Luận văn: NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

136
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lí thuyết các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lí thuyết tối ưu hoá. Để dẫn các điều kiện cần tối ưu, người ta thường phát triển các định lí luân phiên (theorems of the alternative) làm công cụ. Cùng với các quy tắc nhân tử Lagrange, các định lí điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu với các hàm lồi và hàm lồi suy rộng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY TOÀN NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY TOÀN NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
none 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc §iÒu kiÖn tån t¹i nh©n tö Lagrange vµ ®iÓm Ch¬ng 1. yªn ngùa 6 C¸c kiÕn thøc bæ trî 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Sù tån t¹i nh©n tö Lagrange cho nghiÖm h÷u 1.2. hiÖu chÝnh thêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 C¸c ®Þnh lÝ ®iÓm Yªn ngùa vµ ®iÓm Yªn ngùa 1.3. yÕu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 C¸c ®Þnh lÝ lu©n phiªn kiÓu Motzkin vµ c¸c Ch¬ng 2. ®Þnh lÝ nh©n tö Lagrange 29 C¸c kh¸i niÖm vµ ®Þnh nghÜa 2.1. . . . . . . . . . . . . 29 C¸c ®Þnh lÝ lu©n phiªn kiÓu Motzkin suy réng 2.2. 31 C¸c ®Þnh lÝ nh©n tö Lagrange vµ ®iÓm yªn ngùa 2.3. 44 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Më ®Çu LÝ thuyÕt c¸c ®iÒu kiÖn tèi u lµ mét bé phËn quan träng cña lÝ thuyÕt tèi u ho¸. §Ó dÉn c¸c ®iÒu kiÖn cÇn tèi u, ngêi ta thêng ph¸t triÓn c¸c ®Þnh lÝ lu©n phiªn (theorems of the alternative) lµm c«ng cô. Cïng víi c¸c quy t¾c nh©n tö Lagrange, c¸c ®Þnh lÝ ®iÓm yªn ngùa trong tèi u ®a môc tiªu víi c¸c hµm låi vµ hµm låi suy réng ®îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m nghiªn cøu. Z. F. Li vµ S. Y. Wang [5] ®· nghiªn cøu c¸c ®iÒu kiÖn tån t¹i c¸c nh©n tö Lagrange vµ c¸c ®iÓm yªn ngùa yÕu cho bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu víi rµng buéc nãn trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu trªn c¬ së ph¸t triÓn mét ®Þnh lÝ lu©n phiªn kiÓu Gordan. Mèi quan hÖ gi÷a nh©n tö Lagrange vµ ®iÓm yªn ngùa yÕu, vµ sù t¬ng ®ång gi÷a nghiÖm h÷u hiÖu chÝnh thêng theo nghÜa Benson vµ nghiÖm h÷u hiÖu chÝnh thêng theo nghÜa Borwein còng ®îc thiÕt lËp. R. Zeng vµ R. J. Caron [10] ®· thiÕt lËp c¸c ®Þnh lÝ lu©n phiªn kiÓu Motzkin víi c¸c hµm preconvexlike trong kh«ng gian t«p« tuyÕn tÝnh Haus- dorff. Tõ ®ã c¸c t¸c gi¶ chøng minh c¸c ®Þnh lÝ nh©n tö Lagrange vµ c¸c ®Þnh lÝ ®iÓm yªn ngùa cho bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu víi rµng buéc nãn. LuËn v¨n tËp trung tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ c¸c ®Þnh lÝ nh©n tö La- grange vµ ®iÓm yªn ngùa cña bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu víi rµng buéc nãn, mèi quan hÖ gi÷a nh©n tö Lagrange vµ ®iÓm yªn ngùa yÕu, trªn c¬ së ph¸t triÓn cña c¸c ®Þnh lÝ lu©n phiªn kiÓu Gordan vµ Motzkin. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
LuËn v¨n bao gåm phÇn më ®Çu, hai ch¬ng, kÕt luËn vµ danh môc c¸c tµi liÖu tham kh¶o. Ch¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña Z. F. Li vµ S. Y Wang [5] vÒ c¸c . ®iÒu kiÖn tån t¹i nh©n tö Lagrange vµ ®iÓm yªn ngùa yÕu cña hµm Lagrange gi¸ trÞ vÐct¬ cña bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu víi rµng buéc nãn, cïng víi mèi quan hÖ gi÷a nh©n tö Lagrange vµ ®iÓm yªn ngùa yÕu. Mét ®iÒu kiÖn ®ñ cho sù t¬ng ®¬ng gi÷a c¸c nghiÖm h÷u hiÖu chÝnh thêng Benson vµ Borwein còng ®îc tr×nh bµy trong ch¬ng nµy. Ch¬ng 2 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña R. Zeng vµ R. J. Caron [10] vÒ c¸c ®Þnh lÝ lu©n phiªn kiÓu Motzkin vµ c¸c ®Þnh lÝ nh©n tö Lagrange cho bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu víi rµng buéc nãn trong kh«ng gian t«p« tuyÕn tÝnh Hausdorff. C¸c ®Þnh lÝ ®iÓm yªn ngùa vµ ®Þnh lÝ v« híng ho¸ còng ®îc tr×nh bµy trong ch¬ng nµy. Cuèi cïng em xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy gi¸o PGS. TS §ç V¨n Lu, ngêi ®· tËn t×nh híng dÉn, gióp ®ì em hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy, c« ë ViÖn To¸n häc, ViÖn C«ng nghÖ th«ng tin Hµ Néi, Khoa C«ng nghÖ th«ng tin, Khoa To¸n vµ Phßng §µo t¹o sau ®¹i häc trêng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· hÕt lßng gi¶ng d¹y, truyÒn ®¹t cho em nhiÒu kiÕn thøc khoa häc trong suèt thêi gian em häc tËp t¹i trêng. Xin göi lêi c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ ®ång nghiÖp vµ c¸c thµnh viªn trong líp Cao häc To¸n K1 ®· lu«n quan t©m, ®éng viªn, gióp ®ì em trong suèt thêi gian häc tËp vµ qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. Do thêi gian cã h¹n nªn luËn v¨n nµy míi chØ dõng l¹i ë viÖc t×m hiÓu, 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
tËp hîp tµi liÖu, s¾p xÕp vµ tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu ®· cã theo chñ ®Ò ®Æt ra. Trong qu¸ tr×nh viÕt luËn v¨n còng nh trong xö lý v¨n b¶n ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái cã nh÷ng sai sãt nhÊt ®Þnh. Em rÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó luËn v¨n ®îc hoµn thiÖn h¬n. Th¸i Nguyªn, th¸ng 9 n¨m 2009 Mai Huy Toµn 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 §iÒu kiÖn tån t¹i nh©n tö Lagrange vµ ®iÓm yªn ngùa Ch¬ng nµy tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i nh©n tö Lagrange vµ ®iÓm yªn ngùa yÕu cña hµm Lagrange gi¸ trÞ vÐct¬ cña bµi to¸n quy ho¹ch ®a môc tiªu, cïng víi mèi quan hÖ gi÷a nghiÖm h÷u hiÖu yÕu (nghiÖm h÷u hiÖu) vµ ®iÓm yªn ngùa yÕu (®iÓm yªn ngùa) cña hµm Lagrange. Sù t¬ng ®¬ng cña nghiÖm h÷u hiÖu Benson vµ nghiÖm h÷u hiÖu Borwein còng ®îc tr×nh bµy trong ch¬ng nµy. KÕt qu¶ ch¬ng 1 lµ cña Z. F. Li vµ S. Y Wang . ([5], 1994). C¸c kiÕn thøc bæ trî 1.1. Rm D = D ∪ {0} D D Gi¶ sö lµ mét nãn trong . KÝ hiÖu . ®îc gäi lµ nhän nÕu D ∩ (−D) = {0}. D D ®îc gäi lµ s¾c nÕu bao ®ãng cña lµ nhän. Rm int(K ) = ∅ K S Cho lµ mét nãn låi nhän cña víi , vµ cho lµ tËp Rm y, z ∈ Rm kh«ng rçng cña . Víi , ta ®Þnh nghÜa ba quan hÖ thø tù theo K nh sau: z ⇔ z − y ∈ K; y K y ≤K z ⇔ z − y ∈ K \ {0}; y
K K TËp cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm - cùc tiÓu vµ - cùc ®¹i ®îc ®Þnh nghÜa t¬ng øng nh sau: M inK S = {y ∈ S | y ∈ S y ≤K y }, ¯ ¯ sao cho (1.1) M axK S = {y ∈ S | y ∈ S y ≤K y }. ¯ ¯ sao cho K K T¬ng tù, tËp cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm - cùc tiÓu yÕu vµ - cùc ®¹i yÕu ®îc ®Þnh nghÜa t¬ng øng nh sau: W − M inK S = {y ∈ S | y ∈ S y 0 int(S ) = ∅ y∈ S (iii) NÕu lµ mét nãn víi th× víi bÊt k× int(S ) vµ y ∗ ∈ S 0 \{0}; int(S 0 ) = (clS )s0 , nÕu S (iv) lµ mét nãn s¾c; int(S × T ) = int(S ) × int(T ). (v) 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Bµi to¸n quy ho¹ch ®a môc tiªu ®îc xÐt trong luËn v¨n nµy nh sau: K − minf (x), (V P ) g (x) 0, (1.5) Q x∈M, Rn , f : Rn → Rm , g : Rn → Rp , M ë ®©y lµ mét tËp con kh«ng rçng cña Rm int(K ) = ∅, vµ Q lµ mét nãn låi K lµ mét nãn låi ®ãng nhän trong víi Rp int(Q) = ∅. trong víi KÝ hiÖu M = {x ∈ M | g (x) 0}, Q f (M ) = {f (x) | x ∈ M }. §ã lµ tËp chÊp nhËn ®îc vµ kh«ng gian môc tiªu, hoÆc kh«ng gian ®Çu ra. (V P ). Nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa nghiÖm cña bµi to¸n §Þnh nghÜa 1.1 x∈M f (¯) ∈ ¯ x ®îc gäi lµ nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bµi to¸n (VP) nÕu W − M inK f (M ); x ∈ M ¯ ®îc gäi lµ nghiÖm h÷u hiÖu cña bµi to¸n (VP) f (¯) ∈ M inK f (M ). x nÕu §Þnh nghÜa 1.2 x∈M ¯ ®îc gäi lµ nghiÖm h÷u hiÖu chÝnh thêng cña bµi to¸n (VP) theo nghÜa Borwein, nÕu T (f (M ) + K, f (¯)) ∩ (−K ) = {0}; x (1.6) x∈M ¯ ®îc gäi lµ nghiÖm h÷u hiÖu chÝnh thêng cña bµi to¸n (VP) theo nghÜa Benson, nÕu clP (f (M ) + K − f (¯)) ∩ (−K ) = {0}, x (1.7) 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
y ∈ clS T (S, y ) S P (S ) trong ®ã lµ nãn tiÕp tuyÕn cña t¹i vµ lµ nãn chiÕu M S , tøc lµ cña T (S, y ) = {d ∈ Rm | ∃y k ∈ S tk > 0, k = 1, 2, ... , vµ sao cho (1.8) k k limtk (y − y ) = d}, limy = y vµ P (S ) = {αd | α > 0, d ∈ S }. (1.9) NhËn xÐt 1.1 Mét nghiÖm h÷u hiÖu chÝnh thêng theo nghÜa Benson còng lµ mét nghiÖm h÷u hiÖu chÝnh thêng theo nghÜa Borwein, bëi v× T (f (M ) + K, f (¯)) ⊂ clP (f (M ) + K − f (¯)). x x Mét nghiÖm h÷u hiÖu chÝnh thêng theo nghÜa Borwein lµ mét nghiÖm h÷u hiÖu (xem [8]). H¬n n÷a, tõ ®Þnh nghÜa 1.1, nghiÖm h÷u hiÖu còng lµ nghiÖm h÷u hiÖu yÕu. §Þnh nghÜa 1.3 x1 , x2 ∈ M K − convexlike f M ®îc gäi lµ trªn nÕu víi mäi vµ α ∈ (0, 1), ∃x3 ∈ M víi mäi sao cho αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − f (x3 ) ∈ K ; (1.10) K − subconvexlike trªn M η ∈ int(K ) sao f ®îc gäi lµ nÕu ta t×m ®îc x1 , x2 ∈ M α ∈ (0, 1), vµ mäi ε > 0, ∃x3 ∈ M cho, víi mäi , mäi tho¶ m·n εη + αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − f (x3 ) ∈ K. (1.11) NhËn xÐt 1.2 Rn . f M K -låi trªn M Gi¶ sö r»ng lµ mét tËp con låi trªn ®îc gäi lµ 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
x1 , x2 ∈ M α ∈ (0, 1), nÕu víi mäi vµ mäi αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − f (αx1 + (1 − α)x2 ) ∈ K. Kh¸i niÖm nµy lµ mét më réng trùc tiÕp cña kh¸i niÖm hµm låi. Râ rµng lµ K -låi K -convexlike, K -convexlike tÝnh kÐo theo tÝnh vµ tÝnh kÐo theo tÝnh K -subconvexlike. Bæ ®Ò tiÕp theo lµ mét ®Þnh lÝ lu©n phiªn kiÓu Gordan trong [4]. ([4]) Bæ ®Ò 1.2 f NÕu lµ K-subconvexlike trªn M', th× chØ mét trong c¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng: x∈M −f (x) ∈ int(K ); (i) Tån t¹i sao cho η ∈ K 0 \ {0} sao cho η T f (x) > 0 víi mäi x ∈ M (ii) Tån t¹i . K -subconvexlike. Bæ ®Ò sau ®©y lµ mét ®Æc trng míi cña tÝnh Bæ ®Ò 1.3 C¸c ph¸t biÓu sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng: (i) f lµ K-subconvexlike trªn M'; f (M ) + int(K ) lµ låi; (ii) η ∈ int(K ), x1 , x2 ∈ M α ∈ (0, 1), tån t¹i x3 ∈ M (iii) Víi mäi , vµ sao cho η + αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − f (x3 ) ∈ int(K ). Chøng minh (i) ⇒ (ii). §Æt Tríc hÕt ta chØ ra r»ng c1 , c2 ∈ C, α ∈ (0, 1). C = f (M ) + int(K ), 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
C , tån t¹i x1 , x2 ∈ M k 1 , k 2 ∈ int(K ) tho¶ m·n Theo ®Þnh nghÜa cña vµ ci = f (xi ) + k i , i = 1, 2. Do ®ã, αc1 + (1 − α)c2 = αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) + αk 1 + (1 − α)k 2 . (1.12) int(K ) låi, Bëi v× k := αk 1 + (1 − α)k 2 ∈ int(K ), (1.13) B O ta cã thÓ t×m ®îc mét h×nh cÇu víi t©m sao cho k + B ⊂ int(K ). (1.14) η ∈ int(K ) K -subconvexlike cña f M Do tÝnh trªn vµ ®Þnh nghÜa 1.3, tån t¹i γ ∈ (0, 1), x, y ∈ M ε > 0, sao cho víi mäi , vµ ta cã thÓ t×m ®îc z := z (γ, x, y, ε) ∈ M sao cho εη + γf (x) + (1 − γ )f (y ) − f (z ) ∈ K. (1.15) λ ®ñ lín sao cho λ−1 η ∈ B , ta cã Chän k − λ−1 η ∈ int(K ). (1.16) ε = λ−1 . Tån t¹i x3 ∈ M §Æt sao cho λ−1 η + αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − f (x3 ) ∈ K. (1.17) k∗ ∈ K Tõ (1.12) vµ (1.17) ta suy ra tån t¹i sao cho αc1 + (1 − α)c2 = f (x3 ) + k ∗ + k − λ−1 η. (1.18) Do bæ ®Ò 1.1(ii), k ∗ + k − λ−1 η ∈ int(K ). (1.19) 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Do ®ã, αc1 + (1 − α)c2 ∈ C. (1.20) (i) ⇒ (ii). C V× vËy, lµ låi. §iÒu ®ã chØ ra r»ng (ii) ⇒ (iii). LÊy TiÕp theo, ta chØ ra r»ng x1 , x2 ∈ M . η ∈ int(K ), f (M ) + int(K ) lµ låi, Bëi v× α(f (x1 ) + η ) + (1 − α)(f (x2 ) + η ) ∈ f (M ) + int(K ). (1.21) x3 ∈ M Do ®ã, tån t¹i sao cho α(f (x1 ) + η ) + (1 − α)(f (x2 ) + η ) ∈ f (x3 ) + int(K ), (1.22) nghÜa lµ, η + αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − f (x3 ) ∈ int(K ). (1.23) (iii) ⇒ (i). Cuèi cïng, ®Ó hoµn thµnh chøng minh, ta chØ ra r»ng Gi¶ (iii) tho¶ m·n vµ η lµ mét ®iÓm trong int(K ). §Æt η = εη . ¯ ¯ sö r»ng ®iÒu kiÖn ε > 0, η ∈ int(K ). Do ®iÒu kiÖn (iii), víi mäi ε > 0, x1 , x2 ∈ M Víi mäi , α ∈ (0, 1), tån t¹i x3 ∈ M vµ sao cho η + αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − f (x3 ) ∈ int(K ), f K -subconvexlike trªn M v× vËy (1.10) ®óng. §iÒu ®ã kÐo theo r»ng lµ . Bæ 2 ®Ò ®îc chøng minh. §Æt H (x) = (f (x), g (x)), x ∈ M . (1.24) 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(f, g ) ®îc gäi lµ K × Q-convexlike (t¬ng øng, K × Q-subconvexlike) trªn K × Q-convexlike (t¬ng øng, K × Q-subconvexlike) trªn M M H nÕu lµ . ([5]) Bæ ®Ò 1.4 (f, g ) lµ K × Q-subconvexlike trªn M' vµ K s0 = ∅, th× víi mçi (i) NÕu η ∈ K s0 , (η T f, g ) R1 × Q-subconvexlike R1 = {α ∈ lµ trªn M', trong ®ã + + R1 | α ≥ 0} vµ (η T f )(x) = η T f (x) víi mçi x ∈ Rn ; (f, g ) lµ K × Q-convexlike trªn M', th× f (ii) NÕu lµ K-convexlike trªn M' vµ do ®ã lµ K-subconvexlike trªn M'. Bæ ®Ò 1.5 x ∈ M , th× f ¯ NÕu lµ K-subconvexlike trªn M vµ T (f (M ) + K, f (¯)) = clP (f (M ) + K − f (¯)) x x = T (f (M ) + int(K ), f (¯)) x (1.25) = clP (f (M ) + int(K ) − f (x)), T (f (M ) + K, f (¯)) lµ mét nãn låi ®ãng. x vµ Chøng minh x ∈ M. f K -subconvexlike M ¯ Gi¶ sö r»ng lµ trªn vµ Tríc tiªn, ta chøng minh r»ng T (f (M ) + K, f (¯)) = clP (f (M ) + K − f (¯)). x x (1.26) §Ó ý r»ng T (f (M ) + K, f (¯)) ⊂ clP (f (M ) + K − f (¯)), x x (1.27) lµ lu«n ®óng. Ta cÇn chØ ra r»ng clP (f (M ) + K − f (¯)) ⊂ T (f (M ) + K, f (¯)). x x 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
T (f (M ) + K, f (¯)) lµ ®ãng, ta chØ cÇn chØ ra r»ng x Bëi v× P (f (M ) + K − f (¯)) ⊂ T (f (M ) + K, f (¯)). x x (1.28) LÊy y ∈ P (f (M ) + K − f (¯)). x α ≥ 0, x ∈ M d∈K Tån t¹i vµ sao cho y = α(f (x ) + d − f (¯)). x η ∈ int(K ) f K -subconvexlike M, Bëi v× lµ trªn tån t¹i sao cho víi mäi λ ∈ (0, 1), x1 , x2 ∈ M , x3 := x(λ, x1 , x2 , ε) ∈ M ε > 0, vµ tån t¹i tho¶ m·n εη + λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) − f (x3 ) ∈ K. t = 1, 2, ... , tån t¹i xt ∈ M V× thÕ, víi mçi sao cho (1/t2 )η + (1/t)f (x ) + (1 − 1/t)f (¯) − f (xt ) ∈ K. x d∈K K Tõ vµ lµ mét nãn låi, (1/t)d + (1/t2 )η + (1/t)f (x ) + (1 − 1/t)f (¯) − f (xt ) ∈ K. x §Æt dt = (1/t)d + (1/t2 )η + (1/t)f (x ) + (1 − 1/t)f (¯) − f (xt ), x y t = f (xt ) + dt , βt = αt. dt ∈ K, y t ∈ f (M ) + K , vµ βt ≥ 0 víi mçi t. Cho t → ∞, ta cã Râ rµng lµ lim y t = f (¯), x lim βt (y t − f (¯)) = y. x 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
V× vËy, y ∈ T (f (M ) + K, f (¯)). x §iÒu ®ã kÐo theo P (f (M ) + K − f (¯)) ⊂ T (f (M ) + K, f (¯)). x x V× vËy, (1.26) ®óng. TiÕp theo ta chØ ra r»ng clP (f (M ) + int(K ) − f (¯)) = T (f (M ) + int(K ), f (¯)). x x f K -subconvexlike M, f (M ) + int(K ) Bëi v× lµ trªn theo bæ ®Ò 1.3, låi. T¬ng tù nh trong bæ ®Ò 3.11 [1], ta cã T (f (M ) + int(K ), f (¯)) = clP (f (M ) + int(K ) − f (¯)), x x (1.29) T (f (M ) + int(K ), f (¯)) lµ mét nãn låi ®ãng. x trong ®ã Cuèi cïng, ta chØ ra r»ng clP (f (M ) + K − f (¯)) = T (f (M ) + int(K ), f (¯)). x x (1.30) int(K ) ⊂ K , Bëi v× f (M ) + int(K ) ⊂ f (M ) + K, vµ T (f (M ) + int(K ), f (¯)) ⊂ T (f (M ) + K, f (¯)). x x (1.31) Tõ (1.31) vµ (1.26), ta nhËn ®îc T (f (M ) + int(K ), f (¯)) ⊂ clP (f (M ) + K − f (¯)). x x (1.32) 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ta cßn ph¶i chøng minh r»ng clP (f (M ) + K − f (¯)) ⊂ T (f (M ) + int(K ), f (¯)). x x (1.33) LÊy y ∈ P (f (M ) + K − f (¯)). x α > 0, x ∈ M , vµ d ∈ K Khi ®ã, ta t×m ®îc sao cho y = α(f (x ) + d − f (¯)). x η0 ∈ int(K ) cè ®Þnh. εη0 ∈ int(K ), víi mäi ε > 0. Gi¶ sö Nh vËy, Bëi v× K -subconvexlike trªn M , theo bæ ®Ò 1.3, víi mäi ε > 0, λ ∈ (0, 1), vµ f lµ x1 , x2 ∈ M , tån t¹i x3 := x(ε, λ, x1 , x2 ) ∈ M sao cho εη0 + λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) − f (x3 ) ∈ int(K ). t = 1, 2, 3, ... , tån t¹i xt ∈ M V× vËy, víi mçi sao cho (1/t2 )η0 + (1/t)f (x1 ) + (1 − 1/t)f (x2 ) − f (xt ) ∈ int(K ). d∈K K Bëi v× vµ lµ mét nãn låi, dt := (1/t)d + (1/t2 )η0 + (1/t)f (x1 ) + (1 − 1/t)f (¯) − f (xt ) x ∈ K + int(K ) ⊂ K. §Æt y t = f (xt ) + dt , βt = αt. Râ rµng lµ y t ∈ f (M ) + int(K ), βt ≥ 0, t. vµ víi mçi 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
t → +∞, ta nhËn ®îc Cho lim y t = f (¯), x lim βt (y t − f (¯)) = y. x Do ®ã, y ∈ T (f (M ) + int(K ), f (¯)). x §iÒu nµy kÐo theo P (f (M ) + K − f (¯)) ⊂ T (f (M ) + int(K ), f (x)). x T (f (M ) + int(K ), f (x)) lµ ®ãng, ta cã Bëi v× clP (f (M ) + K, f (¯)) ⊂ T (f (M ) + int(K ), f (¯)). x x (1.34) 2 Do ®ã, (1.30) ®óng. §Þnh lÝ ®îc chøng minh. η ∈ Rm . Ta ®a vµo bµi to¸n cùc tiÓu bæ trî sau: Cho η T f (x), (Pη ) min (1.35) x ∈ M. (Pη ) cã thÓ ®îc xem nh bµi to¸n v« híng ho¸ cña bµi to¸n Bµi to¸n (V P ). (V P ) Trong phÇn tiÕp theo ta sÏ cho hai mèi quan hÖ gi÷a bµi to¸n (Pη ). vµ bµi to¸n (V P ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chÝnh quy Slater nÕu tån Ta nãi r»ng bµi to¸n x ∈M g (x )
§Þnh nghÜa 1.4 (V P ) Hµm Lagrange gi¸ trÞ vÐc t¬ cña bµi to¸n ®îc ®Þnh nghÜa nh sau L(x, Λ) = f (x) + Λg (x), (x, Λ) ∈ M × Γ. (1.36) x¯ (¯, Λ) ∈ M × Γ ®îc gäi lµ ®iÓm yªn ngùa (t¬ng øng ®iÓm yªn ngùa CÆp L(x, Λ) nÕu yÕu) cña x¯ ¯ L(¯, Λ) ∈ M inK {L(x, Λ) | x ∈ M } ∩ M axK {L(¯, Λ) | Λ ∈ Γ}, x x¯ L(¯, Λ) ∈ ( t¬ng øng, ¯ W − M inK {L(x, Λ) | x ∈ M } ∩ W − M axK {L(¯, Λ) | Λ ∈ Γ}) x (1.36') Sù tån t¹i nh©n tö Lagrange cho nghiÖm h÷u hiÖu 1.2. chÝnh thêng Trong phÇn nµy, ta ®a vµo mét vµi ®iÒu kiÖn tån t¹i cña nh©n tö Lagrange (V P ). cña bµi to¸n MÖnh ®Ò 1.1 f x ¯ Gi¶ sö r»ng lµ K-subconvexlike trªn M. NÕu lµ mét nghiÖm h÷u η ∈ K 0 \ { 0} (V P ), x ¯ hiÖu yÕu cña bµi to¸n th× tån t¹i sao cho lµ nghiÖm (Pη ). tèi u cña bµi to¸n Chøng minh x lµ mét nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bµi to¸n (V P ). Nh vËy ¯ Gi¶ sö r»ng x∈M f (x)