Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên đa trị, M-phụ thuộc theo khối

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 2 (27) - Thaùng 3/2015<br /> <br /> <br /> LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC PHẦN TỬ<br /> NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, M- PHỤ THUỘC THEO KHỐI<br /> <br /> <br /> LÊ THỊ HẢI YẾN (*)<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Mục đích chính của bài báo này là thiết lập luật mạnh số lớn đối với dạng hội tụ<br /> Mosco cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach, m-phụ thuộc theo<br /> khối, cùng phân phối.<br /> Từ khóa: Phần tử ngẫu nhiên đa trị, M-phụ thuộc theo khối, hội tụ Mosco, luật mạnh<br /> số lớn.<br /> <br /> ABSTRACT<br /> The main aim of this paper is to establish the strong law of large numbers for sequence<br /> of blockwise m-dependent and identically multivalued random elements in Banach space<br /> with Mosco convergence.<br /> Keywords: Multivalued random element, blockwise m-dependent, Mosco convergence,<br /> strong law of large numbers.<br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU* mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên m<br /> Luật số lớn trong lý thuyết xác suất - phụ thuộc theo khối, cùng phân phối nhận<br /> vừa là vấn đề cơ bản, lại vừa là vấn đề có giá trị tập đóng trên không gian Banach.<br /> nhiều ứng dụng và đang được nhiều tác giả Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn<br /> quan tâm nghiên cứu. Năm 1987, trong [5], giả thiết rằng (, , P) là không gian xác<br /> F<br /> Moricz đã giới thiệu khái niệm dãy m-phụ<br /> suất đầy đủ,  X, .  là không gian Banach<br /> thuộc theo khối và mở rộng luật số lớn<br /> Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên m- <br /> thực, khả ly, X là không gian đối ngẫu<br /> phụ thuộc theo khối, không cùng phân<br /> của X , (X) là  - đại số các tập Borel<br /> B<br /> phối. Trong bài báo này, trước hết chúng<br /> tôi sẽ thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy của X , L1 (; X) là tập hợp các hàm đo<br /> biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, được khả tích, nhận giá trị trên X .<br /> cùng phân phối. Sau đó, chúng tôi mở rộng Ký hiệu c  X  là họ các tập con đóng<br /> kết quả này cho dãy phần tử ngẫu nhiên m-<br /> khác rỗng của X , là tập tất cả các số<br /> phụ thuộc theo khối, cùng phân phối, nhận<br /> thực. Trên c  X  ta xác định một cấu trúc<br /> giá trị trên không gian Banach thực, khả ly<br /> bất kỳ. Cuối cùng, chúng tôi thiết lập luật tuyến tính với các phép toán được định<br /> nghĩa như sau:<br /> (*)<br /> ThS, Trường Cao đẳng Giao thông vận tải miền Trung<br /> <br /> 38<br />  A  B  a  b : a  A , b  B  , ). Với S F1 ( F ) và E [F ] xác định trên<br /> <br />  A  a : a  A  . (, F , P) , ta định nghĩa:<br /> S F1 ( A )  f  L1 (, A , P, X) : f ( )  F ( ) h.c.c ,<br />  <br /> trong đó A , B  c  X  ,   .<br /> (A )<br /> <br /> Ánh xạ F :   c  X  được gọi là E [F , A ]=  FdP  Ef <br /> : f  S F1 ( A ) .<br /> <br /> phần tử ngẫu nhiên đa trị (nhận giá trị tập<br /> đóng), nếu với mọi tập con mở G của Cho C  X , ký hiệu clC là bao đóng<br /> thì tập con (theo chuẩn), w  clC là bao đóng (theo<br /> F 1 (G) :   : F( )  G    F.<br /> tôpô yếu), coC là bao lồi, coC là bao lồi<br /> Ký hiệu M [, c  X  ] là họ các phần tử đóng của C .<br /> ngẫu nhiên đa trị. Hàm khoảng cách d (.,C ) , hàm tựa<br /> Phần tử ngẫu nhiên f :   X được s (C ,.) của C tương ứng được định nghĩa<br /> gọi là một lát cắt -đo được (hay nói gọn<br /> F như sau<br /> là lát cắt đo được) của F nếu<br /> f ()  F () với mọi  . <br /> d (x ,C )  inf x  y : y C ,(x  X), <br />  - đại số Effros  trên c  X  là  -  <br /> s (C , x  )  sup y , x  : y C ,(x   X).<br /> đại số sinh bởi các tập con Chúng ta còn định nghĩa<br /> <br /> G : C  c  X  : C  G  <br /> <br />  <br /> C  sup x : x C . <br /> với G là một tập con mở trên . Khi Cho t là một tôpô trên X và (C n )n 1<br /> đó, một hàm đa trị F :   c  X  là đo là một dãy nhận giá trị trên c  X  . Đặt:<br /> được khi và chỉ khi F là ,)-đo được,<br /> (F<br /> nghĩa là với mọi B  , chúng ta có<br />  <br /> t  lsC n  x  X : x = t  lim x k , x k C n ( k ) , k  1 .<br /> <br /> F 1 (B )  F . t  liC n  x  X : x = t  lim x n , x n C n , n  1 ,<br /> Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo<br /> được F , ta đặt với (C n ( k ) )k 1 là một dãy con của<br /> <br /> <br /> S Fp ( F )  f  L p (, X) : f ( )  F ( ) h.c.c (C n )n 1 . Các tập con t  liC n và t  lsC n<br /> tương ứng gọi là giới hạn dưới và giới hạn<br /> Kỳ vọng E [F ] của biến ngẫu nhiên đa trên của (C n )n 1 , liên quan đến tôpô t .<br /> trị F được định nghĩa như sau Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng<br />  1<br /> F <br /> E [F ] : Ef : f  S ( F ) với Ef là tích t  liC n  t  lsC n .<br /> phân Bochner thông thường. Chúng ta ký hiệu s (tương ứng w ) là<br /> Cho một -đại số con của -đại<br /> A tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn) (tương<br /> số F và một biến ngẫu nhiên đa trị - A ứng, tôpô yếu) của X .<br /> đo được F :   c X (nghĩa là Một tập con C  được gọi là giới hạn<br /> <br /> F 1 (G )  A với mọi tập con mở G của dạng Mosco của dãy (C n )n 1 và được ký<br /> hiệu bởi M  limn C n nếu<br /> <br /> 39<br />  w  lsC n  s  liC n  C  . f n<br /> , n  1 là dãy phần tử ngẫu nhiên m-<br /> Điều này đúng khi và chỉ khi phụ thuộc trong L1 (; X) .<br /> w  lsC n  C   s  liC n . Đối với dãy m-phụ thuộc theo khối, ta<br /> Hội tụ Mosco cho dãy các phần tử có định lý như sau<br /> ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như trên Định lý 1.1. ([5], Theorem 1). Giả sử<br /> bằng cách thay thế C n bởi Fn ( ) và C  X n , n  1 là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ<br /> bởi F ( ) , các phát biểu là đúng h.c.c. thuộc theo khối.<br /> Giả sử F  M [, c  X  ] , ta có định <br /> DX n<br /> Khi đó, nếu  n2<br />   , thì<br /> nghĩa  -đại số con FF của F như sau: n 1<br /> <br /> 1 n<br /> FF  F  U  : U  Bc X  với<br /> 1  (X  EX k )  0 h.c .c khi n  .<br /> n k 1 k<br /> Nhận xét rằng, nếu trong Định lý 1.1,<br />   <br /> F 1 U    : F ( )  U . Đó chính là X n , n  1 là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ<br />  - đại số bé nhất mà F đo được.<br /> thuộc theo khối, cùng phân phối với<br /> Một họ các biến ngẫu nhiên đa trị<br /> 2<br /> Fi , i  I  được gọi là độc lập nếu họ các E X 1   thì<br /> <br /> F  là độc lập. DX n 1<br />  <br />  -đại số Fi<br /> ,i  I   DX 1 <br /> .<br /> 22<br /> n 1 n n 1 n<br /> Một dãy các biến ngẫu nhiên đa trị<br /> Do đó, dãy đó tuân theo luật mạnh số<br /> Fn , n  1 được gọi là m-phụ thuộc theo khối lớn. Cụ thể<br /> k<br /> nếu với p đủ lớn thì -đại số  ( ) độc S  nEX1<br /> F<br /> Fi lim n  0 h.c.c., (1.1)<br /> i  2 p1 n  n<br /> 2 p 1<br /> lập với  ( trong đó Sn  X1  X2  .....  Xn .<br /> F ) khi<br /> Fi<br /> -k >m , trong đó m, p<br /> n Tuy nhiên, trong định lý dưới đây,<br /> là các số nguyên không âm. bằng kỹ thuật tương tự như trong chứng<br /> minh Định lý 4.1.5 ([2]), ta sẽ chứng minh<br /> Theo [5], một dãy các phần tử ngẫu rằng chỉ cần dãy X n , n  1 có cùng phân<br /> nhiên X n , n  1 , nhận giá trị trên không<br /> phối với E X 1   là sẽ có (1.1).<br /> gian Banach X được gọi là m-phụ thuộc<br /> Định lý 1.2. Giả sử X n , n  1 là dãy<br /> theo khối nếu với p đủ lớn thì họ<br /> X i<br /> ,2 p 1  i  k  độc lập với họ<br /> biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối,<br /> cùng phân phối. Khi đó, nếu E X 1   thì<br /> X n <br /> ,  n  2 p khi -k >m , trong đó m,<br /> Sn  nEX1<br /> lim  0 h.c.c. (1.2)<br /> p là các số nguyên không âm. n n<br /> Từ định nghĩa trên suy ra rằng, nếu trong đó Sn  X1  X2  .....  Xn .<br /> Fn , n  1 là dãy biến ngẫu nhiên đa trị m- Chứng minh. Đặt<br /> phụ thuộc theo khối và f n  S F1 ( FF ) , thì Y n  X nI X n<br /> , Zn  X n Y n  X n I X n<br /> .<br /> n n n n<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 40<br />  Do E X 1   , nên ta có Còn với k  1 thì<br /> <br /> 1 <br />  1 1<br />  <br /> <br /> <br />  P (Z  0)   P ( X  n)  P ( X 1  n)  .  1      2.<br /> n 2  n  1 n<br /> 2<br /> n 1 n<br /> n<br /> n n n 1<br /> <br /> Vì X n , n  1 là dãy biến ngẫu nhiên<br /> Từ Bổ đề Borel – Cantelli suy ra với<br /> m- phụ thuộc theo khối nên Y n , n  1 là<br /> xác suất 1 chỉ có hữu hạn Z n  0 . Vậy<br /> dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo<br /> khối. Do vậy, theo Định lý 1.1, tồn tại<br /> 1 n<br /> lim<br /> n n<br /> <br /> k 1<br /> Z k  0 h.c.c. (1.3) tập D với P (D )  1 sao cho với mỗi<br /> Y n ( )  EY n<br /> <br /> Tiếp theo ta chứng minh   D chuỗi  n<br /> hội tụ. Do<br /> <br /> DY n n<br /> <br /> n 1 n<br /> 2<br />  . đó theo Bổ đề Kronecker, với mỗi   D<br /> Gọi  là phân phối của X 1 . Khi đó ta có<br /> 1 n<br /> lim  Y k ( )  EY k   0.<br /> DY n  E (Y n )2  E 2 (Y n )  E (Y n2 )   x 2d  (x ) n n<br /> k 1<br /> (1.4)<br />  x  n<br /> Vì lim EY n  lim<br /> n n  xd  (x )  EX 1 ,<br /> và  x n <br /> <br /> E (Y n ) 2 <br /> 1 nên<br />  n2<br /> <br /> n 2 <br /> x 2d  (x ) 1 n<br /> n 1 n 1<br />  x  n lim<br /> n n<br /> <br /> k 1<br /> EY k  EX 1 . (1.5)<br /> <br /> 1 n<br />  2  x 2d  (x ) Do vậy từ (1.4) và (1.5) ta có với mỗi<br /> n 1 n k 1 k 1 x  k  D<br />  <br /> 1 1 n<br />  <br /> n2  x 2d  (x ) lim<br /> n<br /> Y ( )  EX 1.<br /> n k 1 k<br /> (1.6)<br /> k 1 n  k k 1 x  k<br /> Vậy<br /> <br /> 2   1 <br />   x d  (x )   2  1 n<br /> k 1 k 1 x  k  n k n  lim<br /> n n<br /> <br /> k 1<br /> Y k  EX 1 h.c.c. (1.7)<br /> <br />   1  Từ (1.3) và (1.7) suy ra<br />  k  x d  (x )   2 <br />  n k n  1 n<br /> k 1 k 1 x  k lim  X k  EX 1 h.c.c.<br /> n n<br />  k 1<br />  2  x d  (x ) Đó là điều phải chứng minh. <br /> k 1 k 1 x  k<br /> 2. KẾT QUẢ CHÍNH<br />  2E X 1 . Trước hết, cần chú ý rằng, nếu X là<br /> Có được bất đẳng thức ở dòng cuối là không gian Banach thực, khả ly thì với mọi<br /> do với k  2 n  1 , xác định được ánh xạ đo được<br /> <br /> 1 <br />  1 1 k n : X  X , sao cho với mỗi phần tử ngẫu<br /> k  2  k     2.<br /> n k n n k  n  1 n  k 1 nhiên khả tích X :   X , tồn tại dãy<br /> phần tử ngẫu nhiên đơn giản<br /> <br /> 41<br /> X n<br />  n (X ), n  1 để Xn X khi k<br />   P (At )x t  EX h.c.c khi n  .<br /> n   và E X n  X  0 khi n  . t 1<br /> Xét trường hợp X là phần tử ngẫu<br /> Dựa vào chú ý trên, Định lý 1.2 và kỹ<br /> nhiên khả tích bất kỳ. Với mọi   0 , từ<br /> thuật tương tự trong chứng minh định lý<br /> E n (X )  X  0 khi n   , tồn tại m<br /> 4.2.1 ([1]) ta thu được định lý sau.<br /> Định lý 2.1. Cho X , X n , n  1 là họ các sao cho E n (X )  X   với mọi n  m<br /> phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không . Ta có<br /> gian Banach thực khả ly X . Giả sử 1 n 1 n<br /> X n , n  1 là dãy m - phụ thuộc theo khối,  (<br /> n i 1 i<br /> X  EX )   ( X  m ( X i )<br /> n i 1 i<br /> cùng phân phối với X và E X   . Khi đó 1 n<br /> 1 n<br />   ( (X )  E m (X )<br /> n i 1 m i<br />  X  E X h.c.c khi n  .<br /> n i 1 i<br /> Chứng minh. 1 n<br /> Đầu tiên, giả sử X là phần tử ngẫu   (E m (X )  E (X )<br /> n i 1<br /> nhiên đơn giản nhận các giá trị<br /> x 1 , x 2 ,..., x k lần lượt trên các tập :=(I)+(II)+(III).<br /> A1 , A 2 ,..., A k với P (A i )  0, i=1, 2, ...,k . Vì Do X n<br /> , n  1 là dãy phần tử ngẫu<br /> X , X n<br /> : n  1 cùng phân phối nên X i cũng nhiên m – phụ thuộc theo khối, cùng phân<br /> là phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận các phối với X , nên X n <br />  m ( X n ) : n  1<br /> giá trị x 1 , x 2 ,..., x k với P( Xi  xt )  P( At ) .<br /> là dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc theo<br /> Do đó khối, cùng phân phối với X  m (X ) .<br /> k<br /> X i   I (X xt )<br /> xt . Theo định lý 1.2 ta có<br /> i<br /> t 1<br /> 1 n<br /> Với mỗi t  1, 2,...,k, đặt (I)   X i  m (X i )  E X  m (X )   h.c.c khi n  <br /> n<br /> n i 1<br /> Z nt   I ( X x t )<br /> . Theo chứng minh trên thì<br /> i<br /> <br /> (II)  0 h.c.c khi n   .<br /> i 1<br /> <br /> Do I ( X i xt )<br /> :i 1  là dãy các biến<br /> Với (III) , ta có<br /> ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, cùng<br /> (III)  E m (X )  X   .<br /> phân phối và E (I ( X x ) )  P (At ) nên theo<br /> i t<br /> Kết hợp các lập luận trên ta được điều<br /> định lý 1.2 ta có<br /> phải chứng minh. <br /> Z nt Để thiết lập kết quả chính, ta cần them<br />  P (At ) h.c.c khi n  .<br /> n một số bổ đề<br /> Do đó Bổ đề 2.1.([4], Lemma 3.1) (1) Với<br /> t<br /> 1 n 1 n k 1 k n 1 k k<br /> Z mỗi F  M [, c  X  ] và S F1   , ta có<br /> <br /> n i 1<br /> X i   I (X x )x t   I (X x )x t   Z nt x t   n x t<br /> n i 1 t 1 i t<br /> n t 1 i 1 i t<br /> n t 1 t 1 n<br /> coE [F ]=coE [F , FF ].<br /> <br /> <br /> 42<br />  (2) Giả sử F ,G  M [, c  X  ] , F và Tiếp tục, đặt x j  E (f j ), 1  j  t . Với<br /> G cùng phân phối. Khi đó, với mỗi mỗi n  (k  1)t  , 1   t , ta có<br /> f  S (FF ) , tồn tại g  S (FG ) sao cho<br /> 1 1<br /> 1 n 1 t<br /> F G<br /> <br /> n i 1<br /> f i ( )   x j<br /> t j 1<br /> f và g cùng phân phối.<br /> (3) Nếu F ,G  M [, c  X  ] , cùng 1 t k 1 t 1t<br />   f<br /> n j 1 i 1 ( i 1)t  j<br /> ( )   f<br /> n j  1 (k 1)t  j<br /> ( )  x<br /> t j 1 j<br /> phân phối và S F1   , thì<br /> E [F , FF ]  E [G , FG ].<br /> Bổ đề 2.2. ([3], Lemma 3.6) Giả sử X k t 1 k k t 1<br /> là không gian Banach và C  X . Khi đó,<br />    f<br /> n j 1 k i 1 ( i 1)t  j<br /> ( )  x j<br />   f ()<br /> n j 1 k (k 1)t  j<br /> với mọi x  coC và   0 , luôn tồn tại<br /> 1 m  k 1 t<br />    x j .<br /> x 1 ,..., x m C sao cho  x  x  .<br /> m i 1 i  n t  j 1<br /> Định lý sau đây là kết quả chính của Vì Fn , n  1 là dãy phần tử ngẫu<br /> bài báo. Kết quả này mở rộng Định lý 3.2 nhiên m-phụ thuộc theo khối, nhận giá trị<br /> trong [4]. tập đóng trong không gian Banach khả ly<br /> Định lý 2.2. Nếu Fn , n  1 là một X , nên f n , n  1 là dãy phần tử ngẫu<br /> dãy các phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc, nhiên m-phụ thuộc theo khối trong<br /> cùng phân phối, nhận giá trị tập đóng L (; X) , do đó với p đủ lớn thì họ<br /> 1<br /> <br /> <br /> trong không gian Banach khả ly X và<br /> S F1  , thì<br /> f ,2  i  k  độc lập<br /> i<br /> p 1<br /> với họ<br /> 1<br /> <br /> <br /> 1 n f ,  n  2  khi -k >m .<br /> n<br /> p<br /> Ta chứng<br /> cl  F ( )  coE  F1  h.c.c<br /> n i 1 i minh với mỗi 1  j  t , thì f ( k 1)t  j <br /> ,k 1<br /> Chứng minh. Đặt X  coE F1  và là dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc<br /> n theo khối. Thật vậy, nếu đặt<br /> G n ( )  n 1cl  Fi ( ),   , n  1.<br /> i 1<br /> g   f<br /> k ( k 1)t  j <br /> , k  1 , thì phần tử thứ k của<br /> Với mọi x  X và   0 , theo Bổ đề dãy là g k  f ( k 1)t  j ; phần tử thứ của<br /> 2.1(1), (3) và Bổ đề 2.2, ta có thể chọn dãy là g  f ( . Do đó, nếu -k >m<br /> 1)t  j<br /> f j  S F1 ( FF ) , 1 j t, sao cho<br /> j j<br /> thì  1t  j   k 1t  j     k t  mt  m nên<br /> t<br /> t 1  E (f j )  x   . Theo Bổ đề 2.1(2) , g k và g là độc lập với 2q1  k ,  2q ,<br /> j 1<br /> trong đó q là số nguyên không âm đủ lớn.<br /> tồn tại dãy f n  với f n  S F1 ( FF ) sao<br /> n n<br /> Nghĩa là với q đủ lớn thì họ<br /> <br /> <br /> cho, với mỗi j  1,..., t , f ( k 1)t  j , k  1 là  g ,2<br /> i<br /> q 1<br /> i k  độc lập với họ<br /> <br /> dãy phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối.<br /> <br /> 43<br /> g , n <br />  n  2q khi -k >m . Do đó, Theo <br /> khả ly nên tồn tại dãy x j trong X với  <br /> định nghĩa, với mỗi 1 j t, x j  1 sao cho<br /> f ( k 1)t  j <br /> , k  1 là dãy phần tử ngẫu nhiên<br /> x j , x j  d (x j , X )  s (X , x j ), j  1.<br /> m-phụ thuộc theo khối. Áp dụng Định lý Khi đó, x X khi và chỉ khi<br /> <br /> 2.1 cho dãy f ( k 1)t  j , k  1 , ta được  x ,x <br /> j<br />  s (X , x ), với mọi j  1. Vì hàm<br /> <br /> j<br /> <br /> 1 k<br /> s (X , x j ) từ c  X  vào (, ) là<br /> f<br /> k i 1 ( i 1)t  j<br /> ( )  x j  0 h.c.c khi k   X<br /> <br /> Bc  X  -đo được và<br /> và do đó<br /> E(s(F1 (.), x j ))  s( X , x j )  , j  1,<br /> 1 k<br /> 1 k 1<br /> k 1 f (k 1)t  j ( )  <br /> k i 1<br /> f (i 1)t  j ( )   f (i 1)t  j ( )<br /> k i 1<br /> nên với mỗi j  1,<br /> s (F (.), x<br /> n<br /> <br /> j <br /> ) : n  1 là dãy các biến ngẫu<br /> 1 k k  1 1 k 1 nhiên m-phụ thuộc theo khối cùng phân<br />  <br /> k i 1<br /> f ( i 1)t  j<br /> ( )  .  f (i 1)t  j ()  0 h.c.c khi k  .<br /> k k  1 i 1 1<br /> phối trong L . Vì vậy, tồn tại N  với F<br /> P (N )  0 sao cho với mọi   \ N và<br /> Vì vậy<br /> j  1 ta có<br /> 1 n 1 t<br /> <br /> n i 1<br /> f i ( )   x j  0 h.c.c khi n  .<br /> t j 1 s (G n<br /> ( ), x <br /> j<br /> ) <br /> 1 n<br />  s (Fi (), x j ) s (X , x j ) khi n  .<br /> n i 1<br /> <br /> <br /> Vì G n ( ) là tập đóng trên c  X  nên Với mỗi   \ N , nếu<br /> n w<br /> x  w-lim supG n ( ) thì x k  x khi k  ,<br /> n 1  f i ( ) G n ( ) h.c.c. Vì vậy, chúng<br /> i 1 trong đó x k G n ( ).<br /> k<br /> t<br /> ta có t 1  x j  s  lim inf G n ( ) h.c.c. Từ Từ đó, suy ra<br /> j 1 x , x j  lim x k , x j  lim s (G n (), x j )  s (X , x j ), j  1.<br /> k k k<br /> đó, X  s  lim inf G n () h.c.c.<br /> Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng Điều này kéo theo x  X . Vì vậy,<br /> w  lim supG n ( )  X h.c.c. Giả sử x j   w-lim supG n ( )  X h.c.c. <br /> <br /> là một dãy trù mật trong X \ X . Do X<br /> <br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> Tiếng Việt:<br /> <br /> 1. Nguyễn Văn Quảng, Xác suất trên không gian Banach, NXB ĐHQG Hà Nội, 2012.<br /> <br /> 44<br /> 2. Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB ĐHQG Hà Nội, 2013.<br /> Tiếng Anh:<br /> 3. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap, Mosco convergence of strong law of large<br /> numbers for double array of closed valued random variables in Banach space,<br /> Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13 (2012), 4, 615-636.<br /> 4. F. Hiai, Convergence of conditional expectations and strong laws of large numbers<br /> for multivalued random variables, Trans. A. M. S. 291 (1985), 613–627.<br /> 5. F. Moricz, Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise<br /> quasiorthogonal sequences of random variables, Proc. Amer. Math. Soc. 101 (1987),<br /> no. 4, 709-715.<br /> <br /> *<br /> Ngày nhận bài: 07/10/2014 Biên tập xong: 01/3/2015 Duyệt đăng: 20/3/2015<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 45<br />