Luyện thi Đại học môn Toán 2015: Phương trình mũ (phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

96
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán 2015: Phương trình mũ (phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán 2015: Phương trình mũ (phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3 Th y ng Vi t Hùng IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khái ni m: Là phương trình có d ng a f ( x ) .b g ( x ) = c, (1) trong ó a, b nguyên t cùng nhau, f(x) và g(x) thư ng là hàm b c nh t ho c b c hai. Cách gi i: L y logarith cơ s a ho c cơ s b c hai v c a (1) ta ư c (1) ⇔ log a ( a f ( x ) .b g ( x ) ) = log a c ⇔ log a a f ( x ) + log a b g ( x ) = log a c ⇔ f ( x) + g ( x) log a b = log a c, ( 2). (2) thu ư c là phương trình b c nh t c a x, ho c phương trình b c hai có th gi i ơn gi n. Chú ý: Nh ng d ng phương trình ki u này chúng ta c g ng s d ng tính ch t c a hàm mũ bi n vi c logarith hóa hai v v i c = 1 s cho phương trình thu ư c ơn gi n hơn r t nhi u. Ví d 1: [ VH]. Gi i các phương trình sau a) 3x.2 x+1 = 72 b) 5x.3x = 1 Hư ng d n gi i: 2 i sao cho c = 1. Khi ó c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x 3x.2 x +1 = 1 ⇔ 3x − 2.2 x − 2 = 1 ⇔ 6 x −2 = 1  x = 2. → 9.8 V y phương trình có nghi m x = 1. a) 3x.2 x +1 = 72 ⇔ 2 b) 5x.3x = 1 ⇔ log 3 5 x.3x ( 2 ) = log 1 ⇔ log 5 3 3 x + log 3 3x = 0 ⇔ x log 3 5 + x 2 = 0 2 x = 0 ⇔ x ( log 3 5 + x ) = 0   →  x = − log 3 5 V y phương trình ã cho có hai nghi m x = 0 và x = –log35.  x ( 3lg 7 − 2lg 5 ) = 0 ⇔ x = 0. → V y phương trình ã cho có nghi m x = 0. c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x ⇔ 8.73 x = 8.52 x ⇔ 73 x = 52 x ⇔ lg 73 x = lg 52 x ⇔ 3 x.lg 7 − 2 x.lg 5 = 0 ( ) ( ) Ví d 2: [ VH]. Gi i các phương trình sau: a) 5 x x +1 .8 x = 500 b) 5 x 2 x −1 .2 x +1 = 50 c) 2 x −3 = 5 x Hư ng d n gi i: 2 −5 x + 6 d) x 2lg x = 10 x a) 5 x x +1 .8 x = 500, 3 (1) . 2 i u ki n: x ≠ 0. x −3 2 x 3− x  x −3  x−3 = 5 .2 ⇔ = 5 ⇔ log 2  2 x  = log 2 53− x ⇔ = ( 3 − x ) log 2 5 (1) ⇔   x   x = 3 ⇔ ( log 2 5 ) x 2 − 3 ( log 2 5 − 1) x − 3 = 0   → 1  x = log 5  2 x +1 3 x 5 .2 x ( ) b) 5 x.2 x +1 = 50, 2 x −1 ( 2 ). i u ki n: x ≠ –1. 2 x −1 −1 ( 2 ) ⇔ 5x.2 x +1 2 x −1  −1  2x −1 = 1 ⇔ log 2  5 x − 2.2 x +1  = log 2 1 = 0 ⇔ − 1 + ( x − 2 ) log 2 5 = 0   x +1   x = 2 x − 2 = 0  (1 + log 2 5) 1 ⇔ x − 2 + ( x − 2 )( x + 1) log 2 5 = 0   → ⇔ x = − =− 1 + ( x + 1) log 2 5 = 0 log 2 5 lg 5   2 x −1 = 52.2 ⇔ 5 x − 2.2 x +1 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y V y phương trình có hai nghi m x = 2 ; x = − c) 2 x −3 = 5 x 2 NG VI T HÙNG 1 . lg 5 Facebook: LyHung95 −5 x + 6 ⇔ log 2 2 x −3 = log 2 5 x ( ) ( 2 −5 x + 6 ) ⇔ x −3 = (x 2 − 5 x + 6 log 2 5 ) x = 3 x − 3 = 0  ⇔ ( x − 3) 1 − ( x − 2 ) log 2 5 = 0   → ⇔    x = log 2 50 = log 5 50  x log 2 5 = 1 + 2log 2 5  log 2 5  V y phương trình có hai nghi m x = 3 ; x = log5 50. d) x 2lg x = 10 x, ( 4). i u ki n: x > 0. 2 ( 4 ) ⇔ lg ( x 2lg x ) lg x = 1  x = 10 = lg (10 x ) ⇔ 2lg x − lg x − 1 = 0 ⇔  1⇔ lg x =  x = 10  2 V y phương trình có hai nghi m x = 10 ; x = 10. BÀI T P LUY N TÂP: Bài 1: [ VH]. Gi i phương trình a) 5x.8 b) 3 .8 x x −1 x x x +1 = 500 = 36 x x c) 34 = 43 Bài 2: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) 53− log5 x = 25 x c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 Bài 3: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) x log 9 + 9log x = 6 c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x 2 log 3 x 2 −16 2 b) 9.x log9 x = x 2 d) x 3 2 3( log x ) − log x 3 = 100. 3 10 b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 lg 100 x 2 ( ) Bài 4: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) 2 ( ) +2 log 3 x 2 −16 +1 ( ) = 24 b) 21+( log2 x ) + 224 = x 2log 2 x 2 c) xlgx −3lg x−4,5 = 10−2lg x 2 Bài 5: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) 4 x 2 + 2 x −8 2 x −1 = 5x−2 9 b) 7 x.2 x+1 = 392 e) 2 x 2 c) 2 x.39− x = 8 2 d) 5x.2 x +1 = 50 −2 x .3x = 3 2 f) 3x −1 = 5x 2 −1 HƯ NG D N GI I: Bài 1: [ VH]. Gi i phương trình a) 5 x.8 a) 5 x.8 x −1 x = 500 = 500 ⇔ 5 x.2 3( x −1) x b) 3x.8 x+1 = 36 = 53.2 2 ⇔ 2 3( x −1) x −2 x c) 34 = 43 x x x −1 x = 53 − x ⇔ x−3 = ( 3 − x ) log 2 5 ⇔ x x = 3  x = − log 5  2 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y b) 3x.8 x +1 = 36 ⇔ 3 x 3x x+1 NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 = 22.32 ⇔ 3 x +1 = 4 ⇔ x 3x −2  x ≠ −1 2 + log3 4 x−2  = log3 4 ⇔  ⇒x= x +1 1 − log3 4 (1 − log3 4 ) x = 2 + log3 4  x x  4 c) 34 = 43 ⇔ 4 x = 3x.log3 4 ⇔   = log3 4 ⇒ x = log 4 ( log3 4 )  3 3 Bài 2: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) 53− log5 x = 25 x c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 b) 9.x log9 x = x 2 d) x L i gi i: 3 2 3( log x ) − log x 3 = 100. 3 10 a) 5 3− log5 x x > 0 x > 0  = 25 x ⇔  53 ⇔ 3 ⇔ x2 = 5 → x = 5 5 = 52 x 2 = 25 x   log5 x 5 b) 9.x 9 = x 2 ⇔ L y loga cơ s 9 hai v , ta có phương trình : x > 0 x > 0 x > 0   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=9>0 2 2 1 + ( log 9 x ) − 2log 9 x = 0 ( log 9 x − 1) = 0 log 9 x = 1   log x c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 . S d ng công th c : a logc b = blogc a . Phương trình bi n i thành : 3log2 x > 0 ⇔ 9log2 x − x 2 .3log2 x + 3log2 x = 0 ⇔ 3log2 x ( 3log2 x − x 2 + 1) = 0 ⇔  log x ⇔ 3log2 x = x 2 − 1 3 2 − x2 + 1 = 0   t : t = log 2 x ⇒ x = 2t ↔ x 2 = 4t . Phương trình : 3 1 ⇔ 3log2 x = x 2 − 1 = 3t = 4t − 1 ⇔   +   − 1 = 0 . 4 4 3 1 3 3 1 1 Xét hàm s f (t ) =   +   − 1 → f '(t ) =   ln   +   ln   < 0 . 4 4 4 4 4 4 Ch ng t hàm s f(t) là m t hàm s ngh ch bi n. Do f(1) = 0 cho nên v i t = 1 thì phương trình có nghi m duy nh t log 2 x = 1 → x = 2 . d) x 3 2 3( log x ) − log x 3 t t t t t t = 100. 3 10 . L y log hai v , phương trình tr thành : x 3 2 3( log x ) − log x 3  t = log x 2 1  3   = 100. 3 10 ⇔  3( log x ) − log x  log x = 2 + ⇔ 0 < x ≠ 1 3 3    2 7 3t 4 − t 2 − = 0 3 3      0 < x ≠ 1 7  t = log x −  7  x = 10 3   ⇔ 0 < x ≠ 1 ⇔ log x = − ⇔ 7 3  2   x = 10 3 t = −1    7  2 7 log x = 3   t = 9   Bài 3: [ VH]. Gi i các phương trình sau : a) x log 9 + 9log x = 6 c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x 2 b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 lg 100 x 2 ( ) L i gi i: 0 < x ≠ 1 1 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1  0 < x ≠ 1  a) x log 9 + 9log x = 6 ⇔  log x ⇔  log x ⇔  2log x ⇔ ↔ x = 10 2 = 10 1 log x = 3 log x = 9 + 9 = 6 9 = 3 3  2 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG log 2 x Facebook: LyHung95 = 1 2  3 b) 3log 2 x + x log2 3 = 63log2 x ⇔ 3log2 x + 3log2 x = 63log2 x ⇔ 2.3log2 x = 63log2 x ⇔  3  6  ⇔ log 2 x = log 1 72 log 1 1 2 ⇔ x = 2 72 2 1 c) 4 log 2 2 x −x log 2 6 = 2.3log2 4 x ⇔ 2 2 ⇔ 4.22 log2 x − 6log 2 x = 18.32log2 x 2 ) − 6log2 x = 2.3( ⇔ 4.22 log 2 x − 6log2 x = 18.32log2 x   3 log2 x x > 0 >0 t =   2 log 2 x ⇔   6 log2 x ⇔  2  3 = 18.   4 −    2 2  4 18t + t − 4 = 0 2(1+ log 2 x ) 2 + 2log x t > 0   t = − 1 < 0  3  log2 x 4  3  −2 1 ⇔  ⇒  = =   ↔ log 2 x = −2 → x = 2 9 2 4 2  4 t =    9 ⇔ 41+ lg x − 6lg x = 2.32+ 2 lg x ⇔ 4.22 lg x − 6lg x = 18.32 lg x . d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3 Chia hai v cho 22 lg x > 0 ta ư c t > 0    3 lg x lg x 2 lg x  t = − 1 < 0  3  log2 x 4  3  −2 t =  >0 6 3 1    4 −   = 18.   ⇔  2 ⇔  ⇒  = =   ↔ log 2 x = −2 → x = 2 9 2 4 4 2 2  2  4 t = 18t + t − 4 = 0    9 Bài 4: [ VH]. Gi i các phương trình sau : lg 100 x 2 ( ) + 224 = x 2 log 2 x c) x L i gi i: t > 0 t = 2log3 ( x2 −16) > 0 2 log3 ( x 2 −16 ) log3 ( x 2 −16 ) +1 log ( x 2 −16 )   a) 2 +2 = 24 ⇔  ⇔  t = −6 ⇔ 2 3 = 22 2 t + 2t − 24 = 0  t = 4   2 2 2 2 ⇒ log 3 ( x − 16 ) = 2 ⇔ x − 16 = 3 = 9 ⇔ x = 25 → x = 5 a) 2 b) 2 2 log 3 x 2 −16 ( ) +2 log 3 x 2 −16 +1 ( ) = 24 1+ ( log 2 x ) 2 lg2 −3lg x −4,5 x = 10−2lg x b) 2 1+ ( log 2 x ) 2 + 224 = x 2log 2 x ⇔ 2.2 ( log 2 x )2 + 224 = ( 2 log 2 x 2 log 2 x ) t = 2( log2 x ) > 0  ⇔ 2 t − 2t − 224 = 0  2 t > 0 1  −2  log 2 x = −2  2 ( log 2 x )2 4 x = 2 = 4 ⇔  t = −14 ⇔ 2 = 2 ⇔ ( log 2 x ) = 4 ⇔  ⇔  2  log 2 x = 2  t = 16 = 24 x = 2 = 4   c) x lg x − 3lg x − 4,5 = 10−2lg x 2 L y lg hai v ⇒ ( lg 2 − 3lg x − 4,5 x )   lg x = 0 x = 1   3− 10  lg x = 3 − 10 ⇔  x = 10 2 2 lg x = −2 lg x ⇔ lg x ( lg x − 3lg x − 4,5 + 2 ) = 0 ⇔   2 3+ 10   3 + 10   x = 10 2   lg x =  2 V. PHƯƠNG PHÁP HÀM S Cơ s c a phương pháp: GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Xét phương trình f(x) = g(x), (1). N u f(x) ng bi n (ho c ngh ch bi n) và f(x) là hàm h ng thì (1) có nghi m duy nh t x = xo. N u f(x) ng bi n (ho c ngh ch bi n) và f(x) ngh ch bi n (ho c ng bi n) thì (1) có nghi m duy nh t x = xo. Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 Các bư c th c hi n: Bi n i phương trình ã cho v d ng (1), d oán x = xo là m t nghi m c a (1). Ch ng minh tính ng bi n, ngh ch bi n hay h ng s c a (1). D a vào tính ng bi n, ngh ch bi n k t lu n trên ch ng t khi x > xo và x < xo thì (1) vô nghi m. T ư c x = xo là nghi m duy nh t c a phương trình. Chú ý: Hàm f(x) ng bi n thì x2 > x1  f ( x2 ) > f ( x1 ) ; f(x) ngh ch bi n thì x2 > x1  f ( x2 ) < f ( x1 ) → → Hàm f ( x ) = a u( x )  f ′( x ) = u(′ x ) .a u( x ) .ln a . Khi a > 1 thì hàm s → ó ta ng bi n, ngư c l i hàm ngh ch bi n. ng bi n (ho c ngh ch bi n), không có tính c h s và trên lũy T ng ho c tích c a hai hàm ng bi n (ho c ngh ch bi n) là m t hàm ch t tương t cho hi u ho c thương c a hai hàm. V i nh ng phương trình có d ng f x;a u( x ) = 0, hay ơn gi n là phương trình có ch a x ( ) th a, ta coi ó là phương trình n là hàm mũ và gi i như bình thư ng. Bài toán s quy v vi c gi i phương trình b ng phương pháp hàm s thu ư c nghi m cu i cùng. D ng 1: Phương trình s d ng s bi n thiên c a hàm s mũ Ví d 1: [ VH]. Gi i các phương trình sau a) 3 = 5 − 2 x x b) 2 x x 2 =3 +1 L i gi i: c) ( 3 + 2 2 ) + ( 3 − 2 2 ) = 6 x x x  f ( x ) = 3x  a) 3 = 5 − 2 x, (1) . t  →  g ( x) = 5 − 2 x  g ′( x) = −2 < 0  T ó ta th y f(x) ng bi n, còn g(x) ngh ch bi n. Nh n th y x = 1 là m t nghi m c a (1).  f ( x) > f (1) = 3 Khi x > 1 thì   (1) vô nghi m. →  g ( x) < g (1) = 3  f ( x) < f (1) = 3 Khi x < 1 thì   (1) vô nghi m. V y x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình (1). →  g ( x) > g (1) = 3 x b) 2 x x = 32 +1 ⇔ 2 = x x ( 3) x  3   1 x +1 ⇔    2  +  2  = 1,     x x ( 2 ). x  3   1 x  3 3 1 1 t f ( x) =  → +   ln < 0  f(x) là hàm ngh ch bi n. →  +    f ′( x) =   ln  2  2  2  2 2 2     Nh n th y x = 2 là m t nghi m c a (2). Khi x > 2 thì f(x) < f(2) = 1 → (2) vô nghi m. Khi x < 2 thì f(x) > f(2) = 1 → (2) vô nghi m. V y x = 2 là nghi m duy nh t c a phương trình ã cho. c) ( 3 + 2 2 ) + ( 3 − 2 2 ) x x x  3+ 2 2   3−2 2  =6 ⇔  +  = 1, 6 6     x x x x x ( 3) . x  3+ 2 2   3− 2 2   3+ 2 2  3+ 2 2  3− 2 2  3+ 2 2 t f ( x) =  → + < 0.  +   f ′( x) =   ln  ln 6 6 6 6 6 6         Do ó f(x) là hàm ngh ch bi n. Nh n th y x = 1 là m t nghi m c a (3). Khi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 → (3) vô nghi m. Khi x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 → (3) vô nghi m. V y x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình ã cho. 1 1 Ví d 2: [ VH]. Gi i phương trình   − ( 3 x + 11) .   + 3 x + 10 = 0 . 4 2 L i gi i: x t = 3 x + 10 1 t t =   ⇒ t > 0. Khi ó phương trình ã cho tr thành t 2 − ( 3 x + 11) t + 3x + 10 = 0 ⇔  2 t = 1 x x Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!