Hàm đo được- ôn thi cao học

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

218
lượt xem 79
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hàm đo được- ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích trong việc tự học, ôn thi, tạo tâm thế vững vàng, có thể tự đánh giá và nâng cao vốn kiến thức, giúp trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm đo được- ôn thi cao học

GI I TÍCH (CƠ S ) Ph n 3. Đ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán §2. HÀM ĐO ĐƯ C (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 PH N LÝ THUY T 1. Đ nh nghĩa: Cho m t không gian đo đư c (X, F), t p A ∈ F và hàm f : A → R. V i a ∈ R, ta s ký hi u: A[f < a] = {x ∈ A : f (x) < a} Các t p h p A[f ≤ a], A[f > a], A[f ≥ a] đư c đ nh nghĩa tương t . Ta nói hàm f đo đư c trên A (đo đư c đ i v i σ-đ i s F hay F-đo đư c) n u: A[f < a] ∈ F, ∀a ∈ R Đ nh lý 1: Các m nh đ sau tương đương 1) f đo đư c trên A 2) A[f ≤ a] ∈ F, ∀a ∈ R 3) A[f > a] ∈ F, ∀a ∈ R 4) A[f ≥ a] ∈ F, ∀a ∈ R 2. M t s l p hàm đo đư c Cho không gian đo đư c (X, F). Các t p h p đư c xét dư i đây luôn gi thi t là thu c F. 1) Hàm h ng s là đo đư c. Hàm đ c trưng 1A c a t p A là đo đư c khi và ch khi A ∈ F. 2) N u f đo đư c trên A và B ⊂ A thì f đo đư c trên B ∞ N u f đo đư c trên m i An (n ∈ N∗ ) thì f đo đư c trên ∪ An n=1 3) Gi s các hàm f, g đo đư c trên A và ch nh n các giá tr h u h n. Khi đó các hàm sau cũng đo đư c trên A : |f |, |f |α (α > 0), f + g, f.g, f (n u g(x) = 0 ∀x ∈ A) g 4) Gi s các hàm fn đo đư c trên A (n ∈ N∗ ). Khi đó các hàm sau cũng đo đư c trên A a) g(x) = sup{fn (x) : n ∈ N∗ }, h(x) = inf {fn (x) : n ∈ N∗ } b) f (x) = lim fn (x), n u gi i h n t n t i t i m i x ∈ A. n→∞ 1
3. Hàm đo đư c theo Lebesgue Hàm đo đư c đ i v i σ-đ i s các t p (L) đo đư c g i là hàm đo đư c theo Lebesgue hay (L) đo đư c Đ nh lý 2 N u A ⊂ R là t p (L)-đo đư c và hàm f : A → R liên t c thì f là hàm (L)-đo đư c. 4. Hàm đơn gi n Đ nh nghĩa : Cho không gian đo đư c (X, F) và t p A ∈ S. Hàm f : A → R g i là hàm đơn gi n n u nó có d ng n f (x) = ai 1Ai (x) i=1 n trong đó : Ai ∈ F, (i = 1, n), Ai ∩ Aj = ∅ (i = j), ∪ An = A và 1Ai là hàm đ c trưng i=1 c a t p Ai Như v y, hàm đơn gi n là hàm đo đư c, ch nh n h u h n giá tr . Đ nh lý 3 N u f là hàm không âm, đo đư c trên A thì t n t i dãy {sn } các hàm đơn gi n trên A sao cho i) 0 ≤ sn (x) ≤ sn+1 (x), ∀x ∈ A ii) lim sn (x) = f (x), ∀x ∈ A n→∞ 2
PH N BÀI T P Bài 1 : Cho hàm f : X → R đo đư  c và các s a, b ∈ R, a < b. Ch ng minh r ng hàm  f (x) n u a ≤ f (x) ≤ b g(x) = a n u f (x) < a là đo đư c trên X. b n u f (x) > b  GI I: Cách 1: Đ t A1 = X[a ≤ f ≤ b], A2 = X[f < a], A3 = X[f > b], ta có: Ak ∈ F , k = 1, 2, 3, A1 ∪ A2 ∪ A3 = X   f (x) x ∈ A1 g(x) = a x ∈ A2 b x ∈ A3  g đo đư c trên A2 và A3 vì là hàm h ng trên các t p này g đo đư c trên A1 vì f đo đư c trên A1 Do đó g đo đư c trên A1 ∪ A2 ∪ A3 = X. Cách 2: Ta d dàng ki m tra r ng g(x) = min{b, max{a, f (x)}} T các hàm đo đư c qua phép l y max, min ta nh n đư c hàm đo đư c. Do đó g đo đư c. Bài 2 : 1) Cho các hàm f, g : X → R đo đư c. Ch ng minh t p A := {x ∈ X : f (x) = g(x)} là đo đư c (nghĩa là thu c F). 2) Cho dãy hàm {fn } đo đư c trên X. Ch ng minh r ng t p B := {x ∈ X : lim fn (x) t n t i} đo đư c. n→∞ GI I: 1) Cách 1: Đ t A1 = {x ∈ X : f (x) < g(x)}, A2 = {x ∈ X : g(x) < f (x)} Ta ch ng minh A1 , A2 ∈ F. . Ta vi t t p Q thành dãy {rn }. Ta th y f (x) < g(x) ⇔ ∃n : f (x) < rn < g(x) Do đó: ∞ A1 = {x ∈ X : f (x) < rn < g(x)} n=1 ∞ = (X[f < rn ] ∩ X[g > rn ]) n=1 nên A1 ∈ F. Ch ng minh A2 ∈ F tương t . . Do A = X\(A1 ∪ A2 ) nên A ∈ F Cách 2: Đ t A1 = {x ∈ X : f (x) = +∞}, A2 = {x ∈ X : f (x) = −∞} A3 = {x ∈ X : g(x) = +∞}, A4 = {x ∈ X : g(x) = −∞} 4 Y = X\ Ak k=1 Ta có th ch ng minh Ak , Y ∈ F và 3
A = (A1 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A4 ) ∪ Y [f − g = 0] Chú ý r ng trên Y thì f, g đo đư c, ch nh n giá tr h u h n nên f − g đo đư c trên Y và do đó Y [f − g = 0] ∈ F. 2) Đ t f (x) = lim fn (x), g(x) = lim fn (x) n→∞ n→∞ . Theo đ nh nghĩa, ta có f (x) = lim (inf fk (x)), g(x) = lim (sup fk (x)) n→∞ k≥n n→∞ k≥n Các hàm Fn (x) := inf fk (x) đo đư c nên f (x) = lim Fn (x) đo đư c k≥n n→∞ Tương t , ta có g đo đư c . Ta có B = {x ∈ X : f (x) = g(x)} nên áp d ng câu 1) có B ∈ F Bài 3 : Cho không gian đ đo (X, F, µ), A ∈ F và hàm f : A → R đo đư c. 1) Đ t An = {x ∈ A : |f (x)| ≤ n}, n ∈ N∗ . Ch ng minh lim µ(Bn ) = µ(A). n→∞ 2) Gi s µ(A) < ∞. Ch ng minh r ng v i m i > 0, t n t i t p B ⊂ A, B ⊂ F sao cho µ(A\B) < , f b ch n trên B GI I: 1) Ta có: An ∈ F (vì |f | đo đư c), An ⊂ An+1 ∞ A= An (do f ch nh n giá tr h u h n) n=1 Do đó lim µ(An ) = µ(A) n→∞ 2) Do µ(A) < ∞ nên µ(A\An ) = µ(A) − µ(An ). Do đó lim µ(A\An ) = 0 n→∞ Chú ý r ng f b ch n trên An . Do đó ta ch c n ch n B = An khi n đ l n. Bài 4 : Cho không gian đo đư c (X, F) và các hàm f1 , f2 : X → R đo đư c, hàm F : R2 → R liên t c. Ch ng minh r ng hàm g : X → R, g(x) = F (f1 (x), f2 (x)) đo đư c GI I Ta xét ánh x ϕ : X → R2 , ϕ(x) = (f1 (x), f2 (x)). Ta có . g(x) = (F0 ϕ)(x) . X[g < a] = g −1 ((−∞, a)) = ϕ−1 (F −1 ((−∞, a)))] (1) −1 2 T p A := F ((−∞, a)) là t p m trong R (do f liên t c) nên là h p c a đ m đư c các hình ch nh t m : ∞ A= In × Jn , In = (an , bn ), Jn = (cn , dn ) (2) n=1 T (1),(2) ta có: ∞ ∞ X[g < a] = ϕ−1 (In × Jn ) = {x ∈ X : (f1 (x), f2 (x)) ∈ In × Jn } n=1 n=1 ∞ = ({x : an < f1 (x) < bn } ∩ {x : cn < f2 (x) < dn }) n=1 ⇒ X[g < a] ∈ F ∀a ∈ R Bài 5 : Cho hàm f : (a, b) → R khà vi trên (a, b) a < b; a, b ∈ R. Ch ng minh r ng hàm f 4
là (L)-đo đư c trên (a, b) GI I Xét các hàm fn : (a, b) → R xác đ nh như sau 1 1 n f x+ − f (x) , n u x ∈ a, b − n fn (x) = n 1 , n ∈ N∗ c , n u x ∈ b − n, b Ta có (1) lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ (a, b) n→∞ 1 Th t v y v i x ∈ (a, b) ta có x < b − n khi n đ l n, do đó 1 lim fn (x) = lim n f x + n − f (x) = f (x) n→∞ n→∞ (2) fn là (L)-đo đư c trên (a, b) 1 1 Th t v y, trên (a, b − n ) hàm fn liên t c (vì f kh vi nên f liên t c) trên b − n , b fn cũng là hàm liên t c nên fn là (L)- đo đư c) T (1),(2) ta có f là (L)-đo đư c. 5