Luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luật mạnh số lớn là một trong những định lí giới hạn quan trọng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, lí thuyết xác suất và các lĩnh vực kinh tế, bảo hiểm. Bài viết sẽ thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập (không nhất thiết có cùng phân bố xác suất) có kì vọng vô hạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạn

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Nhận bài: CÓ KÌ VỌNG VÔ HẠN 18 – 03 – 2017 Lê Văn Dũnga, Nguyễn Thị Hải Yếnb* Chấp nhận đăng: 28 – 06 – 2017 http://jshe.ued.udn.vn/ Tóm tắt: Luật mạnh số lớn là một trong những định lí giới hạn quan trọng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, lí thuyết xác suất và các lĩnh vực kinh tế, bảo hiểm. Chẳng hạn trong thống kê, luật mạnh số lớn được sử dụng để ước lượng cỡ mẫu, giá trị trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên,... Luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng hữu hạn đã được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạn, Nakata [2] đã đưa ra một số kết quả nghiên cứu mới về luật yếu số lớn, còn luận mạnh số lớn chưa được nghiên cứu. Trong bài báo này chúng tôi sẽ thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạn. Từ khóa: luật mạnh số lớn; biến ngẫu nhiên; độc lập; kì vọng vô hạn; định lí giới hạn. 2.1. Cơ sở lí thuyết 1. Giới thiệu 2.1.1. Định nghĩa [1, tr.202] Đối với dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  1) độc lập Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  1) hội tụ hầu chắc và có cùng phân bố xác suất, nếu có kì vọng hữu hạn thì luật mạnh số lớn chỉ ra rằng trung bình mẫu chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên X khi n →  nếu: X1 + X 2 + ... + X n P({   : lim X n ( ) = X ( )}) = 1. (1) X= n → n Để chứng minh các kết quả về hội tụ hầu chắc chắn sẽ hội tụ hầu chắc chắn về trung bình tổng thể E ( X 1 ) ta thường sử dụng định lí sau. khi n → . Trong trường hợp kì vọng vô hạn, kết quả 2.1.2. Định lí [1, tr.206] trên sẽ không còn đúng nữa. Điều kiện cần và đủ để dãy biến ngẫu nhiên Trong bài báo này chúng tôi sẽ thiết lập luật mạnh ( X n ; n  1) hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X là với số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập (không nhất mọi   0, thiết có cùng phân bố xác suất) có kì vọng vô hạn. Trong bài báo này chúng tôi giả thiết các biến ngẫu lim P(sup | X k − X |  )) = 0. (2) n→ k n nhiên xác định trên không gian xác suất (, F , P) với 2.1.3. Định lí [1, tr.150] P là độ đo đủ. Cho ( X n ; n  1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, 2. Cơ sở lí thuyết và một số kí hiệu có kì vọng 0 và phương sai hữu hạn. Khi đó tồn tại hằng số dương C không phụ thuộc vào n sao cho:  n 2  n E   Xk   C  E ( X k2 ). aTrường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả  k =1  Nguyễn Thị Hải Yến Email: nthyen_kt@ued.udn.vn   k =1 Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 2 (2017), 1-4 | 1
Lê Văn Dũng, Nguyễn Thị Hải Yến 2.1.4. Định nghĩa [3, tr.132-133] E ( X 2 I{| X | x} ) © x 2− với 0    1 (6) Cho dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  1). Đặt Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh, ở đây n Sn =  X k . Ta nói dãy biến ngẫu nhiên tuân theo luật ta sử dụng hằng số C không nhất thiết giống nhau trong k =1 mỗi lần xuất hiện. mạnh số lớn nếu tồn tại dãy số thực (an ; n  1) và dãy số 3. Kết quả dương (bn ; n  1) tăng ngặt ra vô hạn ( bn   ) sao cho: Định lí 3.1. Sn − an 0    1 , cho { X n ; n  1} là dãy biến ngẫu lim = 0 h.c.c. (3) Cho n → bn nhiên độc lập thỏa mãn điều kiện − 2.2. Một số kí hiệu P(| X k | x) © x với mọi k và Với hai dãy số thực dương {an ; n  1} và lim sup sup x P(| X k | x)  . Giả sử rằng {bn ; n  1}, chúng tôi đưa ra các kí hiệu an = o(bn ), x → k 1 {an ; n  1} và {bn ; n  1} là hai dãy số dương thỏa an © bn theo thứ tự cho các khái niệm:  n 1 a lim n = 0 , mãn điều kiện bn   và   n =1 bn  a   . Khi đó k =1 k n → b n ta có: a a 0  liminf n  limsup n  . n n → bn n → bn lim bn−1  ak ( X k − E ( X k I{| X k |bn / ak } )) = 0 h.c.c. n → k =1 Hàm chỉ tiêu của tập A được định nghĩa: Hơn nữa, nếu tồn tại A ¡ sao cho: 1 khi x  A n I A ( x) =  lim bn−1  ak E ( X k I{| X k |bn / ak } ) = A 0 khi x   A n → k =1 Với 0    1 , xét biến ngẫu nhiên X thỏa mãn thì: điều kiện: n lim bn−1  ak X k = A h.c.c. P(| X | x) © x − , x  0 (4) n → k =1 Khi đó, áp dụng bất đẳng thức: Chứng minh:  Với mỗi n  1, k  1 đặt X nk = X k I{| X k |bn / ak } , E (| X |)   P(| X | n) n n =1 S n = bn−1  ak ( X k − E ( X k I{| X k |bn / ak } )), ta dễ dàng suy ra E (| X |) =  . Hơn nữa, ta còn có bổ k =1 n đề sau. Sn' = bn−1  ak ( X k − X nk ), Bổ đề [2] k =1 Cho biến ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (4). Khi n đó ta có: Sn" = bn−1  ak ( X nk − E ( X nk )). k =1  x1− 0  1 E (| X | I{| X | x} ) ©  (5) Để chứng minh Sn → 0 (h.c.c.) khi n →  ta log( x)  =1 chứng minh Sn' → 0 (h.c.c.) và Sn" → 0 (h.c.c.) khi và n → . 2
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 2 (2017), 1-4 Với  0 bé tùy ý, ta có: { X n ; n  1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có cùng    phân bố xác suất: P(sup| Sk' |  )  P  U(| Sk' |  )  k n  k =n  1 P( X n = 2i ) = , i = 1, 2,...   k 2i   P(| Sk' |  )   P(| X j | bk / a j ) và k =n k = n j =1  k P(| X n | x) © x−1 , x  0 (xem [2])  C  bk−  aj → 0 khi n → . k =n j =1 Xét dãy số bn = n2 ln(n) và an = 1/ n , ta có  Sn' → 0 (h.c.c.) khi n → . n 1 1 Suy ra  2  n =1 n ln( n) k =1 k  . Mặt khác, ta cũng có: Áp dụng Định lí 3.1 ta có:    P(sup | S k" |  )  P  U (| S k" |  )  n 1 1 k n  k =n  lim 2 n → n ln( n)  k =1 k ( X k − E ( X k I{| X |kn2 ln( n )} )) = 0 k   1   P(| S k" |  )   E (| S k" |2 ) h.c.c. k =n  2 k =n 1   2 1  k Hệ quả 3.3. 2  2  = E a ( X − E ( X )   k = n bk  k kj kj  Cho 0    1, cho { X n ; n  1} là dãy biến ngẫu  j =1   nhiên độc lập thỏa mãn điều kiện (4). Hơn nữa, giả sử 1 1 k  2  2  a 2j E ( X kj − E ( X kj ))2 rằng {an ; n  1} và {bn ; n  1} là hai dãy số dương  k =n bk j =1  n 1 1 1 k   2  2  a 2j E ( X 2j I{| X j |bk / a j } )) thỏa mãn điều kiện bn   và   n =1 bn  a   . Khi k  k =n bk j =1 k =1 đó ta có: 2 − C 1 k 2  bk   n   a   2 k = n bk2 j =1 j  a j  lim bn−1  ak X k = 0 h.c.c. n →  k =1  Chứng minh: C 1 k     a → 0 khi n → .  2 k =n bk j =1 j Do 0    1, áp dụng biểu thức (5) ta có: n Suy ra Sn" → 0 (h.c.c.) khi n → . bn−1  ak E ( X k I{| X k |bn / ak } ) k =1 Định lí được chứng minh. n Ví dụ 3.2.  bn−1  ak E (| X k | I{| X k |bn / ak } ) Tung một đồng xu cân đối đồng chất cho đến khi k =1 xuất hiện mặt sấp thì dừng lại. Nếu dừng lại ở lần tung 1− b  n  Cb  ak  n  i −1 thứ i thì người chơi được nhận số tiền là 2 (đồng). n Người chơi tham gia trò chơi n lần, gọi X n là số tiền k =1  ak  n người chơi nhận được ở lần chơi thứ n . Khi đó, = Cbn−  ak → 0 khi n → . k =1 3
Lê Văn Dũng, Nguyễn Thị Hải Yến Vì vậy, áp dụng Định lí 3.1, ta có điều phải chứng minh. Tài liệu tham khảo [1] Allan Gut (2005), Probability: A Graduate 4. Kết luận Course, Springer. Để thu được luật mạnh số lớn chúng tôi đã đưa ra điều [2] Toshio Nakata (2016), Weak laws of large numbers for weighted independent random kiện mạnh hơn đối với dãy {an ; n  1} và {bn ; n  1} . variabels with infinite mean, Statistics and Hiển nhiên với điều kiện này chúng ta cũng thu được Probability letters, 109, pp.124-129. [3] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, luật yếu số lớn. Kết quả này có thể mở rộng đối với dãy NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. biến ngẫu nhiên phụ thuộc khác như m - phụ thuộc, liên kết âm. STRONG LAWS OF LARGE NUMBERS FOR SEQUENCES OF INDEPENDENT RANDOM VARIABLES WITH INFINITE MEAN Abstract: The strong law of large numbers is one of the important limit theorems, which is used in a variety of fields including statistics, probability theories, and areas of economics and insurance. For example, in statistics, the strong law of large numbers can be used to optimize sample sizes, mean and variance of random variables. Strong laws of large numbers for sequences of independent random variables with finite mean have been studied by many authors in the world. As regards sequences of independent random variables with infinite mean, Nakata [2] established some new results of weak laws of large numbers, while strong laws of large numbers have not been studied. In this article, we establish strong laws of large numbers for sequences of independent random variables with infinite mean. Key words: strong law of large numbers; random variable; independence; infinite mean; limit theorem. 4