Xác suất và thống kê toán: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 của tài liệu "Xác suất và thống kê toán: Hướng dẫn giải bài tập" có nội dung gồm 5 chương, trình bày về: biến cố, xác suất của biến cố; đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất; một số quy luật phân phối xác suất; lý thuyết mẫu; ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xác suất và thống kê toán: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Trần Doãn Phú ■ Nguyễn Thọ Liễn Hướng dẫn giải bài tập b SUẤT VÀ THÔNG KÊ TOÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI Trần Doãn Phú - Nguyễn Thọ Liễn Hướng dẫn giải bài tập XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ĨOÁN NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ HÀ NỘI-2010
Lời nói đầu (Lần tái bản thứ nhất) Để đáp ứng yêu cầu nâng cao chất lượng giảng dạy cũng như nhu cầu về tài liệu học tập cho sinh viên, được sự cho phép của trường Đại học Thương mại chúng tôi cho ra mắt bạn đọc cuốn sách Hướng dẫn giải bài tập Xác suất và Thống kê toán xuất bản lần thứ hai này. So với lần xuất bản thứ nhất vào năm 2003 lần xuất bản này có một số thay đổi như sau: - Đưa thêm vào một số nội dung mới về kiểm định phi tham số: ■ Tiêu chuẩn kiểm định Jarque - Bera dùng để kiểm định tính phân phối chuẩn của ĐLNN ■ Tiêu chuẩn kiểm định Khi bình phương dùng để kiểm về tính độc lập - Thêm vào nhiều bài tập mới - Thay đổi nội dung và thứ tự của một số bài tập Chúng tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp đã động viên khích lệ và có những đóng góp chân thành để lần xuất bản thứ hai này của cuốn sách được hoàn thiện hơn. Chúng tôi cũng xin cảm ơn CN. Vũ Trọng Nghĩa đã giúp chúng tôi trong quá trình soạn thảo cho lần xuất bản thứ hai này. Hà Nội, tháng 5 năm 2010 Các tác giả
Mue LUC Trang Lời nói đầu ..................................................................................... iii Mục lục ........................................................................................... V Chương 1. Biến cố, xác suất của biến cố 1 1.1 Phép thử và biến cố ....................................................................... 1 1.2 Các định nghĩa về xác suất.............................................................. 2 1.2.1 Định nghĩa cổ điển.............................................................. 2 1.2.2 Định nghĩa thống kê........................................................... 2 1.2.3 Tính chất của xác suất........................................................ 3 1.3 Các định lí về xác suất.................................................................... 4 1.3.1 Công thức cộng xác suất..................................................... 4 1.3.2 Xác suất có điều kiện........................................................... 5 1.3.3 Công thức nhân xác suất..................................................... 5 1.4 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes............................ 8 1.4.1 Công thức xác suất đầy đủ.................................................. 8 1.4.2 Công thức Bayes................................................................. 8 Chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 21 2.1 Khái niệm.............................................................................................. 21 2.1.1 Định nghĩa .............................................................................. 21 2.1.2 Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN............................. 21 2.2 Hàm phân phối và hàm mật độ xác suất......................................... 22 2.2.1 Hàm phân phối xác suất......................................................... 22 2.2.2 Hàm mật độ xác suất............................................................... 22 2.3 Các số đặc trưng cơ bản của ĐLNN...................................................23 2.3.1 Kì vọng toán ........................................................................... 23 2.3.2 Mốt (mode).............................................................................. 24 2.3.3 Phương sai .............................................................................. 24 2.3.4 Độ lệch tiêu chuẩn.................................................................. 24 Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất 34 3.1 Phân phối nhị thức.......................................................................... 34 3.1.1 Dãy phép thử Bernoulli ..................................................... 34 3.1.2 Định nghĩa .......................................................................... 34 V
3.1.3 Các số đặc trưng................................................................. 35 3.2 Phân phối Poisson ........................................................................... 36 3.2.1 Định nghĩa ........................................................................... 36 3.2.2 Các số đặc trưng................................................................. 36 3.2.3 Mối liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson 36 3.3 Phân phối chuẩn.............................................................................. 37 3.3.1 Định nghĩa ........................................................................... 37 3.3.2 Các số đặc trưng................................................................. 37 3.3.3 Xác suất trên một khoảng.................................................. 37 3.3.4 Mối liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối chuẩn 38 Bài tập tỏng hợp phần xác suất ................................................ 46 Chương 4. Lý thuyết mẫu 54 4.1 Khái niệm về đám đông và mẫu..................................................... 54 4.1.1 Đám đông.............................................................................. 54 4.1.2 Mẫu....................................................................................... 54 4.1.3 Mẫu ngẫu nhiên.................................................................... 54 4.1.4 Một số phương pháp cơ bản mõ tả mẫu............................ 55 4.2 Các đặc trưng mẫu quan trọng ..................................................... 56 4.2.1 Trung bình mẫu.................................................................... 56 4.2.2 Phương sai mẫu và phương sai mẫu điềuchỉnh................. 57 4.3 Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê quan trọng . 59 4.3.1 Trường hợp ĐLNN gốc X phân phối theoquy luật chuẩn 59 4.3.2 Trường hợp chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng kích thước mâu n khá lớn (thường đòi hỏi n > 30) 60 4.3.3 Trường hợp có hai ĐLNN gốc cùng phân phối theo quy luật chuẩn......................................................................... 60 4.3.4 Quy luật phân phối xác suất của tần suất mẫu ............. 61 Chương 5. Ước lượng các tham số của ĐLNN 66 5.1 Ước lượng điểm................................................................................. 66 5.1.1 Ước lượng không chệch................................................... 66 5.1.2 Ước lượngvững...................................................................... 67 5.1.3 Ước lượng hiệu quả......................................................... 67 5.2 Khái niệm về ước lượngbằngkhoảng tin cậy.................................. 67 5.3 Ước lượng kì vọng toán củaĐLNN................................................ 68 5.3.1 ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn với
Chương 6. Kiểm định giả thuyết thống kê 97 6.1 Một số khái niệm và định nghĩa..................................................... 97 6.1.1 Giả thuyết thống kê .................................................. 97 6.1.2 Tiẽu chuẩn kiểm định ........................................................ 97 6.1.3 Miền bác bỏ.......................................................................... 97 6.1.4 Các loại sai lầm.................................................................... 98 6.2 Kiểm định giả thuyết về kì vọng toán của một ĐLNN............... 99 6.2.1 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với ơ2 đã biết.......................................................................................... 99 6.2.2 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với ơ2 chưa biết.............................................. *.......................................... 102 6.2.3 Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng kích thước mẫu n > 30.......................................................... 105 6.3 So sánh kì vọng toán của hai ĐLNN .............................................. 106 6.3.1 Xỵ, x2 đều có phân phối chuẩn với ơ2, đã biết .... 106 6.3.2 Chưa biết quy luật phân phối của X1,X2 nhưng 711 > 30, n2 > 30 . ......................................... 108 6.3.3 X1, x2 đều có phân phối chuẩn với a2 = Ơ2 = ơ2 chưa biết 108 6.4 Kiểm định giả thiết về tỉ lệ của đám đông (Kiểm định giả thuyết về tham số p của phân phối A{p) .................................................... 109 6.5 So sánh tỉ lệ của hai đám đông {So sánh hai tham số p của hai phân phối không - một)....................................................................... 110 6.6 Kiểm định giả thiết về phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn . 112 6.7 So sánh phương sai của hai ĐLNN phân phối chuẩn..................... 114 6.8 Kiểm định phi tham số....................................................................... 117 6.8.1 Tiêu chuẩn kiểm định Jarque - Bera (JB) dùng để kiểm định tính phân phối chuẩn của ĐLNN .............................. 117 6.8.2 Kiểm định giả thuyết về tính độc lập..................................118 Bài tập tổng hợp phần thống kê...................................................139 Đáp số................................................................................................ 145 Tài liệu tham khảo............................................................................ 187 vii
Chương 1 Biến cố, xác suất của biến cố 1.1 Phép thử và biến cố Khi thực hiện một nhóm các điều kiện xác định nào đó mà kết quả của nó không thể xác định trước được ta nói một "phép thử" được thực hiện. Khi một phép thử được thực hiện thì có nhiều kết cục khác nhau có thể xảy ra, ta gọi mỗi kết cục đó là một biến cố. Ví dụ 1.1 Gieo một đồng tiền là thực hiện một phép thử. Các kết cục: "Xuất hiện mặt sấp", "Xuất hiện mặt ngửa" là các biến cố. Ví dụ 1.2 Lấy ba sản phẩm từ một lô hàng ra để kiểm tra cũng là thực hiện một phép thử. Các kết cục: "Cả ba sản phẩm lấy ra đều đạt tiêu chuẩn", "Trong ba sản phẩm lấy ra có hai sản phẩm đạt tiêu chuẩn", "Trong ba sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn" ... đều là các biến cố. Biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện được gọi là biến cố chắc chắn, kí hiệu là u. Biến cố nhất định không xảy ra khi phép thử được thực hiện được gọi là biến cố không thể có, kí hiệu là V hoặc 0. Biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên, kí hiệu là A, B, c.... Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố này xảy ra, kí hiệu A + B hoặc A u B. Tích của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố này đồng thời xảy ra, kí hiệu A.B hoặc An B.
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Như vậy nếu A và B xung khắc thì A.B = V. Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu thỏa mãn hai điều kiện: • A và B là hai biến cố xung khắc: A.B = V • Khi thực hiện phép thử thì nhất thiết một trong chúng phải xảy ra: A+B= u Chú ý 1.1 Biến cố đối lập với biến cố A kí hiệu là A. Các biến cố A1, A2, A3,.. .An được gọi là lập thành một hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn hai điều kiện: • Chúng xung khắc từng đôi: AịAj = V với Ví j. • Khi thực hiện phép thử thì nhất thiết một trong chúng phải xảy ra : i=l 1.2 Các định nghĩa về xác suất 1.2.1 Định nghĩa cổ điển Giả sử trong một phép thử có tắt cả n kết cục đồng khả năng duy nhất, trong đó có m kết cục thuận lợi cho biến cố A xảy ra, khi đó : P(A) = 1.2.2 Định nghĩa thống kê Lặp lại n lần một phép thử, gọi m(A) là số lần xuất hiện biến cố A trong m(A) n phép thử đó. Khi đó /(A) = —----- được gọi là tần suất xuất hiện biến cố n A trong n phép thử này. Khi số phép thử n lớn thì tần suất xuất hiện biến cố A luôn luôn dao động rất ít xung quanh một số không đổi p. số p không đồi đó được gọi là xác suất của biến cố A. Trong thực tế khi n khá lớn, ta lấy: P(A) ~ /(A) 2
1.2.3 Tính chất của xác suất 1) 0 < P(A) < 1 2) p(ư) = 1 3) P(V) = 0 Ví dụ 1.3 Một lô hàng gồm 15 sản phẩm trong đó có 12 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Tìm xác suất sao cho khi lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm được: a. Một sản phẩm tốt và một sản phẩm xấu. b. Cả hai sản phẩm tét. Lời giải. a. Gọi A là biến cố trong hai sản phẩm lấy ra có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. Theo định nghĩa cổ điển, ta có: P(A) = Trong đó n là số kết cục đồng khả năng của phép thử n = cĩ5 = = 105 15 2!13! Đây chính là số cách lấy 2 sản phẩm từ lô. m là số kết cục thuận lợi cho biến cố A tức là số cách lấy ra hai sản phẩm để trong đó có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu 343 b. Gọi B là biến cố có hai sản phẩm tốt. Tương tự như trên ta có: 629 3
Ví dụ 1.4 Trong một thùng hàng gồm 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Chia ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau về số lượng. Tìm xác suất để mỗi phần đều có số sản phẩm loại I và loại II như nhau. Lời giải. Gọi A là biến cố mỗi phần đều có số sản phẩm loại I và loại II như nhau. Số kết cục đồng khả năng là số cách chia thùng hàng thành hai phần, mỗi phần có 5 sản phẩm. Đó chính là số cách lấy 5 sản phẩm từ 10 sản phẩm trong thùng: n = Cỵ0. Số kết cục thuận lợi cho biến cố A là cách lấy 5 sản phẩm từ thùng để trong đó có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II: m = CgC?. CềCl 10 Theo định nghĩa cổ điển, ta có: P(A) = « 0,47619 C10 21 1.3 Các định lí về xác suất 1.3.1 Công thức cộng xác suất Với hai biến cố A và B bất kì, ta luôn có: P(A + B) = P(A) + P(P) - P(ÂB) Chú ý 1.2 Nếu A và B là hai biến cố xung khắc (A.B = V) thì: P(A + B) = P(A) + P(B) Chú ý 1.3 P(A) = 1 - P(Z) Tổng quát: p(Ề A) = Ẻ P(A) - E p(^) + E P(AAj Afc) - • • • + i=l i=l i
1.3.2 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.1 Xác suất của biến cố A được tính trong điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố A với diều kiện biến cố B đã xảy ra và kí hiệu P(A/B). Trong trường hợp P(B) > 0, ta có: P(AIB\ = Định nghĩa 1.2 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện biến cố kia và ngược lại: P(A) = P(A/B) = P(A/B) (1) và P(B) = P(B/A) = P(BfÃ) (2) Chú ý 1.5 Nếu thêm điều kiện P(A) > 0 và P(A) > 0 thì từ (1) ta có thể suy ra (2). Như vậy, nếu các điều kiện P(A) > 0, P(A) > 0, P(B) > 0 và P(B) > 0 được thỏa mãn thì (1) và (2) tương đương. Chú ý 1.6 Nếu A và B độc lập thì A và B, A và B,AvằB cũng độc lập với nhau. Định nghĩa 1.3 Các biến cố A1,A2, A3.. ,An được gọi là độc lập toàn phần (độc lập) nếu mỗi biến cố trong chúng độc lập với tích một số bất kĩ các biến cố còn lại. 1.3.3 Công thức nhân xác suất Cho hai biến cố A và B, ta có: P(A.B) = P(A)P(B/Â) = P(B)P(A/B) Nếu cho n biến cố Aị,A2, Â3,... An thì: P(A1.A2.A3 ... A) = .. P(An/AlA2 ... Ân_!) 5
Chú ý 1.7 Nếu Ä1, ư42, A3 ... j4n độc lập thì: P{Al.A2:A3 ...An) = P(Â1)P(a42)P(J43) ... P(An) Ví dụ 1.5 Hai cửa hàng cùng kinh doanh (một cách độc lập) một loại hàng hóa. Xác suất để các cửa hàng đó bị phá sản lần lượt là 0,01 và 0,02. Tìm xác suất để: a. Có một cửa hàng nào đó bị phá sản (biến cố A). b. ít nhất 1 cửa hàng bị phá sản (biến cố B). c. Có nhiều nhất 1 cửa hàng bị phá sản (biến cố C). Lời giải. Gọi Ai là biến cố cửa hàng thứ i bị phá sản (ỉ = 1,2) a. Ta có: A — j4j.j42 + j4j.j42 P(A) = P(A1).P(Ã2) + P(Ã).P(Â2) = 0,01(1 - 0,02) + (1 - 0,01).0,02 = 0,0296 b. Ta có: _ _ _ _ _ P(B) = 1 - P(B) = 1 - P(Á!.A2) = 1 - P(Ax).P(A2) = 1 - (1 - 0,01 )(1 - 0,02) = 0,0298 c. Ta có: c — Âi.j42 + j4 P(C) = P(Ã)P(X2) + P(Â) = (1 - 0,01)(l - 0,02) + 0,0296 = 0,9998 Ví dụ 1.6 Có hai hộp sản phẩm: Hộp I đựng 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Hộp II đựng 8 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Lấy từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra có: a. Một phế phẩm (biến cố i4). b. Cả hai sản phẩm cùng loại (biến cố BỴ Lời giải. Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy ra từ hộp i là tốt (¿ = 1,2) a. Ta có: A = j4j.j42 + ĩ4i.242 Suy ra: P(A) = P(A,).P(Ã2) + P(Ã,).P(A2) = i! A + A JL = AL ö 0,39 6
b. Ta có: B — A1.A2 “1“ A1.A2 _ _ 10 8 4 9 Suy ra: P(B) = P(41).P(42) + P(>41).P(>42) - + Ví dụ 1.7 Một tổ có 9 sinh viên trong đó có 3 nữ được chia ngẫu nhiên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 3 người. Tìm xác suất để nhóm nào cũng có một sinh viên nữ. Lời giải. Gọi A là biến cố nhóm nào cũng có 1 nữ. Gọi Aị là biến cố nhóm thứ i có 1 nữ (ĩ = 1,3). Ta có : A — 414243 Suy ra: p(4) = PỰ^AtAs) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) « 0,32 Cẫ • c63 • - 28 Ví dụ 1.8 Chùm chìa khóa của thủ kho gồm 9 chìa, trong đó có 2 chìa mở được kho. Người đó thử lần lượt từng chìa để mỏ cửa, chìa nào thử rồi thì không thử lại. Tìm xác suất để: a. Người đó thử đến lần thứ 4 thì mỏ được cửa kho. b. Thử không quá 3 lần thì mỏ được kho. Lời giải. Gọi 4j là biến cố thử lần thứ i mở được kho (i = 1,4). a. Gọi A là biến cố đến lần thứ 4 thì mở được cửa kho. Ta có: A — >41. x 42.43 ‘A4 —7 c~ _E Suy ra: p(>4) - P(Ã1)P(Ã2/Ã1)P(Ã3M1.Ã2).P(A4/Ã1.Ã2.Ã3) = = « 0,139 72 b. Gọi B là biến cố thử không quá 3 lần thì mở được kho. Ta có: B = >41 + >41-42 + 41>42>43 Suỵ ra : P_(B) _= P(41) + F(41)P(42/41)+P(41)F(42/41)P(43/4142) 2 7 2 7 6 2 ___ „„ = í + ' ỉ + ' “ ỉ ~ 0,5833 9 98 987 ’ 7
1.4 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 1.4.1 Công thức xác suất đầy đủ Giả sử Hị , H2 ■ ■. Hn là một hệ đầy đủ các biến cố và biến cế A có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố này, khi đó: p(A) = Ẻwm) i=l 1.4.2 Công thức Bayes Giả sử , H2 ... ỉỉn là một hệ đầy đủ các biến cố và biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố này và P(A~) > 0. Khi đó: g PựỉiìPịA/Hi) i=l Ví dụ 1.9 Trong kho của một xí nghiệp đồ hộp xuất khẩu gồm 25% sản phẩm là của phân xưởng I, 35% là của phân xưởng II, 40% là của phân xưỏng III. Tỷ lệ phế phẩm của 3 phân xưởng đó lần lượt là 1%, 1,5%, và 2%. a. Lấy ngẫu nhiên trong kho ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất đe sản phẩm đó là phế phẩm. b. Lấy từ kho ra 1 sản phẩm thấy đó là phế phẩm, lìm xác suất để phế phẩm đó là do phân xưỏng III sản xuất ra. Lời giải. Gọi Hị là là biến'cố sản phẩm lấy ra do phân xưởng i sản suất i = 173. Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Ta thấy Hỵ,H21 H3 lập thành một hệ đằy đủ, biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong 3 biến cố này. a. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có : P(A) = ¿ P(Hi)P(A/Hi) = 0,25.0,01+0,35.0,015+0,4.0,02 = 0,01575 i=l 8
b. Theo công thức Bayes, ta có: 0,4.0,02 « 0,508 tpmPÍA/Hi) 0,01575 1=1 Ví dụ 1.10 Tỉ lệ sinh viên Hà Nội của khoa Quản trị là 30% còn lại 70% là của các tỉnh khác. Tỉ lệ sinh viên Hà Nội bị cận thị của khoa là 7% còn của các tỉnh khác là 2%. a. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên của khoa. Tìm xác suất để sinh viên đó bị cận thị. b. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên của khoa này thì thấy bị cận thị. Tìm xác suất để sinh viên đó là người Hà Nội. Lời giải. Gọi H1 là biến cố sinh viên chọn ra là ở Hà Nội. Gọi H-2 là biến cố sinh viên chọn ra là ở tỉnh khác. Gọi A là biến cố sinh viên chọn ra bị cận thị. Các biến cố Hị , H? là hệ đầy đủ, biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong 2 biến cố này. a. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có : P(A) = Ế P(Hi)P(A/Hi) = 0,30.0,07 + 0,7.0,02 = 0,035 j=i b. Theo cõng thức Bayes, ta có: Píỉỉ./A} 0,3.0,07 m/j4) ------ P(i)------ 07035 - °’6 Bài tập chương 1 A. Định nghĩa cổ điển về xác suất 1.1 Trong quyển sách "Phân tích kinh tế các dự án" của Herman gồm 200 trang. Tìm xác suất để khi mở hú họa ra một trang thì số trang là bội của 6. 9
1.2 Tại một công ty gồm 80 cán bộ công nhân viên, trong đó có 20 là nữ. Ban giám đốc công ty quyết định giảm biên chế 5 người. Tìm xác suất để : a. Không cán bộ nữ nào bị giảm biên chế. b. Có hai cán bộ nữ bị giảm biên chế. 1.3 Một lô hàng gồm có 40 sản phẩm loại I, 60 sản phẩm loại II, 45 sản phẩm loại III và 5 sản phẩm hỏng. a. Lấy hú họa một sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc loại I hoặc loại II. b. Lấy ngẫu nhiên hai sản phẩm. Tìm xác suất để 2 sản phẩm đó cùrig loại. [ 1.4) Một người viết 3 lá thư cho 3 người bạn khác nhau, sau khi dán lại cẩn tKạn người đó mới đề địa chỉ ra ngoài. Tìm xác suất sao cho có ít nhất hai người nhận nhầm thư của nhau. Một em bé xếp chữ, em có 4 chữ cái A, N, O, H. Tìm xác suất để em đó xếp ngẫu nhiên được chữ OANH. Một người gọi điện thoại nhưng quên mất hai chữ số cuối, người đó chỉ nhớ đó là hai chữ số khác nhau. Tìm xác suất để người đó quay ngẫu nhiên một lần thì được luôn số cần gọi. 1.7 Một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 sản phẩm. Tìm xác suất sao cho trong 3 sản phẩm lấy ra có cả hai loại sản phẩm. 1.8 Một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân. Lấy hú họa ra 3 quân bài. Tìm xác suất sao cho trong 3 quân bài rút ra có: a. Một quân át, một quân 10, một quân 9. b. Cả 3 đều là quân át. c. ít nhất một quân át. 10