Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu một đồ án Didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:119

Thêm vào BST

Báo xấu

180
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu một đồ án Didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn trình bày việc phân tích khái niệm hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học; phân tích một bộ SGK Toán của Pháp; trình bày hai thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu một đồ án Didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Nga Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh - 2007
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Ban chủ nhiệm và các thầy cô, đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tin học Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường Trung học thực hành ĐHSP đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. NGUYỄN THỊ NGA
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách bài tập SGV : Sách giáo viên CLHN : Chỉnh lý hợp nhất TCTH : Tổ chức toán học bt : bài tập [a] : Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov [b] : Toán học cao cấp, tập 2, Nguyễn Đình Trí [c] : Vật lý đại cương, tập 2, Lương Duyên Bình F1 : Maths seconde, COLLECTION TERRACHER V1 : Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 năm 2000 P1 : Tài liệu hướng dẫn giảng dạy 11 năm 2000 E1 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11 năm 2000 V2 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 1 P2 : Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 1 E2 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 1 V3 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 2 P3 : Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 2 E3 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 2
MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Hàm số là một đối tượng luôn chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trường Trung học cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT). Trong các loại hàm số, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới hàm số tuần hoàn với các lí do sau: + Thuật ngữ tuần hoàn, gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn, không chỉ được đề cập trong toán học, mà còn xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác như vật lí, hóa học, đời sống thường ngày,... Điều này kéo theo nhiều câu hỏi cần thiết được đặt ra:  Khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các khoa học khác có gì giống và khác nhau?  Ở trường phổ thông, khái niệm tuần hoàn có xuất hiện trong các môn học ngoài toán học không?  Có sự nối khớp nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các môn học đó? + Chủ đề hàm số tuần hoàn luôn xuất hiện trong cuốn sách nhan đề “Kiến thức giới hạn ôn thi tốt nghiệp môn Toán THPT” của Bộ GD&ĐT. Nói cách khác, nó là một chủ đề có thể xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Tuy nhiên, trong chương trình và SGK Toán phổ thông Việt Nam, vị trí của hàm số tuần hoàn ngày càng suy giảm qua các thời kỳ thay đổi chương trình và SGK. Hơn thế nữa, ở cấp độ phổ thông, người ta chỉ hạn chế vào duy nhất một loại hàm số tuần hoàn, đó là hàm lượng giác. Như sách giáo viên Đại số và giải tích 11 của các tác giả Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991) nhấn mạnh: “Trong chương trình phổ thông chỉ có hàm số lượng giác mới có tính tuần hoàn”. Vậy, khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn xuất hiện như thế nào trong chương trình toán ở trường phổ thông? với vai trò gì? liệu có thể đề cập các hàm số tuần hoàn khác với các hàm số lượng giác không? Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra những câu hỏi sau:  Ở cấp độ tri thức khoa học, các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn được đề cập như thế nào? chúng có những đặc trưng gì? chúng chịu những ràng buộc nào?
 Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, chúng xuất hiện ra sao? với những ràng buộc nào? vai trò và chức năng của chúng? những ràng buộc này ảnh hưởng thế nào trên các chủ thể của hệ thống dạy học (giáo viên và học sinh)?  Có sự tương đồng và khác biệt nào trong tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông? lí do của sự khác biệt đó?  Có sự khác nhau nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các môn khoa học khác? có sự nối khớp nào giữa các lĩnh vực này?  Có thể xây dựng một tình huống tiếp cận khái niệm hàm số tuần hoàn với các đặc trưng chủ yếu của nó? 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu trong luận văn này là tìm câu trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra ở trên. Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lí thuyết Didactic toán. Cụ thể, đó là các khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ chức toán học), của lí thuyết tình huống (hợp đồng didactic, đồ án didactic) và cách đặt vấn đề sinh thái học. Việc nghiên cứu các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học đặt cơ sở trên việc phân tích các giáo trình ở bậc đại học, mà chúng tôi xem như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học. Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu của mình như sau: - Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng? - Mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học (TCTH) gắn liền với khái niệm này? Các TCTH đó tiến triển ra sao qua các thời kỳ đổi mới SGK? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên khái niệm này và các khái niệm gắn liền với nó? Có những quy tắc hợp đồng
nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về hàm số tuần hoàn? - Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông? - Có thể xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh tiếp cận và vận dụng các đặc trưng của hàm số tuần hoàn trước khi định nghĩa của khái niệm này chính thức được giảng dạy? 3. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau: NGHIÊN CỨU NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC: TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY: Toán học + Vật lí Thể chế dạy học toán ở Pháp NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY: Thể chế dạy học Hóa, Sinh, Vật lí, Toán ở Việt Nam NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Quan hệ cá nhân của học sinh NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM TIỂU ĐỒ ÁN DIDACTIC Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu như sau: - Trước hết, chúng tôi nghiên cứu tri thức khoa học thông qua phân tích một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày các vấn đề về khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kỳ ở cấp độ tri thức khoa học.
- Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học toán ở Pháp liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. - Kết quả phân tích tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học toán ở Pháp sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học phổ thông ở Việt Nam. Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn trong các SGK Hóa học, Sinh học, Vật lí và Toán học. - Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối tượng tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Từ đó, chúng tôi sẽ xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng của hàm số tuần hoàn và vận dụng chúng một cách ngầm ẩn trong việc giải toán. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương. + Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. + Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khái niệm hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là đề cập một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, phân tích cách trình bày khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn trong một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học. + Mở đầu chương 2 là sự phân tích một bộ SGK Toán của Pháp. Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế của thể chế dạy học ở trường phổ thông Việt Nam với khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn. + Chương 3 trình bày hai thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất trên học sinh lớp 10 nhằm tìm hiểu quan hệ cá nhân của họ đối với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Thực nghiệm thứ hai là triển khai tiểu đồ án didactic đã xây dựng. + Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn.
Chương 1: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số giáo trình toán, vật lí ở bậc đại học chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kì, vai trò và chức năng của chúng, cũng như sự nối khớp (nếu có) giữa các lĩnh vực toán và vật lí thể hiện qua các khái niệm này. Do thiếu tư liệu tham khảo, chúng tôi không thể đi sâu vào một nghiên cứu khoa học luận. Tuy nhiên, một vài nét về lịch sử của các khái niệm nêu trên sẽ được đề cập với mục đích làm rõ hơn cho phân tích các giáo trình ở bậc đại học. 1.1. Vài nét lịch sử về khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn Phần này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu sau đây: + Présentation du pendule de Foucault à Tours, Cahier Animateur. + Phép tính vi tích phân, tập 2: Toán cao cấp A2, Dùng cho sinh viên đại học và cao đẳng, Phan Quốc Khánh, NXBGD, 1998. + Cơ sở giải tích toán học, tập 2, G.M.Fichtengôn, 1977. + http://perso.orange.fr/guy.chaumeton/2d07ph.htm + http://fr.wikipedia.org/wiki Phân tích các tài liệu trên cho thấy, lượng giác có nguồn gốc từ nghiên cứu thiên văn và đến thế kỉ XVII, nó đã trở thành một công cụ không thể thiếu cho nhu cầu tìm hiểu và điều khiển thế giới vật lí xung quanh của con người. Trong thế kỉ XVII và XVIII, một nhánh của cơ học phát triển mạnh mẽ liên quan đến dao động cao tần. Những cuộc đi biển dài ngày của thời đại này đòi hỏi những kĩ thuật hàng hải chính xác hơn, những đồng hồ chính xác hơn. Điều này thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự dao động của quả lắc và nhiều loại lò xo khác nhau. Bằng cách quan sát con lắc, người ta thấy sự đều đặn, cân đối của chuyển động. Galilée nhận ra rằng con lắc dường như dao động “tuần hoàn”. Ông gọi chu kỳ T là khoảng thời gian mà con lắc dao động một vòng. Ông là người đầu tiên diễn
tả ý tưởng về sự đẳng thời của những dao động nhỏ (bằng cách quan sát những đèn chùm ở nhà thờ) nghĩa là chu kỳ dao động thì không phụ thuộc vào biên độ góc của con lắc. Năm 1658 – 1659, Christiaan Huygens nghiên cứu lí thuyết về dao động của con lắc. Ông có ý tưởng điều tiết các đồng hồ bằng một con lắc để làm cho việc đo thời gian chính xác hơn. Đồng hồ quả lắc của ông được điều chỉnh theo một cơ chế với một sự tuần hoàn tự nhiên của dao động cao tần. Huygens đã khám phá ra quả lắc cầu mà chu kỳ dao động của nó không phụ thuộc vào biên độ. Còn Robert Hooke đã cải thiện lò xo uốn khúc, cơ sở của đồng hồ lò xo nhíp hiện đại. Ở một cấp độ khác, sự phát triển các kĩ năng sử dụng và sự tinh tế trong việc thiết kế các dụng cụ âm nhạc - từ bọc gỗ và đồng thau đến các dụng cụ bàn phím và đại phong cầm - đã thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự rung của các dụng cụ âm nhạc như đàn violon, kèn khí,...Tất cả các hiện tượng này là tuần hoàn, theo nghĩa lặp đi lặp lại một cách đều đặn. Như vậy, trong khoa học và kĩ thuật, người ta thường gặp các hiện tượng tuần hoàn, tức là các hiện tượng mà cứ sau một khoảng thời gian T xác định, mọi yếu tố được lặp lại hoàn toàn. Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn, đặc trưng bởi đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x. Đại lượng sinxôit Asin( t   ) là hàm tuần hoàn đơn giản nhất, trong đó,  là 2 tần số và T = là chu kỳ. Hàm Asin( t   ) biểu diễn một dao động điều hòa,  cũng gọi là dao động hình sin. Có thể lập các hàm tuần hoàn phức tạp hơn từ các hàm tuần hoàn đơn giản nhất như vậy. Cộng các hàm hình sin với chu kỳ khác nhau: y0 = A0, y1 = 2 T A1sin(  t  1 ), y2 = A2sin( 2 t   2 ),... (1) (có chu kỳ là T = , ,…) thì ta vẫn  2 được một hàm tuần hoàn chu kỳ T. Vấn đề ngược lại: Có thể biểu diễn một hàm tuần hoàn  (t ) với chu kỳ T dưới dạng tổng của một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các đại lượng sinxôit dạng (1) không? Đối với một lớp khá rộng các hàm, với câu hỏi đó có thể trả lời là “biểu diễn được” nhưng chỉ khi ta thu hút toàn bộ dãy vô hạn các đại lượng dạng (1).   (t )  A0   An sin(n  t   n ) n 1
Về mặt hình học, điều này có nghĩa là: đồ thị của hàm tuần hoàn có thể thu được bằng cách chất đầy các chuỗi sinxôit. Trong vật lí ta thường gặp những vấn đề tương tự như vậy, chẳng hạn phân tích một âm phức tạp thành các âm cơ bản, phân tích một dòng điện xung thành những dòng điện dao động điều hòa. Sau đó, nhà toán học Pháp Joseph Fourier (1768 – 1830) đã chứng minh rằng một hàm số tuần hoàn chu kỳ T có thể phân tích thành “tổng” của một hằng số với T những hàm số tuần hoàn có đồ thị là những đường hình sin với chu kỳ (n là số n nguyên dương).  f(x) = A0 +  ( A cos nx  B n 1 n n sin nx) Lí thuyết Fourier ra đời đã đánh dấu một thành tựu quan trọng của giải tích thế kỉ XIX. Trong giải tích, chuỗi Fourier là một công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Lí thuyết chuỗi Fourier thiết lập một sự tương ứng giữa hàm số tuần hoàn với các hệ số Fourier. Do đó, phân tích Fourier có thể xem như một cách thức mới để nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Việc xây dựng một hàm số tuần hoàn là nghiệm của một phương trình hàm có thể dẫn đến việc xây dựng các hệ số Fourier tương ứng. Đặc biệt, lí thuyết Fourier chỉ ra rằng chỉ với hàm số sin và cosin là đủ để nghiên cứu tất cả các hiện tượng tuần hoàn. Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật. Nhìn từ góc độ toán học thì nó được áp dụng nhiều nhất trong các lĩnh vực nghiên cứu và giải phương trình vi phân, tính toán xấp xỉ,...  Kết luận: + Trong lịch sử, thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện từ việc nghiên cứu các hiện tượng lặp đi lặp lại trong vật lí, trong âm nhạc,… Một hiện tượng tuần hoàn là hiện tượng được lặp lại như cũ sau một khoảng thời gian xác định T, gọi là chu kỳ. + Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn và được đặc trưng bởi đẳng thức f(x +T) = f(x) với mọi x. + Hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là hàm Asin ( t   ) biểu diễn một dao động điều hòa. Trong toán học, các hàm số có đồ thị là đường hình sin - hàm sin và hàm cosin - là cơ sở để nghiên cứu tất cả các hàm số tuần hoàn khác. Một hàm số
f(x) tuần hoàn chu kỳ T luôn có thể phân tích được thành tổng của một hằng số với T những hàm số có đồ thị là đường hình sin có chu kỳ (n là số nguyên dương). n  f(x) = A0 +  ( A cos nx  B n 1 n n sin nx) 1.2. Đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn trong phạm vi toán ở bậc đại học Ở đây, chúng tôi chọn phân tích đồng thời hai giáo trình sau : - Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov, M.I.Skanavi (1978), Mir publishers Moscow, a review course Translated by George Yankowsky (kí hiệu là [a]) - Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, Nguyễn Đình Trí (1995), NXBGD (kí hiệu là [b]). Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là do việc trình bày các vấn đề liên quan đến hàm số tuần hoàn trong hai giáo trình này là tương đối phong phú hơn các giáo trình khác. Hơn nữa, việc so sánh giữa hai giáo trình sẽ cho phép làm rõ các cách khác nhau trong việc trình bày khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ cũng như các đặc trưng của chúng ở cấp độ đại học. Điều này sẽ làm phong phú hơn cơ sở tham chiếu để chúng tôi thực hiện phân tích SGK phổ thông ở chương 2. 1.2.1. Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [a] Trong giáo trình này, hàm số được đề cập ở chương 4. Nhưng ở đó, [a] chỉ trình bày định nghĩa và đồ thị hàm số, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu và đặc trưng đồ thị của các hàm số có các tính chất đó, còn tính chất tuần hoàn hoàn toàn không được đề cập đến. Mãi đến chương 8, nhan đề “Hàm số lượng giác của một góc”, định nghĩa hàm số tuần hoàn mới xuất hiện trong mục “Tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác”. Điều này cho thấy, trong toán học, tính tuần hoàn là một tính chất đặc trưng của các hàm số lượng giác và luợng giác là nơi khởi đầu cho việc nghiên cứu khái niệm tuần hoàn. Định nghĩa hàm số tuần hoàn được cho ở trang 292 như sau: “Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T (T  0) nếu cho bất kỳ giá trị của x, điều kiện sau được thỏa mãn:
Nếu hàm số xác định tại điểm x hoặc tại x + T thì nó xác định tại điểm còn lại và giá trị của nó tại cả hai điểm đều bằng nhau: f(x) = f(x + T). Số T được gọi là chu kỳ của hàm số f(x)”. Như vậy, khái niệm hàm số tuần hoàn được định nghĩa trên tập xác định D của hàm số. Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T  0 thỏa mãn 2 điều kiện: + Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại + f(x) = f(x + T) Theo đó, chu kỳ của hàm số có thể không duy nhất. Sự liên hệ giữa các chu kỳ được thể hiện qua một mệnh đề trình bày ngay sau định nghĩa: “Nếu T là chu kỳ của f(x) thì bất kỳ số nT với n =-1, n =  2, ..., cũng là chu kỳ của f(x). Chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số (nếu như chu kỳ tồn tại) được gọi là chu kỳ cơ sở.” Như vậy, [a] đã phân biệt hai khái niệm chu kỳ và chu kỳ cơ sở của hàm số. Như đã nói ở trên, khái niệm hàm số tuần hoàn chỉ được đưa vào khi nghiên cứu các hàm số lượng giác. Tuy vậy, sau khi đưa ra định nghĩa, [a] trình bày 3 ví dụ minh hoạ cho khái niệm hàm số tuần hoàn, trong đó các hàm số liên quan đều không phải là hàm lượng giác. Ví dụ 1: “Hàm số f(x) = c (c là hằng số) có mọi số đều là chu kỳ của nó nhưng không có chu kỳ cơ sở”. Ví dụ 2: “Gọi phần nguyên của số x (kí hiệu [x]) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Phần thập phân của số x (kí hiệu (x)) là độ chênh lệch giữa x và phần nguyên của nó: (x) = x – [x]. Phần thập phân của x là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T =1”. Ví dụ 3: “Xem xét hàm số f(x) được xác định với các giá trị của x thỏa mãn: 0  x
Có lẽ [a] giới thiệu 3 ví dụ này để chứng tỏ sự đa dạng của các hàm số tuần hoàn, cũng như chu kỳ và chu kỳ cơ sở của chúng. Hơn nữa, ví dụ 1 và ví dụ 2 là các hàm số rất đặc biệt. Ví dụ 3 minh hoạ cho việc chuyển đổi một hàm số không tuần hoàn thành một hàm số tuần hoàn. Tuy nhiên, kĩ thuật chuyển đổi đó không được đề cập một cách tường minh. Một điều đáng lưu ý là tất cả các hàm số được nói đến trong 3 ví dụ này đều có kèm theo minh hoạ đồ thị, thể hiện đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn: đó là sự lặp lại hình dạng của đồ thị trên từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Thật vậy, ở ví dụ 3, đồ thị hàm số F(x) có sự lặp lại giống nhau trên các khoảng cách đều còn đồ thị hàm số f(x) thì không có tính chất đó. Sau khi trình bày định nghĩa tổng quát và các ví dụ, [a] nhấn mạnh: “Một trong những tính chất quan trọng của các hàm số lượng giác là tính chất tuần hoàn. Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí sau về tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác. Định lí. Hàm số lượng giác sin  , cos  , tan  , cot  , sec  và cosec  là các hàm số tuần hoàn. Chu kỳ cơ sở của các hàm số sin  , cos  , sec  và cosec  bằng 2  (3600) và chu kỳ cơ sở của các hàm số tan  và cot  bằng  (1800)” Ở cuối trang, [a] lưu ý: “Ở đây chúng ta xem xét các hàm số lượng giác của một góc và chu kỳ T được nhìn nhận như một góc, lưu ý này sẽ đúng cho đến mục 107 khi chúng ta đưa vào hàm số lượng giác của một biến số”. Như vậy, trong [a], hàm số lượng giác ban đầu được định nghĩa cho các góc gắn với số đo độ hoặc radian, sau đó mới định nghĩa các hàm số lượng giác của một biến số thực tổng quát không có đơn vị 1. Định lí trên được chứng minh cho trường hợp hàm số sin  . Kết luận hàm số sin  là tuần hoàn được đưa ra khi [a] chứng minh được đẳng thức sin (2  n +  ) = sin  với mọi n là số nguyên. Từ đó, [a] chứng minh T = 2  là số dương nhỏ nhất thoả mãn sin(x + T) = sin x với mọi x để kết luận về chu kỳ cơ sở. Chứng minh đó như sau: 1 Việc phân tích các cách định nghĩa hàm số lượng giác cũng là một vấn đề thú vị nhưng không phải là trọng tâm trong luận văn này. Vì vậy, chúng tôi không đi sâu vào phân tích vấn đề này mà có thể nó sẽ được đề cập đến trong một nghiên cứu khác.
“Giả sử có số A sao cho 0 < A < 2  và sin(  +A) = sin  . Vì  là tổng quát   nên đẳng thức sau cũng đúng sin (  A)  sin  1 . Nhưng sin  = 1 khi và chỉ khi 2 2     có dạng    2 n, n  0,  1,  2, ... Như vậy, ta phải có A  2 n tức là 2 2 2 A = 2  n. Điều này mâu thuẫn với 0 < A < 2  . Như vậy, định lí được chứng minh cho hàm số sin  . Chứng minh tương tự cho các hàm số lượng giác khác”. Về mặt đồ thị, đồ thị của các hàm số lượng giác chỉ được đề cập trong mục 107: Hàm số lượng giác của một biến số. [a] không trình bày tính chất đồ thị của hàm số tuần hoàn tổng quát mà khảo sát tính chất và vẽ đồ thị của từng hàm số lượng giác cụ thể. Chẳng hạn, đối với hàm sin x, sau khi đưa ra tính chất tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2  (tính chất 3) và tính chất lẻ (tính chất 4) của hàm số, [a] đưa ra kết luận về việc vẽ đồ thị như sau: “Dựa trên tính chất 3 và 4, chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn [0;  ] và sau đó tiếp tục vẽ trên đoạn [-  ; 0] bằng tính chất hàm số lẻ. Sau đó, với đồ thị trên đoạn [-  ;  ], ta có thể dùng tính chất tuần hoàn để tiếp tục vẽ nó trên toàn bộ trục số”. Ở đây, [a] đã đề cập đến một lợi ích của tính tuần hoàn và chu kỳ trong việc nghiên cứu hàm số y = sin x. Với hàm số này, người ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị của nó trên một chu kỳ [-  ;  ]. Sau đó, dựa vào tính tuần hoàn có thể tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài bằng chu kỳ để suy ra đồ thị hàm số trên R. Như vậy, cùng một lúc hai chức năng sau đây của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ được đề cập tới thông qua một hàm số cụ thể: - Chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” - Chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một chu kỳ”. Tuy nhiên, [a] không đề cập đến phép tịnh tiến một cách tường minh. Việc sử dụng đồ thị hàm số sin x trên đoạn [-  ;  ] để tiếp tục vẽ đồ thị của nó trên toàn bộ trục số đã không được giải thích rõ. Làm thế nào có thể vẽ tiếp đồ thị hàm số trên toàn bộ trục số? Việc lí giải kĩ thuật này thuộc về trách nhiệm của giáo viên hay sinh viên? Đồ thị hàm số y = tan x được trình bày tương tự như hàm số y = sin x, còn đồ thị các hàm số y = cos x, y = cot x được suy ra từ đồ thị của hai hàm số trên bằng các phép tịnh tiến đồ thị.
Trong phần lí thuyết, sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn trên từng khoảng cách đều một số lần chu kỳ không được đề cập một cách tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đẳng thức f(x) = f(x + T) với mọi x thuộc D. Tuy nhiên, ở phần sau chúng tôi cũng tìm thấy một số ví dụ thể hiện việc ứng dụng tính chất tuần hoàn để tính giá trị của hàm số. 13 Ví dụ 3 trang 303: Cho   . Tìm sin  , cos  , tan  , cot  3  Giải. Biểu diễn    2  2.2  3 13   3 Ta có: sin  sin(2.2  )  sin  3 3 3 2 13   1 cos  cos(2.2  )  cos  3 3 3 2 13   tan  tan(4  )  tan  3 3 3 3 13   1 cot  cot(4  )  cot  3 3 3 3 Ta thấy, để tính giá trị lượng giác của góc  trên, [a] không tính trực tiếp mà sử dụng (ngầm ẩn) tính tuần hoàn của hàm số để quy về tính giá trị lượng giác của  các góc trong khoảng (0; ). Kĩ thuật này có tác dụng gì? 2 Theo chúng tôi, việc chuyển về tính giá trị lượng giác của các góc trong  khoảng (0; ) cho phép sử dụng bảng lượng giác hoặc bảng giá trị lượng giác các 2 cung góc đặc biệt để cho ra kết quả. Ngoài ví dụ trên, trong [a] còn có thêm 4 ví dụ khác và một bài tập thuộc dạng này. Qua các ví dụ này chúng ta thấy rằng, với một hàm số tuần hoàn, ta có thể tính giá trị của hàm số tại một điểm bất kỳ khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Như vậy, chức năng thứ ba của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ là “cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”. Chức năng này không được đề cập tường minh cho một hàm số tổng quát trong [a].
● Tổ chức toán học gắn liền với hàm số tuần hoàn có mặt trong [a] Kiểu nhiệm vụ T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = f(x). Chẳng hạn, bài tập (bt) 6 trang 297: “Chỉ ra các hàm số tuần hoàn trong số những hàm số sau: 1 y = cos2x, y = cos x2, y = x tan x, y = cos , y = sin x + cos x, y = 2 cot x + 3, x y = 4, y = log cos x.” Kĩ thuật  1 : + Chỉ ra số T  0 sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định D. Kết luận hàm số là tuần hoàn. + Hoặc, chứng minh không tồn tại số T như vậy. Kết luận hàm số không tuần hoàn. Công nghệ 1 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn. Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số y = f(x) (nếu nó tồn tại). Ví dụ (bt 7 trang 297): “Tìm chu kỳ cơ sở (nếu tồn tại) của những hàm số sau: sin x x y= , y = sin 2x, y = sin , y = cos x + cot x, y = 2 tan x + 3 cos x, 2 2 y = 5sinx,  x y = sin (2x - ), y = sin x + sin , y = 7, y = cos 2  x. 6 3 Kĩ thuật  2 : + Xét tính tuần hoàn của hàm số : - Nếu hàm số không tuần hoàn thì kết luận không có chu kỳ cơ sở. - Nếu hàm số tuần hoàn thì thực hiện tiếp bước sau. + Tìm số T dương nhỏ nhất thỏa mãn f(x + T) = f(x), x  D - Nếu tồn tại số T đó thì T là chu kỳ cơ sở của hàm số - Nếu không tồn tại số T đó thì hàm số không có chu kỳ cơ sở. Công nghệ  2 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, định nghĩa chu kỳ cơ sở. Kiểu nhiệm vụ T3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Ví dụ (bt 2 trang 321): “Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
y = sec x, y = 3 cos x, y = cos 3x, y = cos x , y = cos x , y = log cos x, y = - x x cos , y = x cos , y = sin  x 2 , y = 2log2 cos x .” 2 2 Xem xét số lượng ví dụ và bài tập, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T3 chiếm vị trí quan trọng nhất với các kĩ thuật tương ứng sau: Kĩ thuật  31 : + Tìm mối quan hệ giữa hàm số được đề nghị với các hàm số đã biết đồ thị, chẳng hạn như các hàm số lượng giác cơ bản. + Sử dụng các phép biến đổi đồ thị để suy ra đồ thị hàm số được yêu cầu. Công nghệ 31 : Các phép biến đổi đồ thị. Ví dụ 1 trang 317: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin x Giải. Đồ thị hàm số y = 2sin x nhận được từ đồ thị hàm số y = sin x bằng cách nhân mỗi tung độ của nó với 2. Số 0 của hàm số sin x tương ứng với số 0 của hàm số 2sin x. Suy ra đồ thị của hàm số y = 2sin x. Kĩ thuật  32 : + Tìm tập xác định của hàm số + Chứng minh hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn + Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số + Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ cơ sở + Tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài bằng chu kỳ để suy ra toàn thể đồ thị hàm số. Công nghệ 32 : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. Ví dụ 1 trang 318: Vẽ đồ thị hàm số y = log sin x Giải: + Tập xác định của hàm số gồm những giá trị x mà sin x > 0 + sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2  . Do đó, với mọi giá trị x mà log sin x xác định ta có log sin(x + 2  ) = log sin x, nghĩa là hàm số này cũng có chu kỳ 2  . Từ tính tuần hoàn, chỉ cần khảo sát hàm số trên đoạn nào đó dài 2  , chẳng hạn [0; 2  ]. Nhưng trên đoạn [0; 2  ], hàm số không xác định tại mọi điểm mà chỉ xác định trên khoảng (0;  ) và do đó, sau đây ta chỉ khảo sát hàm số trên khoảng (0;  ) […].
Nhận xét: Các hàm số được đề cập trong các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ trên tương đối đa dạng bao gồm các hàm số lượng giác, hàm hằng, hàm hợp của hàm số lượng giác và hàm đa thức hoặc hàm hợp của hàm số lượng giác và hàm logarít,... Việc sử dụng tính chất tuần hoàn để giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn được đặc biệt nhấn mạnh. Với các hàm số đã cho trong các ví dụ và bài tập 2 trang 321 thì kĩ thuật khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên chu kỳ cơ sở rồi sử dụng tính tuần hoàn để suy ra toàn thể đồ thị (kĩ thuật  32 ) là rất cần thiết. 1.2.2. Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [b] Trong giáo trình này, định nghĩa hàm số tuần hoàn được đưa vào trang 39 như sau: “Giả sử hàm y = f(x) xác định trên tập X. Nếu f(x) = f(x + a),  x  X (*) trong đó a là một hằng số nào đó thì hàm f(x) được gọi là hàm tuần hoàn trên X. Vì (*) đúng với mọi x X nên ta có: f ( x )  f ( x  a )  f ( x  2a )  ....  f ( x  ka )  ... , với k  N. Vậy nếu hàm f(x) tuần hoàn trên X thì không phải chỉ có một hằng số a sao cho ta có đẳng thức (*) mà có vô số hằng số như vậy. Hằng số dương bé nhất (nếu có) sao cho ta có hệ thức (*) với mọi x  X được gọi là chu kỳ của hàm f(x).” Vậy hàm số tuần hoàn cũng được định nghĩa trên tập xác định của nó. Mặc dù [b] nhấn mạnh nếu hàm số f(x) tuần hoàn thì không phải chỉ có 1 số a thỏa mãn (*) mà có vô số hằng số như vậy nhưng chu kỳ của hàm số được định nghĩa là duy nhất. Nó là số dương nhỏ nhất trong các hằng số thỏa (*) (tương ứng với chu kỳ cơ sở trong [a]). Ở đây ta thấy, thông qua đẳng thức: Với mọi x  X , f ( x )  f ( x  a )  f ( x  2a )  ....  f ( x  ka )  ... , với k  N, [b] đã cho thấy rõ hơn sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn tại những điểm cách nhau 1 số lần chu kỳ. Tuy nhiên, chức năng “cho phép tính giá trị hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đã không được nêu lên một cách tường minh. Tiếp đó, đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn cũng chỉ được đề cập ngầm ẩn thông qua nhận xét sau:
“Từ đẳng thức (*) suy ra đồ thị của hàm tuần hoàn chu kỳ T có thể suy ra từ  T T đồ thị của hàm đó trong một khoảng dài T, chẳng hạn [0; T] hay   ;  bằng  2 2 những phép tịnh tiến song song với trục Ox những đoạn  kT”. Như vậy, [b] đã nhấn mạnh lợi ích của việc xem xét tính tuần hoàn của hàm số khi vẽ đồ thị của nó. Điều đó có nghĩa là chức năng thứ hai của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ (chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”) đã được đề cập tường minh trong phần lí thuyết. Chức năng thứ nhất (giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số) không được đề cập tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đoạn trích trên. Tiếp đó, khi đề cập đến những hàm sơ cấp cơ bản, [b] đã đưa vào các hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x. Tính tuần hoàn, chu kỳ và đồ thị của các hàm số này chỉ được trưng ra mà không có bất cứ giải thích nào kèm theo. ● Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số tuần hoàn có mặt trong [b] Trong giáo trình [b], chỉ có 1 bài toán liên quan đến hàm số tuần hoàn và chu kỳ thuộc vào hai kiểu nhiệm vụ sau: T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số. T2: Tìm chu kỳ của hàm số. Sự tồn tại duy nhất hai kiểu nhiệm vụ T1, T2 cho thấy trong giáo trình này, tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số chỉ là đối tượng nghiên cứu. Chúng không được sử dụng như những công cụ để giải toán. Các chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ không được thể hiện trong phần bài tập. 1.3. Khái niệm tuần hoàn trong giáo trình Vật lí ở bậc Đại học Tài liệu phân tích: Vật lí đại cương, Tập 2: Điện, Dao động, Sóng, Lương Duyên Bình, Dư Trí Công, Nguyễn Hữu Hồ (2001), NXBGD (kí hiệu là [c]). Bắt đầu từ việc nghiên cứu dao động của một con lắc, [c] khảo sát sự phụ thuộc của độ dời x theo thời gian t để đi đến định nghĩa dao động điều hòa như sau: “Dao động điều hòa là dao động trong đó độ dời là một hàm số sin của thời gian t: x = A cos ( t   ) , A > 0 (1) dx Suy ra v = = - A  sin (t   ) (2) dt
dv a= = - A  2 cos (t   ) (3) dt Các phương trình (1), (2), (3) chứng tỏ độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là 2 những hàm tuần hoàn của t với chu kỳ T0 = […].”  Ở đây, hàm số tuần hoàn (cụ thể là hàm cosin và hàm sin) được sử dụng để mô tả dao động điều hòa. Việc kết luận độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là những 2 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T0 = được giải thích như sau:  “Quả vậy, dễ dàng nhận thấy rằng: x(t + T0) = x(t), v(t + T0) = v(t), a(t + T0) = a(t) [...].” (4) Như vậy, để kết luận T0 là chu kỳ của các hàm số trên, [c] không đề cập đến tính dương và nhỏ nhất của T0 mà chỉ giải thích do T0 thỏa mãn các đẳng thức (4). Từ đó, [c] gọi T0 là chu kỳ dao động của con lắc. Ta thấy, chu kỳ của hàm số tuần hoàn mô tả độ dời, vận tốc, gia tốc của con lắc (chu kỳ theo nghĩa toán học) chính bằng chu kỳ dao động của nó (chu kỳ theo nghĩa vật lí). [c] đã đồng nhất hai khái niệm chu kỳ này là một, sau đó mới đưa vào định nghĩa tổng quát về chu kỳ dao động như sau: “Chu kỳ của một dao động là thời gian ngắn nhất để hệ biến đổi từ một trạng thái chuyển động nào đó lại trở lại trạng thái ấy”. Tương ứng với giáo trình [b] (Toán học cao cấp, Nguyễn Đình Trí), chu kỳ được định nghĩa là số T dương bé nhất sao cho giá trị của hàm số lặp lại (f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D thì trong [c], chu kỳ dao động là thời gian ngắn nhất để trạng thái của vật lặp lại như cũ. Nói cách khác, định nghĩa chu kỳ của hàm số trong [b] hoàn toàn tương thích với định nghĩa chu kỳ dao động trong [c]. Kết luận chương 1 Trong chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và làm rõ một số cách trình bày những khái niệm này trong các giáo trình Toán ở bậc đại học. Ngoài ra, chúng tôi cũng đã phân tích sự hiện diện của khái niệm tuần hoàn trong môn Vật lí ở cấp độ này và sự nối khớp giữa Toán học và Vật lí. Sau đây là một số kết quả chính của phân tích trong chương 1. - Về định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ: