Giáo trình Xác suất thống kê - ThS. Lê Đức Vĩnh

B GIÁO D C VÀ ðÀO T O TRƯ NG ð I H C NÔNG NGHI P I<br /> **********************<br /> <br /> Ths.LÊ ð C VĨNH<br /> <br /> GIÁO TRÌNH XÁC SU T TH NG KÊ<br /> <br /> HÀ N I - 2006<br /> <br /> Chương 1 : Phép th . S ki n<br /> Nh ng ki n th c v gi i tích t h p sinh viên ñã ñư c h c trong chương trình ph thông. Tuy nhiên ñ giúp ngư i h c d dàng ti p thu ki n th c c a nh ng chương k ti p chúng tôi gi i thi u l i m t cách có h th ng nh ng ki n th c này. Phép th ng u nhiên và s ki n ng u nhiên là bư c kh i ñ u ñ ngư i h c làm quen v i môn h c Xác su t. Trong chương này chúng tôi trình bày nh ng ki n th c t i thi u v s ki n ng u nhiên, các phép toán v các s ki n ng u nhiên, h ñ y ñ các s ki n ñ ng th i ch ra cách phân chia m t s ki n ng u nhiên theo m t h ñ y ñ . Nh ng ki n th c này là c n thi t ñ ngư i h c có th ti p thu t t nh ng chương ti p theo. I. Gi i tích t h p 1.Qui t c nhân: Trong th c t nhi u khi ñ hoàn thành m t công vi c, ngư i ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n Hành ñ ng th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n . . .. . . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. . . . Hành ñ ng th k: có 1 trong nk cách th c hi n G i n là s cách hoàn thành công vi c nói trên, ta có: n = n1n2..nk Qui t c trên g i là qui t c nhân. Ví d : ð ñi t thành ph A t i thành ph C ph i qua thành ph B. Có m t trong b n phương ti n ñ ñi t A t i B là: ñư ng b , ñư ng s t, ñư ng không và ñư ng thu . Có m t trong hai phương ti n ñ ñi t B t i C là ñư ng b và ñư ng thu . H i có bao nhiêu cách ñi t A t i C? ð th c hi n vi c ñi t A t i C ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p hai hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: ch n phương ti n ñi t A t i C có n1= 4 cách Hành ñ ng th hai: ch n phương ti n ñi t B t i C có n2 = 2 cách V y theo qui t c nhân, s cách ñi t A t i C là n= 4.2 = 8 cách 2.Qui t c c ng: ð hoàn thành công vi c ngư i ta có th ch n m t trong k phương án. Phương án th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n Phương án th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n ................................. Phương án th k: có 1 trong nk cách th c hi n G i n là s cách hoàn thành công vi c nói trên, ta có: n = n1 + n2 +. . . ..+ nk<br /> <br /> Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..1<br /> <br /> Qui t c trên g i là qui t c c ng Ví d : M t t sinh viên g m hai sinh viên Hà N i, ba sinh viên Nam ð nh và ba sinh viên Thanh Hoá. C n ch n hai sinh viên cùng t nh tham gia ñ i thanh niên xung kích. H i có bao nhiêu cách ch n. Phương án th nh t: Ch n hai sinh viên Hà N i có n1= 1 cách Phương án th hai: Ch n hai sinh viên Nam ð nh có n2= 3 cách Phương án th ba: Ch n hai sinh viên Thanh Hoá có n3= 3 cách Theo qui t c c ng ta có s cách ch n hai sinh viên theo yêu c u: n = 1 + 3 + 3 = 7 cách 3.Hoán v Trư c khi ñưa ra khái ni m m t hoán v c a n ph n t ta xét ví d sau:. Ví d : Có ba h c sinh A,B,C ñư c s p x p ng i cùng m t bàn h c. H i có bao nhiêu cách s p x p? Có m t trong các cách s p x p sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Nh n th y r ng: ð i ch b t kỳ hai h c sinh nào cho nhau ta ñư c m t cách s p x p khác. T m t cách s p x p ban ñ u, b ng cách ñ i ch liên ti p hai h c sinh cho nhau ta có th ñưa v các cách s p x p còn l i. M i m t cách s p x p như trên còn ñư c g i là m t hoán v c a ba ph n t A, B, C. T ng quát v i t p h p g m n ph n t ta có ñ nh nghĩa sau: 3.1 ð nh nghĩa: M t hoán v c a n ph n t là m t cách s p x p có th t n ph n t ñó. 3.2 S hoán v c a n ph n t : V i m t t p g m n ph n t ñã cho. S t t c các hoán v c a n ph n t ký hi u là Pn.Ta c n xây d ng công th c tính Pn. ð t o ra m t hoán v c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p n hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: Ch n 1 ph n t x p ñ u có n cách ch n Hành ñ ng th hai: Ch n 1 ph n t x p th 2 có n-1 cách ch n ........................................... Hành ñ ng cu i: Ch n ph n t còn l i x p cu i có 1 cách ch n Theo qui t c nhân, s cách t o ra 1 hoán v c a n ph n t là Pn = n.(n-1) ....2.1= n! 4. Ch nh h p không l p 4.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có th t g m k ph n t khác nhau l y t n ph n t ñã cho. Ví d : Có 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5. Hãy l p t t c các s g m 2 ch s khác nhau Các s ñó là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54. M i m t s trên chính là m t cách s p x p có th t g m hai ph n t khác nhau l y t năm ph n t là năm ch s ñã cho. V y m i s là ch nh h p không l p ch p hai c a năm ph n t .<br /> <br /> Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..2<br /> <br /> 4.2 S các ch nh h p không l p: S các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t kí hi u là A k . Ta xây d ng công th c tính A k . n n ð t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t ñ x p ñ u: có n cách Hành ñ ng th hai: ch n 1 trong n-1 ph n t ñ x p th 2: có n -1 cách . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n-k+1 ph n t ñ x p cu i: có n-k+1 cách Theo qui t c nhân: S cách t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là : A k = n(n-1).. ....(n-k+1) n ð d nh ta s d ng công th c sau: A k = n.(n − 1)....(n − k + 1) = n.(n − 1)...(n − k + 1). n (n − k ).......2.1 n! = (n − k )......2.1 (n − k )!<br /> <br /> 5. Ch nh h p l p: ð hi u th nào là m t ch nh h p l p ta xét ví d sau: Ví d : Hãy l p các s g m 2 ch s t 4 ch s : 1, 2, 3, 4. Các s ñó là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. M i s trong các s nói trên là m t cách s p x p có th t g m hai ch s , m i ch s có th có m t ñ n hai l n l y t b n ch s ñã cho. M i cách s p x p như v y còn g i là m t ch nh h p l p ch p hai c a b n ph n t . T ng quát hoá ta có ñ nh nghĩa sau: 5.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có th t g m k ph n t mà m i ph n t l y t n ph n t ñã cho có th có m t nhi u l n. 5.2 S các ch nh h p l p ch p k: ˆ S các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là A k . Ta s ñưa ra công th c<br /> n<br /> <br /> ˆ tính A k . n<br /> <br /> ð t o ra m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng. Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t x p ñ u có n cách Hành ñ ng th hai: ch n 1 trong n ph n t x p th 2 có n cách . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n ph n t x p th k có n cách ˆ Theo qui t c nhân ta có: A k = nk<br /> n<br /> <br /> 6.T h p: Các khái ni m trên luôn ñ ý ñ n tr t t c a t p h p ta ñang quan sát. Tuy nhiên trong th c t có nhi u khi ta ch c n quan tâm t i các ph n t c a t p con c a m t t p h p mà không c n ñ ý ñ n cách s p x p t p con ñó theo m t tr t t nào. T ñây ta có khái ni m v t h p như sau 6.1 ð nh nghĩa: M t t h p ch p k c a n ph n t là m t t p con g m k ph n t l y t n ph n t ñã cho.<br /> <br /> Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..3<br /> <br /> Ví d : Cho t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d}. H i có bao nhiêu t p con g m hai ph n t ? Các t p con ñó là {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d} V y t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d} có sáu t p con v a nêu. 6.2: S t h p ch p k c a n ph n t có ký hi u là C k n B ng cách ñ i ch các ph n t cho nhau, m t t h p ch p k c a n ph n t có th t o ra k! ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t . Có C k t h p ch p k c a n ph n t t o ra A k ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t . n n V y ta có : C k = n<br /> <br /> Ak n! n = k! k!(n − k )!<br /> <br /> 7.T h p l p: 7.1 ð nh nghĩa: M t t h p l p ch p k c a n ph n t là m t nhóm không phân bi t th t g m k ph n t , m i ph n t có th có m t ñ n k l n l y t n ph n t ñã cho. Ví d : Cho t p {a,b,c} g m 3 ph n t Các t h p l p c a t p h p trên là {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c} ˆ 7.2 S các t h p l p ch p k c a n ph n t ký hi u là:. C k<br /> n<br /> <br /> Vi c t o ra m t t h p l p ch p k c a n ph n t tương ñương v i vi c x p k qu c u gi ng nhau vào n ngăn kéo ñ t li n nhau, hai ngăn liên ti p cùng chung m t vách ngăn. Các vách ngăn tr vách ngăn ñ u và cu i có th xê d ch và ñ i ch cho nhau. M i cách s p x p k qu c u gi ng nhau vào n ngăn là m t cách b trí n+k-1 ph n t ( g m k qu c u và n-1 vách ngăn) theo th t t ph i sang trái. Cách b trí không ñ i khi các qu c u ñ i ch cho nhau ho c các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Cách b trí thay ñ i khi các qu c u và các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Ta có (n+k-1)! cách b trí n+k-1 ph n t (g m k qu c u và n-1 vách ngăn). S cách ñ i ch k qu c u là k! , s cách ñ i ch n-1 vách ngăn là (n-1)! . V y ta có s các t h p l p ch p k c a n ph n t là: ˆ k (n + k − 1)! = C k Cn = n + k −1 k!(n − 1)! Ví d : T i m t tr i gi ng gà có ba lo i gà gi ng A, B, C. M t khách hàng vào ñ nh mua 10 con. H i có bao nhiêu cách mua ( gi s r ng s lư ng các gi ng gà A, B, C m i lo i c a tr i ñ u l n hơn 10). Ta th y m i m t cách mua 10 con gà chính là m t t h p l p ch p 10 c a 3 ph n t . V y 10 ˆ s cách mua là: C10 = C = 66<br /> 3<br /> <br /> 12<br /> <br /> 8. Nh th c Newton Ta có: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = C 0 a 2 b 0 + C1 a 1b1 + C1 a 0 b 2 2 2 2<br /> 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = C 0 a 3 b 0 + C1 a 2 b1 + C 3 a 1b 2 + C 3a 0 b 3 3 3 3<br /> <br /> M r ng ra: (a + b) n = C 0 a n b 0 + C1 a n −1b1 + ........ + C k a n −k b k + ................ + C n a 0 b n n n n n Công th c trên g i là công th c nh th c Newton. Ta ch ng minh công th c nh th c Newton theo qui n p..<br /> Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..4<br /> <br />