JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0166<br />
Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 64-70<br />
This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
HÌNH THÀNH MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA HÌNH HỌC CAO CẤP<br />
TỪ NỀN TẢNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC PHỔ THÔNG<br />
CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN<br />
<br />
Trần Việt Cường và Đỗ Thị Trinh<br />
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên<br />
<br />
Tóm tắt. Bài báo đề cập tới việc hình thành một số kiến thức của Hình học cao cấp từ nền<br />
tảng kiến thức toán học phổ thông cho sinh viên sư phạm toán, qua đó giúp cho sinh viên<br />
thấy được mối quan hệ của nội dung Hình học cao cấp được học ở trường sư phạm với nội<br />
dung kiến thức hình học trong chương trình phổ thông.<br />
Từ khóa: Hình học cao cấp, sinh viên, khoảng cách, kiến thức.<br />
<br />
1. Mở đầu<br />
Nghiên cứu mỗi quan hệ giữa toán cao cấp và toán sơ cấp đã được nhiều nhà nghiên cứu<br />
giáo dục, nhà toán học trên thế giới cũng như ở Việt Nam hết sức quan tâm. Hai hướng chủ yếu<br />
được nghiên cứu trong thời gian qua là: (1) Giải các bài toán sơ cấp bằng công cụ của toán cao<br />
cấp và (2) Biên soạn giáo trình cơ sở của toán cao cấp dưới dạng một bài giảng và bằng một ngôn<br />
ngữ đơn gian [5]. Theo hướng thứ nhất, vấn đề được giải quyết một cách đơn lẻ không khái quát<br />
và không mang tính lí luận nhưng lại đáp ứng được nhu cầu mà thực tế dạy học ở bậc phổ thông<br />
đòi hỏi. Nó giúp cho GV thông qua cách giải bài toán bằng toán cao cấp, tìm thấy lời giải phù<br />
hợp với học sinh phổ thông. Theo hướng thứ hai, mỗi khái niệm có liên quan đến môn toán ở bậc<br />
phổ thông đều được hình thành bằng con đường kiến tạo, xuất phát từ những khái niệm của toán<br />
sơ cấp để khái quát hoá, trừu tượng hoá thành khái niệm của toán cao cấp. Các công trình nghiên<br />
cứu mối quan hệ giữa toán cao cấp với toán sơ cấp trong dạy học ở nước ta phải kể đến các công<br />
trình nghiên cứu của Ngô Thúc Lanh [8], Đào Tam [9], Nguyễn Thị Châu Giang [7], Nguyễn Văn<br />
Dũng [5].<br />
Thực tế dạy học hiện nay cho thấy, nhiều sinh viên (SV) khi học tập các môn Hình học cao<br />
cấp (HHCC) chưa thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức của HHCC với nội dung kiến<br />
thức hình học ở trường phổ thông. Một phần nguyên nhân đó là do các giảng viên (GV) khi dạy<br />
học HHCC mới chỉ tập trung vào việc cung cấp nội dung kiến thức cho SV mà chưa chú trọng việc<br />
phân tích cho SV thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức của HHCC với nội dung kiến thức<br />
hình học ở trường phổ thông [10].<br />
<br />
Ngày nhận bài: 10/7/2015. Ngày nhận đăng: 10/10/2015.<br />
Tác giả liên lạc: Trần Việt Cường, địa chỉ e-mail: tranvietcuong2006@gmail.com<br />
<br />
<br />
<br />
64<br />
Hình thành một số kiến thức của Hình học Cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông...<br />
<br />
<br />
Để giúp cho SV phần nào thấy được mối quan hệ đó, chúng tôi minh họa việc hình thành<br />
kiến thức HHCC xuất phát từ các kiến thức phổ thông cho SV thông qua việc hình thành kiến thức<br />
khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng và một siêu phẳng trong chương trình Hình học Afin<br />
và Hình học Euclide.<br />
<br />
2. Nội dung nghiên cứu<br />
2.1. Vai trò của việc hình thành kiến thức cho sinh viên<br />
Trong dạy học môn Toán nói chung và dạy học Hình học cao cấp nói riêng, việc dạy học<br />
các kiến thức Toán học (khái niệm, định lí, công thức, quy tắc...) cho SV bao gồm các hoạt động<br />
như: tiếp cận kiến thức, hình thành kiến thức, vận dụng kiến thức và củng cố kiến thức.Trong các<br />
hoạt động đó, hoạt động tiếp cận và hình thành kiến thức là một trong những bước quan trọng<br />
trong hoạt động dạy học kiến thức cho SV, nhằm giúp cho SV nắm vững các đặc điểm đặc trưng<br />
của kiến thức đó, từ đó phát triển tư duy cho bản thân.<br />
Việc tổ chức các hoạt động cho SV tiếp cận các kiến thức Toán học nói chung và kiến thức<br />
Hình học cao cấp nói riêng từ nên tảng kiến thức toán học phổ thông không những giúp cho SV<br />
thấy được nội dung các kiến thức đó xuất hiện một cách tự nhiên, không bị gò ép, áp đặt mà còn<br />
tạo điều kiện thuận lợi để SV hình thành nội dung các kiến thức đó, thấy được mối quan hệ giữa<br />
nội dung kiến thức Hình học cao cấp được học ở trường sư phạm với nội dung kiến thức toán học<br />
ở trường phổ thông. Từ đó, giúp cho SV nắm vững được hệ thống các kiến thứctoán học, làm cơ<br />
sở cho việc học tập và nghiên cứu Toán học.<br />
<br />
2.2. Một số ví dụ về việc hình thành kiến thức của Hình học cao cấp từ nền tảng<br />
kiến thức toán học phổ thông cho sinh viên sư phạm toán<br />
* Hình thành kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng<br />
Để giúp SV hình thành kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng, GV có thể tổ<br />
chức các hoạt động như sau:<br />
Hoạt động 1. GV tổ chức cho SV tiếp cận kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một<br />
1-phẳng.<br />
GV: Yêu cầu SV nhắc lại kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong<br />
mặt phẳng.<br />
SV: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm I(x0 ,<br />
y0 ). Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(I, ∆) được tính theo công thức [1, 2]:<br />
<br />
|ax0 + by0 + c|<br />
d(I, ∆) = √<br />
a 2 + b2<br />
(1)<br />
GV: Tổ chức cho SV nghiên cứu kiến thức trên theo định hướng gắn với Hình học cao cấp:<br />
Gọi ~n là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆. Khi đó, ta có ~n(a; b).<br />
√<br />
Gọi ~u(b; -a), ta có a2 + b2 = |~u|2 = ~u2 .<br />
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử b 6= 0. Khi đó, ta có<br />
<br />
65<br />
Trần Việt Cường và Đỗ Thị Trinh<br />
<br />
<br />
x y+ cb<br />
∆: ax + by + c = 0 ⇔ ∆ : b = −a :<br />
−<br />
→ <br />
Do đó, ta có thể chọn điểm S(0; cb ). Khi đó, ta có SI = x0 , y0 − ac và<br />
<br />
<br />
c 2<br />
(ax0 + by0 + c)2 = b(y0 − 0) − a(x0 − )<br />
a <br />
2 2 2 c 2 c 2<br />
=(a + b ) (x0 − 0) + (y0 − ) − a(x0 − 0) + b(y0 − )<br />
b b<br />
2 −→2 −<br />
→2<br />
=~u .SI − (~u.SI)<br />
<br />
<br />
<br />
Do đó, ta có:<br />
−<br />
→2 −<br />
→2 −−→<br />
2 ~u2 .SI − (~u.SI) Gr(~u, SI)<br />
d (I, ∆) = =<br />
~u2 Gr(~u)<br />
<br />
(1’)<br />
GV: Tiếp theo, GV yêu cầu SV nhắc lại kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một đường<br />
thẳng trong không gian.<br />
SV: Trong không gian, cho đường thẳng(∆) có phương trình dạng chính tắc<br />
<br />
x − b1 y − b2 z − b3<br />
= =<br />
a1 a2 a3<br />
<br />
<br />
và điểm I(x0 , y0 , z0 ). Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng (∆), kí hiệu là d(I, (∆)) được tính<br />
theo công thức:<br />
<br />
h− i<br />
→ <br />
SI, ~u <br />
d(I, (∆)) =<br />
|~u|<br />
<br />
(2),<br />
trong đó ~u(a1 , a2 , a3 ) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (∆) và S(b1 , b2 , b3 ) là một điểm bất<br />
kì mà đường thẳng ∆ đi qua [3].<br />
GV: Tổ chức cho SV nghiên cứu kiến thức trên theo định hướng gắn với Hình học cao cấp:<br />
Ta có<br />
q<br />
|~u| = a21 + a22 + a23<br />
<br />
−<br />
→<br />
và SI = (x0 − b1 , y0 − b2 , z0 − b3 )<br />
<br />
66<br />
Hình thành một số kiến thức của Hình học Cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông...<br />
<br />
<br />
Do đó, ta có:<br />
h−→ i<br />
SI, ~u =[a3 (y0 − b2 ) − a2 (z0 − b3 ); a1 (z0 − b3 ) − a3 (x0 − b1 ); a2 (x0 − b1 ) − a1 (y0 − b2 )]<br />
h− i<br />
→ 2 2 2<br />
SI, ~u =[a3 (y0 − b2 ) − a2 (z0 − b3 )] + [a1 (z0 − b3 ) − a3 (x0 − b1 )]<br />
+[a2 (x0 − b1 ) − a1 (y0 − b2 )]2<br />
=[a21 + a22 + a23 ][(x0 − b1 )2 + (y0 − b2 )2 + (z0 − b3 )2 ]<br />
−[a1 (x0 − b1 ) + a2 (y0 − b2 ) + a3 (z0 − b3 )]2<br />
−<br />
→ −<br />
→<br />
=~u2 .SI 2 − (~u.SI)2<br />
<br />
<br />
Do đó, ta có:<br />
<br />
−<br />
→2 −<br />
→2 −−→<br />
2 ~u2 .SI − (~u.SI) Gr(~u, SI)<br />
d (I, ∆) = =<br />
~u2 Gr(~u)<br />
(2’)<br />
GV: Chúng ta đã biết, đường thẳng là 1- phẳng. Do đó, công thức(1) và (2) chính là khoảng<br />
cách từ một điểm đến một 1- phẳng tương ứng ở trong không gian 2 chiều và không gian 3 chiều.<br />
Tổng quát, ta có công thức<br />
−<br />
→2 −<br />
→2 −−→<br />
~u2 .SI − (~u.SI) Gr(~u, SI)<br />
d2 (I, ∆) = =<br />
~u2 Gr(~u)<br />
(*)<br />
được gọi là khoảng cách từ một điểm đến một 1-phẳng bất kì. Chúng ta cũng dễ dàng thấy được:<br />
Nếu trong mục tiêu trực chuẩn cho 1 – phẳng (đường thẳng) α có phương trình x1a−b<br />
1<br />
1<br />
= x2a−b<br />
2<br />
2<br />
=<br />
xn −b2<br />
... = an và điểm<br />
I(x01 , x02 , ..., x0n )<br />
thì ta có [6]<br />
P <br />
ai (x0j − bj ) − (aj (x0i − bi )<br />
i