intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Hình Học Vi Phân - Chương 2 Lý Thuyết Mặt

Chia sẻ: Hoang Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST
Báo xấu
261
lượt xem 73
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Có thể hình dung mặt chính qui trong R3 như sau: Lấy một số mảnh mặt phẳng biến dạng chúng và dán lại sao cho hình nhận được không có các điểm nhọn, không có các cạnh hoặc không có tính tự cắt để lại mỗi điểm có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hình Học Vi Phân - Chương 2 Lý Thuyết Mặt

  1. Chương 2 Lý thuy t m t 2.1 M t chính qui Có th hình dung m t chính qui trong R3 như sau: L y m t s m nh m t ph ng bi n d ng chúng và “dán” l i sao cho hình nh n đư c không có các đi m nh n, không có các c nh ho c không có tính t c t đ t i m i đi m có th nói đ n m t ph ng ti p xúc c a m t. Các m t cũng s đư c gi thi t đ trơn đ có th m r ng các khái ni m cũng như các k t qu c a gi i tích lên chúng. Đ nh nghĩa sau đây th a mãn các yêu c u trên. Đ nh nghĩa 1. M t t p h p con S ⊂ R3 đư c g i là m t m t chính qui n u ∀p ∈ S t n t i lân c n V ⊂ R3 c a p và ánh x X : U −→ V ∩ S , v i U là m t t p con m c a R2 , th a mãn 3 đi u ki n sau: 1. Ánh x X là kh vi, có nghĩa là X (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v)), (u, v ) ∈ U v i x, y, z là các hàm có đ o hàm riêng m i c p. 2. Ánh x X là m t đ ng phôi t U vào V ∩ S. Vì X là liên t c theo đi u ki n 1, nên X là m t đ ng phôi có nghĩa là X có ánh x ngư c X −1 : V ∩ S −→ U liên t c. Nói cách khác, X −1 là h n ch c a m t ánh x liên t c F : W ⊂ R3 −→ R2 xác đ nh trên m t t p m ch a V ∩ S. 3. (Tính chính qui) V i m i q ∈ U , đ o hàm DXq : R2 −→ R3 là m t đơn ánh. Ánh x X đư c g i là m t tham s hóa (đ a phương) c a S , c p (U, X ) g i là m t h t a đ đ a phương hay m t b n đ c a S còn lân c n V ∩ S c a p trong S g i là m t lân c n t a đ . 1
  2. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Chúng ta phân tích rõ hơn v Đi u ki n 3 b ng cách xét ma tr n Jacobi c a X t i q. Gi s q = (u0 , v0). Xét đư ng tham s u −→ (x(u, v0), y (u, v0), z (u, v0)). Đư ng cong này, đư c g i là đư ng cong t a đ v = v0, n m trên m t S đi qua p = X (q ) và có vector ti p xúc t i p là ∂x ∂y ∂z ∂X ( , , ) := . ∂u ∂u ∂u ∂u đây các đ o hàm riêng đư c tính t i q = (u0 , v0). Theo đ nh nghĩa c a đ o hàm ta có ∂ x ∂y ∂z ∂X DXq (e1) = ,, := , ∂u ∂u ∂u ∂u v i e1 là vector ti p xúc c a đư ng tham s u −→ (u, v0) trong R2 t i đi m q. Đư ng t a đ v = v0 là nh c a đư ng cong này qua ánh x X. Tương t ta có e2 là vector ti p xúc c a đư ng tham s v −→ (u0 , v ) trong R2 t i đi m q. Đư ng t a đ u = u0 là nh c a đư ng cong này qua ánh x X và ∂ x ∂y ∂z ∂X DXq (e2) = ,, := . ∂v ∂v ∂v ∂v Ta có ma tr n Jacobi  ∂x  ∂x ∂u ∂v  ∂y ∂y  Xq = . ∂u ∂v ∂z ∂z ∂u ∂v V i phân tích này ta th y Đi u ki n 3 tương đương v i các m t trong các đi u ki n sau: 1. hai c t c a ma tr n Xq là đ c l p; ∂X ∂X 2. ∧ = 0; ∂u ∂v ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂ (x,y ) ∂ (x,z ) ∂ (y,z ) ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v 3. các đ nh th c := , := , := không đ ng th i b ng ∂y ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z ∂ (u,v ) ∂ (u,v ) ∂ (u,v ) ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v không. ∂X ∂X T đây v sau, đ thu n ti n, đôi lúc chúng ta s vi t Xu thay cho và Xv thay cho . ∂u ∂v Nh n xét 1. 1. Như v y có th xem m t chính qui đư c ph b i m t h các lân c n t a đ , t c là các nh c a m t h ánh x X (tham s hóa) th a mãn các Đi u ki n 1, 2, 3. 2. Đi u ki n 1 cho phép chúng ta có th s d ng công c c a gi i tích (phép tính vi tích phân) đ nghiên c u các m t chính qui. 2
  3. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) 3. Đi u ki n 2 nh m ngăn c n tính t c t c a m t và do đó có th nói đ n m t ph ng ti p xúc c a m t t i m i đi m. 4. Đi u ki n 3 đ m b o t i m i đi m đ u có m t ph ng ti p xúc. Ví d 1. Xét m t ph ng R2. Ta ch n U = R2 và X = Id. Theo đ nh nghĩa R2 là m t chính qui v i ch m t b n đ duy nh t (R2, Id). Ví d 2. Xét m t c u S 2 = {(x, y, z ) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}. + Chúng ta s ch ng t S 2 là m t m t chính qui. Xét ánh x X1 : U1 ⊂ R2 −→ R3 đư c cho b i + + 1 − x2 − y 2 ) , X1 (x, y ) = (x, y, (x, y ) ∈ U1 + + + v i R2 = {(x, y, z ) ∈ R3 : z = 0}, U1 = {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} và X1 (U1 ) = {(x, y, z ) ∈ R3 : 2 2 2 2 2 x + y + z = 1; z > 0} là n a m t c u trên. Do x + y < 1 nên hàm 1 − x2 − y 2 có các đ o hàm riêng liên t c m i c p. Do đó Đi u ki n 1 đư c th a mãn. + + D th y X1 là đơn ánh và (X1 )−1 là h n ch c a phép chi u π (x, y, z ) = (x, y ) t R3 lên R2 nên cũng liên t c. V y Đi u ki n 2 cũng đư c th a mãn. ∂ (x, y ) 10 + Do = = 1 nên Đi u ki n 3 cũng đư c th a mãn. Như v y X1 là m t tham s hóa 01 ∂ (x, y ) c a S 2. Có th d dàng nh n th y S 2 đư c ph b i 6 m nh lân c n t a đ đư c xác đ nh tương t như v y. B n đ c có th d dàng xác đ nh lân c n t a đ tương ng c a các tham s hóa như v y. Dư i đây là các tham s hóa đó − − {(x, y ) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}; = (x, y, − 1 − x2 − y 2), X1 (x, y ) (x, y ) ∈ U1 = √ + + {(x, z ) ∈ R2 : x2 + z 2 < 1}; = (x, √ − x2 − z 2, z ), X2 (x, z ) 1 (x, z ) ∈ U2 = − − {(x, z ) ∈ R2 : x2 + z 2 < 1}; = (x, − 1 − x2 − z 2 , z ), X2 (x, z ) (x, z ) ∈ U2 = + + {(y, z ) ∈ R2 : y 2 + z 2 < 1}; = ( 1 − y 2 − z 2 , y, z ), X3 (y, z ) (y, z ) ∈ U3 = − − {(y, z ) ∈ R2 : y 2 + z 2 < 1}. = (− 1 − y 2 − z 2, y, z ), X3 (y, z ) (y, z ) ∈ U3 = Thư ng đ d kh o sát m t c u S 2 , ngư i ta s d ng h t a đ c u đ tham s hóa. L y V = {(θ, ϕ) : 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π } và xét X : V −→ R3 xác đ nh b i X (θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). D th y X (V ) ⊂ S 2 . Tham s θ đư c g i là colatude (ph n ph c a vĩ đ ) và ϕ là kinh đ . Rõ ràng X kh vi vì các hàm sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ là kh vi. Hơn n a các đ nh th c ∂ (x, y ) ∂ (x, z ) ∂ (y, z ) = sin2 θ sin ϕ, = sin2 θ cos ϕ = cos θ sin θ, ∂ (θ, ϕ) ∂ (θ, ϕ) ∂ (θ, ϕ) 3
  4. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) không th đ ng th i b ng không vì cos2 θ sin2 θ + sin4 θ sin2 ϕ + sin4 θ cos2 ϕ = sin2 θ = 0 do 0 < θ < π. Như v y, Đi u ki n 1 và 3 đư c th a mãn. L y C là n a đư ng tròn {(x, y, z ) ∈ S 2 : y = 0, x ≥ 0}. V i m i (x, y, z ) ∈ S 2 − C, chúng ta xác đ nh đư c duy nh t θ = cos−1 z vì 0 < θ < π. Bi t θ chúng ta s xác đ nh đư c ϕ t x = sin θ cos ϕ, y = sin θ sin ϕ và do đó xác đ nh đư c duy nh t ϕ. V y X có ánh x ngư c X −1 , và có th ki m tra d dàng X −1 là liên t c, t c là X là m t tham s hóa. Chúng ta nh n xét r ng X (V ) = S 2 − C nên có th ph S 2 b i hai tham s hóa ki u như trên. Cũng có th ph S 2 b i hai lân c n t a đ nh vào phép chi u n i (xem bài t p ??). Ví d v a r i cho th y vi c ki m tra m t t p nào đó là m t m t chính chính qui là m t công vi c d chán và bu n t . Nh ng m nh đ ti p theo s cho ta nh ng phương pháp có th ki m tra ho c xây d ng m t s m t chính qui d dàng hơn. M nh đ 2.1.1. N u f : U −→ R là hàm kh vi trên t p m U ⊂ R2 . Khi đó đ th c a f Gf = {(x, y, z ) ∈ R3 : z = f (x, y )} là m t m t chính qui. Ch ng minh. Đi u ki n 1 hi n nhiên đư c th a mãn. Do ∂ (x,y) = 1, nên Đi u ki n 3 cũng đư c ∂ (x,y ) th a mãn. Chúng ta ch còn ch ng minh cho Đi u ki n 2. D th y X (x, y ) = (x, y, f (x, y )) là đơn ánh nên có ánh x ngư c X −1 . Ánh x ngư c X −1 chính là h n ch lên Gf c a phép chi u t R3 lên R2 nên liên t c. 2 Đ nh nghĩa 2. Cho ánh x kh vi f : U ⊂ Rn −→ Rm , v i U là t p m . Chúng ta nói r ng p ∈ U là m t đi m t i h n c a f n u đ o hàm Dfp : Rn −→ Rm không ph i là toàn ánh. nh f (p) ∈ Rm c a m t đi m t i h n g i là giá tr t i h n c a f. M t đi m c a Rm mà không ph i là giá tr t i h n đư c g i là m t giá tr chính qui c a f . Chú ý r ng b t kỳ đi m a ∈ F (U ) đ u là các giá tr chính qui c a F. Trong trư ng h p f : U ⊂ R −→ R, các đi m t i h n chính là các đi m x ∈ U mà f (x) = 0. N u f : U ⊂ R3 −→ R là hàm kh vi, ta có ∂f ∂f ∂f f (p) = (p), (p), (p) . ∂x ∂y ∂z 4
  5. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Tính ch t Dfp không là toàn ánh tương đương v i ∂f ∂f ∂f (p) = (p) = (p) = 0. ∂x ∂y ∂z ∂f , ∂f , ∂f Do đó, n u a là giá tr chính qui thì không đ ng th i tri t tiêu trên t p ∂x ∂y ∂z f −1 (a) = {(x, y, z ) ∈ R3 : f (x, y, z ) = a}. M nh đ 2.1.2. N u f : U ⊂ R3 −→ R, là hàm kh vi và a ∈ f (U ) là giá tr chính qui c a f thì f −1 (a), n u khác r ng, là m t m t chính qui trong R3. Ch ng minh. L y p = (x0, y0 , z0) ∈ f −1 (a). Vì a là giá tr chính qui nên không m t tính t ng quát ta có th gi s ∂f (p) = 0. Đ t F : U ⊂ R3 −→ R3 xác đ nh b i ∂z F (x, y, z ) = (x, y, f (x, y, z )). Ta có   100 Fp =  0 1 0  . fx fy fz ∂f Do |Fp| = (p) = 0, nên theo Đ nh lý hàm ngư c, t n t i lân c n V c a p và W c a a = f (p) ∂z sao cho F : V −→ W là m t vi phôi. Đi u này cho th y các hàm t a đ c a F −1 có d ng x = u, y = v, z = g (u, v, t), (u, v, t) ∈ W là các hàm kh vi. Đ c bi t z = g (u, v, a) = h(x, y ) là hàm kh vi xác đ nh trong hình chi u c a V lên m t ph ng xy. Do F (f −1 (a) ∩ V ) = W ∩ {(u, v, t) ∈ R3 : t = a}, chúng ta suy ra r ng đ th c a h là f −1 (a) ∩ V. Theo M nh đ 2.1.1, f −1 (a) ∩ V là m t lân c n t a đ ch a p. Do đó, f −1 (a) s đư c ph b i nh ng lân c n t a đ như v y nên f −1 (a) là m t m t chính qui. 2 Ví d 3. Ellipsoid E x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c là m t m t chính qui. E chính là t p f −1 (0), v i x2 y 2 z 2 f (x, y, z ) = + 2 + 2 −1 a2 b c 5
  6. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) là hàm kh vi và 0 là m t giá tr chính qui c a nó. Th t v y, ta có ∂f 2x ∂f 2y ∂f 2z = 2, = 2, =2 ∂x a ∂y b ∂z c đ ng th i tri t tiêu ch t i đi m (0, 0, 0). Do đó giá tr t i h n duy nh t c a f là -1, nên 0 là m t giá tr chính qui. Trong trư ng h p a = b = c, ta có m t c u x2 + y 2 + z 2 = a2 cũng là m t m t chính qui. M t m t S đư c g i là liên thông n u b t kỳ hai đi m nào c a S đ u có th n i b i m t đư ng cong liên t c trong S. Trong nhi u tài li u, khái ni m này đư c g i là liên thông cung hay liên thông đư ng đ phân bi t v i khái ni m liên thông trong tôpô. Ví d sau đây cho th y các m t chính qui xác đ nh b i M nh đ 2.1.2 có th không liên thông. Ví d 4. Hyperboloid hai t ng H −x2 + y 2 + z 2 = 1 là m t chính qui vì H = f −1 (0) v i 0 là giá tr chính qui c a hàm f (x, y, z ) = −x2 + y 2 + z 2 − 1. D th y r ng H không liên thông, vì hai đi m n m hai t ng khác nhau không th n i v i nhau b ng m t đư ng cong liên t c đư c. Chúng ta có tính ch t sau đây c a m t m t liên thông: “ Cho f : S ⊂ R3 −→ R là m t hàm s liên t c xác đ nh trên m t m t liên thông S. N u f (p) = 0, ∀p ∈ S, thì hàm f không đ i d u trên S.” Th t v y, gi s ta có f (p) > 0 và f (q ) < 0, v i p, q ∈ S. Do S liên thông, t n t i đư ng cong liên t c α : [a, b] −→ S, v i α(a) = p và α(b) = q. Xét f ◦ α : [a, b] −→ R. Theo đ nh lý giá tr trung bình, t n t i c ∈ (a, b), f ◦ α(c) = 0. Đi u này ch ng t f = 0 t i đi m α(c). Ví d 5. M t xuy n (torus) T là m t sinh ra b ng cách quay đư ng tròn bán kính r quanh m t đư ng th ng thu c m t ph ng ch a đư ng tròn và cách tâm đư ng tròn m t kho ng a > r. L y S 1 là đư ng tròn tâm I (0, a, 0) bán kính r trong m t ph ng yz . Khi đó phương trình c a S 1 là (y − a)2 + z 2 = r2 , x =0 và phương trình c a T là x2 + y 2 − a)2 + z 2 = r2 . ( Xét hàm f : R3 − Oz −→ R xác đ nh b i x2 + y 2 − a)2 + z 2. f (x, y, z ) = ( 6
  7. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) D th y T là nh ngư c f −1 (r2 ) c a hàm f t i giá tr r2 . Hàm f là hàm kh vi. Ta tính các đ o hàm riêng 2x( x2 + y 2 − a) ∂f = , ∂x x2 + y 2 2y ( x2 + y 2 − a) ∂f = , ∂y x2 + y 2 ∂f = 2z. ∂z T đây, ta tìm đư c t p các đi m t i h n c a f là đư ng tròn x2 + y 2 = a2 . z =0 Và do đó f ch có m t giá tr t i h n duy nh t là 0. Như v y, r2 là m t giá tr chính qui nên T là m t m t chính qui. M nh đ 2.1.3. Gi s S ⊂ R3 là m t m t chính qui và p ∈ S. Khi đó t n t i lân c n V c a p trong S sao cho V là đ th c a m t hàm kh vi có m t trong ba d ng sau: z = f (x, y ), y = g (x, z ), x = h(y, z ). Ch ng minh. Gi s X : U −→ S là m t tham s hóa c a S t i p, X (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v)), (u, v ) ∈ U. Theo đi u ki n 3 c a đ nh nghĩa m t chính qui, m t trong các đ nh th c sau ph i khác không t i X −1 (p) = q ∂ (x, y ) ∂ (x, z ) ∂ (y, x) , , . ∂ (u, v ) ∂ (u, v ) ∂ (u, v ) ∂ (x,y ) = 0. Xét ánh x π ◦ X : U −→ R2 v i π là phép chi u π (x, y, z ) = (x, y ). Khi đó Gi s (q ) ∂ (u,v ) π ◦ X (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v )). Do ∂ (x,y) (q ) = 0 nên theo đ nh lý hàm ngư c t n t i lân c n V1 c a q và V2 c a (π ◦ X )(q ) sao cho ∂ (u,v ) π ◦ X là vi phôi t V1 lên V2 . T đây suy ra r ng h n ch c a π lên V = X (V1 ) là đơn ánh và t n t i hàm ngư c (π ◦ X )−1 : V2 −→ V1 . Do X là đ ng phôi ta suy ra X (V1 ) là lân c n c a p trong S. Bây gi xét h p c a ánh x (π ◦ X )−1 (x, y ) = (u(x, y ), v (x, y )) v i hàm (u, v ) −→ z (u, v ), ta nh n th y V là đ th c a hàm h p này z = z (u(x, y ), v (x, y )) = f (x, y ). Các trư ng h p còn l i ch ng minh hoàn toàn tương t . 2 7
  8. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Ví d 6. Nón m t t ng C cho b i (x, y ) ∈ R2 x2 + y 2 , z= không ph i là m t chính qui. D th y ánh x (x, y ) −→ (x, y, x2 + y 2) là không kh vi t i (0, 0). Chúng ta chưa có th kh ng đ nh r ng C không ph i là m t chính qui vì đây ch m i là m t ánh x t R2 vào C. Trên C có th có nh ng tham s hóa khác. Chúng ta s ch ng t C không chính qui t i đ nh c a nó. N u C là m t chính qui thì có m t lân c n c a đi m (0, 0, 0) ∈ C là đ th c a m t hàm kh vi có m t trong ba d ng sau: z = f (x, y ), y = g (x, z ), x = h(y, z ). Hai d ng sau cùng không th a mãn vì phép chi u c a C lên các m t ph ng xz và yz không là đơn ánh. Xét hàm có d ng th nh t z = x2 + y 2. D th y hàm này không kh vi t i (0, 0) nên cũng không phù h p. Do đó C không ph i là m t chính qui. N u b đi đi m đ nh (0, 0, 0) thì t p còn l i C − {(0, 0, 0)} là m t chính qui. M nh đ 2.1.4. Cho S là m t chính qui và ánh x X : U ⊂ R2 −→ R3, X (U ) ⊂ S. N u X là đơn ánh th a mãn Đi u ki n 1 và 3 trong đ nh nghĩa 1 thì X −1 là liên t c, có nghĩa là X th a mãn đi u ki n 2 và do đó X là m t tham s hóa. Ch ng minh. L y p ∈ X (U ). Do S là m t chính qui nên t n t i lân c n W ⊂ S c a p sao cho W là đ th c a m t hàm kh vi trên t p m V (có th gi s ) c a m t ph ng xy. L y N = X −1 (W ) ⊂ U và đ t h = π ◦ X : N −→ V, v i π (x, y, z ) = (x, y ). Khi đó dh = π ◦ dX là không suy bi n t i X −1 (p) = q. Theo Đ nh lý hàm ngư c t n t i lân c n Ω ⊂ N sao cho h : Ω −→ h(Ω) là vi phôi. Chú ý r ng X (Ω) là t p m trong S và X −1 = h−1 ◦ π h n ch lên X (Ω) là h p c a các hàm kh vi. Như v y X −1 là liên t c t i p. Do p đư c ch n tùy ý nên X −1 liên t c trên X (U ). 2 Ví d 7. M t tham s hóa c a m t xuy n T đư c cho b i X (u, v ) = ((r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sin v, r sin u), v i 0 < u, v < 2π. Th t v y, các Đi u ki n 1 và 3 d ki m tra. Vì chúng ta đã bi t r ng T là m t m t chính qui nên ch c n ch ng minh X là m t đơn ánh là đ . Chúng ta có nh n xét r ng sin u = z . N u x2 + y 2 ≤ a r thì π ≤ u ≤ 32 . N u x2 + y 2 ≥ a thì ho c 0 < u ≤ π ho c 32 ≤ u ≤ 2π. Như v y m i (x, y, z ) π π 2 2 s xác đ nh duy nh t v v i 0 < v < 2π. D th y m t xuy n có th đư c ph b i 3 lân c n t a đ như v y. 2.1.1 Đ i tham s -Hàm kh vi trên m t Đ nh nghĩa c a m t chính qui cho th y v i m i p ∈ S đ u thu c vào m t lân c n t a đ (đ a phương) nào đó c a m t. Đi u này cho phép chúng ta s d ng h t a đ đ a phương đ mô t m t s tính ch t đ a phương c a m t trong lân c n c a đi m p và m r ng m t s khái ni m như 8
  9. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) hàm kh vi trên m t chính qui, ánh x kh vi t m t chính qui vào m t chính qui và đ o hàm c a chúng . . . . M t đi m p ∈ S có th thu c vào nhi u lân c n t a đ khác nhau nên có th có nhi u t a đ đ a phương khác nhau và do đó chúng ta có các phép đ i t a đ (đ a phương). Đ các đ nh nghĩa liên quan đ n tính kh vi đư c h p lý, các phép đ i t a đ ph i kh vi. M nh đ sau cho th y yêu c u trên đư c đáp ng. M nh đ 2.1.5 (Đ i tham s ). Cho S ⊂ R3 là m t m t chính qui, p ∈ S, X : U ⊂ R2 −→ S và Y : V ⊂ R2 −→ S là hai tham s hóa đ a phương c a S sao cho p ∈ X (U ) ∩ Y (V ) = W. Khi đó phép đ i t a đ h = X −1 ◦ Y : Y −1 (W ) −→ X −1 (W ) là vi phôi, t c là h kh vi và hàm ngư c h−1 = Y −1 ◦ X (cũng là m t phép đ i t a đ ) cũng kh vi. Ch ng minh. Ta có h = X −1 ◦ Y là đ ng phôi do X và Y là các đ ng phôi. L y r ∈ Y −1 (W ) và đ t q = h(r). Do X (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v), z (u, v )) là tham s hóa c a m t chính qui, ta có th gi s ∂ (x, y ) (q ) = 0. ∂ (u, v ) Chúng ta m r ng X thành ánh x F : U × R −→ R3 xác đ nh như sau: t ∈ R. F (u, v, t) = (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v ) + t), (u, v ) ∈ U, Có th hình dung F là ánh x t hình tr C xác đ nh trên U vào hình tr xác đ nh trên X (U ) bi n thi t di n c a C v i đ cao t thành m t X (u, v ) + te3, v i e3 là vector đơn v đ nh hư ng c a tr c Oz. Rõ ràng F là kh vi và F |U ×{0} = X. Ta có đ nh th c c a ma tr n Jacobi F (q ) ∂x ∂x 0 ∂ (x, y ) ∂u ∂v ∂y ∂y = (q ) = 0. 0 ∂u ∂v ∂ (u, v ) ∂z ∂z 1 ∂u ∂v Do đó theo Đ nh lý hàm ngư c, t n t i lân c n M c a p = X (q ) trong R3 sao cho F −1 t n t i và kh vi trên M. Do Y liên t c, t n t i lân c n N c a r trong V sao cho Y (N ) ⊂ M ∩ S. T đây ta có F −1 ◦ Y | N = X −1 ◦ Y | N = h | N . Vì F −1 và Y là các ánh x kh vi nên ta suy ra h kh vi trên N. Nói riêng, h kh vi t i r. Do r là đi m b t kỳ ta suy ra h kh vi trên Y −1 (W ). M t cách hoàn toàn tương t , chúng ta có th ch ng minh h−1 cũng là hàm kh vi. 2 Nh n xét 2. Gi s X và Y đư c xác đ nh b i X (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v )), 9
  10. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Y (w, t) = (x(w, t), y (w, t), z (w, t)). Khi đó ta có h(w, t) = (u(w, t), v (w, t)), trong đó u, v là các hàm hai bi n (w, t) có đ o hàm riêng m i c p. Tương t , h−1 (u, v ) = (w(u, v ), t(u, v )), trong đó w, t là các hàm hai bi n (u, v ) có đ o hàm riêng m i c p. D th y ∂ (u, v ) ∂ (w, t) . = 1, ∂ (w, t) ∂ (u, v ) có nghĩa là, đ nh th c c a ma tr n Jacobi c a h và h−1 khác không m i nơi. M t cách t nhiên là chúng ta ph i xây d ng các khái ni m gi i tích cho các m t chính qui. Dư i đây là các đ nh nghĩa c a hàm s kh vi trên m t chính qui và ánh x kh vi gi a hai m t chính qui. Các khái ni m đã bi t trư c đây là các trư ng h p riêng c a các khái ni m này. Đ nh nghĩa 3. Cho f : V ⊂ S −→ R là hàm xác đ nh trên m t t p m V c a m t chính qui S. Hàm f đư c g i là kh vi t i p ∈ V n u v i tham s hóa X : U ⊂ R2 −→ S, p ∈ X (U ), thì hàm h p f ◦ X : U −→ R là hàm kh vi t i X −1 (p). Hàm f đư c g i là kh vi trên V n u f kh vi t i m i đi m c a V. 1. Gi s Y : W −→ S, v i p ∈ W, là m t tham s hóa khác. Do h = X −1 ◦ Y Nh n xét 3. là kh vi t i Y −1 (p) nên f ◦ Y = f ◦ X ◦ h cũng kh vi t i Y −1 (p). Do đó, đ nh nghĩa trên không ph thu c vào tham s hóa đư c ch n. 2. Chúng ta có th đ ng nh t m t đi m (u, v ) c a U v i X (u, v ) c a X (U ) ⊂ S. Do đó t đây v sau thay vì vi t (f ◦ X )(u, v ) = f (X (u, v )), chúng ta s vi t m t cách đơn gi n là f (u, v ) và nói r ng f (u, v ) là m t bi u di n đ a phương c a f trong lân c n t a đ X. Ví d 8. Cho S là m t chính qui, S ⊂ V v i V ⊂ R3 là m t t p m và f : V −→ R là m t hàm kh vi. Khi đó f |S là m t hàm kh vi. Th t v y, v i m i p ∈ S và v i tham s hóa X : U ⊂ R2 −→ S t i p, hàm f ◦ X : U −→ R là kh vi t i p. Ví d 9. Các hàm sau đây là các hàm kh vi. 1. Hàm đ cao đ i v i m t vector đơn v v ∈ R3 h : S −→ R, h(p) = p.v, ∀p ∈ S. h(p) là đ cao c a p ∈ S so v i m t ph ng vuông góc v i v đi qua g c O trong R3 . 2. Cho S là m t chính qui và p0 ∈ S là m t đi m c đ nh. Hàm s f : S −→ R xác đ nh b i f (p) = d(p, p0 )2 là m t hàm kh vi. Nh n xét 4. Chúng ta đã dùng M nh đ 2.1.1 đ xây d ng khái ni m hàm kh vi trên m t m t chính qui. Trong ch ng minh M nh đ 2.1.1 chúng ta l i s d ng tính ch t là ánh x ngư c c a m t tham s hóa là liên t c. Nên đi u ki n th hai trong đ nh nghĩa c a m t chính qui là không th thay th . 10
  11. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Tương t đ nh nghĩa trên chúng ta có th đ nh nghĩa ánh x kh vi t m t m t chính qui vào m t m t chính qui. Đ nh nghĩa 4. Cho S1 , S2 là các m t chính qui, V là m t t p m trong S1 và ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 là ánh x liên t c. Ánh x ϕ đư c g i là kh vi t i p ∈ V n u v i các tham s hóa đã ch n nào đó X1 : U1 −→ S1 , X2 : U2 −→ S2 , trong đó p ∈ X1 (U1) ⊂ V và ϕ(X1 (U1 )) ⊂ X2 (U2 ), ánh x X2 1 ◦ ϕ ◦ X1 : U1 −→ U2 − là kh vi t i X −1 (p). Ánh x ϕ đư c g i là kh vi trên V n u nó kh vi t i m i đi m c a V. Ánh x X2 1 ◦ ϕ ◦ X1 g i là bi u di n đ a phương c a ánh x ϕ đ i v i hai b n đ (U1, X1 ) và (U2 , X2 ). − Ánh x ϕ : S1 −→ S2 đư c g i là m t vi phôi n u ϕ là kh vi trên S1 và t n t i ánh x ngư c ϕ−1 : S2 −→ S1 cũng kh vi. Khi đó ta nói hai m t chính qui S1 và S2 là vi phôi v i nhau. Nh n xét 5. 1. Tương t như hàm kh vi trên m t m t chính qui, đ nh nghĩa ánh x kh vi gi a các m t chính qui cũng không ph thu c vào các tham s hóa đã ch n. 2. Theo đ nh nghĩa, ánh x ϕ là kh vi khi và ch khi các hàm thành ph n c a bi u di n đ a phương c a ϕ trong các lân c n t a đ đ a phương có đ o hàm riêng liên t c m i c p. 3. Tương t như đ ng c u tuy n tính gi a các không gian vector, ánh x đ ng c gi a các không gian Euclid, các vi phôi đóng vai trò quan tr ng trong vi c nghiên c u các tính ch t liên quan đ n tính kh vi c a m t chính qui. Hai m t chính qui vi phôi v i nhau đư c xem là như nhau. Ví d 10. M i tham s hóa c a m t chính qui S X : U ⊂ R2 −→ S là ánh x kh vi gi a các m t chính qui (xem U là m t m t chính qui). Th t v y, v i m i p ∈ X (U ) và v i tham s hóa Y : V ⊂ R2 −→ S t i p, ta có X −1 ◦ Y : Y −1 (W ) −→ X −1 (W ) là kh vi, trong đó W = X (U ) ∩ Y (V ). Tương t ta cũng có X −1 kh vi, do đó, U và X (U ) là vi phôi v i nhau. Do m i đĩa m trong R2 là vi phôi v i m t ph ng R2 , nên ta có th nói “m i m t chính qui là vi phôi đ a phương v i m t m t ph ng” . Ví d 11. Cho S1 và S2 là các m t chính qui. Gi s r ng S1 ⊂ V ⊂ R3 , v i V là m t t p m trong R3 , ϕ : V −→ R3 là ánh x kh vi và ϕ(S1 ) ⊂ S2 . Khi đó ánh x h n ch ϕ|S1 : S1 −→ S2 là ánh x kh vi. Th t v y, gi s p ∈ S1 , X1 : U1 −→ S1 và X2 : U2 −→ S2 là hai tham s hóa v i p ∈ X1 (U1 ) và ϕ(X1 (U1)) ⊂ X2 (U2 ). Chúng ta có ánh x X2 1 ◦ ϕ ◦ X1 : U1 −→ X2 : U1 −→ X2 − là kh vi. Các trư ng h p sau đây là các trư ng h p đ c bi t c a ví d này. 11
  12. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) 1. Gi s m t chính qui S là đ i x ng qua m t ph ng xy , t c là n u (x, y, z ) ∈ S thì (x, y, −z ) ∈ S. Khi đó ánh x σ : S −→ S bi n p ∈ S thành đi m đ i x ng qua m t ph ng xy là ánh x kh vi vì σ là h n ch c a phép đ i x ng qua m t ph ng xy trong R3. 2. Ký hi u Rz,θ là phép quay quanh tr c z v i góc quay θ và S là m t chính qui b t bi n qua phép quay này, t c là p ∈ S thì Rz,θ (p) ∈ S. Khi đó Rz,θ |S là m t ánh x kh vi. 3. Cho ϕ : R3 −→ R3 , ϕ(x, y, z ) = (ax, by, cz ), trong đó a, b, c là nh ng s th c khác không. Khi đó ánh x ϕ|S 2 t S 2 = {(x, y, z ) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1} vào ellipsoid x2 y 2 z 2 3 E = {(x, y, z ) ∈ R : 2 + 2 + 2 = 1}, a b c là m t ánh x kh vi. Có th ch ng minh S 2 và E là vi phôi v i nhau. Nh n xét 6. Có th xây d ng lý thuy t đư ng theo quan đi m như các m t chính qui. Chúng ta s đ nh nghĩa m t đư ng cong chính qui trong R3 là t p con C c a R3 có tính ch t là: v i m i p ∈ C, t n t i lân c n V c a p trong R3 và m t đ ng phôi kh vi α : I ⊂ R −→ R3 sao cho Dα là đơn ánh v i m i t ∈ I (I là kho ng m trong R). Tương t như m t, chúng ta có th ch ng minh r ng các phép đ i tham s là m t vi phôi. Đi u này cho th y có th đ nh nghĩa hàm kh vi trên m t đư ng chính qui và ánh x kh vi gi a các đư ng chính qui. Các tính ch t đ a phương c a C là các tính ch t c a đư ng cong tham s mà không ph thu c vào tham s hóa. Cho nên các k t qu c a đư ng tham s đ u có th xem là các k t qu đ a phương c a các đư ng chính qui. Ngư c l i các k t qu đ a phương c a đư ng chính áp d ng đư c cho đư ng tham s . Ví d 12 (M t tròn xoay). Cho C là m t đư ng cong chính qui trong m t ph ng xz không c t tr c z. Quay C quanh tr c z chúng ta nh n đư c m t t p S ⊂ R3. Gi s x = f (v ), z = g (v ), a < v < b, f (v ) > 0 là m t tham s hóa c a C và u là góc quay quanh tr c z . Như v y, chúng ta có ánh x X (u, v ) = (f (v ) cos u, f (v ) sin u, g (v )) t t p U = {(u, v ) ∈ R2 : 0 < u < 2π, a < v < b} vào S. Chúng ta có th ch ng minh X là m t tham s hóa c a S và do đó S có th đư c ph b i nh c a các tham s hóa như v y nên S là m t m t chính qui. M t S đư c g i là m t tròn xoay. Đư ng cong C g i là đư ng sinh, tr c z g i là tr c quay. Các đư ng tròn xác đ nh b i m t đi m c a C qua phép quay g i là m t vĩ tuy n, còn các v trí c a C theo các góc quay u khác nhau g i là các kinh tuy n. 12
  13. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) N u C là m t đư ng cong ph ng đóng chính qui nh n đư ng th ng d làm tr c đ i x ng thì khi quay quanh d ta cũng nh n đư c m t m t mà ta có th ch ng minh là m t m t chính qui. Đ i v i nh ng m t như v y ta ph i lo i b đi hai đi m, đó là giao c a C v i d. Ta s g i nh ng m t như v y là m t tròn xoay m r ng. Do mong mu n xem xét các tính ch t toàn c c đ ng th i v i các tính ch t đ a phương, chúng ta xét các m t chính qui thay cho m t tham s . N u ch xét các tính ch t đ a phương thì ch c n xét l p các m t tham s (chúng ta s có đ nh nghĩa ngay sau đây tương t như đ nh nghĩa c a đư ng tham s ). Sau này ta s th y, n u ch xét l p các m t tham s thì các khái ni m cũng như tính ch t toàn c c s ph i b b qua ho c đư c x lý m t cách không đ y đ . Tuy v y, khái ni m m t tham s đôi lúc cũng t ra h u ích. Đ nh nghĩa 5. M t m t tham s là m t c p (X, S ), trong đó X : U ⊂ R2 −→ R3, v i U là t p m , là m t ánh x kh vi và S = X (U ). T p X (U ) g i là v t c a m t tham s còn ánh x X đư c g i là m t tham s hóa c a m t. Tương t như đư ng tham s chúng ta có các khái ni m m t tham s liên t c, , m t tham s kh vi . . . . Chúng ta cũng s đ ng nh t m t tham s v i X ho c S n u không có gì gây nh m l n. M t tham s X đư c g i là chính qui n u DXq : R2 −→ R3 là đơn ánh v i m i q ∈ U. M t đi m q ∈ U mà DXq không ph i là đơn ánh đư c g i là m t đi m kì d . Đi u ki n DXq đơn ánh tương đương v i {Xu (q ), Xv (q )} đ c l p tuy n tính. Chú ý r ng, m t m t tham s ngay c khi chính qui cũng có th t c t. 13. Cho α : I −→ R3 là m t đư ng tham s . Đ t Ví d (t, v ) ∈ I × R. X (t, v ) = α(t) + vα (t), Ta có X là m t m t tham s và đư c g i là m t ti p xúc c a α. Gi s hàm đ cong k khác không t i m i t ∈ I , nghĩa là k (t) = 0, ∀t ∈ I. Xét ánh x X trên mi n U = {(t, v ) ∈ I × R : v = 0}. Ta có ∂X ∂X = α (t) + vα (t); = α (t). ∂t ∂v Do |α ( t ) ∧ α ( t ) | k (t) = = 0, ∀t ∈ I |α ( t ) |3 nên ∂X ∂X ∧ = vα (t) ∧ α (t) = 0, ∀(t, v ) ∈ U. ∂t ∂v Như v y h n ch X : U −→ R3 là m t m t tham s hóa chính qui. V t c a X g m hai m nh liên thông có biên chung là v t α(I ) c a đư ng tham s α. 13
  14. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) M nh đ sau cho th y có th xét các khái ni m và tính ch t đ a phương c a hình h c vi phân cho các m t tham s . M nh đ 2.1.6. Cho X : U ⊂ R2 −→ R3 là m t m t tham s chính qui và q là m t đi m thu c U. Khi đó t n t i m t lân c n V c a q trong U sao cho X (V ) ⊂ R3 là m t m t chính qui. Ch ng minh. Gi s X (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v )). ∂ (x,y ) = 0. Xét ánh x F : U × R −→ R3 , xác đ nh b i T tính chính qui, ta có th gi s (q ) ∂ (u,v ) (u, v, t) ∈ U × R. F (u, v, t) = ((x(u, v ), y (u, v ), z (u, v ) + t), ∂ (x,y ) Do det(F (q ) = ∂ (u,v) (q ) = 0, nên theo đ nh lý hàm ngư c, t n t i lân c n W1 c a q và lân c n W2 c a F (q ) sao cho F : W1 −→ W2 là m t vi phôi. Đ t V = W1 ∩ U, ta có F |V = X |V . Do X (V ) vi phôi v i V nên là m t m t chính qui. 2 2.2 M t ph ng ti p xúc-Vi phân c a m t ánh x 2.2.1 M t ph ng ti p xúc Đ nh nghĩa 6. M t vector ti p xúc c a m t chính qui S t i đi m p ∈ S là vector ti p xúc c a m t cung tham s kh vi có v t n m trên S α : (− , ) −→ S, v i α(0) = p. T p t t c vector ti p xúc c a S t i p g i là m t ph ng ti p xúc c a S t i p, ký hi u là Tp S. M nh đ sau cho th y m i không gian ti p xúc TpS là m t không gian vector 2-chi u. M nh đ 2.2.1. Gi s X : U ⊂ R2 −→ S là m t tham s hóa c a S v i p ∈ X (U ) và q = X −1 (p). Khi đó không gian vector 2-chi u DXq (R2 ) ⊂ R3 chính là không gian ti p xúc Tp S. Ch ng minh. Gi s w là vector ti p xúc c a S t i p, t c là w = α (0), v i α : (− , ) −→ S, α(0) = p. Khi đó β = X −1 ◦ α : (− , ) −→ U là m t ánh x kh vi và β (0) = q. Như v y, α = X ◦ β và β (0) = q, do đó w = α (0) = X (β (0)).β (0) = DXq (β (0)) ∈ DXq (R2). 14
  15. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Ngư c l i, gi s w = DXq (v ), v ∈ R2 . Xét đư ng tham s β : (− , ) −→ U t −→ vt + q. D th y β (0) = q và β (0) = v. Xét đư ng tham s α = X ◦ β : (− , ) −→ S, ta có α (0) = DXq (v ) = w. 2 D th y h { ∂X (q ), ∂X (q )} g m các vector ti p xúc v i các đư ng t a đ đi qua p là m t cơ s c a ∂u ∂v Tp S. Gi s w là vector ti p xúc v i đư ng cong α = X ◦ β : (− , ) −→ S, v i β : (− , ) −→ U, β (t) = (u(t), v (t)). Ta có, w = u + bXv . Ta tính các h s a và b. d α (0) = (X ◦ β )(0) dt d = (X (u(t), v (t)) dt ∂X ∂X = u (0) (u(0), v (0)) + v (0) (u(0), v (0)) ∂u ∂v = u (0)Xu (q ) + v (0)Xv (q ). Như v y t a đ c a w đ i v i cơ s {Xu , Xv } là (u (0), v (0)). 2.2.2 Vi phân c a m t ánh x Cho S1 và S2 là hai m t chính qui và ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 là ánh x kh vi. L y p ∈ V và w ∈ Tp S1, t c là w là vector ti p xúc c a m t đư ng tham s kh vi α : (− , ) −→ V, w = α (0), p = α(0). Xét đư ng cong β = ϕ ◦ α, ta có β (0) = ϕ(p) do đó β (0) ∈ Tϕ(p)S2 . Ta có m nh đ sau: M nh đ 2.2.2. Vector β (0) ∈ Tϕ(p)S2 không ph thu c vào α. Ch ng minh. Cho X (u, v ) và X (u, v ) là các tham s hóa trong lân c n c a p và ϕ(p). Gi s ϕ(u, v ) = (ϕ1 (u, v ), ϕ2(u, v )) = X (u, v) và α(t) = (u(t), v (t)). Khi đó, β (t) = (ϕ1 (u(t), v (t)), ϕ2(u(t), v (t))). Do đó ∂ ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ2 dβ (0) = β (0) = (p)(u (0) + (p)(v (0), (p)(u (0) + (p)(v (0) . dt ∂u ∂v ∂u ∂v 15
  16. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Đi u này cho th y β (0) ch ph thu c vào ϕ và t a đ c a w đ i v i cơ s {Xu , Xv }. Do đó β (0) không ph thu c vào α. 2 Theo M nh đ 2.2.2, ta có ánh x Tpϕ : Tp S1 −→ Tϕ(p)S2 w −→ Tp ϕ(w) := β (0). M nh đ 2.2.3. Ánh x Tp ϕ là m t ánh x tuy n tính. Ch ng minh. Theo ch ng minh M nh đ 2.2.2 ∂ ϕ1 ∂ϕ1 u (0) ∂u ∂v Tp ϕ(w) = β (0) = , ∂ϕ2 ∂ϕ2 v (0) ∂u ∂v t c là Tp ϕ là ánh x tuy n tính t TpS1 vào Tϕ(p)S2 mà ma tr n đ i v i c p cơ s {Xu , Xv } và {X u , X v } là ∂ ϕ1 ∂ϕ1 ∂u ∂v ∂ϕ2 ∂ϕ2 ∂u ∂v 2 Đ nh nghĩa 7. Ánh x Tp ϕ g i là ánh x vi phân hay ánh x ti p xúc hay ánh x đ o hàm c a ϕ t i p. Ví d 14. Cho S 2 ⊂ R3 là m t c u đơn v và Rz,θ : R3 −→ R3 là phép quay quanh tr c z v i góc quay θ. Khi đó Rz,θ |S 2 : S 2 −→ S 2 là ánh x kh vi. Ta có d TpRz,θ (w) = (Rz,θ ◦ α(t))|t=0 = Rz,θ (α (0) = (Rz,θ (w) dt do Rz,θ là tuy n tính. Như v y, chúng ta đã xây d ng các phép tính vi tích phân trên các m t chính qui. Các k t qu c đi n đư c m r ng cho các m t chính qui. Sau đây là Đ nh lý hàm ngư c cho các m t chính qui. Đ nh nghĩa 8. M t ánh x ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 , v i S1, S2 là các m t chính qui, đư c g i là m t vi phôi đ a phương t i p ∈ V n u t n t i lân c n U ⊂ V c a p sao cho ϕ|U là vi phôi t U vào ϕ ( U ) ⊂ S2 . Đ nh lý 2.2.4 (Đ nh lý hàm ngư c cho các m t chính qui). Gi s ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 là ánh x kh vi sao cho Tpϕ t i p ∈ V là đ ng c u. Khi đó ϕ là vi phôi đ a phương t i p. 16
  17. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Dĩ nhiên các khái ni m khác c a gi i tích như: đi m t i h n, giá tr chính qui, giá tr t i h n v.v. . . , cũng đư c m r ng m t cách t nhiên cho các m t chính qui. Cho p ∈ S , v i S là m t m t chính qui. Khi đó ta có hai vector đơn v (ngư c chi u nhau) vuông góc v i Tp S . Chúng đư c g i là các pháp vector đơn v t i p. Đư ng th ng đi qua p v i vector ch phương là các pháp vector đơn v này g i là pháp tuy n c a S t i p. Ta s g i góc gi a hai m t chính qui t i giao đi m p c a chúng là góc gi a hai m t ph ng ti p xúc t i đi m p. Góc này cũng chính là góc gi a hai pháp tuy n t i p. Chúng ta có th xác đ nh m t vector pháp tuy n b ng cách ch n Xu ∧ Xv N (p) := (q ), Xu ∧ Xv v i q = X −1 (p) và X là m t tham s hóa t i p. Như v y chúng ta có ánh x kh vi r t quan tr ng trong vi c nghiên c u m t N : X (U ) −→ R3 p −→ N (p). Ánh x N như trên đư c xác đ nh m t cách đ a phương và s đư c đ c p k trong các m c ti p theo. Các ví d v m t không đ nh hư ng đư c cho th y không th thác tri n N thành ánh x kh vi trên toàn b m t, n u m t là không đ nh hư ng đư c. 2.3 D ng cơ b n th nh t-Di n tích 2.3.1 D ng cơ b n th nh t Cho S ⊂ R3 là m t m t chính qui. Khi đó tích vô hư ng trên R3 s c m sinh tích vô hư ng trên t ng m t ph ng ti p xúc TpS . C th = w1 .w2 (tích vô hư ng trong R3). ∀w1 , w2 ∈ TpS, w1 , w2 p Đ nh nghĩa 9. V i m i không gian ti p xúc Tp S , d ng toàn phương Ip : Tp S −→ R = |w |2 , Ip (w) = w, w w ∈ Tp S p g i là d ng cơ b n th nh t c a S t i p. 17
  18. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Gi s X (u, v ) là m t tham s hóa c a S t i p, w ∈ Tp S là vector ti p xúc c a cung tham s trên mt α : (− , ) −→ S t −→ X (u(t), v (t)) v i p = α(0), w = α (0). Ta có Ip (w) = Ip (α (0)) = α (0), α (0) = u Xu + v Xv , u Xu + v Xv = Xu , Xu (u )2 + 2 Xu , Xv u v + Xv , Xv (v )2 = E (u )2 + 2F u v + G(v )2 , v i E = Xu , Xu , F = Xu , Xv , G = Xv , Xv , là các h s c a d ng cơ b n th nh t Ip . Khi cho p ch y trong lân c n t a đ ng v i X , ta đư c các hàm kh vi E, F, G xác đ nh trong lân c n này. Ví d 15. Gi s w1, w2 là các vector tr c chu n và p là m t đi m trong R3 . Khi đó m t ph ng qua p v i c p vector ch phương w1 , w2 có m t tham s hóa d ng (u, v ) ∈ R2. X (u, v ) = p + uw1 + vw2, Ta tính đư c E = Xu , Xu = w1 , w1 = 1, F = Xu , Xv = w1 , w2 = 0, G = Xv , Xv = w2 , w2 = 1. N u w có t a đ (a, b) đ i v i {Xu , Xv } thì Ip (w) = a2 + b2. Ví d 16. M t tr v i đáy là đư ng tròn x2 + y 2 =1 z =0 có m t tham só hóa d ng X (u, v ) = (cos u, sin u, v ), xác đ nh trên t p m U = {(u, v ) ∈ R2 : 0 < u < 2π, −∞ < v < ∞}. Ta có Xu = (− sin u, cos u, 0), Xv = (0, 0, 1). Do đó ta tính đư c E = 1, F = 0, G = 1. Ta có nh n xét d ng cơ b n th nh t c a m t ph ng và m t tr là gi ng nhau. 18
  19. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) Ví d 17. Xét đư ng xo n c (helix) có tham s hóa như sau: c(u) = (cos u, sin u, au), a = 0, 0 < u < 2π. Qua m i đi m c a đư ng xo n c này v đư ng th ng song song v i m t ph ng xy và giao v i tr c z. M t sinh b i các đư ng th ng này g i là m t Helicoid và có m t tham s hóa d ng X (u, v ) = (v cos u, v sin u, au), 0 < u < 2π, −∞ < v < ∞. Ta có Xu = (−v sin u, v cos u, a), Xv = (cos u, sin u, 0). T đây ta tính đư c E = v 2 + a2 , F = 0, G = 1. D ng cơ b n I là quan tr ng vì n u bi t I chúng ta có th x lý các v n đ metric trên m t m t chính qui mà không c n đ n không gian R3 . Ví d , hàm đ dài cung c a m t đư ng tham s c : I −→ S, đư c cho b i t t I(c (t))dt. s(t) = |c (t)|dt = 0 0 Đ c bi t, n u c(t) = X (u(t), v (t)) thì ta có th tính đ dài c a đư ng tham s c, gi s t 0 đ n t t E (u )2 + 2F u v + G(v )2dt. s(t) = 0 Cũng như v y, góc gi a hai đư ng tham s chính qui c : I −→ S và α : J :−→ S c t nhau t i t0 là c (t0 ), α (t0 ) cos θ = . |c ( t 0 ) |.|α ( t 0 ) | Đ c bi t góc gi a hai đư ng t a đ c a m t tham s hóa là Xu , Xv F =√ cos θ = . |Xu |.|Xv | EG T đây chúng ta th y r ng hai đư ng t a đ tr c giao nhau khi và ch khi F (u, v ) = 0, ∀(u, v ). M t tham s hóa như v y g i là tham s hóa tr c giao. t Nh n xét 7. Do đ ng th c s(t) = 0 E (u )2 + 2F u v + G(v )2dt nên trong nhi u giáo trình d ng cơ b n th nh t đư c vi t dư i d ng ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 , có nghĩa là n u c(t) = X (u(t), v (t)) là m t đư ng tham s trên m t S và s = s(t) là đ dài cung c a nó, thì 2 2 2 ds du du dv dv =E + 2F +G , dt dt dt dt dt 19
  20. Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý. Version 1) 18. Xét m t tham s hóa c a m t c u S 2 Ví d X (θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Ta có Xθ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ), Xϕ = (− sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0), G = sin2 θ. Như v y, gi s w = aXθ + bXϕ ∈ TpS, v i p = X (θ, ϕ) thì Do đó E = 1, F = 0, |w|2 = a2 + b2 sin2 θ. 2.3.2 Di n tích M t v n đ khác liên quan đ n metric là di n tích. Chúng ta mong mu n tính đư c di n tích c a các mi n b ch n c a m t m t chính qui. V n đ này cũng s đư c x lý nh vào d ng cơ b n th nh t. Trư c h t chúng ta làm quen v i m ts khái ni m. Mi n m (domain) c a m t chính qui S là m t t p m liên thông c a S có biên là nh c a đư ng tròn qua m t phép đ ng phôi kh vi chính qui (t c là đ o hàm khác không) ch tr t i m t s h u h n đi m. Mi n là h p c a mi n m và biên c a nó. M t mi n đư c g i là b ch n n u nó đư c ch a trong m t hình c u nào đó. Gi s S là m t m t chính qui, X là m t tham s hóa đ a phương. Trên m t ph ng ti p xúc TpS, t c m t không gian Euclid 2-chi u, chúng ta đã bi t đ i lư ng |Xu ∧ Xv | đúng b ng di n tích c a hình bình hành d ng trên các vector Xu và Xv . Chúng ta đưa ra đ nh nghĩa di n tích c a mi n b ch n. Đ nh nghĩa 10. Cho R ⊂ S là m t mi n b ch n ch a trong lân c n t a đ xác đ nh b i tham s hóa X : U ⊂ R2 −→ S. S dương Q = X −1 (R) A(R) := |Xu ∧ Xv |dudv, (2.1) Q g i là di n tích c a R. Do |Xu ∧ Xv |2 + Xu , Xv 2 = |Xu |2|Xv |2 √ EG − F 2. Công th c di n tích 2.1 đư c vi t l i nên |Xu ∧ Xv | = √ EG − F 2dudv. A(R) = (2.2) Q 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2