Luật mạnh số lớn cho các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một trong không gian Banach

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018<br /> <br /> LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN<br /> ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT TRONG KHÔNG GIAN BANACH<br /> Nguyễn Thị Nga1<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu<br /> nhiên độc lập đôi một nhận giá trị trong không gian Banach.<br /> Từ khoá: Luật mạnh số lớn (SLLN), hội tụ hầu chắc chắn (Hcc), compact khả tích<br /> đều (CUI).<br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> Lý thuyết xác suất trên không gian Banach là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học<br /> quan tâm nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ, thu được nhiều kết quả sâu sắc. Trong bài báo<br /> này chúng tôi chứng minh một bổ đề về luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên thực<br /> đôi một độc lập. Từ đó chúng tôi thu được luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên<br /> đôi một độc lập nhận giá trị trong không gian Banach.<br /> 2. NỘI DUNG<br /> 2.1. Phần chuẩn bị<br /> Trong bài báo này W,<br /> <br /> , P là không gian xác suất đầy đủ. X là không gian Banach,<br /> <br /> không gian liên hợp của X được ký hiệu là X* và B( X ) là - đại số các tập Borel của X .<br /> Định nghĩa 2.1.1 Ta nói ánh xạ X : W ® X là một phần tử ngẫu nhiên nếu<br /> X -1 ( B ) Î<br /> <br /> với mọi B Î B( X ).<br /> <br /> Dưới đây, ta nêu lên một số khái niệm hội tụ của họ các phần tử ngẫu nhiên.<br /> Định nghĩa 2.1.2 Giả sử X , X n : n ³ 1 là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định<br /> trên W và nhận giá trị trong X . Ta nói dãy X n : n ³ 1 hội tụ đến phần tử ngẫu nhiên X :<br /> Theo xác suất nếu với mọi<br /> <br /> > 0 thì<br /> lim P X n - X ><br /> n ®¥<br /> <br /> =0<br /> <br /> Hầu chắc chắn nếu<br /> P lim X n - X = 0 = 1<br /> n ®¥<br /> <br /> Định nghĩa 2.1.3. Dãy các phần tử ngẫu nhiên X n : n ³ 1 gọi là “Compact khả tích<br /> đều” nếu với mỗi<br /> 1<br /> <br /> > 0 , tồn tại tập compact<br /> <br /> của X sao cho<br /> <br /> Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức<br /> <br /> 115<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018<br /> <br /> sup E X n I X n Ï<br /> <br /> £ .<br /> <br /> n ³1<br /> <br /> Giá trị kỳ vọng của một phần tử ngẫu nhiên được định nghĩa bởi tích phân Pettis [6]<br /> như sau:<br /> Định nghĩa 2.1.4. Giả sử X : W ® X là một phần tử ngẫu nhiên. Phần tử EX Î X<br /> được gọi là kỳ vọng của X nếu: f ( EX ) = E ( f ( X )) với mọi f Î X * .<br /> 2.2. Luật mạnh số lớn cho các phần tử ngẫu nhiên đôi một độc lập<br /> Để thiết lập kết quả chính trong phần này, đầu tiên ta cần chứng minh bổ đề sau<br /> Bổ đề 2.2.1. Cho X i : i ³ 1 là dãy các biến ngẫu nhiên không âm đôi một độc lập<br /> với moment bậc hai hữu hạn sao cho:<br /> (a) sup EX i < ¥<br /> i ³1<br /> <br /> (b)<br /> <br /> EX i2<br /> 1, đặt nk = [a k ] . Với C là một hằng số tuỳ ý nào đó và<br /> <br /> là số dương bất<br /> <br /> kỳ, theo bất đẳng thức Chebyshev ta có<br /> nk<br /> <br /> EX i2<br /> ¥ å<br /> ¥<br /> æ S nk - ES nk<br /> ö 1 ¥ VarSnk<br /> EX i2<br /> i =1<br /> Pç<br /> > ÷£ 2å<br /> £ Cå<br /> £ Cå 2 < ¥<br /> theo (b)<br /> å<br /> ç<br /> ÷<br /> nk<br /> nk2<br /> nk2<br /> k =1<br /> k =1<br /> k =1<br /> i =1 i<br /> è<br /> ø<br /> Sn - ESnk hcc<br /> ¾¾® 0, khi n ® ¥<br /> Bởi bổ đề Borel-Cantelli, ta thu được k<br /> nk<br /> ¥<br /> <br /> Với mỗi n nguyên dương, tồn tại số tự nhiên k sao cho nk £ n < nk +1 . Ta có đánh giá<br /> sau:<br /> <br /> S n - ES nk +1 nk +1 ES nk +1 - ES nk<br /> Sn - ESn S nk +1 - ES nk +1 ES nk +1 - ESnk<br /> £<br /> +<br /> £ k +1<br /> .<br /> +<br /> n<br /> n<br /> n<br /> nk +1<br /> nk<br /> nk<br /> và<br /> <br /> Sn - ESnk ESnk +1 - ES nk<br /> Sn - ESnk nk +1 ES nk +1 - ES nk<br /> S n - ESn<br /> ³- k<br /> ³- k<br /> .<br /> n<br /> n<br /> n<br /> nk<br /> nk<br /> nk<br /> Khi n ® ¥ thì k ® ¥ . Từ đó kéo theo<br /> S - ESn<br /> limsup n<br /> £ sup( EX i ) a - 1<br /> n<br /> n ®¥<br /> i<br /> <br /> 116<br /> <br /> hcc<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018<br /> <br /> liminf<br /> n ®¥<br /> <br /> Sn - ESn<br /> ³ - sup( EX i ) a - 1<br /> n<br /> i<br /> <br /> hcc<br /> <br /> Cho a ¯ 1 ta thu được điều phải chứng minh<br /> Định lý 2.2.2. Cho X i : i ³ 1 là dãy các phần tử ngẫu nhiên đôi một độc lập và CUI.<br /> Giả sử<br /> <br /> ¥<br /> <br /> å<br /> <br /> E Xi<br /> i2<br /> <br /> i =1<br /> <br /> 2<br /> <br /> < ¥ , khi đó ta thu được luật mạnh số lớn<br /> n<br /> <br /> å<br /> i =1<br /> <br /> X i - EX i hcc<br /> ¾¾® 0, khi n ® ¥<br /> n<br /> <br /> Chứng minh.<br /> <br /> > 0 , từ giả thiết suy ra tồn tại tập compact<br /> <br /> Với<br /> <br /> E X i I Xi Ï<br /> <br /> với mọi i . Từ tính compact của<br /> <br /> <<br /> <br /> của X sao cho<br /> <br /> , tồn tại hữu hạn các điểm<br /> <br /> p<br /> <br /> Ì U B ( xt , ) , với B( xt , ) = x Î X : x - xt <<br /> <br /> x1 , x2 ,..., x p sao cho<br /> <br /> .<br /> <br /> t =1<br /> <br /> Với mỗi i ³ 1 , ta định nghĩa phần tử ngẫu nhiên sau<br /> Yi = Z i I ( X i Î<br /> <br /> ),<br /> <br /> j -1<br /> p<br /> é<br /> ù<br /> với Z i = x1I X i Î B ( x1 , ) + å x j I ê X i Î B ( x j , ) Ç U B ( xk , ) c ú<br /> j =2<br /> k =1<br /> ë<br /> û<br /> <br /> Ta thấy Yi là phần tử ngẫu nhiên nhận hữu hạn giá trị và dãy Yi : i ³ 1 là đôi một độc<br /> lập. Bởi bất đẳng thức tam giác, ta có<br /> X i - EX i<br /> £<br /> å<br /> n<br /> i =1<br /> n<br /> <br /> +<br /> <br /> X i - Xi I ( X i Î<br /> å<br /> n<br /> i =1<br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> å<br /> i =1<br /> <br /> EYi - EX i I ( X i Î<br /> n<br /> <br /> )<br /> <br /> X I(Xi Î<br /> + å i<br /> n<br /> i =1<br /> n<br /> <br /> )<br /> <br /> +<br /> <br /> n<br /> <br /> å<br /> i =1<br /> <br /> ) - Yi<br /> <br /> EX i I ( X i Î<br /> n<br /> <br /> +<br /> <br /> n<br /> <br /> å<br /> i =1<br /> <br /> Yi - EYi<br /> n<br /> <br /> ) - EX i<br /> <br /> := ( A1 ) + ( A2 ) + ( A3 ) + ( A4 ) + ( A5 )<br /> Bây giờ ta sẽ đánh giá lần lượt tương ứng từ ( A1 ) - ( A5 ) :<br /> Với ( A1 ) , ta có<br /> ( A1 ) =<br /> <br /> n<br /> <br /> å<br /> i =1<br /> <br /> Xi I ( X i Ï<br /> n<br /> <br /> 1 n<br /> å Xi I ( X i Ï<br /> n i =1<br /> 1 n<br /> £ å Xi I ( X i Ï<br /> n i =1<br /> £<br /> <br /> )<br /> ) - E Xi I ( X i Ï<br /> <br /> ) +<br /> <br /> ) - E Xi I ( X i Ï<br /> <br /> ) +<br /> <br /> 1 n<br /> å E Xi I ( X i Ï<br /> n i =1<br /> <br /> )<br /> <br /> 117<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018<br /> <br /> Và<br /> <br /> ¥<br /> <br /> å<br /> <br /> ) : i ³ 1 là độc lập đôi một với sup E Xi I ( X i Ï<br /> <br /> Xi I ( X i Ï<br /> <br /> Để ý rằng dãy<br /> <br /> E Xi I ( X i Ï<br /> i<br /> <br /> i =1<br /> <br /> 2<br /> <br /> )<br /> <br /> i ³1<br /> <br /> ¥<br /> <br /> £å<br /> <br /> E Xi<br /> <br />