Khái niệm thể tích trong sách giáo khoa tiểu học Singapore và Việt Nam: Nhìn từ cách tiếp cận mô hình hóa toán học

HNUE JOURNAL OF SCIENCE<br /> Educational Sciences, 2018, Volume 63, Issue 11, pp. 14-20<br /> This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br /> <br /> DOI: 10.18173/2354-1075.2018-0178<br /> <br /> KHÁI NIỆM THỂ TÍCH TRONG SÁCH GIÁO KHOA TIỂU HỌC SINGAPORE<br /> VÀ VIỆT NAM: NHÌN TỪ CÁCH TIẾP CẬN MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC<br /> <br /> Trần Đức Thuận<br /> Khoa Giáo dục Tiểu học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh<br /> Tóm tắt. Mô hình hóa toán học là một trong những chủ đề được quan tâm nghiên cứu gần đây.<br /> Từ cách tiếp cận mô hình hóa toán học, khái niệm thể tích trong sách giáo khoa tiểu học Việt<br /> Nam và Singapore được phân tích để làm rõ cách thức hình thành biểu tượng về thể tích, cách<br /> thức xây dựng các công thức tính thể tích. Từ đó, bài báo đề xuất khả năng áp dụng một số ý<br /> tưởng của sách giáo khoa Toán tiểu học Singapore vào dạy học tại Việt Nam.<br /> Từ khóa: Mô hình hóa toán học, sách giáo khoa, thể tích, tiểu học.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Trong Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể được Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam ban<br /> hành năm 2017, giáo dục toán học đưa “năng lực mô hình hóa toán học” là một trong những thành tố<br /> cốt lõi của năng lực toán học [1; tr. 15]. Mô hình hóa toán học là một trong những chủ đề được nhiều<br /> nhà nghiên cứu quan tâm trong giai đoạn hiện nay.<br /> Werner Blum đã giới thiệu về khái niệm mô hình hóa toán học, lợi ích của mô hình hóa toán học<br /> trong dạy Toán, vai trò của mô hình hóa toán học trong chương trình và thực tiễn dạy học hàng ngày.<br /> Theo tác giả, dạy học mô hình hóa có ba chướng ngại đến từ quan điểm hướng dẫn và đánh giá, từ<br /> quan điểm của người học, từ quan điểm của giáo viên. Tác giả cũng chỉ ra nguồn tài liệu về dạy học<br /> mô hình hóa toán học khá phong phú và có thể tìm thấy tại nhiều nước như Úc, Hà Lan, Vương quốc<br /> Anh, Mĩ, Đức [2].<br /> Cheah Ui Hock đã tổ chức cho các giáo viên trung học cơ sở đến từ các nước Đông Nam Á thực<br /> hành đo đạc kích thước của các sợi dây, lập bảng thống kê. Từ đó, các giáo viên làm quen với quá<br /> trình mô hình hóa toán học, tìm kiếm mô hình hình học và công thức tính chiều dài của đoạn dây tạo<br /> thành nút thắt đơn giản [3].<br /> Trong nghiên cứu “Vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông”, Trần<br /> Trung đã đưa ra hai bài toán về vị trí chiếc cầu, quĩ đạo nước mưa và cách giải quyết với phần mềm<br /> GeoGebra. Tác giả cũng đã chỉ ra khả năng áp dụng phương pháp mô hình hóa đối với cấp tiểu học và<br /> cấp trung học. Với bốn giai đoạn toán học hóa, giải bài toán, thông hiểu, đối chiếu, mô hình hóa có<br /> một qui trình khép kín: chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đề toán học, hiểu, đánh giá, chọn lọc<br /> và cải tiến cho phù hợp với thực tiễn [4].<br /> Trong bài báo “Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa toán học ở trường phổ thông”, Nguyễn Thị<br /> Nga đã trình bày một số khái niệm liên quan đến mô hình hóa toán học, quá trình mô hình hóa toán học,<br /> <br /> Ngày nhận bài: 22/9/2018. Ngày sửa bài: 22/11/2018. Ngày nhận đăng: 29/11/2018.<br /> Tác giả liên hệ: Trần Đức Thuận. Địa chỉ e-mail: thuantd@hcmue.edu.vn<br /> <br /> 14<br /> <br /> Khái niệm thể tích trong sách giáo khoa tiểu học singaporevà việt nam: nhìn từ cách tiếp cận…<br /> <br /> lợi ích và khó khăn của việc dạy học mô hình hóa toán học, đề cập đến thực trạng dạy học mô hình hóa<br /> toán học ở Việt Nam hiện nay và đề xuất một tình huống sử dụng Cabri dạy học hàm số tuần hoàn<br /> bằng mô hình hóa. Nhiều tác giả nước ngoài tiêu biểu đã được đề cập đến trong bài báo như Pollak<br /> (1970), Blum & Niss (1991), Werner Blum (1993), Lalina Coulange (1997), J. C. Barbosa (2002). Quá<br /> trình mô hình hóa theo Coulange mà tác giả đã sử dụng cũng có bốn bước, trong đó toán học hóa được<br /> chia thành hai bước nhỏ và thông hiểu, đối chiếu được gộp thành một bước [5].<br /> Trần Kiêm Minh đã có “một cách tiếp cận mô hình hóa về dạy học hàm số và đóng góp của công<br /> nghệ” thông qua mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc trong những hệ vật lí trong môi trường phần<br /> mềm Casyopée [6].<br /> Kế thừa kết quả nghiên cứu của Nguyễn Thị Tân An [7] về ba dạng tình huống trong ngữ cảnh<br /> thực tế gồm tình huống mô hình hóa (tương ứng với mô hình toán học), tình huống toán học hóa<br /> (tương ứng với mô hình thực tế), tình huống thực tế, Nguyễn Danh Nam đã đưa ra ba ví dụ minh họa<br /> về các mức độ khác nhau của bài tập mô hình hóa. Đó là một số minh họa cụ thể cho những tình<br /> huống mô hình hóa mà giáo viên có thể khai thác, thiết kế, giúp học sinh vận dụng tri thức toán học<br /> trong giải quyết các vấn đề thực tiễn [8]. Kết quả nghiên cứu của Nguyễn Danh Nam cho thấy “năng<br /> lực mô hình hóa toán học của học sinh phổ thông” còn hạn chế và các bài tập, tình huống mô hình hóa<br /> vấn đề thực tiễn cần được tăng cường [9].<br /> Thể tích là một khái niệm xuất hiện nhiều trong đời sống, toán học và nhiều ngành khoa học khác.<br /> Trong chương trình toán phổ thông hiện hành ở Việt Nam [10], thuật ngữ “thể tích” chỉ xuất hiện<br /> chính thức từ lớp 5, dù một đơn vị đo của thể tích là lít được giới thiệu từ lớp 2. Liên quan đến khái<br /> niệm thể tích, sách giáo khoa trình bày nhiều bài toán mang tính thực tiễn như tính thể tích hòn đá, tính<br /> thể tích bể nước. Từ cách tiếp cận mô hình hóa toán học, bài báo trình bày những kết quả nghiên cứu,<br /> phân tích về khái niệm thể tích trong sách giáo khoa tiểu học môn Toán được sử dụng ở Singapore,<br /> Việt Nam hiện nay và một số kiến nghị liên quan.<br /> <br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> 2.1. Quy trình mô hình hóa toán học<br /> Dẫn theo Nguyễn Danh Nam [9], qui trình mô hình hóa toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu:<br /> - Giai đoạn 1 (toán học hóa): hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết để đơn giản hóa vấn<br /> đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học.<br /> - Giai đoạn 2 (giải bài toán): sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải<br /> quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa.<br /> - Giai đoạn 3 (thông hiểu): hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn<br /> (bài toán ban đầu).<br /> - Giai đoạn 4 (đối chiếu): xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học<br /> cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu<br /> thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng.<br /> Bốn giai đoạn trên tạo thành một qui trình khép kín, gắn kết giữa thế giới thực tiễn với thế giới<br /> toán học và sự đối chiếu trong thế giới thực tiễn sẽ cho phép hợp thức hóa hoặc bác bỏ kết quả đã tìm<br /> được bằng các công cụ toán học.<br /> <br /> 2.2. Thể tích trong sách giáo khoa Toán tiểu học của Singapore và Việt Nam<br /> 2.2.1. Sách giáo khoa Singapore<br /> Khái niệm thể tích chất lỏng và đơn vị lít (l) được giới thiệu tường minh trong sách lớp 2:<br /> Lít có thể được dùng để đo thể tích [11, tr. 125]. Lượng nước trong bình được gọi là thể tích<br /> của nước [11, tr. 126].<br /> 15<br /> <br /> Trần Đức Thuận<br /> <br /> Từ lớp 2, học sinh Singapore được làm quen với khái niệm thể tích chất lỏng, so sánh thể tích<br /> chất lỏng, đo thể tích chất lỏng với đơn vị lít, thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với các<br /> số đo thể tích.<br /> Đơn vị mi-li-lít (ml) được giới thiệu từ lớp 3. Ngoài ra, học sinh lớp 3 Singapore còn được<br /> phân biệt giữa thể tích (volume) và dung tích (capacity) [12; tr. 39]:<br /> <br /> Hình 1. Singapore phân biệt thể tích và dung tích từ lớp 3<br /> Người Singapore sử dụng thể tích nước (volume of water) và dung tích vật chứa (capacity of<br /> a container) mà không đề cập đến thể tích vật chứa (volume of a container) trong sách giáo khoa<br /> tiểu học của tất cả các khối lớp.<br /> Kiến thức mới về thể tích được tiếp tục giới thiệu từ lớp 5. Học sinh được làm quen với các<br /> khối lập phương đơn vị, ghép các khối lập phương đơn vị, làm quen với các đơn vị xăng-ti-mét<br /> khối (cm3), mét khối (m3). Thông qua ví dụ về so sánh quả dưa hấu và quả cam trong tủ lạnh, học<br /> sinh được giới thiệu “thể tích của một khối là lượng không gian mà nó chiếm đóng” [13, tr. 164].<br /> Cam và dưa hấu tượng trưng cho những khối đặc ruột.<br /> <br /> Hình 2. Giới thiệu khái niệm thể tích trong sách Toán 5 Singapore<br /> Từ quan sát những mô hình, đồ vật trong thực tế, học sinh vẽ vào giấy những hình ảnh chỉ có<br /> đường viền gọi là hình lập phương, hình hộp chữ nhật. Ta có thể xem đây là giai đoạn toán học<br /> hóa, học sinh bắt đầu mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học.<br /> Bằng thao tác ghép các khối lập phương đơn vị thành các khối, cụ thể là khối hộp chữ nhật và<br /> khối lập phương, sử dụng phép nhân để tìm nhanh số lượng khối lập phương đơn vị, các công<br /> thức tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối lập phương được hình thành.<br /> Với những công cụ, ngôn ngữ toán học đã thiết lập, trong đó có mối quan hệ giữa đơn vị cm3<br /> với các đơn vị lít, mi-li-lít, học sinh vận dụng tính thể tích, dung tích khi biết kích thước các cạnh [13]<br /> 16<br /> <br /> Khái niệm thể tích trong sách giáo khoa tiểu học singaporevà việt nam: nhìn từ cách tiếp cận…<br /> <br /> hoặc tính kích thước cạnh từ công thức tính diện tích và số đo các cạnh khác [14] (giai đoạn giải<br /> bài toán) để giải quyết nhiều bài toán mang tính thực tiễn (thông hiểu, đối chiếu).<br /> Những hình ảnh minh họa trong giai đoạn hình thành công thức tính thể tích [13; tr. 166-175]<br /> không sử dụng nét đứt, tạo cảm giác các vật thật được sử dụng là những vật kín, đặc ruột. Trong<br /> phần bài tập, những hình ảnh minh họa cho khối kín, đặc đi kèm với từ thể tích (volume), những<br /> hình ảnh minh họa cho vật chứa đi kèm với từ dung tích (capacity), chẳng hạn [14; tr. 108]:<br /> <br /> Hình 3. Hình minh họa và thuật ngữ tương ứng trong sách Toán 5 Singapore<br /> Điều đáng chú ý trong các sách giáo khoa “My Pals are here!” của Singapore là thể tích vật<br /> chứa (volume of a container) không được đề cập, là sự vắng mặt của đơn vị đo đề-xi-mét khối<br /> (dm3) và mối quan hệ giữa các đơn vị đo cm3, dm3, m3. Khái niệm thể tích và các nội dung toán<br /> học liên quan được hình thành từ các mô hình, vấn đề thực tiễn, sau đó vận dụng vào giải quyết<br /> các vấn đề thực tiễn. Sự kết nối giữa thế giới thực tiễn và thế giới toán học liên quan đến khái<br /> niệm thể tích có thể được tạo ra theo qui trình mô hình hóa toán học trong cách thiết kế của sách<br /> giáo khoa Singapore.<br /> 2.2.2. Sách giáo khoa Việt Nam hiện hành<br /> Trong bộ sách giáo khoa Việt Nam hiện hành, đơn vị lít được giới thiệu từ lớp 2 [15; tr. 41].<br /> Học sinh được làm quen với lít (l) - đơn vị đo dung tích (sức chứa), so sánh “sức chứa” của các<br /> vật, thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với các số đo mang đơn vị lít. Thuật ngữ “dung<br /> tích” chỉ ẩn tàng, không xuất hiện tường minh trong các sách giáo khoa Toán tiểu học Việt Nam,<br /> dù sách giáo viên Toán lớp 2 chỉ lưu ý “chưa cho học sinh dùng thuật ngữ “dung tích” ở lớp 2”<br /> [16; tr. 86-87]. Đây là điểm khác biệt đầu tiên có thể nhận thấy khi so sánh sách giáo khoa Việt<br /> Nam với sách giáo khoa Singapore. Những điểm khác biệt tiếp theo có thể nhận thấy là cách hình<br /> thành biểu tượng về thể tích và các công thức tính thể tích.<br /> Sách Toán 5 Việt Nam giới thiệu “thể tích” qua ví dụ 1 [17; tr. 114], so sánh thể tích hình lập<br /> phương và thể tích hình hộp chữ nhật:<br /> <br /> Hình 4. Giới thiệu khái niệm thể tích trong sách Toán 5 Việt Nam<br /> Với hình lập phương và hình hộp chữ nhật là những đối tượng hình học (trong thế giới toán học),<br /> người học có thể xác định được hình nào có thể tích bé hơn bằng kĩ thuật so sánh trực tiếp.<br /> 17<br /> <br /> Trần Đức Thuận<br /> <br /> Tuy nhiên, nếu giáo viên lựa chọn minh họa ví dụ 1 với những mô hình trong thế giới thực tiễn có<br /> độ dày biên đáng kể thì giáo viên sẽ cần lưu ý về loại thể tích được so sánh. Phân tích chi tiết hơn<br /> về trường hợp mô hình có độ dày biên đáng kể sẽ được trình bày trong phần sau.<br /> Ở ví dụ 2 [17; tr. 114], học sinh so sánh thể tích các hình khối bằng kĩ thuật so sánh gián tiếp,<br /> đưa vấn đề so sánh thể tích của hai khối về so sánh số lượng khối lập phương như nhau tạo thành<br /> mỗi hình khối. Tính chất cộng tính của thể tích được giới thiệu qua ví dụ 3 [17; tr. 114].<br /> Sách giáo khoa Việt Nam lần lượt giới thiệu các đơn vị đo thể tích xăng-ti-mét khối (cm3),<br /> đề-xi-mét khối (dm3), mét khối (m3) là thể tích của hình lập phương có cạnh dài 1 cm, 1 dm, 1 m.<br /> Mối quan hệ giữa các đơn vị đo thể tích cm3, dm3, m3 được lập dựa vào quan sát trên hình vẽ có<br /> nét đứt. [17; tr. 116-117]<br /> Hình vẽ có nét đứt tiếp tục xuất hiện trong bài “Thể tích hình hộp chữ nhật” [17; tr. 120]:<br /> Để tính thể tích hình hộp chữ nhật trên đây bằng xăng-ti-mét khối ta cần tìm số hình lập<br /> phương 1 cm3 xếp vào đầy hộp [...]<br /> Sau khi xếp 10 lớp hình lập phương 1 cm3 thì vừa đầy hộp.<br /> Thuật ngữ “thể tích hình hộp chữ nhật”, động từ “xếp” [17; tr. 120] và bộ hộp chứa bằng<br /> nhựa có dạng hình hộp chữ nhật với những khối lập phương bằng nhựa trong lòng (trong bộ thiết<br /> bị dạy Toán 5 của Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam) có thể tạo điều kiện thuận lợi cho sự hình<br /> thành biểu tượng thể tích hình hộp chữ nhật gắn với phần lòng hộp, không tính phần thành nhựa.<br /> Với biểu tượng về thể tích, bảng đơn vị đo thể tích và các công thức tính thể tích đã được<br /> toán học hóa, học sinh Việt Nam có thể giải bài toán về thể tích bằng các công cụ và ngôn ngữ<br /> toán học. Sách Toán 5 Việt Nam cũng có những bài toán mang tính thực tiễn như tính thể tích hòn<br /> đá [17; tr. 121], thể tích bể cá [17; tr. 128], thể tích bể nước, tìm thời gian cần thiết để bể đầy nước<br /> [17, tr. 168], tạo cơ hội cho học sinh thông hiểu lời giải bài toán và có thể đối chiếu kết quả với<br /> thực tiễn.<br /> Phần phân tích liên quan đến độ dày thành vật chứa dưới đây có thể cho chúng ta thấy mô<br /> hình toán học được các giả sách giáo khoa lựa chọn trong giai đoạn toán học hóa để giải bài toán<br /> thực tiễn về thể tích.<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> Hình 5. Mô hình mặt cắt bể nước<br /> Trong các hình trên, phần gạch chéo chỉ phần rỗng có thể chứa nước và phần tô màu chỉ phần<br /> thành bể (không thể chứa nước).<br /> Mô hình hóa bể nước bởi hình A, ta kí hiệu V0(A) là thể tích phần có thể chứa nước (thể tích<br /> trong lòng bể) và V1(A) là thể tích phần thành bể, V2(A) là tổng thể tích của hai phần:<br /> V2(A) = V0(A) + V1(A). Trong mô hình A, thành bể đáng kể (V1(A)  0) và bể có thể chứa nước<br /> (V0(A)  0). Như vậy, trong trường hợp này có ba loại thể tích: V0(C) là thể tích phần lòng bể<br /> chứa nước (sức chứa của bể, dung tích của bể), V1(C) là thể tích phần thành bể và V2(C) là tổng<br /> thể tích của cả hai phần V0(C) và V1(C).<br /> Tương tự, mô hình hóa bể nước bởi hình B không có phần rỗng, không có khả năng chứa<br /> đựng thì V0(B) = 0. Khi đó: V2(B) = V1(B), tính bởi các kích thước mặt ngoài bể. Mô hình B<br /> không phù hợp với các bài toán về bể nước do không có khả năng chứa nước.<br /> 18<br /> <br />