học - Trường D ạ i học V i n h đ ã quan t â m động viên tác giả hoàn t h à n h giáo t r ì n h này. Lý thuyết xác suất vẳa là môn học có ứng dụng rộng rãi, lại vẳa là môn học được xây dựng chặt chẽ về mặt lý thuyết. K ế t hợp được cả hai đặc điểm đó trong một giáo t r ì n h có thời lượng không nhiều là điều r ấ t khó. Do đó, mặc dù t á c g i ả d ã rất cố gắng nhưng chắc chắn giáo t r ì n h vần còn nhiều khiếm khuyết, mong được sự góp ý của bạn đọc. Tác giả 4
CHƯƠNG Ì B I Ế N C Ố VÀ X Á C SUẤT 1.1 B ô t ú c vê g i ả i tích t ô hợp Trong lí thuyết xác suất, nhiều khi phải tính số phần tử của một tập hợp. Giải tích tổ hợp cho ta một phương pháp tính số phần tử đó một cách nhanh chóng và chính xác. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số vấn đề cơ bản của giải tích tổ hợp được sử dụng nhiều trong các mục sau. Trước hết, chúng ta nghiên cứu quy tắc nhân và quy tắc cộng. Có nhiều cách trình bài các quy tắc này. Dưới đây là các trình bày mà theo chúng tôi là tương đối đơn giản và d vận dụng. 1.1.1 Q u y t ắ c n h â n Q u y t ắ c . Giả sử một hành động có thể được thực hiện qua k bước liên tiếp. Bước Ì có thề được thực hiện bằng ni cách, bước 2 có thể được thực hiện bằng TÌ2 cách,... bước k có thê được thực hiện bằng n cách. Khi đó. số cách đê thực hiện k hành động đó là n = ni.ĩỉ2...nfc. 5
Như vậy, khi một hành động có thể chia nhỏ thành nhiều bứơc, thì số cách thực hiện hành động đó bằng tích số cách thực hiện các bước. Ví dụ. 1. Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch. 5 bài hát, 3 điệu múa. Hội diễn chấ cho phép đội trình diễn một vở kịch. một bài hát, một điệu múa. Hỏi đội có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn của mình, biết rằng chất lượng các vở kịch, bài hát, điệu múa là như nhau. Giải. Việc chọn chương trình biểu diễn có thể được thực hiện qua 3 bước Bước 1: Chọn Ì vở kịch trong 2 vở kịch. Có 2 cách. Bước 2: Chọn Ì bài hát trong 5 bài hát. Có 5 cách. Bước 3: Chọn Ì điệu múa trong 3 điệu múa. Có 3 cách. Từ đó. áp dụng quy tắc nhân suy ra đội văn nghệ có TI — 2.3.5 = 30 cách chọn chương trình biểu diễn. 2. Với các chữ số Ì, 2, 3.4, 5. có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? Giải. Mỗi số cần tìm có dạng X = õYõõõ^ãỊ với { a i , Ũ2, A3, dị} c { 1 . 2 . 3 . 4 , 5 } . Muốn xác định X, ta phải chọn ai, 0,2, « 3 , a (4 bước). Vì X là 4 số chẵn, nên ta chọn dị trước, rồi chọn O i , (lo, (ki- Bước 1: Chọn dị . Vì X là số chẵn, nên dị — 2 hoặc dị — 4. Có 2 cách chọn a .4 Bước 2: Chọn a i . Vì a i ^ (Lị. nên có 4 cách chọn a\. a a 11 n Bước 3: Chọn a . Vì ao2 Ỷ 4i 2 Ỷ ì ên còn 3 cách chọn Ũ2- a a a a Bước 4: Chọn ŨỊ. Vì a3 Ỷ 4 i 3 7^ i và ° 3 7^ 2 nên còn 2 cách chọn CZ3. 6
T ừ đó, áp dụng quy tắc n h â n suy ra số các số cần tìm là n = 2.4.3.2 == 48. 1.1.2 Q u y t ắ c c ộ n g Q u y t ắ c . Giả sử các phần tử của một tập hợp có thề được chia thành k loại khác nhau; loại Ì có m phần tử, loại 2 có Ui phần tử...loại k có /ỈA- phần tử. Khi đó số phần tử của tập hợp đó là lĩ = n-ị f 722 + ' • ' + k- n Dựa vào quy tắc cộng, ta có t h ể chuyển bài toán về tính số phần t ử của một tập hợp phức tạp về các bài toán tính số phần t ử của các t ậ p hợp đơn giản hơn. V í d ụ . Có bao nhiêu số có các chớ số khác nhau được lập t h à n h t ừ 4 chớ số 1,2,3,4. Giải. T ậ p hợp các số cần lập có thể chia làm 4 loại Loại 1: C á c số có Ì chớ sô. Có rỉ] — 4 số: Ì, 2, 3, 4. Loại 2: Các số có 2 c h ớ sô k h á c n h a u . Có 712 •- 4.3 = 12 số. Loại 3: C á c số có 3 chớ sô khác nhau. Có n = 4.3.2 = 24 số. 3 Loại 4: Các số có 4 chớ sô khác nhau. Có 'Lị = 4.3.2.1 — 24 số. T ừ đó, áp dụng quy tắc cộng, suy ra số các số cần tìm là n = 4 + 12 + 24 I 2 4 - 6 1 . 1.1.3 H o á n vị Đ ị n h nghĩa. M ỗ i cách sắp xếp n phần t ử cho trước theo một t h ứ tự nhất định gọi là một hoan vị của n phần tử đó. Kí hiệu số các hoán vị của n phần t ứ (lã cho là P . n Đ ị n h lý. .So hoán vị của lĩ phần tử là 7
Chứng minh. M ỗ i hoán vị của Tì phần t ử là kết q u ả của p h é p chọn gồm TI bước. Bước 1: Chọn phần t ử đ ầ u tiên cho h o á n vị. C ó Ti cách chọn. Bước 2: Chọn phần t ử t h ứ hai cho h o á n vị. C ó (lĩ — 1) cách chọn. Bước k: Chọn phần tử t h ứ k cho h o á n vị. Có (n — k + 1) cách chọn. Bước n: Chọn phần t ử t h ứ n cho h o á n vị. C ó ( n — Ti + 1) = Ì cách chọn. Do đó, theo qui tắc n h â n , số h o á n vị của n p h ầ n t ử là pn = nịu - ì)...{ri - k + ì)...ì = ra!. V í d ụ . G i ả sử một lớp có 25 sinh viên. K h i đó, số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 25 sinh viên đó là F25 = 25!. 1.1.4 C h i n h hợp Đ ị n h nghĩa. M ỗ i bộ sắp t h ứ t ự gồm k phần t ử k h á c nhau, lấy từ ri phần t ử đã cho gọi là m ộ t chỉnh hợp chập k của n phần t ử đó (0 < k < n). Ký hiậu số các chỉnh hợp chập k của n phần t ử là Aị. Bằng lập luận tương t ự n h ư đ ố i với h o á n vị, ta được Đ ị n h lý. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là ni Ai = - '"• , = nin - l ) ( n -k + 1). (n~k)\ V í d ụ . Có bao nhiêu số k h á c nhau gồm 3 chữ số được lập t ừ 4 chữ số 1. 2, 3, 4? Giải. M ỗ i số n h ư vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 4 p h ầ n tử. 8
Do đó số các số n h ư vậy là 4! 4! = 24. (4 - 3)! 1.1.5 C h ỉ n h h ợ p l ặ p Đ ị n h n g h ĩ a . M ộ t bộ sắp t h ứ t ự gồm k phần t ử (không nhất thiết khác nhau) lấy từ n phần tử đ ã cho gọi là một chỉnh hợp lập chập k cỏa n phần t ử đó (k > 0). N h ư vậy. khác với chỉnh hợp. trong m ỗ i chỉnh hợp lặp, không đòi hỏi các phần t ử phải khác nhau. Chẳng hạn t ấ t cả các chỉnh hợp lặp chập 2 cỏa 3 phần t ử cỏa tập M = { 1 , 2 , 3 } là (1,1), (1,2), (1.3). (2. 1), (2, 2), (2.3), (3.1), (3. 2), (3,3). SỐ các chỉnh hợp lặp chập k cỏa Tì phần t ử được kí hiệu lài*. D i n h lý. Số các chỉnh hợp lập chập k của Tí phần tử đã cho là Chứng minh. M ỗ i chỉnh hợp lặp chập k cỏa TI phần t ử là kết quả cỏa h à n h động chọn gồm k bước. M ỗ i bước đều có Tì cách thực h i ệ n (vì k h ô n g đòi hỏi các phần t ử phải khác nhau). T ừ (ló. theo qui tắc n h ã n , ta có k A„ = n.n....n n Trong ví dụ t r ẽ n , ta có n = 3, k = 2. Vậy số các chỉnh hợp lặp chập 2 cỏa 3 phần t ử là 2 Ảị = 3 = 9. 9
V í d ụ . Có bao nhiêu cách sắp xếp ngẫu nhiên 15 h à n h khách lên ba toa t à u ? Giải. M ỗ i cách sắp xếp như vậy là một chỉnh hợp l ặ p chập 15 của 3 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là 15 Ẵ\ b = 3 . 1.1.5 T ổ h ợ p Đ ị n h n g h ĩ a . M ộ t tập con (không kể t h ấ t ự ) gồm k phần tử lấy t ừ n phần tử đ ã cho gọi là m ộ t tồ hợp chập k của n phần t ử đó (0 < k < n). Ký hiệu c£ là số các t ổ hợp chập k của n p h ầ n t ử đ ã cho. Đ ị n h lý. Số tổ hợp chập k của n phần tử là c = knyutl:0! n " I = wấw. - Chứng minh. M ỗ i tổ hợp chập k của Tì phần t ử sinh ra kì chỉnh hợp chập k khác nhau của n phần t ử đ ó (các chỉnh hợp này chỉ khác nhau ỏ t h ấ tự sắp xếp của các p h ầ n t ử ) . Do đó ta có A = k n k\cl Suy ra k k A c — —í " " jfc! • Dinh lý được chấng minh. T ừ công thấc nêu trong định lý t r ê n , dỗ d à n g suy ra các công thấc sau đây ^- ít li C nk — u /~ik—ì n-l + I (~ik V i ' 10
V í d ụ . Có bao nhiêu cách sắp xếp ngẫu nhiên 15 h à n h khách lên 3 toa t à u mà toa t h ứ nhai có đ ú n g 3 h à n h khách? Giải. Ta thấy có CỊ cách lấy 3 trong 15 h à n h khách cho 5 vào toa ì. Số cách p h â n ngẫu nhiên 12 người còn l ạ i lên hai 1 toa kia là 2 . Vậy số cách p h â n ngẫu nhiên 15 h à n h khách 1 2 lên 3 toa t à u m à toa ì có đ ú n g 3 h à n h khách là C f x 2 . 5 1.1.7 C ô n g t h ứ c n h ị t h ứ c N e w t o n T r ẽ n t ậ p số thực, ta đ ã rất quen thuộc với các hằng đẳng thức 2 (a 4 b) = a 4- 2ab + b . 3 2 2 3 (a + bf = a + 3a b+ 3ab + b. Bằng qui nạp có t h ể chứng minh dưặc công thức sau đây, gọi là công thức nhị thức Newton n k n k in + bỴ = E C*a b ~ k=0 (Va, ỏ e R). Đặc b i ệ t . với a = b = Ì ta có 2" = E ^ C * . =0 A Với a = Ì, b — -Ì ta có 0 = £ ^ . „ ( - 1 ) " "C*. Nếu thay b bởi -b thì ta có công thức k h k n k (a - by = E ^ ( - 1 ) " c a b - = 0 n (Va. 6 6 R). 1.2 P h é p thử ngẫu nhiên và biến cố 1.2.1 T ấ t n h i ê n v à n g ẫ u n h i ê n Như ta đã biết, các hiện tưặng trong tự nhiên và xã hội có thổ đưặc chia l à m hai loại: tất nhiên và ngẫu nhiên. Hiện tượng tất nhiên là hiện tưặng chắc chắn xảy ra khi có một họ điều kiện nào đó đưặc thực hiện. Chẳng hạn, với điều li
kiện áp suất bình thường của khí quyển và nhiệt đ ộ 100°c nước chắc chắn sôi; với điều kiện cho axít clohiđric (HC1) tác dụng với natri hiđrôxit (NaOH) chắc chắn x u ấ t h i ệ n m u ố i ăn và nước... Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng có t h ể xảy ra hoặc không xảy ra khi có m ộ t họ điều kiện n à o đó được được thực hiện. Chẳng hửn, khi ta gieo m ộ t đồng t i ề n đ ố i xứng, ta không t h ể biết được mặt sấp hay m ặ t ngửa sẽ x u ấ t hiện. N h ư vậy. các hiện tượng " M ặ t sấp x u ấ t h i ệ n " và " M ặ t ngửa x u ấ t hiện" là các hiện tượng ngẫu nhiên. K ế t quả của m ộ t l ầ n k i ể m tra chất lượng sản phẩm, kết quả của m ộ t l ầ n bắn bia...cũng là những hiện tượng ngẫu nhiên. T í n h bất định của sự xuất hiện của các hiện t ư ợ n g ngẫu nhiên làm nẩy sinh nhu cầu nghiên cứu k h ả n ă n g x u ấ t hiện của chúng. Đây chính là m ộ t trong những n g u y ê n n h â n ra đời và p h á t t r i ể n của lý thuyết x á c suất. 1.2.2 P h é p t h ử n g ẫ u n h i ê n v à k h ô n g g i a n b i ế n cố sơ cấp Để nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta thường phải t i ế n h à n h các phép t h ử ngẫu nhiên. Phép thử ngẫu nhiên là m ộ t h à n h động m à kết q u ả của nó là ngẫu nhiên, không t h ể dự b á o trước dược. K h i thực hiện p h é p t h ử ngẫu nhiên thì các kết quả của nó k h ô n g t h ể xác định trước được. Tuy nhiên, ta có t h ể xác định được t ậ p hợp t ấ t cả các kết q u ả có t h ể có của nó. Tập hợp đ ó được gọi là không gian biến cố sơ cấp và được ký hiệu bởi chữ ũ. M ỗ i phần t ử U) của Q sẽ được gọi là một biến cố sơ cấp (BCSC). V í d ụ . K h i tung một đồng t i ề n cân đ ố i đồng chất ta không biết trước kết quả là x u ấ t hiện m ặ t sấp (S) hay m ặ t ngửa ( N ) . Tuy nhiên, có t h ể x á c định được các k ế t q u ả có 12
thổ có là s và N . Vậy h à n h động tung đồng t i ề n là một p h é p t h ử ngẫu nhiên và k h ô n g gian biến cố sơ cấp của p h é p t h ử này là ũ = {S,N}. T ư ơ n g t ự , h à n h động tung m ộ t con xúc xắc cân đ ố i đồng chất, h à n h động k i ể m tra ngẫu nhiên chất lượng sản phẩm của m ộ t n h à máy... cũng là những p h é p t h ử ngẫu nhiên. 1.2.3 B i ế n c ố G i ả sử G là m ộ t p h é p t h ử ngẫu nhiên. M ộ t sự kiặn, m à viặc xảy ra hay k h ô n g xảy ra của nó phụ thuộc hoàn t o à n vào kết q u ả của G, được gọi là m ộ t biến cố của G. M ộ t BCSC tu của G được gọi là t h u ậ n lợi cho biến cố A nếu k h i kết q u ả của G là Lơ t h ì A xảy ra. V í d ụ . X é t p h é p t h ử : Tung một con xúc xắc cân đ ố i , đồng chất. G ọ i Mi là biến cố "xuất hiặn m ặ t i chấm", c là biến cố "xuất hiặn m ặ t có số chấm chẵn", L là biến cố "xuất hiặn m ặ t có số chấm l ẻ " . Vậy t h ì K h ô n g gian các BCSC là íĩ = { M i , Ma, M , M , M , Me}. 3 4 5 T ậ p hợp các BCSC t h u ậ n lợi cho c là { M , Mị, M e } . 2 T ậ p hợp các BCSC t h u ậ n lợi cho L là { M i , A / , M } . 3 5 N h ậ n x é t r ằ n g m ộ t biến cố được xác định hoàn t o à n với t ậ p hợp các BCSC t h u ậ n lợi cho nó. Vì lí do đó, trong lí thuyết x á c suất; người ta đồng nhất m ộ t biến cố với tập con của ũ gồm các BCSC thuận lợi cho biến cố đó. Chẳng hạn, trong ví dụ trên c = { M-ì. Mi, Me } L = {Mi, M , M } 3 5 N h ư vậy, có t h ể hiểu n ô m na là, các biến cố được t ạ o nên t ừ các BCSC. C á c loại b i ế n c ố M ộ t b i ế n cố được gọi là biến cố không thế có, nếu nó không 13
t h ổ x ả y ra k h i p h é p t h ử đ ư ợ c t h ự c h i ệ n . N h ư v ậ y k h ô n g c ó B C S C n à o c ủ a í ì t h u ậ n l ợ i cho b i ế n cố k h ô n g t h ể c ó . D o đ ó , b i ế n cố k h ô n g t h ể c ó đ ư ợ c đ ồ n g n h ấ t v ớ i t ậ p 0. M ộ t b i ế n cố đ ư ợ c g ọ i l à biến cố chắc chắn, n ế u nó chắc c h ắ n x ả y r a k h i p h é p t h ử đ ư ợ c t h ự c h i ệ n . M ọ i B C S C của phép t h ử đ ề u t h u ậ n l ợ i cho b i ế n cố chắc c h ắ n . D o đ ó , b i ế n cố c h ắ c c h ắ n đ ư ợ c đ ồ n g n h ấ t với t o à n b ộ t ậ p ũ. M ộ t b i ế n cố đ ư ợ c g ọ i l à biến cố ngẫu nhiên, n ế u nó có t h ể x ờ y r a hoặc k h ô n g x ả y ra k h i p h é p t h ử đ ư ợ c t h ự c h i ệ n . B i ế n cố n g ẫ u n h i ê n t h ư ờ n g đ ư ợ c k ý h i ệ u b ở i c á c c h ữ i n A, B, c . •.. C h ẳ n g h ạ n . t r o n g ví d ụ t r ê n B i ế n cố "Số c h ấ m x u ấ t h i ệ n > 6" là b i ế n cố k h ô n g thể có (0 ) B i ế n cố "Số c h ấ m x u ấ t h i ệ n < 6" là b i ế n cố c h ắ c c h ắ n (Q) C á c b i ế n cố c = { M , Mi, M e } } và L = {Mì. 2 Mị. Mai là c á c b i ế n cố n g ẫ u n h i ê n . 1.2.4 Q u a n h ệ và p h é p t o á n giữa các b i ế n cố Q u a n h ệ t h u ậ n l ợ i . T a n ó i b i ế n cố A thuận lợi cho b i ế n cố B n ế u k h i A x ả y ra t h ì B x ả y ra. R õ r à n g , A t h u ậ n l ợ i cho B k h i v à chỉ k h i t ậ p h ợ p c á c B C S C t h u ậ n l ợ i cho A là t ậ p con của t ậ p h ợ p c á c B C S C t h u ậ n l ợ i cho B . D o đ ó , n ế u A t h u ậ n l ợ i cho B t h ì t a kí h i ệ u Ac B Q u a n h ệ b ằ n g n h a u . H a i b i ế n cố A và B g ọ i l à bằng nhau (hay tương đương) n ế u A x ả y ra k h i và chỉ k h i B x ả y ra. Nói c á c h k h á c , A và B b ằ n g n h a u k h i và chỉ k h i A c B và B c Ả. N ế u A và B b ằ n g n h a u t h ì t a kí h i ệ u A = B. 14
H ợ p c ủ a c á c b i ế n cố. Biến cố A được gợi là hợp của 2 biến cố B và c nếu A xảy ra khi và chỉ khi ít nhất m ộ t trong 2 biến cố B hoặc c xảy ra. Lúc đó ta có kí hiệu A = B u c Tông quát. B i ế n cố A được gọi là hợp của họ biến cố Aị(i G / ) nếu A xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong các biến cố Aị(i £ ì) xảy ra. Kí hiệu .4 = ÙA- te/ G i a o c á c b i ế n cố. Biến cố /Ì được gọi là giao (tích) của 2 biến cố B và c nếu Ẩ xảy ra khi và chỉ khi B và c đồng thời xảy ra. Kí hiệu A = BÓC ( A = B.C). Tổng quát. B i ế n cố A được gọi là giao (tích) của họ các biến cố j4j, (í € ỉ) nếu .4 xảy ra khi và chỉ khi t ấ t cả các Ai, (i 6 /) đều xảy ra. Kí hiệu A = f]Ai (A = Hiu Ai). H i ệ u c á c b i ế n cố. Biến cố A được gọi là hiệu của biến cố s với biến cố c nếu A xảy ra khi và chỉ khi J5 xảy ra và c không xảy ra. Kí hiệu A = B\c. 15
C á c b i ế n cố x u n g k h ắ c . Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không t h ể đồng t h ờ i x ả y ra. Nói cách khác, A và B được gọi là xung khắc nếu A.B = 0. B i ế n cố đ ố i l ậ p . B i ế n cố A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A nếu A xảy ra khi và chỉ k h i A k h ô n g xảy ra. Rõ ràng lúc đó ta có A = Ã, A = n\Ã, A = A. H ọ đ ầ y đ ủ c á c b i ế n cố. H ọ n biến cố Hi,ỈỈ2, •••• H đượcn gọi là họ đầy đủ các biến cố nếu c h ú n g thoa m ã n đồng thời hai điều kiện sau 1. C h ú n g xung khắc với nhau đôi m ộ t . Tức là 2. Hợp của chúng là biến cố chắc chắn. Tức là Hi u H 2 u H n = a Nói cách khác, Hi, Ỉ Ỉ 2 , H n là h ọ đ ầ y đ ủ các biến cố nếu khi p h é p t h ạ được thực hiện thì có m ộ t và chỉ một trong các biến cố đ ó xảy ra. Chẳng hạn nếu A là biến cố bất kì t h ì A và A lập t h à n h m ộ t họ đầy đ ủ . V í d ụ . Hai người cùng bắn, m ỗ i người bắn m ộ t viên vào bia. Ai là biến cố "Người t h ứ i bắn t r ú n g " (ỉ = 1.2). Vậy thì Ai À? là biến cố "cả hai người cùng bắn t r ú n g " . A\A2 u A\A 2 là biến cố "có đ ú n g m ộ t người bắn t r ú n g " . A1A2 là biến cố "không ai bắn t r ú n g " . 16