Hướng dẫn giải bài tập Giải tích Toán học 1

Chia sẻ: Nguyen Tien Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:238

Thêm vào BST

Báo xấu

627
lượt xem 155
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Bài tập Giải tích Toán học I gồm 3 chương: chương 1 vi phân hàm số một biến số, chương 2 tích phân hàm số một biến số, chương 3 chuỗi số và chuỗi hàm số. Hy vọng Tài liệu này sẽ giúp ích được nhiều cho các bạn sinh viên và tất cả mọi loại hình đào tạo, giúp cho các thầy cô có thêm một số tư liệu tương đối đầy đủ để chuẩn bị bài giảng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải bài tập Giải tích Toán học 1

Häc viÖn kü thuËt qu©n sù Bé m«n to¸n − khoa c«ng nghÖ th«ng tin NguyÔn xu©n viªn Bµi tËp gi¶i tÝch to¸n häc I Dïng cho sinh viªn c¸c tr−êng ®¹i häc kü thuËt Hµ néi − 2005
Môc lôc Môc lôc ..................................................................................................................3 Ký hiÖu...................................................................................................................9 Lêi nãi ®Çu...........................................................................................................11 PhÇn 1. Bµi tËp gi¶i tÝch to¸n häc...................................................13 Ch−¬ng I. Vi ph©n hµm sè mét biÕn sè.............................................13 § 1. Sè thùc.................................................................................................13 I. Tãm t¾t lý thuyÕt ...................................................................................13 a. TËp ®Õm ®−îc, tËp t−¬ng ®−¬ng........................................................13 b. Nguyªn lý quy n¹p to¸n häc .............................................................13 c. §Þnh lý chia Euclid ...........................................................................13 d. Sè h÷u tû vµ sè thùc ..........................................................................14 e. Sup, inf. §Þnh lý Bolzano ..................................................................14 f. TrÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc....................................................................15 II. Bµi tËp ..................................................................................................15 § 2. Giíi h¹n d·y sè ...................................................................................16 I. Tãm t¾t lý thuyÕt ...................................................................................16 a. D·y sè ...............................................................................................16 b. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ héi tô d·y sè .................................................17 c. Héi tô ®¬n ®iÖu .................................................................................17 d. D·y riªng, giíi h¹n riªng ..................................................................17 II. Bµi tËp ..................................................................................................18 § 3. Giíi h¹n hµm sè, hµm liªn tôc...........................................................22 I. Tãm t¾t lý thuyÕt ...................................................................................22 a. Giíi h¹n hµm sè theo ε − δ vµ d·y....................................................22 b. Giíi h¹n mét phÝa .............................................................................22 c. C¸c tÝnh chÊt sè häc cña giíi h¹n hµm sè.........................................23 d. Mét sè giíi h¹n quan träng...............................................................23 e. Hµm liªn tôc......................................................................................23 f. VCB, VCL .........................................................................................24 II. Bµi tËp ..................................................................................................25 3
§ 4. §¹o hµm vµ vi ph©n ...........................................................................31 I. Tãm t¾t lý thuyÕt ...................................................................................31 a. Kh¸i niÖm ®¹o hµm, ®¹o hµm tr¸i, ®¹o hµm ph¶i .............................31 b. C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm .................................................................32 c. B¶ng ®¹o hµm c¸c hµm c¬ b¶n..........................................................32 d. §¹o hµm hµm hîp, hµm ng−îc vµ hµm Èn........................................33 e. Vi ph©n cÊp mét vµ vi ph©n cÊp cao .................................................34 f. C¸c ®Þnh lý trung b×nh......................................................................36 II. Bµi tËp ..................................................................................................36 § 5. C¸c øng dông cña ®¹o hµm ...............................................................43 I. Tãm t¾t lý thuyÕt ...................................................................................43 a. C«ng thøc Taylor ..............................................................................43 b. C¸c quy t¾c L’Hospital khö d¹ng bÊt ®Þnh .......................................44 c. øng dông ®¹o hµm, kh¶o s¸t hµm sè ................................................45 c.1. Cùc trÞ ....................................................................................45 c.2. Låi, lâm, ®iÓm uèn .................................................................46 c.3. TiÖm cËn.................................................................................46 c.4. TiÕp tuyÕn, tiÕp xóc ................................................................47 II. Bµi tËp ..................................................................................................47 Ch−¬ng II. TÝch ph©n hµm sè mét biÕn sè ......................................55 § 6. TÝch ph©n bÊt ®Þnh.............................................................................55 I. Tãm t¾t lý thuyÕt ...................................................................................55 a. Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh ...................................................55 b. B¶ng c¸c tÝch ph©n c¬ b¶n ................................................................56 c. C¸c ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n tÝnh tÝch ph©n ............................................57 c.1. TÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ (®æi biÕn)..........................57 c.2. Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn .........................................57 d. TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tû.................................................................59 e. TÝch ph©n c¸c hµm v« tû ...................................................................61 f. TÝch ph©n c¸c hµm siªu viÖt ..............................................................64 II. Bµi tËp ..................................................................................................66 a. Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh ...................................................66 b. C¸c ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n tÝnh tÝch ph©n............................................67 4
c. TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tû .................................................................72 d. TÝch ph©n c¸c hµm v« tû...................................................................73 e. TÝch ph©n c¸c hµm siªu viÖt..............................................................75 § 7. TÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ øng dông.......................................................77 I. Tãm t¾t lý thuyÕt ...................................................................................77 a. TÝch ph©n x¸c ®Þnh, ®iÒu kiÖn kh¶ tÝch .............................................77 b. TÝnh chÊt tÝch ph©n ...........................................................................79 c. C«ng thøc Newton-Leibniz...............................................................80 d. C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh.........................................82 d.1. Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn............................................................82 d.2. Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn ........................................82 e. C¸c øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh ...............................................84 e.1. DiÖn tÝch b¶n ph¼ng...............................................................84 e.2. §é dµi ®−êng cong.................................................................87 e.3. ThÓ tÝch cña vËt vµ diÖn tÝch mÆt cong ..................................88 II. Bµi tËp ..................................................................................................91 a. TÝch ph©n x¸c ®Þnh, c«ng thøc Newton-Leibniz ...............................91 b. C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh.........................................96 c. C¸c øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh .............................................103 § 8. TÝch ph©n suy réng ..........................................................................114 II. Tãm t¾t lý thuyÕt................................................................................114 a. TÝch ph©n suy réng cËn h÷u h¹n, v« h¹n ........................................114 b. C¸c tiªu chuÈn héi tô ......................................................................118 b.1. Tiªu chuÈn so s¸nh bÊt ®¼ng thøc.......................................118 b.2. Tiªu chuÈn so s¸nh giíi h¹n................................................118 b.3. C¸c tiªu chuÈn Dirichle vµ Abel .........................................118 II. Bµi tËp ................................................................................................120 Ch−¬ng III. Chuçi sè vµ chuçi hµm..................................................129 § 9. Chuçi sè.............................................................................................129 I. Tãm t¾t lý thuyÕt .................................................................................129 a. Tæng riªng vµ tæng cña chuçi sè .....................................................129 b. §iÒu kiÖn cÇn héi tô cña chuçi .......................................................130 c. Tiªu chuÈn Cauchy .........................................................................131 5
d. C¸c dÊu hiÖu héi tô chuçi sè d−¬ng................................................131 d.1. DÊu hiÖu so s¸nh bÊt ®¼ng thøc ..........................................131 d.2. DÊu hiÖu so s¸nh giíi h¹n...................................................132 d.3. DÊu hiÖu tÝch ph©n ..............................................................133 d.4. Ph−¬ng ph¸p t¸ch phÇn chÝnh.............................................134 d.5. C¸c dÊu hiÖu D’alembert vµ Cauchy..................................135 d.6. Héi tô tuyÖt ®èi vµ b¸n héi tô..............................................137 II. Bµi tËp ................................................................................................141 a. Tæng riªng vµ tæng cña chuçi sè, ®iÒu kiÖn cÇn héi tô, tiªu chuÈn Cauchy ................................................................................................141 b. C¸c dÊu hiÖu héi tô chuçi sè d−¬ng................................................144 c. Héi tô tuyÖt ®èi vµ b¸n héi tô .........................................................149 § 10. Chuçi hµm, d·y hµm .....................................................................150 I. Tãm t¾t lý thuyÕt .................................................................................150 a. Héi tô ®Òu cña d·y hµm ..................................................................150 b. Héi tô ®Òu cña chuçi hµm...............................................................152 b.1. Héi tô cña chuçi hµm ..........................................................152 b.2. Héi tô ®Òu cña chuçi hµm ...................................................154 b.3. DÊu hiÖu Dirichle vµ Abel...................................................155 c. Vi tÝch ph©n chuçi hµm...................................................................157 c.1. Liªn tôc cña chuçi hµm........................................................157 c.2. TÝch ph©n chuçi hµm ...........................................................158 c.3. Vi ph©n chuçi hµm...............................................................159 d. Chuçi luü thõa ................................................................................160 d.1. B¸n kÝnh héi tô ....................................................................160 d.2. C¸c ®Þnh lý Abel ..................................................................160 e. Chuçi Taylor ...................................................................................162 II. Bµi tËp ................................................................................................164 a. Héi tô ®Òu cña d·y hµm ..................................................................164 b. Héi tô ®Òu cña chuçi hµm...............................................................166 c. Vi, tÝch ph©n chuçi hµm..................................................................169 d. Chuçi luü thõa ................................................................................170 e. Chuçi Taylor ...................................................................................171 6
§ 11. Chuçi Fourier.................................................................................175 I. Tãm t¾t lý thuyÕt .................................................................................175 a. §Þnh lý Dirichle ..............................................................................175 b. §Þnh lý Dini ....................................................................................176 II. Bµi tËp ................................................................................................178 PhÇn 2. Bµi gi¶i vµ ®¸p sè......................................................................181 § 1. Sè thùc ................................................................................................181 § 2. Giíi h¹n d·y sè...................................................................................181 § 3. Giíi h¹n hµm sè, hµm liªn tôc............................................................185 § 4. §¹o hµm vµ vi ph©n............................................................................189 § 5. C¸c øng dông cña ®¹o hµm ................................................................192 § 6. TÝch ph©n bÊt ®Þnh..............................................................................201 § 7. TÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ øng dông ........................................................211 § 8. TÝch ph©n suy réng.............................................................................224 § 9. Chuçi sè..............................................................................................226 § 10. Chuçi hµm, d·y hµm ........................................................................230 § 11. Chuçi Fourier...................................................................................236 Tµi liÖu tham kh¶o................................................................................239 7
8
C¸c Ký hiÖu chung N : tËp sè tù nhiªn, N = {0,1,2,Κ } N ∗ = N \ {0} : tËp sè tù nhiªn thiÕu sè 0 Q : tËp sè h÷u tû R : tËp sè thùc R[x]: tËp c¸c ®a thøc hÖ sè thùc deg P(x ) : bËc cña ®a thøc P(x ) : kÕt thóc mét vÝ dô, gi¶i bµi tËp 9
10
Lêi nãi ®Çu Cuèn gi¸o tr×nh Bµi tËp gi¶i tÝch 1 nµy ®−îc biªn so¹n theo ®Ò c−¬ng ®Çy ®ñ cña Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o vÒ m«n To¸n cao cÊp dµnh cho c¸c tr−êng §¹i häc Kü thuËt häc To¸n theo ch−¬ng tr×nh 1, cã thêi l−îng tõ 60 ®Õn 75 tiÕt ë häc kú ®Çu cña n¨m thø nhÊt Gi¸o tr×nh gåm 3 ch−¬ng: Ch−¬ng I: Vi ph©n hµm sè mét biÕn sè Ch−¬ng II: TÝch ph©n hµm sè mét biÕn sè Ch−¬ng III: Chuçi sè vµ chuçi hµm Víi h¬n 1100 bµi tËp ®−îc ph©n tû mû theo tõng phÇn cña kiÕn thøc chung. Tr−íc mçi phÇn bµi tËp ®Òu cã tãm t¾t lý thuyÕt ®Çy ®ñ, cã nhiÒu vÝ dô minh ho¹ ®a d¹ng. PhÇn ®¸p sè, h−íng dÉn, tr¶ lêi cã tr×nh bµy lêi gi¶i mét sè bµi tËp mang tÝnh kh¸i qu¸t cao h¬n. Hy väng gi¸o tr×nh bµi tËp nµy sÏ gióp Ých ®−îc nhiÒu cho c¸c b¹n sinh viªn tÊt c¶ mäi lo¹i h×nh ®µo t¹o, gióp cho c¸c thÇy c« gi¸o cã thªm mét sè t− liÖu t−¬ng ®èi ®Çy ®ñ ®Ó chuÈn bÞ bµi gi¶ng. V× kiÕn thøc th× qu¸ bao la mµ kh¶ n¨ng b¶n th©n l¹i cã h¹n nªn kh«ng thÓ tr¸nh khái c¸c thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®−îc sù ®ãng gãp ý kiÕn tõ c¸c ®éc gi¶ ®Ó cuèn s¸ch ngµy cµng hoµn chØnh h¬n, ®¸p øng ®−îc yªu cÇu n©ng cao chÊt l−îng d¹y vµ häc m«n To¸n ë c¸c tr−êng ®¹i häc. Hµ néi, th¸ng 9 n¨m 2005 NguyÔn Xu©n Viªn 11
PhÇn 1. Bµi tËp gi¶i tÝch to¸n häc Ch−¬ng I Vi ph©n hµm sè mét biÕn sè § 1. Sè thùc I. Tãm t¾t lý thuyÕt a. TËp ®Õm ®−îc, tËp t−¬ng ®−¬ng Hai tËp A, B gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu tån t¹i song ¸nh f : A → B . Khi A vµ B t−¬ng ®−¬ng ng−êi ta nãi A vµ B cã cïng lùc l−îng vµ viÕt A = B hay A~ B. TËp A gäi lµ tËp ®Õm ®−îc (hay tËp cã lùc l−îng ω ) nÕu A ~ N . TËp kh«ng t−¬ng ®−¬ng víi tËp sè tù nhiªn ®−îc gäi lµ tËp kh«ng ®Õm ®−îc. b. Nguyªn lý quy n¹p to¸n häc Trªn tËp sè tù nhiªn cã nguyªn lý quy n¹p to¸n häc sau ®©y: Kh¼ng ®Þnh f (n ) phô thuéc vµo sè tù nhiªn n sÏ ®óng cho mäi sè tù nhiªn n ≥ n0 nÕu: i. f (n0 ) ®óng ii. Víi mäi k ≥ n0 , tõ f (k ) ®óng suy ra f (k + 1) ®óng c. §Þnh lý chia Euclid Víi mäi sè nguyªn m, n, tån t¹i duy nhÊt c¸c sè nguyªn q, r sao cho n = qm + r , 0 ≤ r < m . Ta nãi n chia hÕt cho m hay m chia hÕt n (m lµ thõa sè cña n) vµ viÕt m/n nÕu tån t¹i sè nguyªn q sao cho n = mq. Khi m lµ thõa sè cña n th× ta nãi m lµ −íc cña n. d ®−îc gäi lµ −íc sè chung lín nhÊt cña m vµ n vµ viÕt d = USCLN (m, n ) hay ®«i khi, nÕu kh«ng cã sù nhÇm lÉn ng−êi ta cßn viÕt ®¬n gi¶n d = (m, n ) nÕu: i. d/m, d/n ii. nÕu p/m, p/n th× p/d 13
Víi mäi sè nguyªn m, n tån t¹i duy nhÊt USCLN (m, n ) . NÕu (m, n ) = 1 th× nãi m, n nguyªn tè cïng nhau. d. Sè h÷u tû vµ sè thùc XuÊt ph¸t tõ nhu cÇu thùc tiÔn còng nh− khoa häc, ng−êi ta ph¶i më réng tËp sè nguyªn Z thµnh tËp sè h÷u tû Q ®Ó Q cã thÓ chøa tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hÖ sè nguyªn: ax + b = 0 . ⎧ m ⎫ Nh− vËy Q = ⎨r = m ∈ Z, n ∈ N * ⎬ vµ Z ⊆ Q. ⎩ n ⎭ Kh¸c víi tËp sè nguyªn Z mµ trong ®ã kh«ng cã phÐp chia th× trong Q ®· cã ®ñ 4 phÐp to¸n: céng, trõ, nh©n, chia (chia cho sè nguyªn kh¸c 0). Khi xÐt ®Õn ph−¬ng tr×nh ®¬n gi¶n hÖ sè h÷u tû, thËm chÝ hÖ sè nguyªn x 2 − 2 = 0 th× dÔ dµng thÊy ph−¬ng tr×nh nµy kh«ng cã nghiÖm h÷u tû. Mét lÇn n÷a ®Æt ra nhu cÇu më réng tËp sè h÷u tû Q thµnh tËp sè thùc R: Q ⊆R Sè thùc gåm cã hai lo¹i: sè h÷u tû vµ sè v« tû. TËp sè thùc R lÊp ®Çy trôc sè. Gièng nh− Q, tËp c¸c sè thùc R t¹o thµnh mét tr−êng. e. Sup, inf. §Þnh lý Bolzano Gi¶ sö E ⊆ R . Sè α ∈ R ®−îc gäi lµ cËn trªn cña tËp E nÕu ∀x ∈ E x ≤ α . TËp E mµ cã cËn trªn ®−îc gäi lµ tËp bÞ chÆn trªn. T−¬ng tù nh− thÕ, β lµ sè mµ ∀x ∈ E β ≤ x ®−îc gäi lµ cËn d−íi cña E. TËp cã cËn d−íi ®−îc gäi lµ tËp bÞ chÆn d−íi. TËp bÞ chÆn trªn, chÆn d−íi ®−îc gäi lµ tËp giíi néi. CËn trªn nhá nhÊt α cña tËp E ®−îc gäi lµ cËn trªn ®óng cña tËp E vµ viÕt α = sup E . Nh− vËy α = sup E nÕu tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn sau: i. ∀x ∈ E x ≤ α : α lµ cËn trªn cña E ii. ∀ε > 0 ∃ x ∈ E α − ε < x ≤ α : α lµ cËn trªn nhá nhÊt T−¬ng tù nh− thÕ, ®Þnh nghÜa cËn d−íi ®óng infE lµ cËn d−íi lín nhÊt cña tËp E. Ta cã ®Þnh lý Bolzano sau: Mäi tËp sè thùc bÞ chÆn trªn ®Òu cã cËn trªn ®óng, bÞ chÆn d−íi ®Òu cã cËn d−íi ®óng. 14
f. TrÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc TrÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc α lµ α tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: α = α nÕu α ≥ 0 , α = −α nÕu α < 0 . §èi víi 2 sè thùc α , β ∈ R ta lu«n cã α + β ≤ α + β . II. Bµi tËp B»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc h·y chøng minh c¸c hÖ thøc sau ®óng cho mäi n ∈ N * (1.1-1.7) n(n + 1) 1.1. 1+ 2 +Κ + n = 2 n(n + 1)(2n + 1) 1.2. 12 + 2 2 + Κ + n 2 = 6 1.3. 13 + 23 + Κ + n3 = (1 + 2 + Κ + n )2 1.4. 4 n + 15n − 1 chia hÕt cho 9 1 1 1 n +1 1.5. arctg + arctg + Κ + arctg = arctg 2 8 2n 2 n+2 1 3 2n − 1 1 1.6. . .Κ . < 2 4 2n 2n + 1 1.7. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Becnuli: (1 + x1 )(1 + x2 )Κ (1 + xn ) ≥ 1 + x1x2 Κ xn víi x1 , x2 , Κ xn cïng dÊu, lín h¬n -1. 1.8. CMR, víi mäi x > −1 ta cã: (1 + x )n ≥ 1 + nx (n > 1) DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi x = 0 . 1.9. CMR, nÕu USCLN (m, n ) = d th× tån t¹i c¸c sè nguyªn u, v ∈ Z sao cho um + vn = d . 1.10. CMR, nÕu P( x ), Q( x ) lµ c¸c ®a thùc hÖ sè thùc, P( x ), Q(x ) ∈ R[x ] vµ d (x ) = USCLN (P( x ), Q( x )) th× tån t¹i c¸c ®a thøc u ( x ), v( x ) ∈ R[x ] sao cho: d (x ) = u ( x )P(x ) + v( x )Q(x ) 1.11. CMR, nÕu a, b lµ c¸c sè thùc th×: a − b ≤ a−b ≤ a + b 1.12. CM c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 15
a. ab = a b c. a 2 = a 2 a a b. = (b ≠ 0) d. a2 = a b b 1.13. Ký hiÖu A + B = {a + b a ∈ A, b ∈ B}. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a. inf ( A + B ) = inf A + inf B b. sup( A + B ) = sup A + sup B 1.14. Ký hiÖu AB = {ab a ∈ A, b ∈ B}. Gi¶ sö A = {a a ≥ 0}, B = {b b ≥ 0}. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a. inf ( AB ) = inf A inf B b. sup( AB ) = sup A sup B 1.15. CM ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i duy nhÊt c¨n bËc n cña sè thùc sau: { } Gi¶ sö α ∈ R, α > 0. Gäi A ⊆ R, A = t ∈ R, t > 0 t n < α . CMR: a. A ≠ φ , A bÞ chÆn trªn b. Tån t¹i sup A = β vµ β n = α Sè β nh− vËy tån t¹i duy nhÊt vµ gäi lµ c¨n bËc n cña α vµ ký hiÖu lµ β = n α (c¨n sè häc). § 2. Giíi h¹n d∙y sè I. Tãm t¾t lý thuyÕt a. D·y sè ¸nh x¹ f : N → R cã ¶nh f (n ) = xn ∈ R, n = 1,2, Κ ®−îc gäi lµ d·y sè. D·y sè ®−îc ký hiÖu lµ (xn ) hay (xn )n hay {xn }n . x1 lµ sè h¹ng ®Çu, xn lµ sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè ( xn ) . Ta nãi d·y (xn ) cã giíi h¹n a khi n tiÕn ra ∞ vµ viÕt lim xn = a (hay cã n →∞ thÓ viÕt lim xn = a nÕu kh«ng cã sù hiÓu lÇm trong ký hiÖu chØ sè n) nÕu víi mäi ε > 0 tuú ý tån t¹i sè tù nhiªn N ®Ó víi mäi sè tù nhiªn n, khi n ≥ N th× xn − a < ε . Hay viÕt d−íi d¹ng vÞ tõ (Logic mÖnh ®Ò) lµ: 16
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n(n ≥ N ⇒ xn − a < ε ) n →∞ Ng−êi ta nãi d·y (xn ) lµ d·y c¬ b¶n (hay d·y Cauchy nÕu ∀ε > 0 ∃N ∀m∀n(m ≥ N ∧ n ≥ N ⇒ xm − xn < ε ) ). Ta cã bæ ®Ò Bolzano-Weierstrass: Tõ d·y giíi néi bÊt kú lu«n trÝch ra d·y con héi tô. b. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ héi tô d·y sè §Ó d·y sè ( xn ) cã giíi h¹n, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ: (xn ) lµ d·y Cauchy. V× lý do trong R mäi d·y Cosi ®Òu héi tô nªn ng−êi ta nãi tËp sè thùc R cã tÝnh ®Çy ®ñ. TËp sè h÷u tû kh«ng ®Çy ®ñ, ch¼ng h¹n nh− d·y Cosi n ⎛ 1⎞ xn = ⎜1 + ⎟ kh«ng héi tô trong Q v× lim xn = e ∉ Q . ⎝ n⎠ n →∞ 1 1 VÝ dô: Chøng minh d·y xn = 1 + + Κ + kh«ng cã giíi h¹n. 2 n Gi¶i: §Ó chøng minh d·y nµy kh«ng cã giíi h¹n ta chØ cÇn chØ ra mét sè ε 0 sao cho víi mäi N tån t¹i m, n, mÆc dï m ≥ N , n ≥ N nh−ng ta l¹i cã xm − xn ≥ ε 0 . 1 ThËt vËy, víi ε 0 = ; n = 2m ta cã: 2 ⎛ 1 1 1 ⎞ m 1 x n − xm = ⎜ + +Κ + ⎟≥ = ⎝ m +1 m + 2 2m ⎠ 2m 2 c. Héi tô ®¬n ®iÖu §iÒu kiÖn héi tô d·y ®¬n ®iÖu D·y (xn ) ®¬n ®iÖu t¨ng cã giíi h¹n khi vµ chØ khi nã bÞ chÆn trªn, khi ®ã lim x n = sup{x n }. D·y (xn ) ®¬n ®iÖu gi¶m cã giíi h¹n khi vµ chØ khi nã bÞ chÆn d−íi, khi ®ã lim xn = inf {xn } . d. D·y riªng, giíi h¹n riªng D·y (x nk )k , nk ∈ N * , n1 < n2 < Κ , ®−îc gäi lµ d·y con cña d·y (x n )n NÕu tån t¹i α = lim xnk th× ng−êi ta nãi α lµ giíi h¹n riªng cña d·y (xn ) . k →∞ 17
Giíi h¹n riªng lín nhÊt cña (xn ) ®−îc gäi lµ giíi h¹n trªn vµ ký hiÖu limxn hay lim sup xn . Giíi h¹n riªng nhá nhÊt cña ( xn ) ®−îc gäi lµ giíi h¹n d−íi cña (xn ) vµ ký hiÖu limxn hay lim inf xn . DÔ dµng thÊy nÕu {xn } kh«ng bÞ chÆn trªn th× limxn = +∞ . NÕu {xn } bÞ chÆn trªn th× limxn = sup{xn }. §Ó tån t¹i giíi h¹n lim xn ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ limxn = limxn (= lim xn ) . II. Bµi tËp 2.1. B»ng ®Þnh nghÜa h·y chøng minh c¸c giíi h¹n sau: n −1 1 1 a. lim = c. lim sin =0 4n + 1 4 n b. lim n2 −1 =0 d. lim (− 1)n −1 = 0 3n 3 + 1 n 2.2. T×m c¸c giíi h¹n lim xn nÕu: a. xn = 1 24 22Κ4 32 n lÇn b. xn = 0,1212Κ3 2 . Tõ ®ã h·y t×m c«ng thøc ®æi sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn n lÇn hoµn a0 , a(b ) thµnh ph©n sè. Tæng qu¸t ho¸ kÕt qu¶ cho sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn a0 , a1 Κ am (b1 Κ bn ) . Chøng minh d·y (x n ) víi x n = 1 + 1 1 1 2.3. + +Κ + kh«ng cã giíi h¹n. ln 2 ln 3 ln n 2.4. T×m giíi h¹n d·y ( xn ) víi: ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ x n = ⎜1 − ⎟⎜1 − 2 ⎟⎟ Κ ⎜⎜1 − ⎟⎟ 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ n2 ⎠ 2.5. Cho a, b > 0; a > b . C¸c d·y (un ), (vn ) x¸c ®Þnh nh− sau: ⎧u1 = a, v1 = b ⎪ ⎪ u n −1 + vn −1 ⎨u n = ⎪ 2 ⎪vn = u n −1vn −1 ⎩ CMR 18
a. D·y (un ) ®¬n ®iÖu gi¶m, cßn (vn ) ®¬n ®iÖu t¨ng b. lim un = lim vn 2.6. Cho d·y (un ) x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: ⎧u1 = 1 ⎪ ⎨ un + 2 ⎪u n +1 = u + 1 ⎩ n CMR (u2k ), (u2k −1 ) lµ c¸c d·y kÒ nhau (tøc lµ mét d·y ®¬n ®iÖu t¨ng, mét d·y ®¬n ®iÖu gi¶m vµ cã cïng giíi h¹n). 2.7. Gi¶ sö f ( x ) : (a; b ) → (a, b ) . D·y (un ) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: ⎧u1 = α ∈ (a; b ) ⎨ ⎩u n +1 = f (u n ) H·y nghiªn cøu héi tô cña d·y (un ) trong 2 tr−êng hîp: a. f ( x ) ®¬n ®iÖu t¨ng b. f ( x ) ®¬n ®iÖu gi¶m 2.8. T×m lim un biÕt: ⎧⎪u1 = 3 ⎧⎪u1 = 3 a. ⎨ b. ⎨ ⎪⎩u n +1 = 3 + u n ⎪⎩u n +1 = 3un T×m c¸c giíi h¹n c¸c d·y sau (2.9 – 2.19) ⎛ 1 2 n −1⎞ 2.9. lim⎜⎜ + +Κ + ⎟⎟ ⎝ n2 n2 n2 ⎠ n(n + 1)(n + 2 ) 2.10. lim (n + 3)3 12 + 2 2 + Κ + n 2 2.11. lim (n + 1)3 2.12. lim n 2 + 1 − n 2 − 1 n sin n! 2.13. lim n2 + 1 19
2 n +1 − 3n +1 2.14. lim 2 n − 3n 4 3 3 n + 2 − n2 + 1 2.15. lim 5 n 4 + 1 − 4 n3 − 1 1 − 2 + 3 − Κ − 2n 2.16. lim n2 + 1 ⎡1 1 1 ⎤ 2.17. lim ⎢ + +Κ + ⎣1.3 3.5 (2n − 1)(. 2n + 1)⎥⎦ n 2 −1 2.18. lim n 2 +1 n ⎛ 1 k ⎞ 2.19. lim ∏ ⎜⎜1 + n + ⎟⎟ n → ∞ k =1⎝ n2 ⎠ Chøng minh c¸c giíi h¹n quan träng sau (2.20 – 2.25) 2n 2.20. lim =0 n! an 2.21. lim =0 n! nk 2.22. lim =0 (a > 1) an 2.23. lim n n = 1 2.24. lim n a = 1 (a > 0) 1 2.25. lim =0 n n! 2.26. Chøng minh r»ng limxn + lim yn ≤ lim(xn + yn ) ≤ limxn + lim yn 2.27. CMR, nÕu d·y (xn ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 0 ≤ xm + n ≤ xm + xn víi mäi x m, n = 1,2, Κ th× tån t¹i lim n . n 2.28. Chøng minh c¸c d·y sau héi tô vµ t×m giíi h¹n: 20
n n ∑ (3k + 1) 1 a. a n = ∑ b. bn = k =0 k =1 k (k + 1) n ∑ 2k + 3 k =0 c. c n = 3 + sin n n a n+1 2.29. Chøng minh r»ng, nÕu an ∈ R + vµ lim = +∞ th× lim n an = +∞ . an 2.30. Cho (un ), (vn ) lµ hai d·y mµ un → 0, vn → 0 , vn ®¬n ®iÖu gi¶m thùc sù vµ u −u u lim n +1 n = l ∈ R . CMR lim n = l . vn +1 − vn n → ∞ vn m+n 2.31. Cho (un ), 0 ≤ um + n ≤ . Chøng minh r»ng lim un = 0 . mn 2.32. Cho d·y (un ) x¸c ®Þnh: ⎧⎪0 < u1 < 1 ⎨ ⎪⎩u n+1 = u n − u n 2 CMR 1 a. un < b. lim u n n = 1 n +1 n →∞ T×m c¸c giíi h¹n cña c¸c d·y sau 2.33. lim sin 2 ⎛⎜ π n 2 + n ⎞⎟ n →∞ ⎝ ⎠ 2.34. lim sin ⎛⎜ π n 2 + 1 ⎞⎟ n →∞ ⎝ ⎠ 2.35. Gi¶ sö d·y (a n ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn i. ∀n ∈ N * a n ≥ 1 ii. ∀m, n ∈ N * a m+ n ≤ a m .a n ln a n Chøng minh r»ng d·y (bn ) víi bn = cã giíi h¹n. n 21
§ 3. Giíi h¹n hµm sè, hµm liªn tôc I. Tãm t¾t lý thuyÕt a. Giíi h¹n hµm sè theo ε − δ vµ d·y Ng−êi ta sö dông ký hiÖu y = f ( x ) ®Ó chØ mét hµm sè cã ®èi sè x ∈ X , gi¸ trÞ y = f (x ) ∈ Y . C¸c ký hiÖu th−êng dïng kh¸c nhau ®Ó chØ hµm sè nµy lµ: f x α f ( x ), x α y, Κ Ta nãi hµm sè y = f ( x ) x¸c ®Þnh trong l©n cËn cña ®iÓm x0 nÕu ∃δ > 0 ®Ó hµm sè x¸c ®Þnh víi mäi x ∈ ( x0 − δ ; x0 + δ ) . Giíi h¹n hµm sè: Ng−êi ta nãi, hµm sè f ( x ) x¸c ®Þnh trong l©n cËn x0 (cã thÓ trõ x0 ra) cã giíi h¹n A vµ viÕt lim f ( x ) = A nÕu: x → x0 ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ( x − x0 < δ ⇒ f (x ) − A < ε ) §©y chÝnh lµ ®Þnh nghÜa giíi h¹n hµm sè theo ng«n ng÷ ε − δ . Tiªu chuÈn giíi h¹n theo d·y: Hµm sè f ( x ) cã giíi h¹n A khi x → x0 khi vµ chØ khi víi mäi d·y xn → x0 , d·y gi¸ trÞ hµm sè t−¬ng øng f (xn ) → A . Tiªu chuÈn giíi h¹n theo d·y nµy ®«i khi ng−êi ta lÊy lµm ®Þnh nghÜa giíi h¹n hµm sè. b. Giíi h¹n mét phÝa NÕu f ( x ) x¸c ®Þnh phÝa bªn tr¸i cña ®iÓm x0 th× x → x0− (hay x → x0 − 0 ) lµ ký hiÖu qu¸ tr×nh x → x0 , x < x0 . T−¬ng tù nh− vËy x → x0+ (hay x → x0 + 0 ) chÝnh lµ x → x0 , x > x0 . Nh− vËy ( ) f x0− = lim f (x ) x → x0 x < x0 22