intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

HÌNH HỌC VI PHÂN

Chia sẻ: Mr Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Thêm vào BST
Báo xấu
564
lượt xem 154
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên các trường đại học, cao đẳng chuyên môn toán học - Giáo trình Hình học vi phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÌNH HỌC VI PHÂN

  1. HÌNH H C VI PHÂN Đ Ng c Di p và Nông Qu c Chinh
  2. M cl c 1 Đư ng và m t b c hai 6 1.1 Siêu ph ng afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Thu t kh Gauss-Jordan gi i h phương trình tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Đa t p tuy n tính và phương pháp to đ . . . . . . . 6 1.1.3 Các phép bi n đ i (tuy n tính) trong hình h c . . . . . 8 1.2 Đư ng b c hai v i phương trình chính t c . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Đưa phương trình đư ng b c hai trong m t ph ng v d ng chính t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Phân lo i siêu m t b c 2 trong không gian 3 chi u . . . . . . . 10 1.5 Đưa phương trình m t b c hai t ng quát v d ng chính t c . . 14 1.6 Phân lo i d i hình các đư ng b c hai trong m t ph ng Euclid 16 1.7 Phân lo i d i hình các m t b c hai trong không gian Euclid 3 chi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Phương pháp to đ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.1 Các đư ng b c 2 tham s hoá . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.2 Các m t b c hai tham s hoá . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Bài t p c ng c lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 thuy t đư ng cong trong Rn 2 Lý 20 2.1 Cung tham s hoá và cung chính quy . . ..... ..... . . 20 Đ dài đư ng cong trong Rn . Đư ng tr c 2.2 đa. . . ..... . . 21 2.3 M c tiêu tr c chu n. M c tiêu Frénet. Đ cong. Đ xo n. . . 24 2.4 Đ nh lí cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . 27 2.5 Bài t p c ng c lý thuy t . . . . . . . . ..... ..... . . 29 1
  3. Hình h c vi phân 2 3 Đi s tensơ, đ i s ngoài, tensơ đ i x ng 30 3.1 Tích tensơ các không gian véctơ . . .... . . . . . . . . . . . 30 3.2 Tích ngoài và tích tensơ đ i x ng . .... . . . . . . . . . . . 31 3.3 Đ i s tensơ . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . 32 3.4 Đ i s ngoài . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . 33 thuy t m t cong trong R3 4 Lý 34 4.1 M nh tham s hoá chính quy và m t tham s hoá . . . . . . . 34 4.2 M c tiêu Darboux c a đư ng cong trên m t dìm . . . . . . . . 34 4.3 D ng toàn phương cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4 Đ o hàm Weingarten và ký hi u Christoffel . . . . . . . . . . 40 4.5 Đ o hàm thu n bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.6 Đ cong Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.7 Các đ nh lí cơ b n c a lí thuy t m t dìm . . . . . . . . . . . . 46 5 Đư ng cong trên m t cong 49 5.1 Đư ng cong trên m t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Đ cong pháp d ng và đ cong tr c đ a c a đư ng cong trên mt ............................... . 50 5.3 Phương chính và đ cong Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.4 M t s tính ch t đ c trưng c a đư ng trên m t cong . . . . . 52 5.5 Đ nh lí Gauss -Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.6 Bài t p c ng c lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6 Đ nh lý ánh x ngư c và Đ nh lý ánh x n 60 6.1 Đ nh nghĩa đ o ánh và các tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . 60 6.2 Đ o hàm riêng và vi phân . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 65 6.3 Đ nh lí hàm (ánh x ) ngư c . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 68 6.4 Đ nh lí hàm (ánh x ) n . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 70 6.5 Bó các hàm trơn . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 71 6.6 Bài t p c ng c lý thuy t . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 73 7 Đa t p kh vi 74 7.1 Đ nh nghĩa. Ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . 74 7.2 Ánh x trơn gi a các đa t p . . . . . . . . . . . . ... . . . . 75 7.3 Phân th ti p xúc, đ i ti p xúc . . . . . . . . . . ... . . . . 77 7.3.1 Không gian ti p xúc. Phân th ti p xúc . ... . . . . 77 7.3.2 Không gian đ i ti p xúc. Phân th đ i ti p xúc . . . . 78 7.4 Đa t p con. Đa t p thương. . . . . . . . . . . . . ... . . . . 79 7.4.1 Đi u ki n dìm và đi u ki n ng p . . . . . . ... . . . . 79 7.4.2 C u trúc vi phân c m sinh . . . . . . . . . ... . . . . 81
  4. Hình h c vi phân 3 7.4.3 Đ nh lí Godeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4.4 Ví d ............... . . . . . . . . . . . . 82 7.5 Tôpô các đa t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.6 Bài t p c ng c lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.7 Sơ lư c v hình h c Riemann t ng quát . . . . . . . . . . . . . 84 7.8 Sơ lư c v hình h c symplectic t ng quát . . . . . . . . . . . . 84
  5. Gi i thi u trư ng ph thông, hình h c đư c d y và h c theo quan đi m hình h c Euclid. Các v t th hình h c đư c c u thành t các m nh ph ng và m nh c u. Quan h so sánh gi a các v t th hình h c đư c th c hi n b i các phép d i hình; hai v t th hình h c đư c xem là b ng nhau n u chúng có th đư c ch ng khít lên nhau qua nh ng phép d i hình. Đ i s tuy n tính và hình h c gi i tích xét các v t th hình h c đư c c u thành t các m nh ph ng và các m nh b c 2 t ng quát. Các quan h so sánh đư c xét như các phép bi n đ i tuy n tính ho c afin. Các đư ng b c hai đư c đưa v 9 d ng chính t c, các m t b c hai trong không gian 3-chi u đư c đưa v 17 d ng chính t c. Trong hình h c đ i s b ng phương pháp phân lo i có th nghiên cúu các đư ng và m t ho c siêu m t b c 3 hay, t ng quát hơn, b c b t kì. Phép bi n đ i cho phép là các phép bi n đ i đa th c ho c song h ut. Quan đi m nói trên đư c phát tri n trong cùng m t ng c nh c ahình h c vi phân khi mà các v t th đư c c u t o t các m nh tham s hoá b ng các to đ đ a phương,mà nói chung các hàm to đ đ a phương là các hàm trơn b t kì. Các phép bi n đ i là các phép vi phôi. Do v y các v t th hình h c trong hình h c vi phân đa d ng hơn, nhi u chi u hơn và theo m t nghĩa nh t đ nh là trơn chu hơn các v t th hình h c trong các môn hình h c trên. Phương pháp nghiên c u c a hình h c vi phân tương đ i đa d ng. Trư c h t hình h c vi phân s d ng các phép tính vi phân và tích phân trong không gian Euclid Rn đ xây d ng các phép tính vi phân và tích phân tương ng trên các v t th hình h c. Đ ng th i nó cũng v n d ng các phương pháp tôpô, tôpô đ i s , phương pháp t h p, phương trình vi phân thư ng và phương trình đ o hàm riêng, ..... đ tìm ra các tính ch t c a các đ i tư ng hình h c. Giáo trình này đư c biên so n trong khuôn kh chương trình cho sinh viên các năm cu i đ i h c. Các tác gi đã d y chương trình này cho các l p c a Đ i h c Hu ,Đ i h c Thái nguyên, Đ i h c Quy Nhơn. Th c t gi ng d y đã g i ý cho các các tác gi ch n l c các n i dung này, sao cho v a ph i, không quá nhi u và cũng không quá nghèo nàn. 4
  6. Hình h c vi phân 5 Giáo trình g m có các chương chính sau: Chương 1 đu c dành cho vi c nhìn l i lý thuy t đu ng và m t b c 1 và 2. M c đích c a chương này là t o ra m t kh i đi m hình h c cho vi c h c ti p t c. Chương 2 đư c dành cho vi c nghiên c u các đư ng cong trong không gian Euclid n-chi . Chương 3 đư c dành cho vi c xây d ng l i khái ni m v tensơ và đ i s tensơ. Chương 4 là chương tr ng tâm, dành cho lý thuy t m t cong trong không gian Euclid R3 . Trong chương 5 chúng tôi trình bày phép toán vi phân nhi u chi u cho các ánh x trơn, đ ng th i nh n m nh các đ nh lí ánh x n và đ nh lí ánh x ngư c. Hai đ nh lí này đóng vai trò trung tâm trong vi c nghiên c u các đa t p con trong Rn đư c xác đ nh b i h phương trình hàm. Trong chương 6 chúng tôi trình bày lý thuy t t ng quát các đa t p kh vi. Đó chính là các đ i tư ng trung tâm c a hình h c vi phân. Cu i m i chương có m t s bài t p b sung cho ph n lí thuy t. Các bài t p luy n t p cơ b n, c n đu c gi ng viên ch n t các ngu n khác. Giáo trình đư c biên so n l n đ u không tránh kh i nh ng thi u sót. Chúng tôi mong nh n đư c nhi u ý ki n đóng góp cho vi c biên s an, n i dung và hình th c c a giáo trình. Các tác gi
  7. Chương 1 Đư ng và m t b c hai Trong chương này chúng ta s h th ng hoá l i nh ng khái ni m và k t qu nghiên c u đư ng và m t trong Đ i s tuy n tính và Hình h c gi i tích dư i m t cách nhìn th ng nh t là tham s hoá và to đ hoá. Cách nhìn th ng nh t này s cho m t hình dung sơ b v phương pháp nghiên c u c a hình h c vi phân c đi n. 1.1 Siêu ph ng afin Trong Đ i s tuy n tính, các siêu ph ng afin đóng vai trò cơ b n, các m-ph ng đư c xem như giao c a h các siêu ph ng afin. Trong hình h c afin, siêu m t afin là đ i tư ng cơ b n. Các giao c a các siêu m t b c 2 cho ta các đ i tương ki u các nhát c t c u, nhát c t ellipsoid, v.v.... 1.1.1 Thu t kh Gauss-Jordan gi i h phương trình tuy n tính Đ gi i h phương trình tuy n tính ta có th s d ng thu t kh Gauss-Jordan là th c hi n các phép bi n đ i sơ c p trên ma trân c a h phương trình đã cho. Chúng tôi cho r ng h c viên đã bi t kĩ v nh ng v n đ liên quan. 1.1.2 Đa t p tuy n tính và phương pháp to đ Ta xét bài toán nghiên c u t p nghi m (h t nhân) c a phương trình véctơ ϕ(x) = b, trong đó ϕ : V → W là m t ánh x tuy n tính. Không gian nghi m là m t m-ph ng afin d ng x0 + L v i L là m t m t ph ng qua g c to đ , là không gian nghi m (h t nhân) c a ánh x tuy n tính ϕ(x) = 0. 6
  8. Hình h c vi phân 7 To đ hoá các không gian véctơ V và W b ng cách ch n trong m i không gian m t cơ s tuy n tính, ta quy bài toán v gi i h phương trình tuy n tính. tuy ntính t ng quát v i n  n  m phương Xét h phương trình  bi và x1 b1  x2   b2  trình Ax = b, v i x =   . . .  và c t v ph i b =  . . . . Theo Đ nh    xn bm lý Kronecker-Kapelli, h phương trình là có nghi m khi và ch khi rank[A] = rank[A|b]. Nghi m c a h là m t không gian afin con. N u ta ch n to đ hoá b ng cách ch n m t cơ s c a không gian nghi m r i b sung thành m t cơ s c a toàn b Rn thì ta có th nói r ng: Có th tách bi n x = (x, y ) v i x = (x1 , . . . , xn−r ), y = (y1 , . . . , yr ) sao cho r = rank[A] và ma tr n con   a1,n−r+1 . . . a1,n ... ... ...   ar,n−r+1 . . . ar,n là kh ngh ch. Các bi n x1 , . . . , xn−r là bi n t do. Các bi n y1 , . . . , yr là các bi n ph thu c, là các hàm tuy n tính theo x1 , . . . , xn−r theo quy t c Cramer cho h − a1,n−r+1 y1 + . . . + a1,n yr = b1 − n=1r a1,i xi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . n− ar,n−r+1 y1 + . . . + ar,n yr = br − i=1r ar,i xi Như v y ta có th tìm m t cơ s trong không gian nghi m mà trong đó các véctơ nghi m tương ng v i x = (x1 , . . . , xn−r ) c a x0 + L. Nói m t cách khác, ta có m t đ ng c u afin gi a Rn−r và không gian con afin x0 + L. N u xem không gian con afin như là v t th hình h c đ c l p thì các phép bi n đ i hình h c cho phép chính là các phép bi n đ i afin. Vi c ch n cách tách bi n như trên cho phép "t a đ hoá" không gian (đa t p) afin đó. M t ví d khác là các hình thu đư c nh compa. Theo quan đi m tr u tư ng compa là công c có tác d ng duy nh t là v các đư ng tròn ho c là các cung c a nó. M t lý thuy t t ng quát các m t b c 2 đư c nghiên c u trong ph n cu i c a m t giáo trình đ i s tuy n tính. Trong trư ng h p này các phép bi n đ i cho phép là các phép bi n đ i b o toàn các d ng b c 2, t c là các phép bi n đ i afin tr c giao. Ví d v i m t c u phép bi n đ i cho phép là các phép bi n đ i trong không gian Euclid (các phép quay, các phép ph n x , t nh ti n). Bài toán quy v vi c nghiên c u h m t hay nhi u phương trình, b t phương trình b c 2, ví d d ng toàn phương. L i m t l n n a, câu h i t nhiên đư c đ t ra là: có th chăng nghiên c u các m t t ng quát hơn là m t b c 2?
  9. Hình h c vi phân 8 Bài toán cơ b n là các vi c làm nói trên có th th c hi n hay không khi h phương trình phi tuy n (không là tuy n tính ho c các phương trình có b c l n hơn 2). Tr l i câu h i này, hình h c vi phân dùng toàn b công c vi tích phân c a gi i tích. Đó cũng chính là n i dung c a hình h c các đa t p kh vi. Tuy nhiên đ có đư c đi u đó ta ph i huy đ ng toàn b phép tính vi tích phân trong Rn d ng t ng quát nh t. 1.1.3 Các phép bi n đ i (tuy n tính) trong hình h c Trong m t không gian, đi u quan tr ng hơn c là chúng ta ch p nh n các phép bi n đ i nào. N u ch p nh n đ nhi u các phép bi n đ i đư c coi là bi n đ i tương đương thì có đ nhi u các v t th hình h c đư c đ ng nh t v i nhau. N u h n ch ch xét các phép bi n đ i hình h c là tuy n tính thì chúng ta có nhóm bi n đ i là nhóm tuy n tính t ng quát G = GL(Rn ) = GLn (R) c a không gian, g m t t c các phép bi n đ i tuy n tính kh ngh ch. Chúng ta thu đư c hình h c afin [aphin]. N u chúng ta h n ch h p hơn, ch ch p nh n các phép bi n đ i là b o toàn kho ng cách, ho c tích vô hư ng, chúng ta có nhóm O(n) các bi n đ i tr c giao và hình h c chính là hình h c Euclid. 1.2 Đư ng b c hai v i phương trình chính t c 1.2.1 Ellipse Trong hình h c gi i tích, ellipse đư c đ nh nghĩa như qu tích các đi m M mà t ng kho ng cách đ n hai đi m F1 và F2 cho trư c là m t đ i lư ng không đ i 2a. Các đi m F1 và F2 đó đư c g i là các tiêu đi m. G i kho ng cách gi a hai đi m F1 và F2 là 2d. Ch n trung đi m c a đo n F1 F2 là g c O c a h to đ Descartes, ch n véctơ e1 sao cho OF 2 = de1 . B sung thêm m t véctơ e2 đ có m t cơ s tr c chu n thu n hư ng và do v y có h to đ Descartes O, e1 , e2 . Trong h to đ này đi m M có các to đ là (x, y ) và ta có phương trình đư ng ellipse √ x2 y 2 + 2 = 1, v i b = a2 − d2 2 a b 1.2.2 Hyperbola Trong hình h c gi i tích, hyperbola đư c đ nh nghĩa như qu tích các đi m M mà tr tuy t đ i c a hi u kho ng cách đ n hai đi m F1 và F2 cho trư c là m t đ i lư ng không đ i.
  10. Hình h c vi phân 9 G i kho ng cách gi a hai đi m F1 và F2 là 2d. Ch n trung đi m c a đo n F1 F2 là g c O c a h to đ Descartes, ch n véctơ e1 sao cho OF 2 = de1 . B sung thêm m t véctơ e2 đ có m t cơ s tr c chu n thu n hư ng và do v y có h to đ Descartes O, e1 , e2 . Trong h to đ này đi m M có các to đ là (x, y ) và ta có phương trình đư ng ellipse √ x2 y 2 − 2 = 1, v i b = d2 − a2 a2 b 1.2.3 Parabola Trong hình h c gi i tích, parabola đư c đ nh nghĩa như qu tích các đi m M mà kho ng cách đ n m t đi m F và m t đư ng th ng trong m t ph ng cho trư c là b ng nhau. Qua đi m F , ta h đư ng vuông góc v i đư ng th ng t i đi m P . G i trung đi m đo n P F là g c to đ O. Ch n các véctơ tr c chu n e1 và e2 sao cho OF = pe2 . G i (x, y ) là các to đ đi m M trong h to đ O, e1 , e2 . Khi đó ta có phương trình đư ng parabola là x2 = 4py. 1.3 Đưa phương trình đư ng b c hai trong m t ph ng v d ng chính t c Đ nh lí 1.3.1 (Đ nh lí phân lo i) B ng phép bi n đ i to đ thích h p, m i đư ng b c hai t ng quát trong m t ph ng Euclid afin 2-chi u đ u đư c đưa v m t trong s 9 đư ng chính t c sau: 1. Đư ng ellipse x2 y 2 + 2 = 1. a2 b 2. Đư ng ellipse o: x2 y 2 + 2 = −1. a2 b 3. Đư ng hyperbola x2 y 2 − 2 = 1. a2 b 4. Đư ng parabola x2 = 2y, p > 0. p
  11. Hình h c vi phân 10 5. C p hai đư ng th ng song song x2 = 1. a2 6. C p hai đư ng th ng o song song: x2 = −1. a2 7. C p hai đư ng th ng o c t nhau: x2 y 2 + 2 = 0. a2 b 8. C p hai đư ng th ng c t nhau: x2 y 2 − 2 = 0. a2 b 9. C p hai đư ng th ng trùng nhau: x2 = 0. 1.4 Phân lo i siêu m t b c 2 trong không gian 3 chi u Đ nh lí 1.4.1 (Đ nh lí phân lo i) B ng phép bi n đ i to đ thích h p, m i m t b c hai t ng quát trong không gian Euclid ba chi u đ u đư c đưa v m t trong s 17 m t chính t c sau: 1. M t ellipsoid: x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c 2. M t ellipsoid o: x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = −1. a2 b c 3. M t nón o: x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 0. a2 b c
  12. Hình h c vi phân 11 4. M t elliptic hyperboloid m t t ng x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1. a2 b c 5. M t elliptic hyperboloid hai t ng x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = −1. a2 b c 6. M t nón b c hai: x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 0. a2 b c 7. M t elliptic paraboloid x2 y 2 + = 2z, p > 0, q > 0. p q 8. M t tr elliptic x2 y 2 + 2 = 1. a2 b 9. M t tr elliptic o: x2 y 2 + 2 = −1. a2 b 10. C p m t ph ng o c t nhau: x2 y 2 + 2 = 0. a2 b 11. M t hyperbolic paraboloid: x2 y 2 − = ±2z, p > 0, q > 0. p q 12. M t tr hyperbolic: x2 y 2 − 2 = ±1. a2 b 13. C p hai m t ph ng c t nhau: x2 y 2 − 2 = 0. a2 b
  13. Hình h c vi phân 12 14. M t tr parabolic x2 = 2pz, p > 0. 15. C p hai m t ph ng song song: x2 = k 2 , hay x = ±k, k = 0. 16. C p hai m t ph ng o song song: x2 = −k 2 , hay x = ±ik, k = 0. 17. C p hai m t ph ng trùng nhau: x2 = 0. Ch ng minh. Đ nh lí đư c ch ng minh b ng cách ch n phép đ i to đ thích h p làm bi n m t ph n tuy n tính. D ng toàn phương và h s t do quy t đ nh đ ng c a m t cong. Trư ng h p 1: D ng toàn phương có ba giá tr riêng khác 0: λ1 , λ2 , λ3 : Phương trình đư c đưa v d ng λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 = c 1a. Các giá tr λ1 , λ2 , λ3 cùng d u, quy v λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 > 0 c c c 1. N u c > 0 ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . λ1 λ2 λ3 −c −c −c 2. N u c < 0, ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . λ1 λ2 λ3 1 1 1 3. N u c = 0 ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . λ1 λ2 λ3 1b. Các giá tr riêng khác d u, quy v λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0 c c c 4. N u c > 0 ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . −λ3 λ1 λ2 −c −c −c 5. N u c < 0, ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . − λ3 λ1 λ2 1 1 1 6. N u c = 0 ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . −λ3 λ1 λ2 Trư ng h p 2: Có đúng m t giá tr riêng b ng không, ví d λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0: 2a. λ1 và λ2 cùng d u: λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 = 0. Khi có m t giá tr riêng λ3 = 0 thì h s t do l i có th làm tri t tiêu. N u h s b c nh t theo z khác 0 ta có th đ t là ±2p, p > 0. Ta có
  14. Hình h c vi phân 13 7. N u h s b c nh t theo z tri t tiêu, ta có phương trình d ng λ1 x2 + λ2 y 2 = c. Ta có ba trư ng h p: c c c 8. N u c > 0 ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . −λ3 λ1 λ2 −c −c −c 9. N u c < 0, ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . − λ3 λ1 λ2 1 1 1 10. N u c = 0 ta có th đ t a2 = b2 = c2 = , , . −λ3 λ1 λ2 2b. λ1 và λ2 khác d u: λ1 > 0, λ2 < 0, λ3 = 0 c c 11. N u c > 0 ta có th đ t a2 = b2 = , . −λ2 λ1 −c −c 12. N u c < 0, ta có th đ t a2 = b2 = , . − λ2 λ1 1 1 13. N u c = 0 ta có th đ t a2 = b2 = , . −λ2 λ1 Trư ng h p 3: Có đúng m t giá tr riêng khác 0, ví d λ1 = 0, λ2 = λ3 = 0. Khi đó phương trình t ng quát có d ng λ1 x2 + 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a0 = 0. a2 + a2 = 0 ta th c hi n phép đ i to đ tr c giao: N uD= 2 3  x = x y = a3 y + a2 z D D z = − a2 y + a3 z  D D Trong h to đ m i này, phương trình có d ng λ1 x 2 + 2a1 x + 2Dz + a0 = 0 Th c hi n phép t nh ti n to đ a = − λ1 + x  x 1 y =y a0 = −D + z  z ta có các trư ng h p
  15. Hình h c vi phân 14 14. N u D = 0 thì phương trình t ng quát có d ng λ 1 x 2 + 2 a1 x + a0 = 0 Th c hi n phép t nh ti n to đ theo tr c x ta nh n đư c phương trình m i d ng: λ1 x2 + a0 = 0. có ba trư ng h p: −a0 15. λ1 > 0, a0 < 0, ta đ t k 2 = . λ1 a0 16. λ1 > 0, a0 > 0, ta đ t k 2 = . λ1 17. λ1 > 0, a0 = 0, chia hai v cho λ1 . 1.5 Đưa phương trình m t b c hai t ng quát v d ng chính t c ˜˜ ˜ Gi s (O, e1 , . . . , en ) và (O, e1 , . . . , en ) là hai h to đ Descartes v i ˜ [˜1 , . . . , en ] = [e1 , . . . , en ]A, e n ˜ bi e i OO = i=1 là phép chuy n to đ x = (x1 , . . . , xn ) → x = (˜1 , . . . , xn ) ˜ x ˜ vi ˜ x = Ax + b, t c là n i Ai xj + bj . x= j˜ j =1 Nói cách khác qua phép bi n đ i t a đ , n ˜˜ xj ej . ˜˜ OM = OO + OM = b + j =1
  16. Hình h c vi phân 15 Siêu m t b c 2 là quĩ tích các đi m M trong không gian Euclid afin AV tho mãn phương trình 0-đi m c a m t hàm b c 2 q (M ) = ϕ(OM , OM ) + 2f (OM ) + c = 0, trong đó ph n b c 2 ϕ là không đ ng nh t b ng 0. N u trên siêu m t b c 2 ˜ ˜ có đi m tâm đ i x ng O, t c là −OM tho mãn phương trình q (M ) = 0 n u ˜ ˜ OM tho mãn, thì vi t trong g c t a đ t i O ph n b c nh t tri t tiêu ˜˜ ˜ ˜˜ ˜ f (OM ) = ϕ(OO, OM ) + f (OM ) = 0. Gi s M là m t đi m trên siêu m t đang xét. Đư ng th ng D có phương e qua M g m các đi m có d ng OM + te . Cho nên giao c a nó v i siêu m t b c 2 cho b i S : q (M ) = 0 g m các đi m mà t tho mãn phương trình At2 + 2Bt + C = 0, v i A = ϕ(e, e), B = f (e)+ ϕ(OM, e), C = q (M ). Phương e là phương không ti m c n n u ϕ(e, e) = 0. N u véctơ e không thu c h t nhân c a ϕ, t c là ϕ(e, e) = 0 thì siêu ph ng kính liên h p v i phương e đư c cho b i ϕ(OM, e) + f (e) = 0. Hai véctơ u, v trong không gian afin AV là liên h p v i nhau qua hàm (b c 2) ϕ , n u ϕ(u, v) = 0. Véctơ t do e đư c g i là phương chính c a hàm b c hai q (M ) n u nó liên h p v i t t c các véctơ vuông góc v i nó, t c là ϕ(e, u) = 0, v i m i u ⊥ e. K t q a cơ b n c a hình h c gi i tích phân lo i các siêu m t b c hai đư c th hi n đ nh lý sau: Đ nh lí 1.5.1 M i siêu m t b c hai S : q (M ) = ϕ(OM, OM ) + 2f (OM ) + c = 0 trong không gian Euclid afin AV , b ng các phép bi n đ i afin đ ng c , đ u đư c đưa v d ng chính t c trong h to đ chính t c (O, e1 , . . . , en ) v i ei là các phương chính c a q (M ): 1. Trư ng h p có tâm đ i x ng: q (M ) = λ1 (x1 )2 + . . . + λr (xr )2 + c v i r ≤ n, λi = 0, λ1 ≥ . . . ≥ λr , đi m g c O tâm đ i x ng. 2. Trư ng h p không có tâm đ i x ng: q (M ) = λ1 (x1 )2 + . . . + λr (xr )2 − 2pxr+1 , trong đó 0 < r ≤ n − 1, λi = 0, λ1 ≥ . . . ≥ λr , p > 0
  17. Hình h c vi phân 16 trư ng h p λ1 ≥ . . . ≥ λr > 0 ta thêm các phép Nh n xét 1.5.2 N u trong bi n đ i siêu vi t đưa t a đ Descartes v to đ c c   x1 = r cos(θ1 ) . . . cos(θn−1 )   x2 = r cos(θ1 ) . . . sin(θn−1 )   .... . ....................  n−1 x = r cos(θ1 ) sin(θ2 )   xn = r sin(θ1 )  v i r ∈ (0, ∞), (θ1 , . . . , θn−1 ) ∈ [0, 2π )n−2 × (− π , π ), thì siêu m t ellipsoid 22 có d ng r2 + c = 0. Tương t trong trư ng h p có λi v i d u âm, ta xét các hàm lư ng giác hyperbolic, cũng có k t qu tương t . Như v y vi c m r ng nhóm bi n đ i cho phép mô t c u trúc các siêu m t b c hai. 1.6 Phân lo i d i hình các đư ng b c hai trong m t ph ng Euclid Chúng ta xét nhóm các phép bi n đ i afin đ ng c u đ ng c trong m t ph ng. D dàng nh n th y r ng " Hai dư ng b c 2 trong m t ph ng là tương đương d i hình v i nhau n u và ch n u chúng thu đư c t nhau b ng phép bi n đ i afin đ ng c u đ ng c ". Ta có m nh đ sau. M nh đ 1.6.1 G i T là nhóm các phép t nh ti n trong m t ph ng, O(2) là nhóm các bi n đ i tr c giao (quay và ph n x ). Khi đó nhóm các phép bi n đ i d i hình đ ng c u v i tích n a tr c ti p O(2) R2 . 1.7 Phân lo i d i hình các m t b c hai trong không gian Euclid 3 chi u Tương t như trên, chúng ta xét nhóm các phép bi n đ i afin đ ng c u đ ng c trong không gian Euclid afin 3-chi u. D dàng nh n th y r ng " Hai m t b c 2 trong không gian Euclid 3-chi u là tương đương d i hình v i nhau n u và ch n u chúng thu đư c t nhau b ng phép bi n đ i afin đ ng c u đ ng c ". Ta có m nh đ sau. M nh đ 1.7.1 G i T là nhóm các phép t nh ti n trong không gian Euclid 3-chi u, O(3) là nhóm các bi n đ i tr c giao (quay và ph n x ). Khi đó nhóm các phép bi n đ i d i hình đ ng c u v i tích n a tr c ti p O(3) R3 .
  18. Hình h c vi phân 17 1.8 Phương pháp to đ cong Chúng ta nh c l i m t s phép bi n đ i to đ quen bi t: • To đ c c trong m t ph ng x2 + y 2 , r= x = r cos ϕ, ϕ = arccos √ x , y = r sin ϕ, x +y 2 2 v i 0 < r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π. • To đ c c hyperbolic trong m t ph ng x = r cosh ϕ, y = r sinh ϕ. • To đ c u trong không gian 3-chi u  x2 + y 2 + z 2 , r =   x = r cos θ cos ϕ,  = arccos √ x 2 ,  ϕ y = r cos θ sin ϕ, 2x +y = arcsin √ z z = r sin θ. θ ,    x2 + y 2 + z 2 v i 0 < r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, − π ≤ θ < 2 . θ 2 • To đ tr trong không gian 3-chi u   x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z.  • To đ c u trong không gian n-chi u 1  x = r cos θ1 . . . cos θn−1 , 2 x = r cos θ1 . . . sin θn−1 ,   .. . .................. n x = r sin θ1 . 
  19. Hình h c vi phân 18 1.8.1 Các đư ng b c 2 tham s hoá Trong các h to đ thích h p các đư ng b c 2 có d ng r t đơn gi n. Ví d trong h to đ elliptic  2 x2 + y2 , r = x = r cos ϕ, a2 b a y  ϕ = arccos q xx y2 = r sin ϕ, b 2 a +2 a2 b phương trình đư ng ellipse tr thành r = 1, 0 ≤ ϕ < 2π . H q a 1.8.1 Qua phép bi n đ i to đ elliptic nói trên, đư ng ellipse đư c bi n thành đo n đóng-m . Các phép bi n đ i to đ tương t đư c áp d ng cho các đư ng cong b c 2 khác. 1.8.2 Các m t b c hai tham s hoá Trong các h to đ thích h p các đư ng b c 2 có d ng r t đơn gi n. Ví d trong h to đ c u elliptic  2 x2 2 + y2 + z2 , r = x a2 = r cos θ cos ϕ, b c   a ϕ = arccos q xx y2 ,  y = r cos θ sin ϕ, 2 a +2 b a2 b z = r sin θ.   θ = arcsin q z ,  c y2 2 z2  x c +2 + a2 c2 b v i 0 < r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, − π < θ < 2 . phương trình m t ellipsoid tr θ 2 thành r = 1, 0 ≤ ϕ < 2π, π ≤ θ < π . 2 2 H q a 1.8.2 Qua phép bi n đ i to đ c u elliptic nói trên, m t ellipsoid đư c bi n thành hình vuông đóng-m . Các phép bi n đ i to đ tương t đư c áp d ng cho các m t cong b c 2 khác. Nh n xét 1.8.3 B ng cách ch p nh n thêm các phép bi n đ i siêu vi t (ki u các phép đ i to đ phi tuy n nói trên) các đư ng và m t b c 2 tr thành các hình hình h c h t s c đơn gi n. Nh ng phép bi n đ i như th chính là các phép bi n đ i vi phôi (các ánh x kh vi, kh ngh ch và ngh ch đ o cũng là kh vi t i m i đi m). Phân lo i các v t th hình h c v i đ chính xác đ n vi phôi chính là phương pháp c a hình h c vi phân.
  20. Hình h c vi phân 19 1.9 Bài t p c ng c lý thuy t 1. Dùng các h to đ thích h p, hãy tham s hoá các đư ng b c 2. 2. Dùng các h to đ thích h p, hãy tham s hoá các m t b c 2. 3. Dùng các h to đ thích h p, hãy tham s hoá các đư ng conic. 4. Xây d ng vi phôi đĩa m v i không gian Euclid ch a nó. 5. Qua phép đ i to đ thích h p, hãy tham s hoá đư ng b c 2 và m t b c 2 b t kì.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2