Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:93

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu việc vận dụng bốn bước giải bài tập toán theo lược đồ của Polya vào giải một số bài tập theo phương pháp hình học, cụ thể là bằng cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán đại số bằng phương pháp hình học , qua đó phát triển năng lực giải toán cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC HOÀNG THỊ KIM ANH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ ĐƢỜNG TRÒN LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC HOÀNG THỊ KIM ANH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ ĐƢỜNG TRÒN LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8.14.01.11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Định HÀ NỘI – 2019
LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trƣờng Đại học Giáo Dục Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập tại Trƣờng. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giảng dạy bộ môn Toán đã nhiệt tình giảng dạy, trang bị những kiến thức nền tảng cũng nhƣ những kinh nghiệm quý báu về dạy học bộ Toán, công việc mà tôi yêu thích và sẽ gắn bó trong suốt cuộc đời của mình Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo TS. Lê Đình Định, ngƣời đã truyền cảm hứng và nhẫn nại hƣớng dẫn tôi những bƣớc đi đầu tiên trên con đƣờng nghiên cứu khoa học. Mặc dù rất bận rộn trong công việc, thầy vẫn luôn quan tâm, lắng nghe, và khích lệ để tôi tự tin, quyết tâm nghiên cứu, hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cùng các thầy cô trong tổ Toán và các em học sinh của trƣờng THPT Ngọc Tảo, Phúc Thọ đã giúp đỡ cho quá trình thử nghiệm sƣ phạm của luận văn đƣợc diễn ra thuận lợi, nghiêm túc. Mặc dù đã rất cố gắng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn xin chân trọng lắng nghe những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và đồng nghiệp. Hà Nội, tháng 10 năm 2019 Tác giả luận văn Hoàng Thị Kim Anh i
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ SGK Sách giáo khoa SBT Sách bài tập THPT Trung học phổ thông ii
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Phân phối tần số kết quả bài kiểm tra số 1 ........................... 80 Bảng 3.2. Phân phối tần suất kết quả bài kiểm tra số 1 ....................... 80 iii
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... i DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ................................................................ ii DANH MỤC CÁC BẢNG ............................................................................. iii MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 3 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ......................................................................... 3 6. Giả thuyết khoa học ................................................................................. 4 7. Cấu trúc luận văn ..................................................................................... 4 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................ 5 1.1. Kĩ năng ................................................................................................... 5 1.1.1. Khái niệm kĩ năng .......................................................................... 5 1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng .................................................................... 5 1.2. Kĩ năng giải toán .................................................................................. 6 1.2.1. Khái niệm kĩ năng giải toán .......................................................... 6 1.2.2. Phânzloạizkĩznăngzgiảiztoán ........................................................ 6 1.2.3. Sự hình thành kĩ năng giải toán .................................................... 8 1.2.4. Vai trò của kĩ năng giải toán ......................................................... 9 1.3. Một số tri thức về hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai ....................... 9 1.3.1. Hệ gồm hai phƣơng trình bậc nhất ............................................... 9 1.3.2. Hệ gồm một phƣơng trình bậc nhất và một phƣơng trình bậc hai ............................................................................................................. 11 1.4. Một số tri thức về đƣờng thẳng, đƣờng tròn ................................... 14 1.4.1. Đƣờng thẳng ................................................................................. 14 iv
1.4.2. Đƣờng tròn .................................................................................... 14 1.4.3. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn .................... 14 1.5. Thực trạng dạy và học giải toán hệ phƣơng trình bậc nhất và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn. ...................................... 15 Kết luận chƣơng 1 ......................................................................................... 18 CHƢƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HÌNH TRÒN .............................................................................................................. 19 2.1. Định hƣớng việc xây dựng và thực hiện các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn ...................................................................................... 19 2.1.1. Tổ chức dạy học bám sát con đƣờng hình thành và phát triển kĩ năng giải Toán, đặc biệt là quy trình hoạt động – kĩ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn. .......... 19 2.1.2. Tổ chức hoạt động học tập chủ động, tích cực trong quá trình học lí thuyết để làm cơ sở cho hoạt động giải Toán. .......................... 20 2.1.3. Tăng cƣờng thực hành luyện tập giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn. ................................................... 21 2.1.4. Chú trọng rèn luyện và củng cố kĩ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề hình tròn qua các tình huống chứa sai lầm. ..................................................................................................... 24 2.2. Một số biện pháp sƣ phạmzzzz ............................................................. 25 2.2.1. Biện pháp 1: Củng cố và truyền thụ tri thức, phƣơng pháp một cách hợp lí trong dạy học giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn ............................................................................................ 25 2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng và sử dụng hợp lí hệ thống bài tập giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn. ................. 29 Dạng toán 1: Hệ gồm 2 phƣơng trình bậc nhất .................................... 30 v
Dạng toán 2: Hệ gồm 2 phƣơng trình bậc hai ..................................... 34 Dạng toán 3: Hệ gồm 1 phƣơng trình bậc nhất và 1 phƣơng trình bậc hai ............................................................................................................. 36 Dạng toán 4: Một số bài toán liên quan đặc đặc biệt .......................... 44 c) Sử dụng hệ thống bài tập đã xây dựng để luyện tập cho học sinh những hoạt động tƣơng ứng với các thành phần của kĩ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn ........................................ 62 2.2.3. Biện pháp 3: Sƣu tầm, chọn lọc và khai thác những ví dụ chứa đựng khó khăn, sai lầm để tổ chức cho học sinh phát hiện và khức phục ......... 62 Kết luận chƣơng 2 ......................................................................................... 65 CHƢƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 66 3.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................... 66 3.2. Nội dung thực nghiệm....................................................................... 66 3.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 66 3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm ................................................................ 66 3.3.2. Kế hoạch thực nghiệm ................................................................. 67 3.4. Kết quả thực nghiệm .......................................................................... 79 3.4.1. Phân tích định tính ....................................................................... 79 3.4.2. Phân tích định lƣợng .................................................................... 80 Kết luận chƣơng 3 ......................................................................................... 81 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .............................................................. 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 85 vi
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong nhà trƣờng phổ thông, để thực hiện mục tiêu giáo dục thì môn toán đóng một vai trò, vị trí và ý nghĩa rất quan trọng. Dạy học môn Toán nhằm: cung cấp cơ bản, thiết thực các tri thức, kĩ năng, phƣơng pháp toán học hƣớng tới hình thành, nâng cao các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, tạo thói quen tự giác học thƣờng xuyên, liên tục với các cấp học cao hơn hay học nghề, vận dụng vào đời sống lao động thực tiễn.Việc học tập môn toán đƣợc diễn ra trong nhà trƣờng phổ thông chủ yếu là hoạt động giải toán. Điều này đòi hỏi giáo viên cần phải rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. Bên cạnh đó, năm 2017, lần đầu tiên xuất hiện hình thức bài thi tổ hợp liên môn và cũng là lần đầu tiên hình thức thi trắc nghiệm khách quan chiếm 4/5 số môn thi. Trong đó môn Toán thay đổi từ hình thức thi tự luận truyền thống sang hình thức thi trắc nghiệm 50 câu/1 bài thi. Điều này yêu cầu học sinh phải xử lý, tính toán linh hoạt hơn mới có thể hoàn thành bài thi trong thời gian quy định. Trong chƣơng trình học và thi môn Toán THPT thì bài tập và ứng dụng của hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng. Ngoài những dạng cơ bản, đơn giản trong SGK, SBT, trong các kì thi học sinh còn gặp những dạng toán đòi hỏi kĩ năng tổng hợp và sự sáng tạo nhất định. Nếu giải các bài hệ phƣơng trình bậc nhất và bậc hai chỉ theo cách giải đại số thông thƣờng thì học sinh sẽ khó đáp ứng đƣợc thời gian yêu cầu của kì thi THPT quốc gia theo hình thức trắc nghiệm. Chính vì vậy việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn là cần thiết, qua đó học sinh: Nhận dạng, phân loại, tìm phƣơng pháp giải phù hợp, linh 1
hoạt, sáng tạo và nhanh chóng. Học sinh không thụ động chỉ giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp đại số thông thƣờng mà có thêm các lựa chọn về hƣớng làm, giúp học sinh chủ động, sáng tạo, tìm tòi đƣợc cách giải nhanh và phù hợp nhất. Giúp học sinh phát triển về tƣ duy và liên tƣởng hình học. Xuất phát từ những lý do trên, để nâng cao hiệu quả dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi mới trong giáo dục, đồng thời để đảm bảo tính khả thi của chủ đề nghiên cứu, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ là: “ Rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn” 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc vận dụng bốn bƣớc giải bài tập toán theo lƣợc đồ của Polya vào giải một số bài tập theo phƣơng pháp hình học, cụ thể là bằng cách xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn, nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán đại số bằng phƣơng pháp hình học , qua đó phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Đồng thời đề xuất một số biện pháp dạy học nhằm nâng cao năng lực giải toán hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai một cách đa dạng, phong phú góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học môn toán. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu là phƣơng pháp rèn luyện kĩ năng giải toán hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn - Phạm vi nghiên cứu là chƣơng trình toán đại số lớp 10 và 12, chủ đề vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng, đƣờng tròn, các vận dụng của chúng vào giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Bám sát nghiên cứu các nội dung, chƣơng trình học trong SGK để tìm tòi, phát triển chủ đề gắn liền với thực tiễn - Xây dựng một số chủ đề toán học gắn liền với thực tiễn. - Xây dựng hệ thống bài tập có chọn lọc và hệ thống hợp lý theo các cấp độ - Nghiên cứu phƣơng pháp dạy học phù hợp với chủ đề xây dựng nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán của học sinh. - Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm tại trƣờng THPT Ngọc Tảo để đánh giá tính phù hợp của các biện pháp đã đề xuất trong việc rèn kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh trong dạy học môn Toán. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Cáczphƣơngzphápznghiênzcứuzlýzluận:zTìmzkiếmzvàzthuzthập các tài liệu có liên quan đến đề tài. Sử dụng một số phƣơng pháp nhƣ phân tích, đánh giá, tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa … các tài liệu thu thập đƣợc. - Cáczphƣơngzphápznghiênzcứuzthựcztiễn: + Tổng kết kinh nghiệm quá trình công tác của bản thân, học hỏi và tiếp thu ý kiến của đồng nghiệp. + Quan sát quá trình học tập của học sinh qua các giờ học, trao đổi trực tiếp với học sinh để tìm ra những khó khăn vƣớng mắc của học sinh khi giải bài tập toán liên quan đến chủ đề này và tìm ra biện pháp khắc phục. - Phƣơngzphápzthựcznghiệmzsƣzphạm: + Thể hiện các biện pháp đã đề xuất trong dạy học giải hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đƣờng tròn cho học sinh THPT Ngọc Tảo, Phúc Thọ. 3
+ Kiểm tra, phân tích kết quả thử nghiệm và đánh giá hiệu quả của các biện pháp sƣ phạm. 6. Giả thuyết khoa học Nếu hƣớng dẫn học sinh cách tìm lời giải bài toán theo bốn bƣớc trong lƣợc đồ của Polya và xây dựng đƣợc hệ thống bài tập nhằm rèn luyện đƣợc kĩ năng giải toán cho học sinh bằng cách xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn trong chƣơng trình lớp 10, đồng thời có các biện pháp sƣ phạm phù hợp sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Giúp học sinh không chỉ khắc sâu kiến thức đã học mà còn mở rộng và kết nối thành một hệ thống các tri thức, phát huy tính chủ động ,sáng tạo và tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới , góp phần nâng cao chất lƣợng học tập môn Toán trong trƣờng THPT. 7. Cấu trúc luận văn Ngoàizphầnzmởzđầu,zkết luận,zkhuyến nghị,ztài liệu thamzkhảo, phụ lục, nội dung chính của luậnzvăn đƣợcztrìnhzbàyztrongz3zchƣơng: Chƣơng 1. Cơzsởzlýzluậnzvàzthựcztiễnzcủazđềztài Chƣơng 2. Rèn luyện kĩ năng giải toán hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đƣờng tròn Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm 4
CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Kĩ năng 1.1.1. Khái niệm kĩ năng Theo Từ điển Hán – Việt của Phan Văn Các ( 1992): “ Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn”. Trong đó, khả năng đƣợc hiểu là: Sức đã có ( có về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì” [2, tr548] Theo giáo trình Tâm lí học đại cƣơng thì : Kĩ năng (KN) là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát triển những thuộc tính, bản chẩt của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [3,tr149] “ Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận đƣợc. Kĩ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [4, tr.99] Có rất nhiều cách định nghĩa khác nhau về kĩ năng bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn hay góc nhìn cá nhân của nhà nghiên cứu. Tuy nhiên trong phạm vi luận văn này, ta sẽ hiểu về kĩ năng nhƣ sau: “ Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức ( khái niệm, định nghĩa, định lí, thuật giải, phƣơng pháp) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. 1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng Trongzvậnzdụngztazthƣờngzchúzýzđếnzcáczđặczđiểmzcủazkỹz năng: - Bất kì kĩznăng nào cũngzphải dựa trên cơzsởzlýzthuyết, đó chính là kiếnzthức, bởi vì cấuztrúc của kĩznăng baozgồm: Hiểu mục đích – biết cáchzthức đi đến kếtzquả - hiểu những điềuzkiện để triểnzkhai những cáchzthức đó. Kiếnzthức là cơzsở của kĩznăng khi kiếnzthức đó phảnzánh đầy đủ các thuộcztính bảnzchất của đốiztƣợng, đƣợc thửznghiệm trong thựz tiễn và tồnztại trong ýzthức với tƣzcách là côngzcụ của hànhzđộng. Nhƣ 5
vậy, kĩznăngzgiảizToán cũng phải dựa trên cơzsở trizthức Toánzhọc ( bao gồm kiếnzthức, kĩznăng, phƣơngzpháp). Do vậy, nói đến kĩ năng giảizToán không thể táchzrời với phƣơngzpháp Toánzhọc nhằm hìnhzthành và rènzluyện những kĩznăng đó. - Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa, chính xác hóa lại kiến thức. Điều này vừa là tính chất, đồng thời là một mục tiêu quan trọng trong dạy học. - Kĩznăng chỉ cózthể hìnhzthành trong hoạtzđộng và bằng hoạtzđộng. Kĩ năng và trizthức thốngznhất trong hoạtzđộng. Tri thức là cần thiết để định hƣớng, tiến hành các thao tác. Mứczđộ thànhzthạo của các thaoztác đƣợc hiểu nhƣ là kĩznăng. Các thaoztác này đƣợc thựczhiện dƣới sự kiểmztra của trizthức. Conzđƣờng đi từ chỗ có trizthức đếnzchỗ có kĩznăng tƣơngzứng là conzđƣờng luyệnztập. 1.2. Kĩ năng giải toán 1.2.1. Khái niệm kĩ năng giải toán Theo G.Polya [8] : Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài Toán, thực hiện các chứng minh cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận đƣợc. “Kĩ năng giải Toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các bài tập Toán học”. Kĩ năng giải Toán dựa trên cơ sở của tri thức Toán học bao gồm: Kiến thức, kĩ năng và phƣơng pháp. Học sinh sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình tập luyện, củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng đƣợc hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học. 1.2.2. Phânzloạizkĩznăngzgiảiztoán Hệzthốngzkĩznăngzgiảiztoán của họczsinh có thể chia làm ba cấpzđộ: biết làm, thànhzthạo và sángztạo trong việczgiảizcáczbàiztoán cụzthể. Trongzgiảiztoán, họczsinh cầnzcó nhữngznhómzkĩznăngzsau: 6
- Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: học sinh đƣợc rèn luyện kĩ năng này trong quá trình giải quyết yêu cầu của bài toán. Cần chú ý, kĩ năng chuyển từ tƣ duy thuận sang tƣ duy nghịch để nắm vững và vận dụng kiến thức (một thành phần của tƣ duy Toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều và biến đổi ngƣợc chiều diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tƣởng thuận. - Kĩ năng tính toán: Đây là đòi hỏi cần thiết, thƣờng gặp trong thực tiễn cuộc sống. Ởzđâuzcũngzcần kĩznăngztínhztoán, đó là tínhzđúng, tínhznhanh và tính hợpzlý. Để có đƣợc kĩ năng này cần có các đức tính là cẩn thận, tỉ mỉ, phản ứng nhanh và có sự cố gắng bền bỉ. - Kĩznăngztrìnhzbàyzlờizgiảizkhoazhọc, sử dụngzbiểuzđồ, sơzđồ, đồzthị, đọc, vẽzhình,... chính xác, rõ ràng - Kĩ năng ƣớc lƣợng đo đạc: là một kĩ năng cần thiết và rèn luyện cho học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt là đối với kĩ năng vẽ hình, học sinh cần lƣu ý vẽ hình chính xác theo quy ƣớc, đúng với giả thiết mà đề bài cho, nét vẽ rõ ràng và hình vẽ dễ nhìn. - Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: xuất hiện trong giả thiết và yêu cầu của bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trƣờng vào thực tiễn, tạo hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm đƣợc thực chất nội dung vấn đề, tránh hiểu toán học một cách thô cứng, mang tính chống đối, hình thức. - Kĩznăngzhoạtzđộngztƣzduyzhàm:zTƣzduy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tƣơng ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng. Tƣzduyzhàmzđóngzvaiztròzquanztrọng và xuyên suốt trong chƣơng trình 7
toán phổ thông. Nhữngzhoạtzđộng tƣ duy hàm là: Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tƣơng ứng, hoạtzđộng nghiên cứu tƣơng ứng. - Kĩznăngztổngzhợp: Đó là kĩznăngzliênzkết các dữzkiện trong bàizToán; kháizquátzcáczdấuzhiệu, tómztắtznộizdung bàizToán; xác định rõ giả thiết, kết luận; kếtzcấu lại đềzToán, định hƣớng tiến trình giảizToán - Kĩznăngzphânztích: Cózkĩznăngznày, họczsinhzbiếtzphânztích các quan hệ và cấuztrúczcủazbàizToán; nhậnzdạngzýztrọngztâm; dự đoán, phân tích và khắc phục các saizlầm trong quáztrìnhzgiảizToán; phân loại các khảznăng có lời giải hoặc cáchzđizđếnzlờizgiải; và xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài Toán. - Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hoạt động chuyển bài Toán thành mô hình và phân tích quan hệ Toán học cũng nhƣ các phƣơng pháp Toán học sử dụng trên mô hình đó. Đâyzlàzmột kĩ năng cần thiết để giảizbài Toán có ứngzdụng thựcztiễn và các bài Toán liên mônzkhác. - Kĩznăngzsửzdụngzthôngztin: Đó là kĩznăngznhậnzbiết, thuzthập và ghi nhận thôngztin từ nộizdungzbàizToán; phânzloại, sắpzxếp và thểzhiện qua các kênh thôngztin trong hoạtzđộngzgiảizToán để tạo cơzsở huyzđộng kiếnzthức, vốn kinh nghiệm có liênzquanzhữuzích đến việc giải Toán. - Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm khi giải toán: Trongzhọcztậpzgiảiztoánzviệczphát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời giải là một thành công của ngƣời học toán. Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen kiểm tra lại bài, phát hiện ra sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm qua đó tìm hƣớng giải quyết đúng bài toán. 1.2.3. Sự hình thành kĩ năng giải toán Kĩznăngzchỉzđƣợczhìnhzthànhzthôngzquazquáztìnhztƣzduyzgiải quyết các nhiệm vụ đặt ra. Conzđƣờngzhìnhzthànhzkĩznăng rất phong phú và nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố. 8
Cózhaizconzđƣờngzhìnhzthànhzkĩznăngzchozhọczsinhzlà: - Truyền đạt cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra những bài toán vận dụng phù hợp và bám sát tri thức đó cho cho học sinh. - Dạy những nhận biết những dấu hiệu nhận biết đặc biệt cho học sinh mà từ đó có thể định hƣớng đƣợc phƣơng pháp và cách giải cho một dạng bài toán và vận dụng đƣờng lối sáng tạo đó vào từng bài cụ thể. Vìzvậy,zkhizhìnhzthànhzkĩznăngzchozhọczsinhzgiáozviênzcần giúp cho học sinh: - Biết cách lọc ra các thông tin cốt lõi và phát hiện ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng - Hìnhzthànhzmộtzmôzhìnhzkháizquátzđểzgiải quyết các đối tƣợng cùngzloại - Xáczlậpzđƣợczmốizliênzhệzgiữazbàiztậpzmôzhình và kháizquát các kiến thức tƣơng ứng 1.2.4. Vai trò của kĩ năng giải toán Việczrènzluyệnzkĩznăngzhoạtzđộngznóizchung,zkĩznăngztoánzhọc nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảmzbảozmốizliênzhệzgiữazhọczvới hành. Nếu học sinh chỉ biết học vẹt các khái niệm, định nghĩa, định lí mà học sinh thực sự không nắm đƣợc bản chất của các phát biểu đó dẫn tới không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập thì coi nhƣ hiệu quả của việc dạy học là chƣa đạt. Có thể nói, “ chìa khóa” để rẻn luyện kĩ năng giải toán chính là bài tập toán. 1.3. Một số tri thức về hệ phƣơng trình bậc nhất, bậc hai 1.3.1. Hệ gồm hai phương trình bậc nhất 9
a1 x  b1 y  c1 Hệ phƣơng trình bậc nhất với hai ẩn x và y có dạng:  a2 x  b2 y  c2 a) Để giải hệ phƣơng trình cơ bản ta sử dụng hai phƣơng pháp giải đã học từ lớp 9: + Phƣơng pháp thế + Phƣơng pháp cộng đại số b) Để biện luận phƣơng trình này :  Phƣơng pháp thế đã học ở chƣơng trình Toán lớp 9: + Rút y theo ẩn x từ một trong hai phƣơng trình đã cho rồi thế vào phƣơng trình còn lại ta thu đƣợc phƣơng trình bậc nhất đối với ẩn x + Sau khi thu gọn ta giả sử phƣơng trình bậc nhất đối với x có dạng: ax  b (1) + Đểzbiệnzluậnzphƣơngztrìnhz(1) : Nếuz a  0 zthìz (1) ztrởzthànhz 0x  b z  Nếu b  0 thì hệ phƣơng trình có vô số nghiệm  Nếuz b  0 zthìzhệzphƣơngztrình vôznghiệmz b Nếuz a  0 zthìzphƣơngztrìnhz 1 zcózmộtznghiệmzduyznhấtz x  . a Thayzvàozbiểuzthứczcủazxztaztìmzđƣợczy. Khizđózhệzphƣơngztrìnhzcó nghiệm duy nhất.  Phƣơng zpháp zsử zdụngzđịnhzthức: a1 b1 D  a1.b2  a2 .b1 a2 b2 c1 b1 Dx   c1.b2  c2 .b1 c2 b2 a1 c1 Dy   a1.c2  a2 .c1 a2 c2 10
Dx Dy + Nếuz D  0 zthìzhệzphƣơngztrìnhzcóznghiệmzduyznhấtz x  ; y D D D  0 + Nếu D  0 và  x thìzhệzphƣơngztrìnhzvôznghiệmz  D y  0 + Nếuz D  Dx  Dy  0 zthìzhệzphƣơngztrìnhzcózvôzsốznghiệm.  Giảizbằngzphƣơngzphápzhìnhzhọc: a1x  b1 y  c1 a x  b1 y  c1  0 (1) Xétzhệzphƣơngztrìnhz   1 a2 x  b2 y  c2 a2 x  b2 y  c2  0 (2) Phƣơng trình (1) và (2) lần lƣợt là phƣơng trình đƣờng thẳng  d1  ,  d2  - Hệzphƣơngztrìnhzvôznghiệmz a1 b1 c1   d1  / /  d2     (a2 , b2 , c2  0) a2 b2 c2 a b - Hệ phƣơng trình có 1 nghiệm   d1  cắt  d2   1  1 (a2 , b2  0) a2 b2 - Hệzphƣơngztrìnhzcózvôzsốznghiệm a1 b1 c1   d1    d2     (a2 , b2 , c2  0) a2 b2 c2 1.3.2. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Tổng quát: ax2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0 Hệzphƣơngztrìnhzcózdạng:z  I   (1)  Ax  By  C  0  (2) Để giải hệ phƣơng trình ta có thể lựa chọn hai cách sau:  Phƣơng pháp thế. Đƣợc áp dụng cho mọi yêu cầu của dạng hệ trên và thông thƣờng bài toán đƣợc phát biểu dƣới dạng: “ Chozhệzphƣơngztrìnhz(I)z a) Giải hệ với một giá trị cụ thể của tham số b) Có thể là các câu hỏi: 11
- Giảizvàzbiệnzluậnzhệztheozthamzsốzz - Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóznghiệmz - Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóznghiệmzduyznhấtz - Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóz2znghiệmzphânzbiệt z z Khi đó tốt nhất ta thực hiện theo 3 bƣớc sau: Bƣớcz1:zTừzphƣơngztrìnhz(2)zrútzx hoặczyzrồizthếzvàozphƣơng trình (1). Khi đó ta đƣợc phƣơng trình bậc hai theo ẩn x hoặc y, giả sử: f  x, m  0 (3) Bƣớcz2:zGiải câu a) bằng cách thay giáztrịzcụzthểzcủazthamzsố vào (3), từ đó có đƣợc x rồi suy ra y. Bƣớc 3: Giải câu b) phụ thuộc vào tham số m. Ta tính  theo ẩn m rồi biện luận: - Nếuz   0 zthìzphƣơng trìnhz(3)zcóz2znghiệm phânzbiệt. Suy ra hệ phƣơng trình có 2 cặp nghiệp phân biệt - Nếu   0 thì phƣơng trình (3) có 1 nghiệm duy nhất. Suy ra hệzphƣơng ztrình zcóz1zcặp znghiệm - Nếuz   0 zthìzphƣơngztrìnhz(3)zvôznghiệm. Suyzrazhệzphƣơngztrình vô nghiệm.  Phƣơngzphápzsửzdụngzhìnhzhọc: Sử dụng khi bài toán yêu cầu biện luận theo tham số m Khizđóztazthựczhiệnztheozcáczbƣớczsau: Bƣớcz1:zTrongzhệztrụcztọazđộzOxy,zxétzcáczđƣờng: C  : ax2  bxy  cy2  dx  ey  f  0 zlàzmộtzđƣờngzcongzbậcz2. (d): Ax  By  C  0 zlàzmộtzđƣờngzthẳngzz Bƣớcz2:zDựazvàozvị tríztƣơngzđốizcủaz(C)zvàz(d)ztazcózđƣợczcâuztrảzlời cho yêu cầu bài toán 12