intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình Xác suất thống kê B: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST
Báo xấu
9
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Xác suất thống kê B: Phần 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Lý thuyết mẫu; bài toán ước lượng; kiểm định giả thuyết thống kê; tương quan và hồi quy. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất thống kê B: Phần 2

  1. PH N B. TH NG KÊ Có nhi u nh nghĩa v thu t ng th ng kê. Tuy nhiên chúng h u h t u t p trung nói v “Th ng kê là tham mưu, là k ho ch, là d báo” Có th coi Th ng kê là m t khoa h c v thu th p và x lí s li u t ó ưa ra các k t lu n khoa h c và th c ti n theo sơ sau: Quan tr c S li u th ng kê Mô t , phân tích D oán, ưa ra các quy t nh.
  2. TRƯ NG I H C TI N GIANG Chương 3. LÝ THUY T M U M c tiêu Sau khi h c xong chương này, sinh viên c n t ư c: 1. Ki n th c - Hi u ư c ý nghĩa th c t các khái ni m cơ b n v th ng kê: d li u, t ng th , m u, ch n m u, th ng kê trung bình, phương sai, t l . - Phân bi t ư c khái ni m m u ng u nhiên và m u c th . - Nh n th c úng vai trò c a th ng kê mô t và th ng kê suy di n. 2. K năng - Tính ư c các tham s th ng kê c a m u c th . - S d ng thành th o máy tính c m tay tính trung bình, t l , phương sai c a m u c th (m u d ng i m và m u d ng kho ng). 3. Thái - Có ý th c v n d ng ki n th c ã h c vào vi c gi i m t bài toán th c ti n. - Coi tr ng tính quy lu t trong khoa h c và trong cu c s ng, t ó ph i nghiêm túc trong khoa h c và trong cu c s ng. - Xây d ng ý th c ch u khó, kiên nh n vì th y r ng v n dĩ quy lu t cu c s ng ( i lư ng ng u nhiên) là ph c t p và có m i quan h ch ng ch t. Th ng kê toán h c là ngành toán h c nghiên c u qui lu t c a các hi n tư ng ng u nhiên có tính ch t s l n trên cơ s thu th p và x lý các d li u th ng kê các k t qu quan sát v các hi n tư ng ng u nhiên này. N u ta thu th p ư c t t c các d li u liên quan n i tư ng c n nghiên c u thì ta có th bi t ư c i tư ng này. Tuy nhiên trong th c t i u ó khó có th th c hi n ư c vì nh ng khó khăn sau: Thư ng qui mô c a t p h p c n nghiên c u quá l n nên vi c nghiên c u toàn b s òi h i nhi u chi phí v v t ch t và th i gian, có th không ki m soát ư c d n n b ch ng chéo ho c b sót. Trong nhi u trư ng h p không th bi t ư c toàn b các ph n t c a t p h p c n nghiên c u, do ó không th ti n hành toàn b ư c. Có th trong quá trình i u tra s phá h y i tư ng nghiên c u,... Vì th , trong th c t vi c nghiên c u toàn b thư ng ch áp d ng i v i các t p h p có qui mô nh , ch y u ngư i ta s d ng phương pháp không toàn b , c bi t là phương pháp ch n m u. 1. Các khái ni m cơ b n 1.1. D li u (Data) Là k t qu “quan sát” ư c trên t ng cá th hay t ng i tư ng nghiên c u. 47
  3. TRƯ NG I H C TI N GIANG Ví d 3.1: Quan sát m t ngư i có th thu ư c d li u như sau: Tu i, Chi u cao, Cân n ng, Gi i tính, Dân t c,… Phân lo i d li u theo ngu n g c thu th p thì có 2 lo i: - D li u sơ c p (d li u ban u) là d li u do t thu th p qua i u tra hay nghiên c u th nghi m. - D li u th c p (d li u có s n) là d li u do ngư i khác thu th p t k t qu c a các nghiên c u khác t báo cáo, s sách, h sơ, … Phân lo i d li u theo k t qu quan sát (còn g i là bi n s ) thì có 2 lo i: - Bi n nh tính: k t qu thu ư c là m t tính ch t A. Ch ng h n, dân t c, gi i tính, ngh nghi p,… - Bi n nh lư ng: k t qu thu ư c là m t giá tr v lư ng. • Bi n liên t c ( LNN liên t c): chi u cao, cân n ng,… • Bi n r i r c ( LNN r i r c): s SV ngh h c trong 1 ngày,… 1.2. T ng th T ng th (toàn th , t p h p chính, ám ông, dân s , qu n th ,...) là t p h p t t c các i tư ng mà ta c n kh o sát m t ch tiêu (d u hi u) X nào ó trong m t kho ng th i gian nh t nh. Vi c kh o sát các ph n t c a t ng th là th c hi n các phép th và k t qu thu ư c là ng u nhiên, do ó X là LNN (bi n s ng u nhiên), … xác nh trên t ng th . T ng s ph n t N c a t ng th còn g i là kích thư c (c ) c a t ng th , N nh n giá tr h u h n hay vô h n. Ví d 3.2: a) Kh o sát chi u cao X c a sinh viên m t trư ng i h c thì X là LNN trên t ng th t p h p các sinh viên c a trư ng i h c ó. b) Kh o sát th i gian b o hành Y m t linh ki n máy tính thì Y là LNN trên t ng th toàn b các linh ki n máy tính. c) Kh o sát gi i tính c a tr sơ sinh vùng ng b ng sông C u Long thì Z (gán giá tr 1 i v i bé trai và giá tr 0 i v i bé gái) là LNN trên t ng th là toàn b tr sơ sinh ng b ng sông C u Long. 1.3. M u Gi s mu n nghiên c u m t t ng th có N ph n t , ta l y ng u nhiên n ph n t g i là phép l y m u và n ph n t l y ra ư c g i là m t m u có kích thư c n. T m u này suy ra các k t lu n v t ng th , do ó m u ph i th t s i di n cho t ng th ( tin c y cao), ph i m b o tính ng u nhiên c a m u, không ư c ch n m u theo m t tiêu chu n ch quan nh trư c. 48
  4. TRƯ NG I H C TI N GIANG Các phương pháp ch n m u Hi n nay có nhi u phương pháp khác nhau ch n m u, nhưng khó có th nói r ng phương pháp nào là t t nh t. Vi c ch n phương pháp l y m u phù h p ph thu c vào t ng i tư ng c th . * Ch n m u ng u nhiên Trong phương pháp ch n m u ng u nhiên, m i ph n t c a t ng th ã có xác su t ch n xác nh t trư c c khi ch n m u. M u ng u nhiên cho phép ánh giá khách quan hơn các c trưng c a t ng th . Có 4 cách ch n như sau: 1.3.1. Ch n m u ng u nhiên cơ b n Ta ánh s các ph n t t 1 n N. có m t m u kích thư c n ta có th dùng b ng s ng u nhiên ho c dùng cách b c thăm l y n ph n t . Phương pháp này có ưu i m là cho phép thu ư c m u có tính i di n cao, cho phép suy r ng các k t qu c a m u cho t ng th v i m t sai s xác nh, song s d ng phương pháp này c n ph i có toàn b danh sách c a t ng th nghiên c u, vì th chi phí ch n m u s khá l n. 1.3.2. Ch n m u cơ gi i Các ph n t c a t ng th ư c ưa vào m u cách nhau m t kho ng xác nh. Ch ng h n, trên m t dây chuy n s n xu t, c sau m t kho ng th i gian t nào ó ta l y ra m t s n ph m ưa vào m u. Như c i m chính c a phương pháp này là d m c sai s h th ng khi danh sách c a t ng th không ư c s p x p m t cách ng u nhiên mà theo m t tr t t ch quan nào ó. Tuy v y, do cách th c ơn gi n c a nó, m u ng u nhiên cơ gi i thư ng ư c dùng khi t ng th tương i thu n nh t. 1.3.3. Ch n m u chùm Trong m t s trư ng h p, thu n ti n cho vi c nghiên c u ngư i ta mu n kh o sát t ng chùm cho ơn gi n ch không các ph n t c a m u phân tán quá r ng. Ch ng h n, mu n i u tra v chi tiêu hàng tháng thì ngư i ta ti n hành i u tra v i t ng h gia ình mà không xét t ng ngư i riêng l , khi ó m i h gia ình là m t chùm. Ta cũng gi s r ng các ph n t c a m i chùm mang tính i di n cho t p n n. Ngoài ra ta c g ng sao cho m i chùm v n có phân tán cao như t p n n và ng u nhau v quy mô. Ch ng h n ta mu n nghiên c u nhu c u tiêu th m t m t hàng nào ó b ng phương pháp ch n m u chùm: u tiên ta chia thành ph thành các khu dân cư, sau ó ch n ra m t s khu làm ph n t c a m u, cu i cùng ta nghiên c u t t c các gia ình s ng trong các khu dân ư c ch n. Phương pháp này cho ta ti t ki m kinh phí và th i gian (vì không ph i di chuy n trên toàn thành ph ), nhưng sai s có th l n. 1.3.4. Ch n m u phân l p (nhi u c p) u tiên ta chia t ng th thành các nhóm tương i thu n nh t, sau ó t m i nhóm trích ra m t m u ng u nhiên, t p h p t t c các m u ó cho ta m t 49
  5. TRƯ NG I H C TI N GIANG m u (ng u nhiên) phân l p. Ngư i ta dùng phương pháp này khi trong n i b t ng th có nh ng sai khác l n. Nhà nghiên c u ph i có hi u bi t nh t nh v c u trúc t ng th phân chia nhóm h p lý. Sau này m i nhóm s có vai trò khác nhau ph thu c vào quan tr ng c a chúng trong t ng th . H n ch c a phương pháp này là tính ch quan khi phân chia nhóm. Nhưng nó v n hay ư c dùng do cách th c ơn gi n khi làm vi c v i các nhóm khá bé và thu n nh t. Ch ng h n ta có th kh o sát sinh viên theo khoa, dân cư theo t nh, nhân viên theo tu i tác,... * Ch n m u có suy lu n Phương pháp này d a trên ý ki n các chuyên gia v i tư ng nghiên c u. Như v y vi c ch n m u d a trên hi u bi t và kinh nghi m c a m t vài nhà chuyên môn. Tuy nhiên phương pháp này cũng có h n ch cơ b n: Khi không có s tham gia c a các công c th ng kê vào vi c ch n m u thì tính khách quan r t khó ư c b o m, t ó kéo theo các k t lu n mang n ng tính ch quan. T t nhiên i u ó không có nghĩa là không nên dùng các phương pháp chuyên gia. R t rõ ràng ch t lư ng m u ph thu c nhi u vào trình c a nhà nghiên c u và kinh nghi m c a h . Vi c l y m u ti n hành ch y u theo hai phương th c: + Ch n m u có hoàn l i: t t ng th ch n ng u nhiên m t ph n t , ghi nh n k t qu r i tr l i t ng th . L p l i n l n như th ta ư c m t m u có hoàn l i. + Ch n m u không hoàn l i: t t ng th ch n ng u nhiên m t ph n t ghi nh n k t qu r i lo i ra kh i t ng th . L p l i n l n như th ta ư c m t m u không hoàn l i. Khi s ph n t c a t ng th khá l n thì có th coi hai phương th c l y m u trên như nhau. M u ng u nhiên, m u c th L y n ph n t c a t ng th theo phương pháp có hoàn l i quan sát. G i X i là giá tr c a X trên ph n t th i (i = 1,n ) thì X1, X2,..., Xn là các LNN c l p và có cùng phân ph i v i X. Khi ó b (X1, X2,..., Xn) ư c g i là m t m u ng u nhiên kích thư c n ư c t o nên t LNN g c X. Gi s X i nh n giá tr xi (i = 1,n ). Khi ó (x1, x2,..., xn) là m t b giá tr c th c a m u ng u nhiên (X1, X2,..., Xn), ư c g i là m u c th . Ví d 3.3: Kh o sát i m h c ph n Xác su t - Th ng kê c a sinh viên l p A g m có 100 sinh viên, ti n hành l y m u v i c là 5. G i X i , i = 1,...,5 là i m c a sinh viên th i trong 5 sinh viên ư c kh o sát. N u X1 = 3, X2 = 6, X3 = 8, X4 = 7, X5 = 5 thì ta có m u c th (3, 6, 8, 7, 5). 50
  6. TRƯ NG I H C TI N GIANG 1.4. Th ng kê Kh o sát LNN X trên m u kích thư c n, v i m u ng u nhiên X1, X2,..., Xn và m u c th x1, x2, ..., xn. 1.4.1. Khái ni m th ng kê M t LNN G = G ( X 1 , X 2 ,..., X n ) là hàm c a các LNN X1, X2,..., Xn ư c g i là m t th ng kê. 1.4.2. Các th ng kê cơ b n Các th ng kê cơ b n sau ây liên quan ch t ch v i các c trưng c a m u ng u nhiên 1 n a) X = ∑ X i : trung bình m u. n i=1 2 1 n 1 n 2 2 2 b) S = ∑ ( X i − X ) = ∑ X i − ( X ) = X 2 − ( X ) : phương sai m u. ^2 n i=1 n i=1 c) S ^ = S ^2 : l ch tiêu chu n m u. 2 n ^2 1 n 2 d) S = n −1 S = ∑( X i − X ) : phương sai m u i u ch nh. n −1 i=1 e) S = S 2 : l ch tiêu chu n m u i u ch nh. V i m u c th (x1, x2,..., xn) ta có X1 = x1, X2 = x2,..., Xn = xn do ó th ng 1 n kê X nh n giá tr c th x = ∑ xi . Tương t cho các th ng kê còn l i. n i=1 K t qu quan tr ng sau ây cho th y quan h gi a các th ng kê cơ b n v i LNN g c X. nh lý 3.1: Cho LNN X v i m u kích thư c n, ta có: 1 i) E X = EX ii) D X = DX n n −1 iii) ES ^2 = DX iv) ES 2 = DX (3.1) n 2. M u c th 2.1. Các d ng mô t m u thư ng g p 2.1.1. M u d ng i m Kh o sát LNN X trên m u kích thư c n ư c dãy n giá tr x1, x2,..., xn. Trong trư ng h p các giá tr xi trùng l p ta có th s p x p thành d ng b ng và có th vi t l i như sau 51
  7. TRƯ NG I H C TI N GIANG xi T n s ni a1 n1 a2 n2 ... ... ak nk trong ó n1 + n2 + ... + nk = n. Ví d 3.4: Ch n ng u nhiên 10 ngư i, o chi u cao X ư c các s li u sau: 1,70 1,68 1,70 1,69 1,68 1,66 1,68 1,72 1,66 1,65 Ta có th s p x p thành b ng sau: xi T n s ni 1,65 1 1,66 2 1,68 3 1,69 1 1,70 2 1,72 1 2.1.2. M u d ng kho ng xi ni xi ni (a1;b1) n1 ưa v d ng i m c1 n1 (a2;b2) n2 c2 n2 ... ... ai + bi ... ... (ak;bk) nk v i ci = ck nk 2 n n Ví d 3.5: Cân ng u nhiên 100 con gà s p xu t chu ng trong m t tr i chăn nuôi, ư c s li u sau: xi ni xi ni 1,5 − 1,8 20 1,65 20 1,8 − 2,0 30 ưa v d ng i m 1,90 30 2,0 − 2,2 30 2,10 30 2,2 − 2,5 10 2,35 10 2,5 − 2,8 10 2,65 10 T ng 100 T ng 100 52
  8. TRƯ NG I H C TI N GIANG 2.1.3. Bi u di n m u b ng bi u ni n2 n3 n1 0 x1 x2 x3 ... xi Hình 3.1. Bi u t n s hình g y fi f2 f3 f1 0 x1 x2 x3 ... xi Hình 3.2. Bi u a giác t n su t ni n2 n3 n1 0 a1 a2 a3 a4 ... xi Hình 3.3. Bi u t n s hình c t Hình 3.4. Bi u hình bánh xe (hình tròn) 53
  9. TRƯ NG I H C TI N GIANG 2.2. Các c trưng s c a m u c th Kh o sát LNN X trên m u kích thư c n ta ư c dãy n giá tr x1, x2, ..., xn trong ó xi c l p v i nhau và có th trùng nhau ư c vi t l i trong b ng sau: X T ns a1 n1 a2 n2 ... ... ak nk trong ó n1 + n2 + ... + nk = n. Các c trưng s c a LNN X trong m u c th ư c xác nh như sau: 1 n 1 k a) Trung bình m u: x = ∑ xi = ∑ ni ai (3.2) n i=1 n i=1 1 n 2 b) Phương sai m u: s = ∑ ( xi − x ) = x 2 − x 2 ^2 (3.3) n i=1 1 n 1 k v i x 2 = ∑ xi2 = ∑ ni ai2 (3.4) n i=1 n i=1 c) Phương sai m u i u ch nh: n ^2 1  n 2  s2 = s =  ∑ xi − nx 2  (3.5) n −1 n −1  i=1  m d) T l m u: f = , m là t n s c a ph n t A (3.6) n e) l ch tiêu chu n m u: s ^ = s ^2 (3.7) f) l ch tiêu chu n m u i u ch nh: s = s 2 (3.8) Ví d 3.6: Cân tr ng lư ng c a 100 con gà, có s li u như sau: xi ni xi ni 1,5 − 1,7 30 1,6 30 1,7 − 1,9 40 ưa v d ng i m 1,8 40 1,9 − 2,1 20 2,0 20 2,1 − 2,5 10 2,3 10 T ng 100 T ng 100 a) Tính tr ng lư ng trung bình c a m t con gà b) Tính l ch tiêu chu n i u ch nh c a m u. 54
  10. TRƯ NG I H C TI N GIANG Gi i Ta l p b ng sau xi ni ni x i ni xi2 1,6 30 48 76,8 1,8 40 72 129,6 2,0 20 40 80 2,3 10 23 52,9 T ng 100 183 339,3 1 a) x = ×183 = 1,83 (kg) 100 1 2 b) x 2 = × 339 ,3 = 3,393 ; s ^2 = 3,393 − (1,83) = 0 ,0441 100 100 1  2 s2 = × 0 ,0441 = 0 ,0445 hay s 2 = 339 ,3 −100 ×1,83  = 0 ,0445 100 −1 100 −1 V y s = 0,211(kg). Ví d 3.7: i u tra m c lương X (USD) c a 190 nhân viên c a m t công ty nư c ngoài, ta có s li u sau: xi ni xi ni < 100 3 95 3 100 − 110 8 ưa v d ng i m 105 8 110 − 120 32 115 32 120 − 130 85 125 85 130 −140 44 135 44 140 −150 18 145 18 T ng 190 T ng 190 Tính x ,s ^2 ,s 2 ,s ^ ,s c a LNN X trong ví d 3.7. Tính các c trưng theo phương pháp i bi n xi − x0 Khi các giá tr xi khá l n, ta có th i bi n ui = , i = 1,k , trong ó h thư ng ch n x0 là giá tr xi có t n s l n nh t và h là kho ng cách các giá tr k ti p nhau c a X. Suy ra xi = hui + x0. Do ó, x = hu + x0 và sx2 = h 2 su2 ^ ^ (3.9) 3. Phân ph i c a m t s th ng kê c trưng m u Th c t thư ng g p là ta không bi t gì v phân ph i c a t ng th ho c t ng th không có phân ph i chu n. Trong nh ng trư ng h p ó, nh lý gi i h n trung tâm giúp ta gi i quy t v n phân ph i c a trung bình m u. 55
  11. TRƯ NG I H C TI N GIANG 1 n nh lý 3.2: Gi s X = ∑ X i là th ng kê trung bình m u kích thư c n n i=1 ư c thành l p t ( ) LNN X trên t ng th và X ∼ N µ ;σ 2 , S2 là phương sai m u i u ch nh c a X. Khi ó  σ2  X −µ a) X ~ N µ;  và    n ~ N (0;1)  n   σ (n −1) S 2 b) 2 ~ χ 2 (n −1) σ X −µ c) n ~ T (n −1) S 1 n nh lý 3.3: Gi s X = ∑ X i là th ng kê trung bình m u kích thư c n n i=1 ư c thành l p t LNN X trên t ng th và X không có phân ph i chu n, S2 là phương sai m u i u ch nh c a X. Khi n l n ta có các phân ph i x p x sau  σ2  X −µ a) X ≈ N µ;  và   n ≈ N (0;1) v i σ 2 ã bi t  n   σ X −µ b) n ≈ N (0;1) v i σ 2 chưa bi t S nh lý 3.4: Gi s xét cùng lúc hai t ng th ng v i hai ch tiêu u có phân ph i chu n X1, X2 v i S12 và S2 l n lư t là phương sai m u i u ch nh. 2 X1 − X 2 a) ~ N (0 ,1) v i X1, X2 có phân ph i chu n và σ12 ,σ2 ã bi t 2 σ12 σ2 2 + n1 n2 X1 − X 2 b) ≈ N (0 ,1) v i n1 ≥ 30 ,n2 ≥ 30 và σ12 ,σ2 ã bi t 2 2 2 σ1 σ 2 + n1 n2 X1 − X 2 c) ≈ N (0 ,1) v i n1 ≥ 30 ,n2 ≥ 30 và σ12 ,σ2 chưa bi t 2 2 2 S S 1 2 + n1 n2 X1 − X 2 d) ~ T (n1 + n2 − 2) v i n1 < 30 và n2 < 30, σ12 = σ2 chưa bi t, 2 1   + 1 S 2    n1 n2     2 (n1 −1) S12 + (n2 −1) S22 S = n1 + n2 − 2 56
  12. TRƯ NG I H C TI N GIANG 4. Các hình th c th ng kê 4.1. Th ng kê mô t - Các con s , v n ư c mô t d a trên các giá tr th ng kê như trung bình, l ch tiêu chu n, t n s , trung v , giá tr tin ch c nh t,… - K t qu ư c trình bày d a trên các b ng bi u và th . - Th ng kê mô t bi n nh tính: t n s , t l ph n trăm, t su t,… - Th ng kê mô t bi n nh lư ng: o lư ng t p trung (trung bình mean, trung v median, giá tr tin ch c nh t mode,…), o lư ng phân tán (kho ng s li u range, l ch tiêu chu n standard deviation, phương sai variance,…) 4.2. Th ng kê suy di n - D a trên các con s t m t m u cung c p các giá tr khái quát, suy lu n v t ng th . - Là quá trình ngo i suy k t qu nghiên c u t m u ra t ng th nghiên c u: ư c lư ng tham s , ki m nh gi thuy t, h i quy và tương quan,… ÔN T P CU I CHƯƠNG 1.- Kh o sát chi u cao c a 100 sinh viên trư ng i h c A. Ch tiêu c a kh o sát này là A. chi u cao c a sinh viên. B. kh o sát chi u cao c a sinh viên. C. toàn b sinh viên trư ng i h c A. D. 100 sinh viên trư ng i h c A. 2.- Có s li u th ng kê v thu nh p X (tri u ng/tháng) c a 100 ngư i m t công ty như sau: xi 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9 - 10 10 - 15 ni 4 10 17 24 25 9 6 5 Nh ng ngư i có thu nh p t 9 tri u ng/tháng tr lên ư c xem là ngư i có thu nh p cao. T l nh ng ngư i có thu nh p cao là A. 89%. B. 11%. C. 22%. D. 78%. 3.- M t nhóm sinh viên ư c h i: M t tu n h m t bao nhiêu gi cho vi c làm bán th i gian c a mình? K t qu c a m t m u h i áp như sau: 5 9 4 12 3 8 4 10 Giá tr tin ch c nh t và trung bình c a m u trên l n lư t là A. 5 và 6,875. B. 4 và 10,982. C. 4 và 6,875. D. 5 và 10,982. 4.- l ch tiêu chu n c a d li u sau 7, 9, 11, 13, 15 là A. 2,4. B. 2,5. C. 2,7. D. 2,8. 57
  13. TRƯ NG I H C TI N GIANG 5.- Kh o sát LNN X ~ N ( µ ,σ 2 ) trên m u kích thư c n, v i m u ng u nhiên 1 n X1, X2,..., Xn và X = ∑ X i . Ch n phát bi u sai? n i =1 A. E X = EX . B. D X = DX .  σ2  C. X ~ N  µ , X −µ n ( ~ N ( 0, 1) . ) . D.  n  σ Tính các c trưng m u c a các m u c th sau: 6.- Có các s li u sau ây v s n lư ng thép X hàng tháng c a m t t ng công ty thép ( ơn v : t n): S n lư ng 195 - 205 205 - 215 215 - 225 225 - 235 235 - 245 245 - 255 xi (t n) S tháng ni 9 10 14 30 25 12 7.- Theo dõi ng u nhiên các chuy n bay t Hà N i i TP. HCM thu ư c các s li u sau v s lư ng khách c a m i chuy n : Lư ng khách 125 130 133 134 135 136 137 138 139 140 S chuy n 6 12 34 74 106 85 30 5 5 3 8.- Xí nghi p có 50 công nhân. Th i gian hoàn thành m t s n ph m c a h ư c cho trong b ng phân ph i sau ( ơn v : phút): Th i gian 12 - 14 14 - 16 16 - 18 18 - 20 20 - 22 22 - 24 24 - 26 26 - 28 (xi) S công 1 4 10 14 12 6 2 1 nhân (ni) 9.- Quan sát kh i lư ng s n ph m c a m t lô hàng ư c k t qu sau : Kh i lư ng < 18 18 – 19 19 – 20 20 – 21 21 – 22 22 – 23 > 23 S s n 3 12 35 70 62 32 6 ph m 58
  14. TRƯ NG I H C TI N GIANG Chương 4. BÀI TOÁN Ư C LƯ NG M c tiêu Sau khi h c xong chương này, sinh viên c n t ư c: 1. Ki n th c - Hi u khái ni m ư c lư ng trong th c ti n cu c s ng và trong th ng kê toán h c. Hi u bài toán ư c lư ng: v n d ng toán h c th ng kê ư c lư ng m t giá tr th ng kê. - Phân bi t ư c ư c lư c và ư c lư ng. - Hi u phương pháp ư c lư ng trong th ng kê. 2. K năng - Gi i bài toán ư c lư ng trung bình, t l , phương sai và bài toán liên quan (tìm tin c y, kích thư c m u và chính xác). - Nêu ư c ý nghĩa (các k t lu n th ng kê) c a giá tr ư c lư ng tìm ư c. - V n d ng bài toán ư c lư ng vào gi i bài toán th c ti n. 3. Thái - Có ý th c v n d ng ki n th c ã h c vào vi c gi i bài toán th c ti n. - Coi tr ng tính quy lu t trong khoa h c và trong cu c s ng, t ó ph i nghiêm túc trong khoa h c và trong cu c s ng. - Xây d ng ý th c ch u khó, kiên nh n vì th y r ng v n dĩ quy lu t cu c s ng ( i lư ng ng u nhiên) là ph c t p và có m i quan h ch ng ch t. 1. Bài toán ư c lư ng các c trưng s c a i lư ng ng u nhiên Xét LNN X xác nh trên t ng th . S lư ng ph n t c a t ng th thư ng là r t l n nên h u như không th xác nh ư c t t c giá tr c a X do ó các c trưng s c a X như kỳ v ng, phương sai,... cũng không th tính ư c chính xác. Gi s θ là m t c trưng s chưa bi t c a LNN X. Ư c lư ng cho θ là ch ra giá tr θo ho c m t kho ng giá tr (θ1; θ2) sao cho θ∈(θ1; θ2) v i xác su t nh trư c. Phương pháp ư c lư ng thư ng ư c s d ng là ch n m t th ng kê G(X1,X2,...,Xn) thích h p, là hàm c a các LNN X1, X2,..., Xn, trong ó các LNN nh n giá tr b ng các giá tr x1, x2,..., xn c a m u ng u nhiên. Sau khi l p m u c th (x1, x2,..., xn), thay th các giá tr x1, x2,..., xn vào hàm G, tính ư c giá tr θo ho c kho ng giá tr (θ1; θ2), là ư c lư ng c n tìm c a θ. Th ng kê G(X1,X2,...,Xn) = G ư c g i là hàm ư c lư ng cho θ. Có hai phương pháp ư c lư ng thư ng ư c s d ng: • Ư c lư ng i m: ch ra m t giá tr θo c a θ. • Ư c lư ng kho ng: ch ra m t kho ng giá tr (θ1; θ2) c a θ. 59
  15. TRƯ NG I H C TI N GIANG 2. Phương pháp ư c lư ng i m Ư c lư ng i m cho c trưng s θ là ch ra m t giá tr θo (chính xác ho c g n úng) c a θ. Giá tr θo ư c tìm như sau: • Ch n th ng kê G(X1,X2,...,Xn) thích h p làm hàm ư c lư ng cho θ. • L p m u c th (x1, x2,...,xn) kích thư c n t t ng th . • Thay th các giá tr x1, x2,..., xn vào hàm ư c lư ng G, tính ư c giá tr Go, là giá tr c a th ng kê G tương ng v i m u và l y θo = Go là giá tr ư c lư ng c n tìm c a θ. Như c i m c a phương pháp ư c lư ng i m là không ánh giá ư c chính xác c a giá tr θo, m c dù trong m t s trư ng h p, có th ánh giá ư c c n trên c a sai s tuy t i |θ – θo|. Ví d sau ây ch ra các th ng kê thư ng dùng ư c lư ng cho các c trưng s quen thu c. Ví d 4.1: a) ư c lư ng trung bình θ = EX c a t ng th , ta ch n th ng kê 1 n G = ∑ Xi n i =1 làm hàm ư c lư ng, trong ó Xi (i = 1,n ) là LNN nh n giá tr b ng xi. Như __ 1 n v y, trung bình EX ư c ư c lư ng b i giá tr trung bình m u x = ∑ xi . n i =1 b) ư c lư ng phương sai θ = DX chưa bi t, ta ch n th ng kê __ 2 __ 2 1 n   1 n   G = ∑  X i − X  ho c th ng kê G = ∑  X i − X  làm hàm ư c n i =1   n − 1 i =1   lư ng. Như v y phương sai DX ư c ư c lư ng b i giá tr phương sai m u 1 k 2 s = ∑ ni xi2 − x ^2 () n i =1 ho c phương sai m u i u ch nh __ 2 1 n   2 s = ∑  xi − x  n − 1 i =1   tùy theo hàm ư c lư ng G ư c ch n trên. c) T ng th có hai lo i ph n t , v i t l ph n t có tính ch t A là s p chưa bi t. L p m u (x1, x2,..., xn) kích thư c n. t 1, neáu xi coù tính chaát A  A ( xi ) =  ( i = 1, n )   0, neáu xi khoâng coù tính chaát A n Khi ó m = ∑ A( x ) là t n s i =1 i xu t hi n ph n t có tính ch t A; 60
  16. TRƯ NG I H C TI N GIANG 1 n m f = ∑ A ( xi ) = là t n su t (t l ) c a các ph n t có tính ch t A n i =1 n trong m u. V i LNN Xi nh n giá tr b ng xi, t 1, neáu Xi coù tính chaát A  A( Xi ) =  ( i = 1, n ) 0, neáu Xi khoâng coù tínhchaát A  1 n Th ng kê f = ∑ A ( X i ) là LNN nh n giá tr b ng f là t n su t c a các n i =1 ph n t có tính ch t A trong m u. Th ng kê f ư c ch n làm hàm ư c lư ng cho t l p trong t ng th . Có th ch n nhi u hàm ư c lư ng khác nhau cùng ư c lư ng cho c trưng s θ, do ó có th tìm th y nhi u giá tr ư c lư ng θo khác nhau, vì v y, ph i có các tiêu chu n so sánh các hàm ư c lư ng. Cùng tiêu chu n so sánh, hàm ư c lư ng nào cho giá tr g n nh t so v i θ ư c coi là t t hơn. Tuy nhiên, m t hàm ư c lư ng có th là t t hơn i v i tiêu chu n này nhưng không t t hơn i v i tiêu chu n khác. Sau ây là m t s tiêu chu n ánh giá các hàm ư c lư ng: i) Ư c lư ng không ch ch Th ng kê G ư c g i là ư c lư ng không ch ch c a θ n u EG = θ. (4.1) N u EG ≠ θ thì G g i là ư c lư ng ch ch. Ví d 4.2: __ 1 n a) Th ng kê X = ∑ X i là m t ư c lư ng không ch ch c a EX. n i =1 __ 1 n  1 n 1 n Th t v y, E X = E  ∑ X i  = ∑ EX i = ∑ EX = EX .  n i =1  n i =1 n i =1 2 1 n  __  b) Th ng kê S = ∑  X i − X  là m t ư c lư ng ch ch c a σ 2 , b i vì ^2 n i =1   1 n  __   2 n −1 ES ^2 = E  ∑  X i − X   = ... = DX ≠ DX .  n i =1    n   n ^2 D dàng th y r ng: S 2 = S là m t ư c lư ng không ch ch c a σ 2 . n −1 c) Th ng kê f là m t ư c lư ng không ch ch c a t l p. 61
  17. TRƯ NG I H C TI N GIANG ii) Ư c lư ng v ng Th ng kê G ư c g i là ư c lư ng v ng c a θ n u P ( G − θ < ε )  1 n →+∞ → Như v y, G là m t ư c lư ng v ng c a θ n u bi n c sai s tuy t i nh tùy ý tr thành h u như ch c ch n. nh lý 4.1: n →+∞ N u EG = θ và DG  0 thì G là ư c lư ng v ng c a θ. → Như v y, G là m t ư c lư ng v ng c a θ n u G là ư c lư ng không ch ch và có phương sai gi m d n v 0. Ví d 4.3: __ a) X là ư c lư ng v ng c a EX __ b) f là ư c lư ng v ng c a t l p iii) Ư c lư ng hi u qu Th ng kê G ư c g i là ư c lư ng hi u qu c a θ n u G có phương sai nh nh t trong các ư c lư ng không ch ch c a θ. Như v y ư c lư ng hi u qu cho θ là ư c lư ng không ch ch mà các giá tr tính ư c thông qua ư c lư ng ó b i nhi u m u ng u nhiên khác nhau có m t t p trung nh t xung quanh θ. nh lý 4.2: ( nh lý Cramer - Rao) Gi s X có lu t phân ph i xác su t f ( x; θ ) , trong ó θ là m t c trưng s c a X và G là m t ư c lư ng không ch ch c a θ, khi ó 1 DG ≥ 2  ∂ ln[ f ( x)]  nE    ∂θ  B t ng th c trên ư c g i là b t ng th c Cramer - Rao, cho bi t c n dư i c a phương sai các ư c lư ng không ch ch. Như v y, n u G là ư c lư ng không ch ch có phương sai th a mãn d u b ng c a b t ng th c thì G là ư c lư ng hi u qu . Ví d 4.4: Gi s X có lu t phân ph i chu n X ~ N (µ; σ 2 ) , ta có EX = µ ( x − µ )2 1 − 2 và hàm m t xác su t c a X là f ( x) = e 2σ . σ 2π Theo b t ng th c Cramer - Rao, trung bình m u X là ư c lư ng hi u qu c a EX. 62
  18. TRƯ NG I H C TI N GIANG 3. Phương pháp ư c lư ng kho ng Cho s α dương khá bé (0 < α < 0,1). Ư c lư ng kho ng cho θ là ch ra kho ng (θ1; θ2) sao cho θ ∈ (θ1; θ2) v i xác su t 1 – α. Phương pháp: • Ch n th ng kê G thích h p ch a θ, t c là G = G(X1, X2,..., Xn) có lu t phân ph i xác nh, v i α khá nh có th tìm ư c hai s m1, m2 sao cho: P(m1 < G < m2) = 1 – α Các s m1, m2 thư ng là các phân v thích h p c a th ng kê G. Ch ng α h n, có th ch n m1 = Gα (phân v c a G m c xác su t ), m2 = G α (phân v 2 2 1− 2 α c a G m c xác su t 1 – ). 2 Bi n i bi u th c trên thành d ng P(G1 < θ < G2) = 1 – α, trong ó G1, G2 là các LNN suy ra t th ng kê G. Kho ng (G1; G2) ư c g i là kho ng tin c y c a θ tương ng xác su t 1−α . • L p m u ng u nhiên kích thư c n, thay th các giá tr x1, x2,..., xn vào G1, G2 ta ư c kho ng ư c lư ng (θ1; θ2) c n tìm. S 1 – α ư c g i là tin c y c a kho ng ư c lư ng (θ1; θ2). 4. Ư c lư ng kho ng cho trung bình LNN X có giá tr trung bình EX = µ chưa bi t. Cho s α dương khá bé (0 < α < 0,1). Ư c lư ng kho ng cho µ v i tin c y 1 – α là ch ra kho ng (µ1; µ2) sao cho µ ∈(µ1; µ2) v i xác su t 1 – α (≥ 0,9). Các bư c ư c lư ng c th ư c ti n hành như sau: Ch n th ng kê G thích h p ch a µ, có lu t phân ph i xác nh. G i Gα , G α 1− 2 2 α α l n lư t là phân v c a G, m c xác su t và 1 − , khi ó: 2 2 P( Gα < G < G α )=1–α 1− 2 2 Bi n i thành P(G1 < µ < G2) = 1 – α. T ó ta có kho ng ư c lư ng c a µ v i tin c y 1 – α là (G1; G2). Th ng kê G nói trên chưa ư c ch ra c th vì ph thu c vào các thông tin v LNN X như phương sai, kích thư c m u,... 63
  19. TRƯ NG I H C TI N GIANG Trư ng h p 1: Phương sai DX = σ2 ã bi t; Kích thư c m u n ≥ 30 ho c (n < 30 và X có phân ph i chu n) Th ng kê ư c ch n ư c lư ng:  __  X−µ n U=  σ __ trong ó, µ = EX chưa bi t, σ = DX ã bi t, n: kích thư c m u, X : th ng kê nh n giá tr b ng trung bình m u. V i n < 30, do X có phân ph i chu n nên U ∼ N (0;1) . N u n ≥ 30 thì theo Lindeberg-Lévy U ≈ N (0;1) .   __    X−µ n  Khi ó: P U α <  
  20. TRƯ NG I H C TI N GIANG σ t ε =U α (4.1) 1− 2 n __ __ thì ε ư c g i là chính xác c a ư c lư ng và G1 = X − ε ; G2 = X + ε Như v y, kho ng ư c lư ng c a trung bình µ v i tin c y 1 – α là (µ1; µ2), trong ó __ __ µ1 = x − ε ; µ2 = x + ε (4.2) Các bư c th c hành: i) Ch n th ng kê ư c lư ng:  __  X−µ n U=  σ __ trong ó µ = EX chưa bi t, σ = DX ã bi t, n: kích thư c m u, X : th ng kê nh n giá tr b ng trung bình m u. σ ii) Tính chính xác ε = U α 1− 2 n __ __ iii) K t lu n kho ng tin c y cho µ là ( x – ε; x +ε). Các công th c sau ây, ư c s d ng trong tình hu ng thích h p ε n  σ2   U α = ; n = U 2 α 2  +1 ; 1 − α = 2ϕ  U α  (4.3) 1− 2 σ  1− 2 ε   1− 2  Ví d 4.5: Tr ng lư ng m t lo i s n ph m là LNN X có lu t phân ph i chu n v i phương sai (2g)2. Ki m tra ng u nhiên 25 s n ph m, tính ư c tr ng lư ng trung bình b ng 20g. a) Ư c lư ng tr ng lư ng trung bình c a m t s n ph m v i tin c y 95%? b) N u cho bán kính c a ư c lư ng b ng 0,4g thì tin c y c a ư c lư ng là bao nhiêu? c) V i bán kính ư c lư ng b ng 0,4g, mu n có tin c y 98% thì ph i ki m tra ít nh t bao nhiêu s n ph m? Gi i t EX = µ chưa bi t, là tr ng lư ng trung bình c a m t s n ph m. 65
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
535=>1