Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về các radical của các PI-đại số

BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> KHOA TOÁN<br /> <br /> <br /> NINH QUANG THẮNG<br /> <br /> VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ<br /> <br /> LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC<br /> CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ<br /> MÀ SỐ 1.01.03<br /> <br /> THÁNG 02 NĂM 1998<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> KHOA TOÁN<br /> <br /> <br /> NINH QUANG THẮNG<br /> <br /> VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ<br /> <br /> LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC<br /> CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ<br /> MÃ SỐ 1.01.03<br /> <br /> NGƢỜI HƢỚNG DẪN:<br /> PGS.PTS BÙI TƢỜNG TRÍ<br /> <br /> THÁNG 02 NĂM 1998<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> <br /> Ngƣời ta thƣờng xét các đại số trên một vành kèm thêm các điều kiện nào đó.<br /> Các điều kiện này thƣờng đƣợc thể hiện bởi các "hệ thức" và đòi hỏi chúng luôn<br /> luôn đúng. Chẳng hạn:<br /> Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = 0 ∀a,b ∈ A đƣợc gọi là đại số<br /> giao hoán.<br /> Đại số A thỏa mãn các hệ thức a 2 = a<br /> <br /> ∀a∈ A đƣợc gọi là đại số Boolean.<br /> <br /> Đại số A thỏa mãn các hệ thức ab + ba = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 ∀a,b, c<br /> ∈ A đƣợc gọi là đại số Lie…..<br /> Trong luận án này, ta trình bày khái niệm các đồng nhất thức (Identity) trên<br /> các đại số và xét đến các PI- đại số xem nhƣ các đại số thỏa mãn đồng nhất thức nào<br /> đó.<br /> Khi xét đến các PI đại số, vấn đề đƣợc quan tâm chủ yếu trong luận án nàv là<br /> các radical. Chúng ta không chỉ xét đến các radical Tacobson mà còn định nghĩa và<br /> xem xét các lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical của các Pl-đại<br /> số.<br /> Với định nghĩa về các PI đại số thì các đại số giao hoán chẳng qua là Pl-đại số<br /> với một đồng nhất thức cụ thể. Các kết quả trên các đại số giao hoán là phong phú và<br /> dễ nhận biết, cho nên cách tiếp cận nhằm đạt đƣợc những kết quả cho một PI đại số<br /> tổng quát là bắt đầu với đại số giao hoán để rồi từ đó tiến hành tổng quát hóa.<br /> <br /> Vì PI đại số đƣợc xem nhƣ đại số thỏa mãn một đồng nhất thức, cho nên các kết quả<br /> về các radical của nó không chỉ từ lý thuyết về các đại số mà còn phải từ việc nghiên cứu các<br /> tính chất của các đồng nhất thức. Việc xét kỹ các tính chất cùa các đồng nhất thức trên các PI<br /> đại số cho thấy rằng có thể tiến hành "đa tuyến tính hóa" chúng, đƣa về việc xét các đồng<br /> nhất thức chuẩn tắc.<br /> Sự kết hợp giữa lý thuyết về các đại số với các kết quả về các đồng nhất thức trên các<br /> Pl-đại số cũng nhƣ việc xét chi tiết một số PI- đại số cụ thể nhƣ : đại số các ma trận vuông<br /> trêu một vành, đại số các đa thức một biến trên vành giao hoán . . . .v.v đã dẫn đến các kết<br /> quả trình bày trong bản luận án này.<br /> Luận án đƣợc chia thành hai phần:<br /> Phần I: Trình bày các kiến thức căn bản. Ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal<br /> và modun đƣợc dùng đến ƣong phần II, chúng tôi còn trình bày về các đồng nhất thức<br /> (identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc. Một số định lý quan trọng nhƣ định lý về trù<br /> mật đƣợc trình bày mà không chứng minh. Các phép chứng minh đó có thể tìm thấy trong<br /> [1].<br /> Phần II: Trong phần này, để xem xét các radical của các Pl-đại số, chúng tôi trình<br /> bày theo tuần tự nhƣ sau:<br /> A. Các radical của một đại số.<br /> B. Các PI-dại số.<br /> C. Các radical của đại số giao hoán. Với khái niệm các PI-đại số thì đại số<br /> giao hoán chỉ là một trƣờng hợp riêng. Vì vậy việc xem xét các radical của các PI đại số đƣợc<br /> bắt đầu với việc xét trƣờng hợp riêng này. Kết quả đƣợc chúng tối lƣu tâm tới để tiến hành<br /> tổng quát hóa là việc lower nil radical, Levitzki lùi radical và upper nil radicaỉ của các đại số<br /> giao hoán là trùng nhau<br /> <br /> D. Định lý Kaplansky-Amittsur-Levitzki. Việc sử dụng định lý KaplanskyAmitsur-Levitzki sẽ cho phép "đa tuyến tính hóa " các đồng nhất thức của các PI đại số. Đây<br /> là một trong những phƣơng pháp đƣợc chúng tôi dùng tới trong việc tổng quát hóa các kết<br /> quá vẻ các radical của đại số giao hoán cho các PI đại số bất kỳ.<br /> <br /> E. Các Pl-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. Việc xét các radical<br /> của các PI đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh không chỉ là sự tổng quát hóa một<br /> bƣớc những kết quả đã đạt đƣợc về các radical của các đại số giao hoán mà còn là công cụ để<br /> <br /> tiếp tục tổng quát hóa.<br /> <br /> F. Các radical của các PI-đại số. Dựa trên tất cả các kết quả có đƣợc trong các phần<br /> trên, cuối cùng chúng ta chứng minh đƣợc rằng trong một PI-đại số bầt kỳ thì lower nil<br /> <br /> radical, Levitzki nil radical và upper nil radical là trùng nhau. Tuy nhiên chúng không luôn<br /> trùng với radical Jacobson. Ta có những phản ví dụ cho thấy điều trên. Bản luận văn còn cố<br /> gắng trình bày một số trƣờng hợp về các PI-đại số trong đó tất cả các radical của chúng là<br /> <br /> trùng nhau.<br /> <br />