Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơn điệu và một số khái niệm cơ bản dùng trong toàn bộ luận văn. Chương 2 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu và phương pháp lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER - TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER - TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TS. Nguyễn Bường Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS. TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt nam, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo công tác tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà nội đã truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin, các bạn đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2015. Học viên Vũ Xuân Quỳnh 1
Mục lục Mở đầu 3 1 Khái niệm cơ bản 5 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 8 1.2.2 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . 10 1.3 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu . . . . . . . 16 2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov 19 2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu 19 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich . . . . . . . . 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 2
Mở đầu Trong các lớp bài toán nảy sinh từ khoa học, kỹ thuật và các nghành kinh tế quốc dân tồn tại một lớp bài toán mà nghiệm không ổn định với dữ kiện ban đầu. Khi dữ kiện ban đầu thay đổi đi một chút phương trình có thể không có nghiệm hoặc nếu có thì nghiệm tương ứng lại cách xa nghiệm chính xác rất nhiều. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh và đặt ra yêu cầu tìm những phương pháp giải ổn định các bài toán này. Ta xét bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử A(x) = f, f ∈ X, (1) trong đó A là toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y. Khi đó bài toán này có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov h Fδ,α (x) = ||Ah (x) − fδ ||2 + αΩ(x), ở đây x ∈ D(Ah ) = D(A), cùng với việc chọn tham số α = α(h, δ) thích hợp, (Ah , fδ ) là xấp xỉ của (A, f ), α > 0 là tham số hiệu chỉnh, Ω(x) là phiếm hàm ổn định. Tuy nhiên khi bài toán là phi tuyến thì việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov trở nên khó khăn. Do đó để giải quyết bài toán trong trường hợp phi tuyến, khi A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, trong [7] Browder đã đề xuất một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov bằng cách sử dụng một toán tử có tính chất h-liên tục và đơn điệu mạnh. Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] đã sử dụng ánh xạ đối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh bài toán. Để tìm nghiệm cho bài toán (1), chúng tôi xem xét phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov có dạng A(x) + α(x − x+ ) = fδ , (2) 3
trong đó A : X → X là toán tử loại J-đơn điệu trong không gian Banach X có tính chất xấp xỉ. Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh thì (2) có nghiệm duy nhất xδα hội tụ tới x0 là nghiệm của (1). Ta cũng chỉ ra được sự hội tụ này khi J không có tính liên tục yếu theo dãy nhưng được bổ sung thêm hai điều kiện ||A(x) − A(x0 ) − J ∗ A0 (x0 )∗ J(x − x0 )|| ≤ τ ||A(x) − A(x0 )||, (3) trong đó x ∈ X , τ > 0, J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗ , x0 là nghiệm của (1) và tồn tại z ∈ X sao cho A0 (x0 )z = x+ − x0 . (4) Cuối cùng, khi J không liên tục yếu theo dãy và không thỏa mãn hai điều kiện (3), (4) thì nghiệm hiệu chỉnh của phương pháp này vẫn hội tụ tới nghiệm của bài toán. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơn điệu và một số khái niệm cơ bản dùng trong toàn bộ luận văn. Chương 2 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu và phương pháp lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh trên. Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn! 4
Chương 1 Khái niệm cơ bản Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày khái niệm và một số ví dụ về không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và thuật toán hiệu chỉnh. Trong mục 1.3, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích hàm có liên quan tới luận văn và phương trình với toán tử loại J-đơn điệu. Các kiến thức được tham khảo từ các tài liệu [1], [4] và [7]. 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1. Cho (X, d) là một không gian metric. Dãy {xn } ⊂ (X, d) được gọi là dãy cơ bản nếu ∀ > 0 ∃ N = N (), ∀ m, n ≥ N ⇒ d(xm , xn ) < . (X, d) được gọi là không gian metric đủ, nếu mọi dãy cơ bản có giới hạn trong X. Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian tuyến tính. Ta nói X là không gian tuyến tính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số, gọi là chuẩn của x (kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau: a) Xác định dương: ∀x ∈ X, ||x|| ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0; b) Thuần nhất dương: ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R thì ||λx|| = |λ|.||x||; c) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. 5
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ. Ví dụ 1.1. Không gian Rn với chuẩn Euclid và khoảng cách được xác định như sau: n 1 X ||x|| = ( |ξi |2 ) 2 , i=1 d(x, y) = ||x − y||, với x = (ξ1 , ξ2 , ...., ξn ) ∈ Rn , y ∈ Rn là không gian Banach. Ví dụ 1.2. Không gian các hàm thực liên tục C[a,b] với chuẩn và khoảng cách xác định như sau: ||x|| = max |x(t)|, a≤t≤b d(x, y) = max |x(t) − y(t)|, a≤t≤b với x(t), y(t) ∈ C[a, b] là không gian Banach. Ví dụ 1.3. Không gian lp ( p ≥ 1), tập các dãy số η1 , η2 , ...., ηn , ... thỏa mãn ∞ X |ηn |p < ∞ n=1 là không gian Banach. Thật vậy, với x = (η1 , η2 , ...), y = (ν1 , ν2 , ....) ∈ lp (p ≥ 1) chuẩn và khoảng cách được xác định như sau: ∞ X 1 ||x|| = ( |ηn |p ) p , n=1 ∞ X 1 ||x − y|| = ( |ηn − νn |p ) p . n=1 (m) (m) Giả sử {xm }∞ m=1 là dãy Cauchy trong lp , trong đó xm = (η1 , η2 , ...). Do đó với mọi > 0 ∃m0 , ∀m ≥ m0 , ∀r nguyên dương, ta có ||xm − xm+r || ≤ 6
hay ∞ X 1 ( |ηn(m) − ηn(m+r) |p ) p ≤ , n=1 (m) (m+r) (m) suy ra |ηn − ηn | ≤ ∀n, ∀m ≥ m0 , do dó ∀n ∃ limm→∞ ηn = ηn0 . (m) (m+r) p p1 Như vậy, ( N P n=1 |η n − η n | ) ≤ ∀N. Cho r → ∞ thì ta được N X 1 ( |ηn(m) − ηn0 |p ) p ≤ ∀N. n=1 Ta cho N → ∞ thì ∞ X 1 ( |ηn(m) − ηn0 |p ) p ≤ , n=1 (m) (m) từ đây z := (η1 − η10 , η2 − η20 , ...) ∈ lp . Suy ra x0 = (η10 , η20 , ...) = (m) (m) (m) (m) (η1 , η2 , ...) − (η1 − η10 , η2 − η20 , ...) = xm − z ∈ lp . Nên ||z|| = ||xm − x0 || ≤ ∀m ≥ m0 , hay x0 = limm→∞ xm . Vậy lp là không gian Banach. Ví dụ 1.4. Không gian co tập tất cả các dãy số µ1 , µ2 , ...., µn , .... hội tụ tới 0 là không gian Banach. Trong không gian này, chuẩn và khoảng cách được xác định bởi: ||x|| = sup |µn |, n d(x, y) = ||x − y||, (k) (k) trong đó x, y ∈ co . Cho {xk } là dãy Cauchy trong co , ở đây xk = (µ1 , µ2 , ...). Khi đó ∀ > 0 ∃k0 , ∀k ≥ k0 , ∀p nguyên dương thì ||xk − xk+p || ≤ . Vì (k) (k) (k+p) ||xk || = supn |µn | nên |µn − µn | ≤ ∀n. Do đó khi n cố định thì (k) (k) {µn } là dãy Cauchy, vì vậy tồn tại µ0n để limk→∞ µn = µ0n . Ta suy ra (k) (k) |µn − µ0n | ≤ ∀n. Với k cố định thì limn→∞ µn = 0 nên ∃n0 ∀n ≥ n0 (k) (k) (k) để |µn | ≤ . Từ đây |µ0n | ≤ |µn | + |µn − µ0n | ≤ 2 ∀n ≥ n0 . Do vậy x0 = (µ01 , µ02 , ...) ∈ co và limk→∞ xk = x0 . 7
1.2 Bài toán đặt không chỉnh 1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Cho phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) trong đó A : (X, d) → (Y, ρ)., X, Y là các không gian mêtric. Phương trình (1.1) là đặt chỉnh nếu: • Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x(f ) ∈ X của (1.1); • Nghiệm này là duy nhất; • Nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (f, A). Phương trình (1.1) được gọi là đặt không chỉnh nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, tức là, • Phương trình (1.1) không có nghiệm; • Phương trình (1.1) có nhiều hơn một nghiệm; • Phương trình (1.1) có nghiệm x = x(f ) không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện bài toán. Ví dụ 1.5. Cho phương trình tích phân Fredholm loại 1 Z b K(t, s)x(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], (1.2) a −∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞, trong đó x(s) là nghiệm, vế phải f0 (t) là một hàm số cho trước, nhân dK K(t, s) và là các hàm liên tục. Ta giả thiết nghiệm x(s) ∈ C[a, b] với dt khoảng cách giữa hai hàm x1 và x2 trong lớp đó là ρC[a,b] (x1 , x2 ) = max |x1 (s) − x2 (s)|. s∈[a,b] 8
Khoảng cách giữa hai hàm f1 (t) và f2 (t) trong L2 [c, d] là nZ d o1/2 2 ρL2 [c,d] (f1 , f2 ) = |f1 (t) − f2 (t)| dt . c Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm x0 (s). Khi đó, với vế phải Z b f1 (t) = f0 (t) + N K(t, s) sin(ωs)ds a phương trình (1.2) có nghiệm x1 (s) = x0 (s) + N sin(ωs). Với N bất kỳ và ω đủ lớn, thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong L2 [c, d] là nZ dhZ b i2 o1/2 ρL2 [c,d] (f0 , f1 ) = |N | K(t, s) sin(ωs)ds dt c a có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt Kmax = max |K(t, s)|, s∈[a,b],t∈[c,d] ta tính được dh nZ 1 i2 o1/2 ρL2 [c,d] (f0 , f1 ) ≤ |N | Kmax (cos(ωb) − cos(ωa) dt c ω |N |Kmax c0 ≤ , ω N ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tùy ý, nhưng lại ω nhỏ. Khi đó, ρC[a,b] (x0 , x1 ) = max |x0 (s) − x1 (s)| = |N | s∈[a,b] có thể lớn bất kỳ. Do đó bài toán là đặt không chỉnh. Ví dụ 1.6. 9
Xét chuỗi Fourier ∞ X f1 (t) = an cos(nt) n=0 với hệ số (a0 , a1 , ..., an ...) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an + n , n ≥ 1 và c0 = a0 . Khi đó chuỗi Fourier tương ứng là ∞ X f2 (t) = cn cos(nt) n=0 cũng có hệ số (c0 , c1 , ....., cn , ....) ∈ l2 . Khoảng cách giữa chúng là ∞ ∞ r nX 2 o1/2 nX 1 o1/2 π2 1 = (cn − an ) = 2 = . n=0 n=0 n 6 Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ tùy ý. Tuy nhiên ∞ X 1 f2 (t) − f1 (t) = cos(nt) n=1 n có thể làm lớn tùy ý. Như vậy bài toán này là không ổn định nếu xét trong không gian các hàm với độ đo đều. Nhưng khi xét trong không gian L2 [0, π] thì nZ π o1/2 n Z π
X∞
2 o1/2 2 [f2 (t) − f1 (t)] dt = (cn − an ) cos(nt)
dt
0 0 n=0 ∞ r nX π 2 o1/2 π = (cn − an ) = 1 . n=1 2 2 Ta thấy bài toán lại ổn định. Như vậy, một bài toán có thể là không chỉnh trên cặp không gian này nhưng có thể là đặt chỉnh trong cặp không gian khác. 1.2.2 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ||fδ − f || ≤ δ → 0. Bài toán đặt ra cần xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc tham số nào đó tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ hội tụ tới nghiệm x0 . 10
Định nghĩa 1.4. Toán tử R(fδ , α) phụ thuộc tham số α, tác động từ không gian Banach Y vào không gian Banach X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.1), nếu: • Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(fδ , α) xác định với mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ , f ) ≤ δ , δ ∈ (0, δ1 ); • Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ , δ) sao cho ∀ > 0 tồn tại δ() ≤ δ1 : ∀fδ ∈ Y, ρY (fδ , f ) ≤ δ ≤ δ1 → ρX (xα , x0 ) ≤ , ở đây xα ∈ R(fδ , α(fδ , δ)). Ví dụ 1.7. Bài toán tính gần đúng đạo hàm. df (t) Tính giá trị z = , chỉ biết fδ (t) = f (t) + g(t), ở đây ||g(t)|| ≤ δ ∀t. dt Đạo hàm z được tính dựa vào tỉ sai phân f (t + α) − f (t) R(f, α) = α f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t) Khi đó R(fδ , α) = + . α α f (t + α) − f (t)
g(t + α) − g(t)