Giáo trình Xác xuất thống kê (Giáo trình Cao đẳng Sư phạm): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn giáo trình "Xác xuất thống kê" trình bày các nội dung: Giải tích tổ hợp, các khái niệm cơ bản về xác suất, biến ngẫu nhiên, một số phân phối thường gặp, mẫu quan sát và bài toán ước lượng, kiểm định giả thiết, kiểm định phân phối và bảng thương liên, hệ số tương quan, hồi quy tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác xuất thống kê (Giáo trình Cao đẳng Sư phạm): Phần 1

NGUYỄN ĐÌNH HIỀN Giáo trình XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Giảo trình Cao đ ẳ n g Sư ph ạm ) DẠI HỌC THÁI NGUYÊN T Ư GT M RN Â ĩĩọc LIỆU NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM
M ã số: 01.01. 2 3 /1 9 1 . ĐH. 2006
M Ở ĐẨU Xác suất thống kê là một ngành khoa học được dạy trong các trường Đại học và Cao đẳng của gần như tất cả các ngành, kể cả tự nhiên và xã hội, tuy nhiên nội dung dạy có khác nhau. Tuỳ yêu cầu của từng ngành mà chỉ định số tiết, trong các ngành kĩ thuật sinh học và nông nghiệp thường dạy từ 45 đến 75 tiết, nội dung cũng được lựa chọn khác nhau. Giáo trình Xác suất thống kê này được viết cho sinh viên Cao đẳng Sư phạm Kĩ thuật Nông nghiệp. Nội dung dựa trên chương trình Xác suất thống kê khối B của Bộ Giáo dục và Đào tạo nhưng viết lại theo khung chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Kĩ thuật Nông nghiệp cho phù hợp với thời lượng và yêu cầu. Giáo trình cố gắng cung cấp cho học viên một số kiến thức cơ bản về Xác suất và thống kê để có cách nhìn biện chứng hơn về các hiện tượng tự nhiên và xã hội, để hiểu kĩ hơn một số phần mang tính định lượng trong sinh học và có cơ sở để học môn Phương pháp thí nghiệm nên chỉ trình bày một cách đơn giản các khái niệm xác suất và biến ngẫu nhiên, kèm theo nhiều thí dụ minh hoạ. Phần thống kê chỉ trình bày kĩ mục đích của từng vấn đề, các bước tính, cách kết luận và các thí dụ minh hoạ. Để nắm được kiến thức trình bày trong sách không có cách nào tốt hơn là xem kĩ thí dụ và làm đầy đủ bài tập. Giáo trình viết cho người học, do đó khi dạy các giáo viên cần tham khảo thêm các sách viết kĩ hơn, sâu hơn về Xác suất thống kê toán học như các giáo trình dùng cho khối sinh của Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm hay Đại học Nông nghiệp. Phần bài tập có bài giải mẫu và đáp số. Vì học viên đã quen với tin học nên giáo trình cung cấp thêm một số chương trình đơn giản viết bằng ngôn ngữ Pascal để học viên có thể tự mình tính toán các bài tập xác suất thống kê và chuẩn bị cho sau này học môn Phương pháp thí nghiệm. Trong giáo trình các phần đánh dấu * có thể bỏ qua, nếu có điều kiện thì đọc để mở rộng kiến thức. Sau đây là nội dung chính của giáo trình: Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích tổ hợp, nếu học viên đã học rồi (phần này hiện đã dạy ở nhiều trường Trung học phổ thống) thì chỉ nhắc lại và củng cố qua bài tập. 3
Chương 2 trình bày các khái niệm cơ bản về Xác suất, đây là chương quan trọng và rất khó dạy, do đó phải khéo léo kết hợp giữa cách trình bày sao cho không trừu tượng quá mà vẫn đảm bảo tính chặt chẽ, vì thực chất chương này chính là hệ tiên đề của môn Xác suất. Yêu cầu cần đạt được là giới thiệu mô hình suy luận sau: Phép thử có các kết quả trực tiếp, gọi là các sự kiện sơ cấp, sự kiện là tập hợp một số sự kiện sơ cấp, xác suất là số đánh giá khả năng xuất hiện của sự kiện. Xác suất tuân theo một sô' quy tắc tính và yêu cầu phải nắm được hai quy tắc cộng và nhân tổng quát và đơn giản. Chương 3 giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên, phần này không nên sa vào các định nghĩa trừu tượng mà phải thật cụ thể, do đó cần theo dõi các thí dụ, qua đó tổng hợp nên khái niệm biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân phối. Phần sô' đặc trưng có thể dạy sơ qua, chú ý đến ý nghĩa của kì vọng và phương sai chứ không đi sâu chứng minh các tính chất. Chương 4 cần trình bày kĩ phân phối nhị thức và phân phối siêu bội. Trong phần biến liên tục chỉ tập trung trình bày phân phối chuẩn và cách tính gần đúng phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn. Với thời lượng 15 tiết, phần này không nên học hoặc dạy tràn lan mà chỉ tập trung vào một số điểm chính, tuy nhiên giáo trình vẫn viết đầy đủ để học viên tham khảo. Phần bài tập đã chọn các bài phù hợp với trĩnh độ cao đẳng, không khó quá, nhưng cũng không thể coi là quá dễ. Phần thống kê bắt đầu bằng chương 5, giới thiệu khái niệm tổng thể, mẫu quan sát và các tham số của mẫu quan sát, tiếp theo là công thức ước lượng trung bình |J. của biến phân phối chuẩn và xác suất p của phân phối nhị thức. Chương này không yêu cầu trình bày lí thuyết mà phải thật cụ thể, học xong phải biết cách tính trung bình cộng, phương sai mẫu, cách tra cứu bảng cp(u), (t), t và biết cách ước lượng |I, p. Chương 6 cũng chỉ trình bày rất ngắn gọn bài toán kiểm định giả thiết, giả thiết và đối thiết, giới thiệu quy tắc kiểm định giá trị trung bình của một biến phân phối chuẩn và bài toán so sánh hai trung bình của hai tổng thể phân phối chuẩn. Chương này để tiết kiệm thời gian có thể trình bày bằng bảng kẻ sẵn, nêu các trường hợp gặp phải khi kiểm định, công thức tính, cách kết luận (tương tự như ở phụ chương 2). Chương 7 trình bày kiểm định một phân phối và bảng tương liên. Cả hai phần này liên quan đến biến định tính và đều dùng phân phối Khi bình phương 4
(%2) do đó khi trinh bày cũng có thể dùng bảng kẻ sẩn để làm nổi bật nội dung và cách làm rất giống nhau của hai phần (xem phụ chương 2). Chương 8 giới thiệu tương quan và hồi quy tuyến tính, nếu ít thời gian thì chỉ trình bày ý nghĩa hệ số tương quan, cách tính, các kết luận. Phần hồi quy tuyến tính chỉ trình bày ý nghĩa của mô hình tuyến tính để tính xấp xỉ biến ngẫu nhiên Y theo biến đã cho X, cách tính các hệ số, kết luận. Phần đáp số trình bày gần hết các đáp số của các bài tập của các chương, kể cả bài tập thường và bài tập có ghi dấu * Phụ chương 1 giới thiệu một sô' chương trình viết bằng ngôn ngữ Pascal dưới dạng thật đơn giản để học sinh, nếu đã học tin học và có điều kiện sử dụng máy tính, có thể tự mình tính toán xác suất và thống kê trên máy tính cũng như tự tạo ra bảng tính để tra cứu. Phần phụ chương 2 có bảng ghi các thuật ngữ xác suất thống kê dùng trong giáo trình và các công thức. Phần công thức có thể dùng để tham khảo khi trình bày phần thống kê sao cho ngắn gọn, dễ hiểu. Cuối cùng là các bảng tính, các bảng này rất cần cho phần thống kê nên khi dạy phải chỉ cho học viên cách tra cứu cả xuôi lẫn ngược. Giáo trình đã nhận được sự góp ý chân tình, chính xác và tỉ mỉ của Phó giáo sư, Tiến sĩ Đào Hữu Hồ và Phó giáo sư, Tiến sĩ Tô cẩm Tú. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Viết giáo trình là việc khó và càng khó khi thời lượng tương ứng của môn học lại rất ít. Chắc chắn cuốn sách này còn nhiểu thiếu sót, rất mong sự góp ý của bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 1 năm 2003 Tác giả 5
GIẢI TÍCH TỔ HỢP C hương này không nằm trong nội dung môn Xác suất thống kê mà thuộc vé các kiến thức chung đã được dạy ở Phổ thông, tuy nhiên để hiểu được các phép tính xác suất, thống kê ở các chương sau thì cần phải học, hoặc nếu đã học rồi thỉ ôn lại các khái niệm cơ bản như: chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp lặp, nhị thức Niu-tơn. §1. CHỈNH HỢP Thí dụ 1 Cửa hàng có 3 cái mũ màu xanh, đỏ, tím. Có 2 khách đến mua, cô bán hàng lấy lần lượt ra 2 cái mũ giao cho 2 khách, cái thứ nhất màu xanh, cái thứ hai màu đỏ, ta kí hiệu tắt kết quả này là (X, Đ), cũng có thể cái thứ nhất màu đỏ, cái thứ hai màu xanh (Đ, X), hoặc (X, T), (T, X), (Đ, T), (T, Đ). Ta gọi mỗi kết quả là một chỉnh hợp chập 2 trong 3 vật, có tất cả 6 chỉnh hợp chập 2 của 3 mũ. Có thể lập luận như sau: Cái mũ chọn đầu tiên là bất cứ mũ nào trong 3 mũ, như vậy có 3 cách chọn, sau đó có 2 cách chọn mũ thứ hai, như vậy có 3.2 = 6 cách chọn lần lượt 2 trong 3 mũ. Hai cách chọn (X, Đ) và (X, T) khác nhau vì có một mũ khác nhau, còn 2 cách chọn (X, Đ) và (Đ, X) thì khác nhau vẻ thứ tự chọn. Thí dụ 2 Một tổ có 10 người, chọn lần lượt 3 người đi làm việc, người thứ nhất là nhóm trưởng, người thứ hai theo dõi các chỉ tiêu kinh tế, người thứ ba theo dõi các chỉ tiêu kĩ thuật. Giả sử 10 người trong tổ có khả nãng làm việc như nhau thì có 10 cách chọn nhóm trưởng, sau đó có 9 cách chọn người phụ trách chỉ tiêu kinh tế và cuối cùng có 8 cách chọn người thứ ba. Gọi mỗi nhóm 3 người như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 10 người có tất cả 10.9.8 = 720 chỉnh hợp chập 3 của 10 người. Hai nhóm khác nhau nếu có ít nhất một thành viên khác nhau hoặc thành viên của nhóm giống nhau nhưng thứ tự chọn khác nhau, do đó phân công công việc trong nhóm khác nhau. Thí dụ 3 Có 8 đội bóng chuyền vào chung kết. Có 3 đội sẽ được huy chươne: một đội được huy chương vàng, một đội được huy chương bạc, một đội được huy 6
chương đồng. Nếu 8 đội thực lực như nhau thì có thể có bao nhiêu dự báo vế danh sách bộ ba được huy chương? Ta lại lập luận như ở thí dụ 2, vì thực lực như nhau nên có thể có 8 cách dự báo đội được huy chương vàng, sau đó còn 7 cách dự báo đội được huy chương bạc, cuối cùng có 6 cách dự báo đội được huy chương đồng, như vậy tất cả có 8.7.6 = 336 chỉnh hợp chập 3 của 8 đội. Hai dự báo khác nhau nếu trong danh sách 3 đội được huy chương có ít nhất tên một đội khác nhau hoặc vẫn cùng tên 3 đội nhưng thứ tự khác nhau do đó có sự thay đổi tên đội tương ứng với loại huy chương. Tổng quát. Có n vật khác nhau lấy lần lượt ra k vật, mỗi nhóm k vật như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật. Nếu vật nào cũng có khả năng được chọn như nhau thì có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai......(n - k + 1) cách chọn vật thứ k. Tất cả có n(n - 1) ... (n - k + 1) chỉnh hợp chập k của n vật. Hai chỉnh hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác nhau hoặc vật như nhau nhưng thứ tự lấy ra khác nhau. Định nghĩa. Một nhóm k vật lấy lần lượt trong sô' n vật khác nhau gọi là một chỉnh liợp chập k của n vật. Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu là A* , được tính theo công thức: A„ = n(n n - k + 1) ■ l< k < n ) (1Ế1) §2. HOÁN VỊ Thí dụ 4 Trong thí dụ 1 có 3 khách đến mua mũ, giả sử cô bán hàng lấy cả 3 mũ và đưa lần lượt cho 3 khách, nếu khách thứ nhất nhận mũ xanh, khách thứ hai nhận mũ đỏ, khách thứ ba nhận mũ tím thì ta có kết quả (X, Đ, T), nhưng có thể cô bán hàng chọn mũ theo thứ tự khác nên kết quả là (Đ, X, T) hay (T, Đ, X), ... tất cả có 6 kết quả khác nhau. Vì có 3 mũ lấy cả 3 nên hai kết quả chỉ khác về thứ tự đưa 3 mũ cho 3 khách hàng, chẳng khác nào để 3 mũ X, Đ, T bên cạnh nhau sau đó đổi chỗ (hoán vị) các mũ, sau mỗi lần đổi chỗ được một kết quả khác, do đó mỗi kết quả gọi là một hoán vị của 3 mũ. Nếu nói theo cách trình bày ở thí dụ 1.1 thì mỗi hoán vị ở đây chính là một chỉnh hợp chập 3 của 3 mũ. Thí dụ 5 Có 4 người bạn A, B, c , D đi xem văn nghệ và chọn 4 ghế ngồi cạnh nhau 7
nếu sắp A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, c ngồi ghế 3, D ngồi ghế 4 thì có một cách sắp xếp 4 người vào 4 chỗ. Nếu đổi chỗ 2 người thì được một cách săp xếp mới, mỗi cách sắp xếp như vậy gọi là một hoán vị. Nếu nhìn theo góc độ chỉnh hợp thì có 4 người lần lượt chọn cả 4 và thứ tự chọn chính là số ghế, như vậy mỗi hoán vị chính là một chỉnh hợp chập 4 của 4 người, dùng công thức (1.1) có số hoán vị của 4 người là 4! = 4.3.2.1 = 24. Thí dụ 6 Có 6 cụ ông sắp hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy phấn khích các cụ quyết định từ ngày hôm sau sẽ ra tập tiếp và mỗi ngày sẽ sắp hàng theo một trật tự khác những lần tập trước. Hỏi sau bao nhiêu ngày các cụ mới quay lại cách xếp hàng đầu tiên? Coi mỗi cách sắp hàng là một cách sắp xếp 6 cụ vào 6 chỗ, tức là một hoán vị của 6 cụ, cũng có thể coi đó là một chỉnh hợp chập 6 của 6 cụ, có thể tính được tất cả có 6! = 720 cách xếp hàng. Như vậy phải 720 ngày sau, tức là gần 2 năm sau 6 cụ mới xếp hàng lại theo đúng cách sắp hàng đầu tiên. Tổng quát. Có n vật khác nhau được sắp xếp vào n chỗ, có n cách chọn vật thứ nhất để xếp vào chỗ thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai vào chỗ thứ hai, , (n - k + 1) cách chọn vật thứ k để sắp vào chỗ thứ k... Mỗi cách sắp xếp được gọi là một hoán vị của n vật. Định nghĩa. Một nhóm il vật được sắp xếp vào n chỗ, mỗi cách sắp xếp được gọi là một hoán vị. Mỗi hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n vật. Sô'hoán vị được tính theo công thức: A¡¡ = n(n - 1 ) ... 3.2.1 = nỉ (1.2) §3. TỔ HỢP Thí dụ 7 Trong thí dụ 1, cô bán hàng chọn 2 trong 3 mũ, có thể có 3 cách chọn: một xanh một đỏ, một xanh một tím, một đỏ một tím. Gọi mỗi cách là một tổ hợp chập 2 của 3 mũ. Sau khi chọn xong thì có 2 cách đưa cho hai khách tức là có 2 chỉnh hợp chập 2. Thí dụ chọn tổ hợp (X, Đ) thì có thể đưa mũ xanh cho khách thứ nhất, đưa mũ đỏ cho khách thứ hai hay đổi chỗ (hoán vị) hai mũ, đưa mũ đỏ cho khách thứ nhất đưa mũ xanh cho khách thứ hai. Như vậy ta có hệ thức: 3 (tổ hợp chập 2 của 3 mũ) X 2 (hoán vị của 2 mũ) = 6 (chỉnh hợp chập 2 của 3 mũ). 8
Thí dụ 8 Trong thí dụ 2 chọn một nhóm 3 người trong 10 tổ viên, gọi đó là một tổ hợp chập 3 của 10 người. Sau khi chọn xong mới sắp xếp 3 người vào 3 công việc: (nhóm trưởng, phụ trách chỉ tiêu kinh tế, phụ trách chỉ tiêu kĩ thuật), tất cả có 3! = 6 cách sắp xếp. Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 3 người và là một chỉnh hợp chập 3 của 10 người, ta có hệ thức: Số tổ hợp chập 3 của 10 người X 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 10 người. Thí du 9 Trong thí dụ 3 người ta đưa ra một dự báo chung về 3 đội đoạt huy chương, mỗi dự báo như vậy là một tổ hợp chập 3 của 8 đội. Sau khi có dự báo chung như thế nếu ghi cụ thể đội nào trong 3 đội được huy chương vàng, đội nào được huy chương bạc, đội nào được huy chương đồng thì được một dự báo cụ thể, mỗi dự báo cụ thể là một chỉnh hợp chập 3 của 8 đội. Ta có hệ thức: Số tổ hợp chập 3 của 8 đội X 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 8 đội. Tổng quát. Có n vật khác nhau, lấy ra một nhóm k vật, gọi một nhóm như vậy là một tổ hợp chập k của n vật. Hai tổ hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác nhau, như vậy khác với chỉnh hợp ở đây ta không chú ý đến thứ tự của các vật trong nhóm. Khi lấy k vật ta có thể lấy một lúc hoặc lấy lần lượt nhưng không chú ý đến thứ tự của các vật được lấy ra. Sau khi có một tổ hợp nếu đổi chỗ k vật thì được k! hoán vị khác nhau, mỗi hoán vị là một chỉnh họp chập k, như vậy mỗi tổ hợp chập k có thể "sinh" ra k! chỉnh hợp chập k. Định nghĩa. Một nhóm k vật lấy ra từ n vật khác nhau gọi lờ một tổ hợp chập k của n vật. Sô' tổ hợp chập k của n vật kí hiệu là c„ được tính theo công thức: * Ak (1
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 56 = 15625 mã khoá. (Cũng có thể ghi trên mỗi vòng năm chữ cái A, B, c , D, E) và mỗi mã khoá sẽ là một chữ gồm năm chữ cái. Thí dụ 11 Số máy điện thoại của một tỉnh gồm bảy chữ số. Mỗi chữ số được chọn trong mười số 0, 1, ... , 9 như vậy có thể tạo ra 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 = 107 số máy điện thoại. Thí dụ 12 Vé xổ số có bốn chữ số, như vậy có tất cả 104 vé xổ số có bốn chữ số. Tổng quát. Có n vật khác nhau, lấy lần lượt k lần, mỗi lần lấy 1 vật, lấy xong lại trả lại nên lần sau lại có thể lấy được vật đã lấy trong các lần trước, mỗi nhóm k vật được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n vật. So với chỉnh hợp ở mục 1.1 thì chỉnh hợp lặp khác ở chỗ các vật trong chỉnh hợp lặp có thể giống nhau, tức là có thể lặp lại. Số chỉnh hợp lặp được tính theo cách lập luận: vật thứ nhất có n cách lấy, vật thứ hai có n cách lấy, . . . , vật thứ k có n cách lấy, tổng cộng có n X n X . . . X n = nk chỉnh hợp lặp. Cũng có thể hiểu như sau: có n loại vật (năm sô' 1, 2, , 5 hoặc năm chữ cái trên một vòng khoá, mười số 0, 1, , 9 tại một vị trí của chữ số trên máy điện thoại hoặc trên vé xổ số). Lấy k vật (k có thể lớn hơn n) có phân biệt thứ tự (6 vòng, bảy chữ số, bốn chữ số), k vật có thể cùng loại hoặc khác loại, ta có một chỉnh hợp lặp chập k của n vật. Sô' chỉnh hợp lặp chập k của n vật được tính theo công thức: % ầ=nk (1.4) §5. NHỊ THỨC NIU-TƠN Ở phổ thông đã học một số khai triển nhị thức: Khai triển nhị thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Khai triển nhị thức (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 10
Khai triển nhị thức (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. Đối với nhị thức tổng quát (a + b)n ta có công thức sau: (a + » \n =a n + c * a n / b) 1 11 b+c^an /■'i2 2 ■2 b +. . . + CỊỊan k k Ik b + ề..+ 1-k^ b /1 (1.3) Để chứng minh công thức này ta lập luận: Coi (a + b)n là tích của n thừa số (a + b), kết quả khi khai triển là tổng của nhiều sô' hạng, mỗi số hạng là tích của n số, hoặc a hoặc b, lấy trong mỗi thừa số (a + b), thí dụ an k bk được tạo thành bằng cách lấy số a trong (n - k) thừa số (a + b), còn số b lấy trong k thừa số (a + b) còn lại. Có cách chọn k thừa số trong n thừa số, do đó có c „ số an k bk, kết quả có số hạng an k bk trong công thức (1.5). Trước khi trình bày tiếp về nhị thức, chúng ta xem xét lại công thức tính tổ hợp. Theo định nghĩa giai thừa thì n! = 1. 2 ... n với n > 1. Nếu bổ sung 0! =1 thì có thể mở rộng công thức tính tổ hợp với 0 < k < n: £k _ n ( n - l ) ...( n - k + l ) _ n ( n - l ) .. .( n - k + l ) ( n - k ) . .. 3 .2 .1 ” k i~ ~~ k! “ k ỉ(n -k )! = ---------— -------- ( 1. 6 ) k ! ịn - k ) ! Có thể kiểm tra để thấy: c j j = c j = l ; C{J“ k = C „ ; c j +1 = c £ - 1 + c j . Từ đó xây dựng tam giác Pascan để tra cứu cỊ^. Tam giác Pascan \ k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 11
Tam giác Pascan còn được dùng để viết khai triển của nhị thức (a + b) thành tổng của các số hạng, sô' hạng thứ k bằng hệ sô' lấy ớ hàng thứ n cột k trong tam giác Pascan nhân với an k bk . Thí dụ: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + óab^ + b6. Trở lại nhị thức (a + b)n, nếu đặt a = b = 1 thì có hệ thức: 2 n = c ° + c 1-+ T ' J+ c , k + . . . -r c n . -r + Nếu đặt a = 1, b = -1 thì có hệ thức: 0 = c°n-cỊ, +...+(-i)kcỊị +...+(-ì)ncn n Nếu viết (a + b)2n = (a + b)n (a + b)n sau đó xét số hạng tổng quát có chứa xn của hai vế, ta có hệ thức: C2n = (CỈ )2 + (CỊ, )2 +... + (CỊ; )2 +... + (CỊỊ )2. Tổng quát hơn, nếu có ba số n, m, k với m < k < n, xét (1 + x)m+n = (1 + x)m(l + x)n rồi so số hạng có chứa xk ở 2 vế, ta có hệ thức: /->k p k ,/^1 p k - 1 . p 2 p k - 2 —m BÀI TẬP CHƯƠNG 1 l ếl. Có thể tạo ra bao nhiêu vectơ có gốc và đỉnh tại 2 trong 4 điểm đã cho? 1.2ề Giải các phương trình a) A ị = 20 n; b) Á ị - aỊ, = 3; c) 3 + 42 = \ ị n . 1.3ề Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau lấy từ năm chữ số 0, 2, 4. 6, 8? 1.4. Một lớp có 50 học viên, cần chọn ra lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó vật chất. Nếu ai cũng có khả năng được chọn vào các chức vụ trên thì có bao nhiêu cách chọn? 1.5. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số khác nhau lấy từ sáu chữ số 0, 1,2, 3, 4, 5. 1.6. Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội phải đấu với nhau một lượt đi, một lượt về. Ban tổ chức phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? 12
l ễ7. Có 3 cụ ông, 2 cụ bà và 5 em bé ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các cụ ông ngồi cạnh nhau, các cụ bà ngồi cạnh nhau và các em bé cũng ngồi cạnh nhau? 1.8. Có 3 cặp vợ chồng đi xem văn nghệ và ngồi vào 6 ghế trên một hàng. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho vợ chồng luôn ngồi cạnh nhau? 1.9. Có 3 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh. a) Có bao nhiêu cách xếp 14 quyển sách lên giá sách? b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho sách cùng môn học ở cạnh nhau? 1.10. Có bao nhiêu số có năm chữ số lấy từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trong đó hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau? 1.11. Trong mặt phẳng có n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua 2 điểm trong số n điểm đã cho? l ễ12. Cho đa giác lồi n đỉnh D], D2, ... , Dn. Có tất cả bao nhiêu đường chéo? l ế13. Có 12 điểm nằm trên một đường tròn. a) Hỏi có bao nhiêu tam giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số các điểm đã cho? b) Hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số các điểm đã cho? 1.14ề Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen. a) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi. b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi trắng. c) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó ít nhất có 2 bi trắng. d) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có nhiều nhất 2 bi trắng. 1.15. Có 10 người gồm 7 nam và 3 nữ. a) Có bao nhiêu cách chọn một uỷ ban gồm 3 người. b) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có một nữ. c) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có ít nhất một nữ. 13
CÁC KHÁI NIỆM CO BẢN VỀ XÁC SUẤT ■ §1. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN Trong nghiên cứu tự nhiên và xã hội ta phải theo dõi các hiện tượng, phải cân, đong, đo, đếm, làm thí nghiệm ... những việc này, trong điều kiện cho phép, phải lặp lại nhiều lần. Ta gọi chung các công việc này là phép thử. Khi lặp lại phép thử ta thấy có phép thử luôn cho cùng một kết quả, thí dụ đun nước ở điều kiện cao độ và áp suất binh thường thì đến 100°c nước sẽ sôi, trứng gà trong đàn gà không có trống khi ấp sẽ không nở, hạt giống nếu xử lí ở nhiệt độ quá cao hoặc nồng độ hoá chất quá cao sẽ không nẩy mầm, lai cây đậu hoa vàng có cặp gen trội AA với cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa thì cây ở thế hệ Fị có hoa vàng, ... , ta gọi đó là các kết quả tất yếu. Ngoài loại phép thử cho kết quả tất yếu ra còn có rất nhiều phép thử khi lập lại sẽ cho các kết quả khác nhau, số kết quả đó có thể hữu hạn, có thể vô hạn, có thể lấy các giá trị rời rạc hay liên tục, thí dụ sinh con có thể trai hay gái, ấp trứng có thể nở hoặc không, trồng 10 cây thì số cây sống có thể là 0, 1, ... , 10, làm thí nghiệm có thể thành công hoặc thất bại, các phép thử có nhiều kết quả như trên được gọi là phép thử ngẫu nhiên. Để đơn giản chúng ta tập trung vào loại phép thử ngẫu nhiên và gọi vắn tắt là phép thử, mỗi phép thử được thực hiện trong những điéu kiện nhất định, gọi là điều kiện đầu, và chỉ xét loại phép thử có thể lặp lại nhiều lần (về lí thuyết có thể lặp lại vô số lần) với cùng điểu kiện đầu. Kết quả của phép thử gọi là sự kiện sơ cấp hay biến cố sơ cấp (biến cố cơ bản) và kí hiệu là ej, e2, ... Nếu biết hết các sự kiện sơ cấp thì có tập hợp Q (ej, e2, ...), gọi là tập hợp các sự kiện sơ cấp. Một nhóm (tập hợp con của Q) các sự kiện sơ cấp gọi là một sự kiện (biến cố). Sự kiện được kí hiệu bằng các chữ A, B, c , ... và nếu tìm được nét chung của các sự kiện sơ cấp thuộc (hay họp thành) một sự kiện nào đó thì có thể đặt tên đầy đủ cho sự kiện đó. 14
Thí dụ. Gieo một con xúc xắc, sự kiện sơ cấp là ra mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sự kiện ra mặt chẵn A bao gồm ba sự kiện sơ cấp (2, 4, 6), sự kiện ra mặt lẻ B bao gồm ba sự kiện sơ cấp (1 ,3 , 5). Nếu gieo hai con xúc xắc thì các sự kiện sơ cấp là 36 cặp số (1, 2), ( l,3 ) ,..ế,(6 ,6 ). Sự kiện "Có mặt 6" bao gồm 11 sự kiện sơ cấp: (1, 6), (2, 6), ... , (6, 1), ( 6 , 6 ). Sự kiện "Tổng số điểm trên hai con xúc xắc là 10" gồm ba sự kiện sơ cấp (4, 6), (5, 5), (6, 4)ễ Sự kiện "Điểm trên hai con xúc xắc bằng nhau” bao gồm 6 sự kiện sơ cấp (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5,5), (6, 6). Chúng ta tóm tắt sơ đồ theo dõi một phép thử: Cho điều kiện đầu, tiên hành một phép thủ ta được một kết quả, gọi kết quả đó lả một sự kiện sơ cấp. Lặp lại (tiến hành lại phép thử trong cùng diều kiện đầu như . phép thử trước) ta được sự kiện sơ cấp có thể giống sự kiện sơ cấp cũ hoặc khác. Tập hợp tất cả các sự kiện sơ cấp được gọi là không gian các sự kiện sơ cấp Í1 Một tập hợp con của ũ được gọi là một sự kiện, như vậy mỗi sự kiện bao gồm một sô'sự kiện sơ cấp. Có hai sự kiện đặc biệt: sụ kiện tứ yếu là tập hợp Q và sự kiện không thể (hay bất khả) là tập rỗng 0 , tức là tập hợp không bao gồm một sự kiện sơ cấp nào. §2. XÁC SUẤT Theo dõi nhiều lần một phép thử và các sự kiện liên quan đến phép thử ta thấy có sự kiện hay xuất hiện, hay xảy ra, có sự kiện ít xuất hiện, ít xảy ra, sự kiện tất yếu luôn xảy ra còn sự kiện không thể không bao giờ xảy ra. Thí dụ gieo một con xúc xắc, sự kiện ra mặt chẵn và sự kiện ra mặt lẻ có mức độ xuất hiện như nhau, sự kiện "ra số chia được cho 3" ít xuất hiện hơn, sự kiện ra mặt 6 lại còn ít xuất hiện hơn nữa. Sự kiện "ra một sô' ít hơn 7" là sự kiện tất yếu, còn sự kiện "Ra một số lớn hơn 6" là sự kiện không thể. Như vậy trong một phép thử mỗi sự kiện có một mức độ (hay khả năng) xuất hiện mà chúng ta muốn đánh giá (hay đo) bằng một con số. 15
Nếu đối với sự kiện A ta tìm được con số đánh giá mức độ xuất hiện thì sẽ gọi số đó là xác suất của sự kiện A và kí hiệu là p(A). Để thống nhất thang điểm đánh giá chúng, ta chọn xác suất là một số nằm giữa 0 và 1. Thí dụ gieo xúc xắc, nếu con xúc xắc là một hình lập phương cân đối và làm bằng chất liệu đồng đều thì xác suất ra mặt chẵn bằng xác suất ra mặt lẻ và bằng—, còn xác suất "ra môt số chia hết cho 3" l à—, xác suất "ra mặt 6" l à—, 2 3 6 xác suất của sự kiện tất yếu là 1 còn xác suất của sự kiện không thể là 0. Khi điểu kiện đầu thay đổi thì xác suất có thể thay đổi, thí dụ con xúc xắc không cân đối hoặc chất liệu không đồng đều, chỗ nặng, chỗ nhẹ thì các xác suất nói trên không còn đúng nữa. Như vậy với điều kiện đầu cụ thể, khi tiến hành phép thử mỗi sự kiện có một mức độ hay khả năng xuất hiện và sô' đo (hay đánh giá) khả năng xuất hiện dó được gọi là xác suất của sự kiện. Xác suất của sự kiện A, kí hiệu p(A), được chọn sao cho: 0
Nếu có điều kiện làm hàng loạt phép thử và tính tần suất của sự kiện A trong các loạt đó, người ta thấy tần suất khá ổn định (khác nhau rất ít) và thường dao động quanh một sô' xác định. Khi số phép thử tăng lên (và khá lớn) thì biên độ (sai khác giữa tần suất và số nói trên) có khuynh hướng nhỏ dần và càng ngày càng ít xuất hiện các biên độ lớn. Số xác định nói trên được lấy làm xác suất. Cách tính thống kê đơn giản, cho kết quả dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp với thực tế nhưng không chính xác và không thể dùng để tính xác suất trong những trường hợp phức tạp hoặc các trường hợp không thể trực tiếp lặp lại phép thử. Trong thực tế, khi xem xét một số lượng lớn sản phẩm, chúng ta thường dùng phần trăm (%), thí dụ số học sinh thi đỗ là 90%, số sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 75%, số người bị bệnh trong một đợt dịch là 30%... Theo cách tính thống kê có thể đổi % sang xác suất như sau: nếu số đạt tiêu chuẩn là p% thì khi p chọn ngẫu nhiên một sản phẩm xác suất để sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn là ——. Cách tính thống kê đã được dùng từ xa xưa để tính xác suất sinh con trai, con gái, xác suất xuất hiện các hiện tượng lạ trong tự nhiên như lũ lụt, sóng thần, nhật thực, nguyệt thực, ... Thí dụ 1 Để tính xác suất ra mặt sấp khi gieo một đồng tiền, ta có các kết quả sau, dao động quanh 0,5 Người thực hiện Số lần gieo Số lần ra mặt sấp Tẩn suất Buýt phông 4040 2048 0,5080 Piếc sơn 12000 6019 0,5016 Piếc sơn 24000 12012 0,5005 Thí dụ 2 Ở Trung Quốc, từ năm 228 trước Công nguyên, đã tìm thấy tần suất sinh con trai là —. Laplaxơ theo dõi các thành phố Luân Đôn, Pê-téc-bua và Bec-lin 22 và công bố tần suất sinh con trai là — . Cramơ cho tần suất sinh con trai ở 43 Thuy Điển là 0,508. Ở Việt Nam năm 1961 tần suất sinh con trai là 0,51. 17
3Ễ Cách tính cổ điển hay cách tính đồng khả năng 2. Tiến hành một phép thử và giả sử n kết quả (sự kiện sơ cấp) của phép thử có khả năng xuất hiện như nhau, gọi đó là phép thử có n kết quả đồng khả năng. Khi đó người ta lấy xác suất của mỗi kết quả là —. n Từ chấp nhận này có thể tính được xác suất p(A) của một sự kiện bất kì A như sau: Nếu sự kiện A bao gồm (hay được tạo nên) bởi n(A) sự kiện sơ cấp thì: P (A ) = ^ (2.3) n Cách tính đồng khả năng đơn giản, cho kết quả dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp với thực tế, nhưng không chặt chẽ và không thể dùng để tính xác suất trong những trường hợp phức tạp, hoặc các trường hợp không thể chấp nhận giả thiết đồng khả năng. Trong nhiều thí dụ, ở các phần sau chúng ta tính xác suất theo cách đồng khả năng và trong các bài tập cũng có rất nhiều bài tính xác suất theo cách đồng khả năng. Thí dụ 3 Gieo một đồng tiền có thể coi hai kết quả sấp (S), ngửa (N), là 2 sự kiện sơ cấp đồng khả năng, mỗi sự kiện có xác suất —. Nếu gieo một lúc hai đồng tiền thì có thể coi 4 kết quả sau là đồng khả năng: (S, S), (S, N), (N, S), (N, N), mỗi sự kiện sơ cấp có xác suất —. Nếu gọi A là sự kiện "Hai đồng tiền cùng mặt" 2 1 thì xác suất p(A) = — = - vì A gồm 2 sự kiện sơ cấp (S, S) và (N, N). Thí dụ 4 Lai một cây đậu hoa vàng mang cặp gen trội AA với một cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa. Các cây đậu ở thế hệ Fị có hoa màu vàng mang cặp gen Aa. Đem lai hai cây đậu thế hệ Fị thì ở thế hệ F2 các cây đậu mang một trong 4 kiểu gen: AA, Aa, aA, aa (gen đầu của bố, gen sau của mẹ), có thể coi 4 kiểu gen đồng khả năng, vậy mỗi kiểu gen có xác suất—. Kiểu hình hoa vàng bao 18
gồm 3 kiểu gen AA, Aa, aA, do đó xác suất để cây đậu ở thế hệ F2 có hoa vàng 4 Thí dụ 5 Vé xổ sô' có bốn chữ số, khi quay số trúng thưởng có 1 vé trúng giải nhất. Tính xác suất để mua 1 vé thì vé đó sẽ trúng giải nhất. Có tất cả 104 = 10000 vé bôn chữ số, có thể coi đó là 10000 kết quả đồng khả năng khi quay số trúng thưởng. Như vậy mỗi vé có xác suất trúng giải nhất như nhau và bằng -Ậ— . 10000 Tính xác suất để vé trúng giải nhất là vé có bốn chữ sô' khác nhau. Trong 10000 vé có A^o = 10. 9 . 8 . 7 = 5040 vé có bốn chữ sô' khác nhau (vé xổ số có thể bắt đầu bằng số 0) như vậy xác suất để vé trúng giải nhất có bốn chữ số khác nhau là = 0,504. 10000 * §4. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUÂT Sau khi tính xác suất của các sự kiện tương đối đơn giản, chúng ta xem xét các sự kiện phức tạp hon. Để làm được việc này, ta xét một số phép tính trên các sự kiện. Gọi A và B là hai sự kiện xác định trên tập hợp các sự kiện sơ cấp Q (C|, e2, ... , en). Hội của hai sụ kiện A và B kí hiệu A n B là sự kiện bao gồm các sự kiện SO cấp vừa của sự kiện A, vừa của sự kiện B. (Hội A n B còn được gọi là sự ' kiện "A và B" hoặc giao của A và B). Khi tiến hành phép thử nếu kết quả là một trong các sự kiện sơ cấp nói trên thì cả A cả B đều xảy ra (xuất hiện). Như vậy hội của hai sự kiện A, B là sự kiện "cả A và B đều xảy ra". Thí dụ 6 Gieo một xúc xắc, sự kiện A"ra số chẵn" và sự kiện B "ra một số chia được cho 3" có hội là sự kiện sơ cấp " ra mặt 6 ", nói cách khác nếu kết quả vừa là số chẵn (có sự kiện A) vừa là số chia được cho 3 (có sự kiện B) thì hội A nB là sự kiện "ra mặt 6". 19
Thí dụ 7 Gọi A là sự kiện người đại diện của tổ là người được xếp loại giỏi vé học tập, B lằ sự kiện người đại diện của tổ là người biết chơi bóng chuyển thì A n B là sự kiện người đại diện của tổ là người vừa học giỏi vừa biết chơi bóng chuyềnỂ Sự kiện đối lập của sự kiện A, kí hiệu Ã , là sự kiện bao gồm các sụ kiện sơ cấp trong Í2 nhưng không thuộc A . Thí dụ 8 Gieo một xúc xắc nếu gọi A là sự kiện "ra mặt chẵn" thì sự kiện đối lập Ã là sự kiện "ra mặt lẻ". Thí dụ 9 Khi thi thì sự kiện A "thi đỗ" có sự kiện đối lập A là "thi trượt". Hai sự kiện A và B xung khắc nếu hội của chúng rỗng A n B = 0 Khi tiến hành phép thử hai sự kiện xung khắc không có sự kiện sơ cấp chung nào nên không th ể xuất hiện đồng thời. Thí dụ 10 Sự kiện A "ra mặt chẵn" và sự kiện c "ra mặt lẻ" là 2 sự kiện xung khắc khi gieo xúc xắc. Thí dụ 11 Sự kiện A" ra mặt chẵn " và sự kiện B "ra một số chia được cho 3" không xung khắc. Thí dụ 12 Nếu trong hộp có 3 loại bi màu trắng, màu xanh, màu đỏ thì sự kiện rút được bi xanh và sự kiện rút được bi đỏ là 2 sự kiện xung khắc nhưng khổng đối lập. Thí dụ 13 Khi thi thì sự kiện A "đạt điểm giỏi" và sự kiện B " đạt điểm khá" là hai sự kiện xung khắc, nhưng không đối lập, vỉ còn nhiểu điểm khác. Sự kiện A và sự kiện c "trên trung bình" không xung khắc. Qua các thí dụ trên ta thấy đối lập là trường hợp riêng của xung khắc. Đối lập thì xung khắc nhưng xung khắc chưa chắc đã đối lập. 20