Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 5

Chia sẻ: Le Duoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Mời các bạn cùng tham khảo Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 5 dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 5

ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 5 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y  x  2 (C). x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). b) Giả sử d là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  , tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến đường thẳng d I . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 4  s in x  c o s x   1  c o s x  2  6 cos 2 x  s in x . 2  Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 2  I  s in x  x c o s x 2 4 s in x  x  2 dx . 4 Câu 4 (1,0 điểm). a) Giải phương trình b) Tìm số phức z  lo g 3  x  2   lo g 4 x  4 x  3 2 . iz   1  3 i  z thỏa mãn điều kiện 1 i  z Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ thẳng d: x 1  y 1 z 2  2 2 . O xyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  2  0 và đường . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng 1 d , cách mặt phẳng  P  một đoạn thẳng độ dài bằng 2 và cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình hộp đứng có các cạnh A B C D . A ’ B ’C ’ D ’ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A ’ D ’ và với mặt phẳng  B D M N  và tính thể tích hình chóp A . B D M N . BA D  60 0 A ’B ’ . AB  AD  a,AA '  a 3 2 Chứng minh rằng AC ’ và góc vuông góc Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho tam giác vuông A B C vuông tại A , đường thẳng A B và đường thẳng chứa trung tuyến A M của tam giác lần lượt có phương trình 4 x  3 y  1  0 và 7x  y  8  0 . Điểm E 10; 3  thuộc đường thẳng Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình Câu 9 (1,0 điểm). Cho x,y BC . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác 2  y  2 2 y  x  2x  2 x   2 3  y  1  2x  1  1 x,y  R ABC . . là các số thực bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x  y 2  2x  1  2 x  y 2  2x  1  y  2 . ..................HẾT.................. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a. - Tập xác định: - D  R /   1 . Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y'  1  x  1 2 . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trang 1   1;    , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng    ;  1  và   1;    . y '  0 ,x   ; 1 + Cực trị: Hàm số không có cực trị. + Giới hạn: lim y  1; lim y  1 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là x   x   đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là lim y    ; lim y    x  1  x 1  . y 1 x  1 . + Bảng biến thiên 1  x y'   y   1  - Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Ox + Đồ thị hàm số cắt trục Oy 1 tại điểm   2 ; 0  . tại điểm  0 ; 2  . + Đồ thị hàm số giao điểm I   1 ; 1  của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. + Đồ thị hàm số đi qua các điểm Câu 1.b. Ta có y'   x0  2  M  x0 ;  x0  1   Giả sử 1  x  1 2  3 ,  1;   2  . Khoảng cách từ I .  C  có giao 2 tiệm cận là: I   1; 1  . thuộc  C  ( x 0 d:y   đến d 1 x 0  1 d  I; d   2 2 0  1 0 x0  1 x0  2 x0  1 có phương trình: M  x   x0  1 y   x0  1 x0  2   0 2   x0  1  x0  2  1   x0  1  2 x0  1 1   x0  1 4   x 0  1   2 ;  x 0   1  d  I; d   2 2 ), tiếp tuyến của  C  tạic x  x   x0  2 2 1  1 . : x0   x0  1 x  1  ,  ; 3   2  Vẽ đồ thị: - Mà  1  3   3;  ,  ; 1  2   2   2  2 2  4 1  x0  1 2   x0  1 . 2 . 2 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trang 2 Dấu = xảy ra khi 1 x 0  1  2 x Vậy khoảng cách lớn nhất từ  1  x 2 0 I 0 x0  0 4  1  1   x0  2 tới tiếp tuyến là: d  M ; d  d m ax .  2 . Nhận xét: Hướng giải: Tìm giao điểm của hai tiêm cận là I , lập phương trình tiếp tuyến tai điểm M và tính khoảng cách từ I tới tiếp tuyến. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Phương trình tiếp tuyến của hàm số y  f  x  tại điểm Q  x Q ; y Q   y  f  x  : y  f '  x Q   x  x Q   y Q . - Tham số hóa điểm  x0  2  M  x0 ;   C  x 0  1    với x0  1 viết được phương trình tiếp tuyến viết tại  C  . M - Tính khoảng cách từ điểm I   1; 1  tới tiếp tuyến. -Sử dụng bất đẳng thức Bài toan kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho hàm số y  AM  GM 2x x 2 . Giả sử d M ax  2 . xứng tới  d  . Đáp số: b. Cho hàm số y  2x  1 x1 , ta có ab  d  I ; d   a,b  0 : a  b  2 2 . là một tiếp tuyến của đồ thị. Tìm khoảng cách lớn nhất từ tâm đỗi . Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số khi khoảng cách từ tâm đối xứng tới tiếp tuyên là lớn nhất. Đáp số: y   x  5; y   x  1 Câu 2. Phương trình tương đương với 4  s in x  c o s x   1  2 c o s x  c o s 2 2 2  x  3 c o s x  s in x  3  0 3  3 s in x  8 s in x c o s x  4 s in x c o s x  c o s x  8 c o s x  4 c o s x  3  0 3 2 2 2  3 s in x  2 s in x c o s x  4 c o s x  6 c o s x  2 c o s x  3 c o s x  4 s in x c o s x  6 s in x c o s x  2 c o s x  3  0   2 c o s x  3   s in x  c o s x  c o s 2 x  s in 2 x   0 2 cos x  3  0  vn    π k2        x    s in x  c o s x  c o s 2 x  s in 2 x  0  s in x   s in  2 x   6 3       4  4     x    k 2   Phương trình có nghiệm: x   π  6 k 2π ; x    k2; k  Z . . 3 Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử vận dụng các công thức lượng giác cơ bản. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Sử dụng công thức hạ bậc 1  c o s 2 a  2 c o s 2 a ; 1  c o s 2 a  2 s in 2 a . -Khai triển phương trình và nhóm nhân tử chung - Công thức lượng giác cơ bản       s in  x    s in   2 x   4  4    - 2 cos x  3  0    s in x  c o s x  c o s 2 x  s in 2 x  0 s in a  c o s a     2 s in  a   4    . sin x  c o s x  cos 2 x  sin 2 x  0 trở thành . x    k2 s in x  s in    k  Z. x      k2 Bài tập tương tự: a. Giải phương trình 3 s in 3 x  3 3 c o s 9 x  1  4 s in 3 x . Đáp số: x   18 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015  k 2 9 ;x  7 54  k 2 . 9 Trang 3 b. Giải phương trình   Câu 3. 1 2 1 2 1  4 2 s in x  x   1 2  4 3 4  k 9 2 . 3 2 2cosx  1 2 s in x  x 4    k; x  d  2 s in x  x   4 1  4 d  2 s in x  x   x    4  . Đáp số: dx  4 2 s in x  x dx  x   3 c o s x  ta n x  3 c o t x  2 cosx  1  4 2 s in x  I   4 s in x  ln 4 2 sin x  x 2 2 sin x  x   1 ln 4 4 4 4   4  4 2   2   . Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo đạo hàm của mẫu. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Xét tử của biểu thức tích phân: s in x  x c o s x  1 4 a  b  a  ba  b Sử dụng hằng đẳng thức 2 4 sin x  x 2 2 2   2 sin x  x   2 sin x  x  1  2 c o s x  1   2 s in x  x    2 c o s x  1   2 s in x  x  . 4 ta có mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân viết lại dạng . -Nhận thấy  2 sin x  x  '   2 c o s x  1  ;  2 sin x  x  '   2 c o s x  1  nên các tích phân có dạng  Bài tập tương tự: e a. Tính tích phân I  2 ln x  ln  e I  ln x   x 1 Câu 4.a. Điều kiện x  3 . Phương trình tương đương Đặt t  x z Vì 2  4x  3  0 2 1     3   3 x x  x  ln x  1 b. Tính tích phân 2 dx 1  ln x 1  ln x  2 . Đáp số: dx  I  7  2 lo g 3 t  1  lo g 2 t  z 2 3 2 lo g 3 x  4 x  4  lo g 2 x  4 x  3 ; ta được d u  ln u  C . u I  ln  e  1   1 . . Đáp số:  u' nên .   t  1  3 z  z  t  2 z , do đó z 2 1 2 1 3      1  3 3 z z (1). z nghịch biến trên ℝ nên (1) có nghiệm duy nhất x  2  2 z  1  lo g 2 t  1  x  4 x  3  2   x  2   Phương trình có nghiệm: x  2  3 . Nhận xét: Bài toán giải phương trình Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Sử dụng công thức lo g a n b  1 n lo g a r it 3 3 l z  1. . với phép đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số. lo g a b ; n lo g a b  lo g a b n chuyển đổi phương trình. -Đặt ẩn phụ t  x 2  4 x  3  l o g 3 t  1  l o g 2 t . -Sử dụng ẩn phụ với lo g 3 t  1  lo g 2 t  z . z -Hàm số  2   1 f z        3   3 z nghịch biến trên R nên có nghiệm duy nhất. - Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm của phương trình. Bài tập tương tự: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trang 4 a. Giải phương trình b. Giải phương trinh Câu 4.b. Gọi Ta có  2 lo g 5  x  3   iz   1  3 i  z 1 i  z 2 3 lo g 2 1  z  a  bi  a, b  1 i 2  a  b 2 2  x  343 2  a  b 2   3a  3b   5b  a  i  2 a  b  45 2 a   a  0   2 6 b  9 b  0 26      b  0 a  5 b    b   9  26   Vậy có 2 số phức cần tìm: . . a  4b  b  2ai  a  4b  b  2 a  i 1  i    2 2  3a  3b  2 a  b   5b  a  0  . Đáp số: x  2 . x   lo g 7 x . Đáp số:  x và z0 z   45 9  26 i 2 2  . . 26 Nhận xét: Bài toán tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước, ta đặt số phức đã cho. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Đặt z  a  b i  a , b  R  . -Thay vào biểu thức iz   1  3 i  z  z 1 i 2 z cần tìm thay vào điều kiện . - Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương tứng bằng nhau. Bài tập tương tự: a. Tìm số phức z thỏa mãn b. Tìm số phức z thỏa mãn Câu 5. Đường thẳng  z  z  2  i z 3  18  26i 3  2  i  . Đáp số: . Đáp số: có phương trình tham số là z  3i z  15  10i . 4 . x  t   :  y  1  2t z  2  t  . Gọi I   t ;  1  2 t ; 2  t    là tâm mặt cầu. Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng  P  một khoảng bằng 3 nên, ta có d I;   2t  1  2t  4  2t  2 6t  5  3 3 Suy ra có hai tâm mặt cầu là  2 t  3  3   7  t    3 .  2 1 8  7 17 1  I   ; ;  ,I  ; ;  3 7   3 3 3   3 . Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cấu có bán kính bằng 5. 2 Phương trình mặt cầu là: 2 2 2 2 2       2 1 8 7  17  1  x     y     z    25;  x     y     z    25 3 3 3 3 3  3       . Nhận xét: Để viết phương trình mặt cầu ta tìm tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu sử dụng phương pháp tọa độ hóa điểm và công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  tâm I theo một đường tròn  C  có mối liên hệ bán kính với khoảng cách tâm I tới  P  : d 2 I; P   2 RS  R 2 C  . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trang 5