Luận văn: Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST

Báo xấu

95
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact nghiên cứu bài toán phân loại các đa tạp phức dựa trên nhóm các tự đẳng cấu của chúng. Luận văn gồm 3 chương: Ch1: Đặc trưng của miền trong C^n Ch2: Đặc trưng của miền lồi tuyến tính trong C^n Ch3: Giả thuyết Greene-Krantz.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi ------------------------------------- Ninh V¨n Thu §a t¹p phøc víi nhãm c¸c tù ®¼ng cÊu kh«ng compact LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Hµ Néi - 2010
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi ---------------- ----------------- Ninh V¨n Thu §a t¹p phøc víi nhãm c¸c tù ®¼ng cÊu kh«ng compact Chuyªn ngµnh: H×nh häc vµ T«p« M· sè: 62.46.10.01 LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: GS.TSKH §ç §øc Th¸i Hµ Néi - 2010
1 L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nh ng k t qu đư c trình bày trong lu n án là m i, đã đư c công b trên các t p chí Toán h c trong và ngoài nư c. Các k t qu vi t chung v i GS. TSKH Đ Đ c Thái và GS. TSKH Fran¸ois c Berteloot đã đư c s đ ng ý c a các đ ng tác gi khi đưa vào lu n án. Các k t qu nêu trong lu n án là trung th c và chưa t ng đư c ai công b trong b t kỳ công trình nào khác. Nghiên c u sinh: Ninh Văn Thu
2 L I C M ƠN Lu n án đư c hoàn thành dư i s quan tâm và hư ng d n t n tình c a GS.TSKH Đ Đ c Thái. Nhân d p này, tôi xin đư c g i t i th y l i c m ơn chân thành và sâu s c nh t. Tôi cũng xin đư c bày t lòng bi t ơn đ n GS.TSKH Nguy n Văn Khuê và PGS.TS Nguy n Đình Sang, nh ng ngư i đã b công s c đ c b n th o và cho tôi nhi u ý ki n ch nh s a quý báu đ tôi có th hoàn thành t t hơn b n lu n án này. Tôi xin đư c cám ơn chương trình Formath Vi t Nam, Labo Emile Picard - Trư ng Đ i h c Paul Sabatier (Toulouse - CH Pháp) và GS.TSKH Fran¸ois Berteloot đã giúp đ tôi th c t p t i Labo trong c th i gian làm lu n án. Tôi xin đư c bày t lòng c m ơn đ n Ban ch nhi m Khoa Toán - Tin, Phòng Sau đ i h c và Ban Giám hi u c a Trư ng ĐHSP Hà N i đã t o m i đi u ki n thu n l i đ tôi có th hoàn thành lu n án c a mình Cu i cùng, tôi cũng xin đư c bày t lòng bi t ơn đ n các th y cô trong Khoa Toán-Tin thu c Trư ng ĐHSP Hà N i, Khoa Toán- Cơ- Tin h c thu c Trư ng ĐHKHTN - ĐHQGHN, Trư ng THPT H i H u B, các thành viên c a Seminar Hình h c ph c thu c Khoa Toán - Tin và Seminar Các phương pháp trong gi i tích thu c Khoa Toán - Cơ - Tin h c, cùng các b n đ ng nghi p v s đ ng viên khích l cũng như nh ng trao đ i h u ích trong su t quá trình h c t p và công tác. Nghiên c u sinh: Ninh Văn Thu
3 Môc lôc Lêi cam ®oan……………………………………………………………………..1 Lêi c¶m ¬n………………………………………………………………………..2 Môc lôc…………………………………………………………………………...3 Danh môc c¸c ký hiÖu……………………………………………………………5 Më ®Çu……………………………………………………………………………………….6 n Ch−¬ng 1: §Æc tr−ng cña miÒn trong C bëi nhãm tù ®¼ng cÊu kh«ng compact………………………………………………….17 1.1 Mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ bæ trî………………………………………...18 1.2 ¦íc l−îng metric Kobayashi ………………………………………………25 1.2.1 HÖ täa ®é ®Æc biÖt vµ c¸c ®a ®Üa………………………………………25 1.2.2 Co gi·n c¸c täa ®é…………………………………………………….34 1.2.3 ¦íc l−îng metric Kobayashi…………………………………………41 1.2.4 TÝnh chuÈn t¾c cña hä c¸c ¸nh x¹ chØnh h×nh………………………...44 n 1.3 Sù tån t¹i m« h×nh thuÇn nhÊt cña miÒn trong C …………………….......46 n Ch−¬ng 2: §Æc tr−ng cña miÒn låi tuyÕn tÝnh trong C bëi nhãm tù ®¼ng cÊu kh«ng compact……………................59 2.1 HÖ täa ®é vµ ®a ®Üa cña M. Conrad………………………………….. …..60
4 2.2 Scaling miÒn Ω ∩ U …………………………………………………....66 2.3 TÝnh chuÈn t¾c cña hä c¸c ¸nh x¹ scaling…………………………….....69 Ch−¬ng 3: Gi¶ thuyÕt Greene-Krantz ………………………………....74 3.1 Mét sè kÕt qu¶ xung quanh gi¶ thuyÕt Greene-Krantz ……………….....74 3.2 Sù tån t¹i ®iÓm tô quü ®¹o parabolic………………………………. ..…..77 KÕt luËn Vµ kiÕn nghÞ ...........................................................................79 Danh môc C¸c c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ Liªn quan ®Õn luËn ¸n.............................................................................................................91 tµi liÖu tham kh¶o .................................................................................92
5 DANH M C CÁC KÝ HI U • Aut(Ω): nhóm t đ ng c u c a mi n Ω. • C k (Ω): không gian các hàm kh vi liên t c đ n c p k trên Ω. • H(ω, Ω) (ho c Hol(ω, Ω)): t p các ánh x ch nh hình t ω vào Ω. • P2m : không gian t t c các đa th c giá tr th c xác đ nh trên C v i b c ≤ 2m và không ch a b t kì h ng t đi u hòa. • H2m : không gian t t c các đa th c, giá tr th c, thu n nh t, đi u hòa dư i trên C v i b c 2m. • MQ = {z ∈ Cn : Re zn + Q(z1 ) + |z2 |2 + · · · + |zn−1 |2 < 0} v i Q ∈ P2m . • Ω1 Ω2 v i nghĩa: Ω1 và Ω2 là song ch nh hình. •a b có nghĩa là t n t i h ng s C > 0, đ c l p v i các tham s (thư ng là q và tham s th c ) sao cho a ≤ Cb. • a ≈ b có nghĩa là t n t i h ng s C1 , C2 > 0, đ c l p v i các tham s (thư ng là q và tham s th c ) sao cho C1 b ≤ a ≤ C2 b. • τ (∂ Ω, p): ki u c a biên ∂ Ω t i đi m biên p ∈ ∂ Ω. • Tp (M ): không gian ti p xúc ph c c a đa t p ph c M t i p. C • ∆r = Dr = {z ∈ C : |z | < r}. • KΩ : gi metric Royden-Kobayashi trên mi n Ω.
M ĐU 1. Lý do ch n đ tài Gi s M là m t đa t p ph c. Nhóm t đ ng c u c a M (ký hi u b i Aut(M )) là t p h p các song ch nh hình c a M v i phép toán hai ngôi là h p thành c a hai t đ ng c u. Tôpô trên Aut(M ) là tôpô h i t đ u trên các t p con compact (t c là tôpô compact-m ). Theo quan đi m c a F. Klein, hình h c c a m i m t l p đ i tư ng là hình h c c a nhóm bi n đ i. Ch ng h n Hình h c Euclid là hình h c c a nhóm các phép bi n đ i đ ng c , Hình h c Affine là hình h c c a nhóm bi n đ i Affine. Vì th , hình h c c a các đa t p ph c cũng có th xem như hình h c c a nhóm các t đ ng c u c a đa t p ph c. Có hai bài toán cơ b n khi nghiên c u hình h c c a các đa t p ph c: Bài toán 1. Tìm các tính ch t hình h c b t bi n qua nhóm các t đ ng c u. Bài toán 2. Phân lo i các đa t p ph c d a trên nhóm các t đ ng c u c a chúng. Lu n án t p trung nghiên c u Bài toán 2. C th hơn, chúng tôi nghiên c u m i quan h gi a hình h c c a mi n trong Cn và c u trúc c a nhóm 6
7 t đ ng c u c a nó, t c là xét xem mi n đư c xác đ nh b i nhóm t đ ng c u đ n m c đ nào. N u Ω là m t mi n b ch n trong Cn thì Aut(Ω) là m t nhóm Lie th c. T ng quát hơn, S. Kobayashi [25] đã ch ng minh r ng: n u Ω là hyperbolic thì chi u c a nhóm Lie th c Aut(Ω) không vư t quá n2 + 2n. Hơn n a, n u nhóm này có chi u dương th c s thì nó không th là nhóm Lie ph c. M t câu h i hoàn toàn t nhiên đư c đ t ra là: nhóm Lie th c nào có th xem như nhóm t đ ng c u c a m t đa t p ph c? Năm 2004 J. Winkelmann [38] đã ch ra r ng cho trư c m t nhóm Lie Cn th c compact K thì luôn luôn t n t i mi n b ch n gi l i ch t Ω sao cho Aut(Ω) đ ng c u v i K . Như v y, bài toán phân lo i các mi n v i nhóm t đ ng c u compact đã đư c gi i quy t khá tr n v n. Đ i v i trư ng h p nhóm t đ ng c u không compact, các nhà toán h c đã phân lo i thành công các mi n b ch n trong Cn . Còn đ i v i trư ng h p mi n không b ch n trong Cn , bài toán phân lo i m i ch đư c gi i quy t trong m t s trư ng h p đ c bi t. Ti p t c lu ng nghiên c u trên, chúng tôi ch n đ tài lu n án là: "Đa t p ph c v i nhóm các t đ ng c u không compact". 2. M c đích nghiên c u M c đích c a lu n án là nghiên c u bài toán phân lo i các mi n không b ch n trong Cn v i nhóm t đ ng c u không compact. Ngoài ra, lu n án còn nghiên c u tính ch t hình h c đ a phương c a đi m biên t qu đ o.
8 3. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u Như đã trình bày ph n lý do ch n đ tài, đ i tư ng nghiên c u c a lu n án là các đa t p ph c, c th là các mi n trong Cn . Trong lu n án, tư tư ng chính xuyên su t là xét xem v i đi u ki n nào c a mi n thì t tính ch t đ a phương suy ra tính ch t toàn c c. Đi u đó cho phép chúng tôi phân lo i đư c m t s l p mi n không b ch n trong Cn nh tính không compact c a nhóm t đ ng c u c a nó. 4. Phương pháp nghiên c u Đ gi i quy t nh ng v n đ đ t ra trong lu n án, chúng tôi s d ng các phương pháp nghiên c u và kĩ thu t truy n th ng c a Hình h c ph c, Gi i tích ph c, đ c bi t là kĩ thu t scaling c a S. Pinchuk, đ ng th i chúng tôi cũng sáng t o ra nh ng kĩ thu t m i. 5. Các k t qu đ t đư c và ý nghĩa c a đ tài Lu n án g m ba chương. Chương I trình bày v đ c trưng c a mi n trong Cn b i nhóm t đ ng c u không compact. Trư c h t, ta nh c l i m t k t qu c đi n c a H. Cartan: n u Ω là m t mi n b ch n trong Cn và nhóm t đ ng c u Aut(Ω) không compact thì t n t i các đi m x ∈ Ω, p∞ ∈ ∂ Ω và dãy các t đ ng c u ϕj ∈ Aut(Ω) sao cho lim ϕj (x) = p∞ . Trong trư ng h p này, ta g i đi m biên p∞ là đi m biên t qu đ o. Các công trình trong hơn 20 năm qua đã ch ra r ng tính ch t hình h c đ a phương c a đi m biên t qu đ o cho ta thông tin toàn c c v
9 mi n. Ch ng h n, B. Wong và J. P. Rosay [39], [42] đã ch ng minh đ nh lý đ c trưng cho hình c u đơn v trong Cn . Cn có biên trơn l p C 2 , Đ nh lý 1 (Wong-Rosay). Mi n b t kì Ω gi l i ch t và có nhóm t đ ng c u không compact đ u song ch nh hình v i hình c u đơn v trong Cn . Bây gi ta nh c l i khái ni m ki u h u h n theo nghĩa J. P. D’Angelo. Gi s Ω ⊂ Cn là m t mi n v i biên nh n và cho đi m biên p ∈ ∂ Ω. Khi đó, ki u τ (∂ Ω, p) c a ∂ Ω t i p đư c đ nh nghĩa b i ν (ρ ◦ F ) τ (∂ Ω, p) = sup , ν (F ) F trong đó ρ là m t hàm xác đ nh biên c a mi n Ω trong lân c n c a p, supremum đư c l y trên t t c các ánh x ch nh hình F xác đ nh trong m t lân c n c a 0 ∈ C vào Cn sao cho F (0) = p và ν (F ) là c p tri t tiêu c a hàm F t i g c t a đ trong C. Biên ∂ Ω đư c g i là có ki u h u h n t i p n u τ (∂ Ω, p) < ∞. Mi n Ω đư c g i là mi n có ki u h u h n n u ∂ Ω có ki u h u h n t i m i đi m biên. Ch ng h n biên c a Ellipsoid Em = {(z, w) : |z 2 | + |w|2m < 1}, m ∈ N∗ có ki u 2m t i đi m biên (1, 0). B ng cách s d ng kĩ thu t scaling c a S. Pinchuk, năm 1991 E. Bedford và S. Pinchuk [4] đã ch ng minh đ nh lý sau đây v đ c trưng cho các ellipsoid ph c. Đ nh lý 2 (Bedford-Pinchuk). Gi s Ω ⊂ Cn là m t mi n b ch n v i biên nh n, gi l i và có ki u h u h n. Gi s r ng h ng c a d ng Levi ít nh t b ng n − 2 t i m i đi m biên c a mi n Ω. Khi đó, n u Aut(Ω)
10 là không compact thì Ω song ch nh hình v i mi n Em = {(z1 , · · · , zn ) ∈ Cn : |z1 |2 + |z2 |2m + |z3 |2 + · · · + |zn |2 < 1}, v i s nguyên m ≥ 1 nào đó. Cách ti p c n c a Bedford-Pinchuk đư c chia thành hai bư c. Trong bư c đ u h s d ng kĩ thu t scaling đ ch ra r ng mi n Ω song ch nh hình v i mi n D cho b i D = {z = (z1 , z ) ∈ Cn : Re z1 + Q(z , z ) < 0}, ¯ trong đó Q là m t đa th c. Trên mi n D t n t i trư ng véctơ ch nh hình không t m thư ng. bư c th hai, trư ng véctơ này đư c kéo lùi v mi n Ω. Sau đó, h phân tích trư ng véctơ này t i đi m parabolic c đ nh đ k t lu n r ng mi n Ω song ch nh hình v i Ellipsoid Em . L ch s phát tri n c a vi c nghiên c u nhóm t đ ng c u c a các đa t p ph c có th chia thành hai giai đo n. Giai đo n đ u: t cu i th k 19 cho đ n cu i th p niên 70 c a th k trư c b i các công trình c a H. Poincaré, H. Cartan, S. Kobayashi, ... K t qu ch y u trong giai đo n này là đã ch ra nh ng tính ch t tôpô quan tr ng c a nhóm các t đ ng c u c a đa t p ph c. Giai đo n th hai hình thành và phát tri n t th p niên 80 c a th k trư c m đ u b i các công trình c a E. Bedford và S. Pinchuk. Sau này, phương pháp c a E. Bedford và S. Pinchuk đư c m r ng và phát tri n b i các nhà toán h c như: S. Krantz, A. Kodama, F. Berteloot, K. T. Kim, H. Gaussier... Phương pháp đư c s d ng ch y u là phương pháp scaling c a Pinchuk. Thành công chính c a giai đo n này là các tác gi đã phân lo i đư c các mi n b ch n ki u h u h n trong
11 Cn . Tuy nhiên, nhi u kĩ thu t c a E. Bedford và S. Pinchuk không áp d ng đư c cho các mi n không b ch n. Vì th , bài toán đ i v i các mi n không b ch n đòi h i ph i có cách ti p c n khác. Trong kho ng 20 năm qua, nhi u nhà toán h c đã c g ng đưa ra nh ng cách ti p c n m i và vì v y v n đ đã đư c gi i quy t trong m t s trư ng h p riêng. Ch ng h n, trong C2 , năm 1994 F. Berteloot [8] đã m r ng đư c Đ nh lý 2 cho các mi n (không nh t thi t b ch n). Đ nh lý 3 (F. Berteloot). Gi s Ω là m t mi n trong C2 và cho đi m biên p∞ ∈ ∂ Ω. Gi s r ng t n t i dãy {ϕp } ⊂ Aut(Ω) và m t đi m a ∈ Ω sao cho lim ϕp (a) = p∞ . N u ∂ Ω nh n, gi l i và có ki u h u h n trong lân c n nào đó c a đi m p∞ thì Ω song ch nh hình v i mi n D = {(w, z ) ∈ C2 : Re w + H (z, z ) < 0}, ¯ trong đó H là m t đa th c thu n nh t đa đi u hòa dư i trên C v i b c 2m (τ (∂ Ω, p∞ ) = 2m). Cũng c n ph i nh n m nh r ng nhi u kĩ thu t c a F. Berteloot r t khó áp d ng cho các mi n không b ch n trong Cn v i n ≥ 3. K t qu chính th nh t c a lu n án (Đ nh lý 1.3.2) ch ra r ng Đ nh lý 3 đúng cho các mi n (không nh t thi t b ch n) trong Cn . Nghĩa là, chúng tôi ch ng minh r ng n u mi n v i biên ∂ Ω nh n, gi l i, có ki u h u h n trong m t lân c n nào đó c a đi m t qu đ o p∞ ∈ ∂ Ω và h ng c a d ng Levi ít nh t b ng n − 2 t i p∞ thì Ω song ch nh hình v i mi n d ng
12 sau đây: MH = {(w1 , · · · , wn ) ∈ Cn : Re wn +H (w1 , w1 )+|w2 |2 +· · ·+|wn−1 |2 < 0}, ¯ trong đó H là m t đa th c thu n nh t đi u hòa dư i trên C. K t qu này là m t m r ng th c s các k t qu c a Bedford-Pinchuk và F. Berteloot. Đ ch ng minh k t qu trên, chúng tôi s d ng h t a đ đư c xây d ng b i S. Cho [13] thay cho h t a đ đư c xây d ng b i D. Catlin [11] mà F. Berteloot đã s d ng đ ch ng minh Đ nh lý 3. Bên c nh vi c s d ng nh ng ý tư ng và kĩ thu t c a các tác gi trư c chúng tôi cũng đã đ xu t nh ng ý tư ng và kĩ thu t m i nh m vư t qua các tr ng i khi chuy n t mi n b ch n sang mi n không b ch n, t mi n trong C2 lên mi n trong Cn và t vi c x lý các đa th c m t bi n sang đa th c nhi u bi n. Chương II dành cho vi c nghiên c u bài toán phân lo i các mi n l i tuy n tính trong Cn . Đ i v i các mi n l i trong Cn , b ng cách áp d ng kĩ thu t scaling và cách xây đ ng đa đĩa c a McNeal [28], [29], năm 1997 H. Gaussier [16] đã ch ng minh k t qu sau đây. Đ nh lý 4 (H. Gaussier). Gi s Ω là m t mi n trong Cn và p∞ ∈ ∂ Ω là m t đi m biên. Gi s r ng p∞ là đi m t qu đ o c a mi n Ω. Khi đó, n u biên ∂ Ω là nh n, l i trong m t lân c n c a p∞ và có ki u 2m t i p∞ thì Ω song ch nh hình v i mi n sau đây. D = {(z1 , z ) ∈ Cn : Re z1 + P (z ) < 0}, trong đó P là m t đa th c l i không suy bi n v i b c ≤ 2m. Tính không suy bi n c a P đư c cho b i đi u ki n: t p {P = 0} không
13 ch a b t kì t p con gi i tích th c s . Chúng tôi mu n nh n m nh r ng gi thi t v tính l i c a mi n trong đ nh lý trên là r t quan tr ng trong ch ng minh c a H. Gaussier. B i v y, có m t câu h i t nhiên r ng li u Đ nh lý 4 còn đúng cho mi n b t kì Cn hay không? K t qu chính th hai c a lu n án (Đ nh lý 2.3.2) ch ra r ng Đ nh lý 4 v n còn đúng đ i v i các mi n l i tuy n tính không nh t thi t b ch n trong Cn . đây mi n Ω đư c g i là l i tuy n tính đ a phương t i p∞ ∈ ∂ Ω n u t n t i m t l n c n U c a p∞ sao cho (z + TzC (∂ Ω)) ∩ (Ω ∩ U ) = ∅ v i m i z ∈ ∂Ω ∩ U . Chương III dành cho vi c gi i thi u v gi thuy t Greene-Krantz và nghiên c u tính ch t hình h c c a đi m biên t qu đ o. Năm 1993 R. E. Greene và S. G. Krantz [18] đã đưa ra gi thuy t n i ti ng sau đây. Cn là m t mi n b ch n v i Gi thuy t Greene-Krantz. Gi s Ω biên nh n và nhóm t đ ng c u Aut(Ω) không compact. Khi đó, m i đi m biên t qu đ o đ u có ki u h u h n. Cho đ n nay gi thuy t này v n còn là m t câu h i m . Bây gi ta s phân tích nguyên nhân thành công c a E. Bedford, S. Pinchuk và F. trên. H đã ch ra r ng n u p là đi m Berteloot mà ta đã gi i thi u biên ki u h u h n thì mi n song ch nh hình v i mi n d ng sau đây: MP = {(z1 , z ) ∈ Cn : Re z1 + P (z , z ) < 0}, ¯ trong đó P là m t đa th c thu n nh t c a các bi n z và z . M i m t mi n ¯ d ng MP đư c g i là m t mô hình c a Ω t i p. Đ ch ng minh đi u này,
14 trư c tiên h áp d ng phương pháp scaling đ ch ra r ng nhóm Aut(Ω) ch a m t nhóm con parabolic, t c là: t n t i m t đi m p∞ ∈ ∂ Ω và m t nhóm con m t tham s {ht }t∈R ⊂ Aut(Ω) sao cho lim ht (z ) = p∞ , (1) t→±∞ v i m i z ∈ Ω. M i m t đi m biên th a mãn (1) đư c g i là đi m biên parabolic c a mi n Ω. Sau đó h ti n hành phân tích trư ng véctơ H sinh b i nhóm con m t tham s {ht }t∈R đ ch ra r ng mi n Ω song ch nh hình v i m t mô hình mong mu n. Nh ng đi u này g i chúng ta đưa ra đ nh nghĩa sau đây: Gi s Ω là m t mi n trong Cn . M t đi m biên p ∈ ∂ Ω đư c g i là đi m biên t qu đ o parabolic n u t n t i m t nhóm con m t tham s {ψt ∈ Aut(Ω), −∞ < t < ∞} sao cho lim ψt (x0 ) = p t→±∞ v i m i đi m x0 ∈ Ω. Gi s Ω ⊂ Cn là m t mi n b ch n v i biên nh n. Ta nói r ng Ω th a mãn đi u ki n Bell (R) n u phép chi u Bergman P : C ∞ (Ω) → C ∞ (Ω) ¯ ¯ có th thác tri n thành ánh x C ∞ (Ω) → C ∞ (Ω). Năm 2006 K. T. Kim và S. Krantz [24] đã ch ng minh đ nh lý sau đây: Đ nh lý 5 (Kim-Krantz). Gi s Ω ⊂ C2 là m t mi n v i biên nh n, gi l i và th a mãn đi u ki n Bell (R). Gi s r ng biên ∂ Ω không ch a b t kì t p con gi i tích không t m thư ng. Khi đó, m i đi m biên t qu đ o parabolic đ u có ki u h u h n.
15 Chú ý r ng đ nh lý này ch ng minh gi thuy t Greene-Krantz cho trư ng h p đ c bi t. Nhưng đáng ti c r ng ch ng minh c a h không chính xác. Th t v y, chúng ta có th th y đi u đó qua phân tích dư i đây. Gi s p∞ ∈ ∂ Ω là m t đi m biên t qu đ o parabolic ki u vô h n. Ch n m t h t a đ ch nh hình đ a phương t i p∞ sao cho p∞ tr thành đi m g c và hàm xác đ nh đ a phương c a Ω trong lân c n c a g c t a đ có d ng ρ(z ) = Re z1 + Ψ(z2 , Im z1 ). Khi đó, K. T. Kim và S. Krantz ch ra r ng Ψ tri t tiêu c p vô h n theo c hai bi n t i g c. Nhưng đi u này nói chung không chính xác. Ch ng 2 h n hàm Ψ(z2 , Im z1 ) = e−1/|z2 | + |z2 |4 .| Im z1 |2 ch tri t tiêu c p 2 theo bi n z1 t i g c t a đ . Trong chương cu i, chúng tôi ch ra r ng đ nh lý trên đúng cho nh ng mi n v i hàm xác đ nh biên d ng ρ = Re z1 + P (z2 ) + |z2 |4 | Im z1 |2 Q(z2 , Im z1 ), trong đó P (z2 ) là hàm dương, nh n và tri t tiêu c p vô h n t i z2 = 0 và Q(z2 , Im z1 ) là m t hàm nh n nào đó (Đ nh lý 3.1.1). 6. C u trúc lu n án B c c c a lu n án ngoài ph n m đ u và ph n ph l c g m ba chương đư c vi t theo tư tư ng k th a. Ba chương c a lu n án đư c vi t d a trên b n công trình trong đó hai công trình đã đư c đăng và m t công trình đã đư c nh n đăng.
16 Chương I: Đ c trưng c a mi n trong Cn b i nhóm t đ ng c u không compact. Chương II: Đ c trưng c a mi n l i tuy n tính trong Cn b i nhóm t đ ng c u không compact. Chương III: Gi thuy t Greene-Krantz.
Chương 1 Đ c trưng c a mi n trong Cn b i nhóm t đ ng c u không compact Trong chương này, chúng tôi s ch ng minh k t qu chính th nh t (Đ nh lý 1.3.2). K t qu này đã đư c công b trong bài báo [33]. Khó khăn ch y u khi chúng ta xét các mi n trong Cn (n > 2) là nghiên c u tính chu n t c c a dãy các đa th c nhi u bi n ( các đa th c này là m t bi n đ i v i trư ng h p mi n trong C2 ). Tuy nhiên, khi có thêm đi u ki n h ng c a d ng Levi l n hơn n − 3 chúng tôi có th vư t qua đư c khó khăn này b ng cách c i ti n k thu t scaling c a S. Pinchuk. Ph n m đ u, chúng ta nh c l i m t s khái ni m cơ b n c n thi t. M c ti p theo dành cho vi c xây d ng các đa đĩa t i các đi m g n biên c a mi n và đưa ra m t s tính ch t c a các đa đĩa này. Sau đó, chúng ta áp d ng k thu t scaling đ ch ra r ng mi n Ω song ch nh hình v i m t mô hình MP v i P ∈ P2m . Vì v y, chúng tôi có th áp d ng phương pháp c a F. Berteloot đ hoàn thành ch ng minh Đ nh lý 1.3.2. 17
18 1.1 M t s khái ni m và k t qu b tr Trong m c này, chúng ta nh c l i khái ni m gi l i và khái ni m v s h i t chu n t c theo nghĩa Carathéodory c a các mi n trong đa t p ph c (xem trong [15]). Khái ni m h i t Carathéodory c n thi t cho l p lu n c a phương pháp scaling. G i Ω là m t mi n trong Cn . Trong m t lân c n đ bé U c a đi m biên p ∈ ∂ Ω, ta có th vi t Ω ∩ U = {z ∈ U : ρ(z ) < 0}, ρ = 0 trên ∂ Ω ∩ U . Hàm ρ đư c g i là trong đó ρ là hàm th a mãn hàm xác đ nh biên c a mi n Ω trong lân c n c a p. Ta nói r ng mi n Ω có biên trơn l p C k ( 1 ≤ k ≤ ∞) t i p n u hàm xác đ nh biên ρ trơn l p C k t i p. Biên ∂ Ω đư c g i là trơn l p C k n u nó trơn l p C k t i m i đi m. Gi s Ω có biên trơn l p C 2 g n p ∈ ∂ Ω. Biên ∂ Ω đư c g i là gi l i t i p n u t n t i hàm xác đ nh biên ρ c a Ω sao cho n ∂ 2ρ Lρ (p)(w, w) := (p)wj wk ≥ 0 (∗), ¯ ∂zj ∂ zk ¯ j,k =1 v i m i w = (w1 , · · · , wn ) ∈ Tp (∂ Ω); đây Tp (∂ Ω) là không gian ti p C C xúc ph c v i ∂ Ω t i p. Ta nói r ng p ∈ ∂ Ω là đi m gi l i ch t n u Lρ (p)(w, w) > 0 v i m i w ∈ Tp (∂ Ω) \ {0}. D ng Hermit Lρ (p) xác đ nh trong (*) đư c g i là C d ng Levi c a ∂ Ω t i p. Bây gi ta nh c l i m t s khái ni m sau.