zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Lý thuyết số và hệ đếm

Chia sẻ: Bùi Ngọc Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Báo xấu

161
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

1 Các phép toán trên số nguyên. 2. Biểu diễn các số nguyên. 3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng. 4. Các hệ đếm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết số và hệ đếm

1.4.LÝ THUYẾT SỐ VÀ HỆ ĐẾM 1 Các phép toán trên số nguyên. 1. 2. Biểu diễn các số nguyên. 3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng. 4. Các hệ đếm.
1. Các phép toán trên số nguyên (1/5) 2 1.1. Phép chia nguyên. Cho hai số nguyên n và m ta nói n chia hết cho m nếu tồn tại số nguyên k  sao cho n = k.m và ký hiệu là mn. Định lý 1. Cho n, m và k là các số nguyên. Khi đó  a- Nếu kn và km thì k(n + m). b- Nếu kn thì kn m với mọi số nguyên m . c- Nếu kn và nm thì km. Định lý 2. Mọi số nguyên dương đều có thể được viết duy nhất dưới dạng  tích của các số nguyên tố.
1. Các phép toán trên số nguyên (2/5) 3 1.1. Phép chia nguyên (tiếp) o Định lý 3. Cho a là một số nguyên và d là số nguyên dương. Khi đó tồn tại các số q và r duy nhất, với 0  r < d, sao cho a = dq + r. o Hai số nguyên n và m gọi là nguyên tố cùng nhau nếu USCLN(n,m) = 1. o Các số nguyên a1, a2, . . . , an được gọi là đôi một nguyên tố cùng nhau nếu USCLN(ai, aj) =1 với mọi 1  i, j  n. o Định lý 4. Cho n, m là hai số nguyên dương. Khi đó: mn = USCLN(n,m) BSCNN(n,m) o Hai số nguyên n và m gọi là đồng dư theo modulo k nếu n mod k = m mod k, ta ký hiệu n  m (mod k).
1. Các phép toán trên số nguyên (3/5) 4 1.1. Phép chia nguyên (tiếp) Định lý 5. Nếu n  m (mod k) và p  q (mod k). Khi đó:  a) n+p  m + q (mod k) b) np  m q (mod k) Phần tử b được gọi là phần tử nghịch đảo của a theo modulo m nếu  ab  1 (mod m) và ký hiệu là a -1 , khi đó aa -1  1 (mod m).
1. Các phép toán trên số nguyên (4/5) 5 1.2. Thuật toán Euclid. Bổ đề 1: Cho a = b × q + r trong đó a, b, q, r là các số nguyên dương. Khi đó  USCLN(a,b) = USCLN(b,r) Chứng minh.  Do a = b.q + r nên mọi ước số chung của b và r cũng là ước số chung của a và b. Do a – b.q = r nên mọi ước số chung của a và b cũng là ước số chung của b và r. → USCLN(a,b) = USCLN(b,r). Thuật toán Euclid. (thuật toán tìm ước số chung lớn nhất của hai số nguyên)  Input. a, b (a  b) đặt r0 = a và r1 = b.  0  r2 < r1 Bước 1. r0 = r1 × q1 + r2  Bước 2. Nếu r2  0 thì r0 = r1 và r1 = r2 quay lại bước 1 ngược lại sang bước 3.  Output. r1. 
1. Các phép toán trên số nguyên (5/5) 6 1.2. Thuật toán Euclid (tiếp) Ví dụ: tìm USCLN(91,287).  Trước hết lấy số lớn hơn 287 chia cho số nhỏ 91 ta được 287 = 91.3 + 14 Theo bổ đề 1, ta có: USCLN(91,287) = USCLN(91,14) Tương tự như vậy vì 91 = 14.6 + 7 ta được USCLN(91,14) = USCLN(14,7) = 7
2. Biểu diễn các số nguyên (1/2) 7 Định lý 6. Cho b là một số nguyên dương lớn hơn 1. Khi đó nếu n là một số  nguyên dương thì nó có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng: n = akbk + ak-1bk-1 + . . . .+ a1b1 + a0 Trong đó k là số nguyên không âm, a0, a1, a2,. . . ak là các số nguyên không âm nhỏ hơn b và ak  0. Biểu diễn n trong định lý trên được gọi là triển khai cơ số b của n (biểu  diễn theo cơ số b của n)
2. Biểu diễn các số nguyên (2/2) 8 Ví dụ: Cho n = 165, b = 8 ta được  165 = 2.82 + 4.81 + 5 Trong ví dụ này ta có thể biểu diễn như sau (245)8 gọi là cách biểu diễn theo hệ bát phân. Ví dụ: Cho n = 351, b = 2 ta được  351 = 1.28 + 0.27 + 1.26 + 0.25 + 1.24 + 1.23 +1.22 +1.21 + 0.20 ta nhận được dãy {ak} sau (101011111)2 gọi là biểu diễn nhị phân của số 351.
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (1/12) 9 Số dư Trung Quốc: Định lý về số dư Trung Quốc. Giả sử m1, m2,. . ., mn là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau từng đôi  một và a1, a2,. . ., an là các số nguyên. Khi đó hệ n phương trình đồng dư x  ai (mod mi) với 1 in có một nghiệm duy nhất theo modulo M = m1.m2 . . . mn được xác định theo công thức sau: n X   a i M i yi mod M  i 1 Trong đó Mi = M/mi và yi = Mi-1 mod mi với 1  i  n. 
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (2/12) 10  Ký hiệu  ánh xạ: ZM  Zm1 X Zm2 X . . . Zmn được định nghĩa như sau: (x) = (x mod m1, x mod m2,. . . ,x mod mn)  Ví dụ: Cho n = 2, m1= 5, m2= 3 từ đó M = 15. Khi đó (x) ánh xạ có các giá trị như sau: (0) = (0,0) (1) = (1,1) (2) = (2,2) (3) = (3,0) (4) = (4,1) (5) = (0,2) (6) = (1,0) (7) = (2,1) (8) = (3,2) (9) = (4,0) (10) = (0,1) (11)= (1,2) (12) = (2,0) (13) = (3,1) (14) = (4,2)
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (3/12) 11  Để chứng minh định lý về số dư Trung Quốc, cần c/m  là một song ánh. Điều này có thể thấy dễ dàng qua ví dụ trên. Nói cách khác, cần chỉ ra công thức của ánh xạ ngược  -1:  Với 1  i  n, định nghĩa: M Mi  mi Khi đó dễ dàng thấy rằng USCLN(Mi,mi) = 1 , với 1  i  n  Ta định nghĩa yi = Mi-1 mod mi phần tử nghịch đảo này tồn tại do USCLN(Mi,mi) = 1 và có thể tìm được bằng thuật toán Euclid mở rộng.
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (4/12) 12  Theo định nghĩa ta có Miyi  1 (mod mi) , với 1  i  n.  Định nghĩa ánh xạ:  : Zm1 × Zm2 × . . . × Zmn  ZM n  (a1 , a 2 ,..., a n )   a i M i yi mod M  i 1  Ta sẽ chứng tỏ rằng  =  -1 , tức là nó sẽ cho ta một công thức tường minh để giải hệ đồng dư ban đầu.
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (5/12) 13  Ký hiệu X =  (aj,. . ., an) và cho 1  j  n. Xét số hạng ai Miyi trong tổng trên khi rút gọn theo modulo mj . Nếu i = j thì ai Miyi  ai (mod mi) vì Miyi  1 (mod mi) Nếu i  j thì ai Miyi  0 (mod mi) do miM trong trường hợp này. n X   a i M i yi (mod M)  Từ đó ta có: i 1  a i (mod mi )  Do điều này đúng đối với mọi i, 1  i  n nên X là nghiệm của hệ phương trình đồng dư.
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (6/12) 14  Cần phải chứng minh nghiệm X là duy nhất của hệ phương trình đồng dư.  Vì:  là ánh xạ từ tập ZM có lực lượng là M sang tập Zm1 × Zm2 × . . . × Zmn  cũng có lực lượng M, và  là toàn ánh từ đó suy ra  là đơn ánh (xác định phép tương ứng 1-1),  điều này kéo theo  là một song ánh và  -1 =  . Chú ý là  -1 là một hàm tuyến tính của các biến (aj,. . ., an). 
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (7/12) 15 Thuật toán Euclid mở rộng: Giải thuật sau chỉ thực hiện với các số nguyên m>a>0, biểu diễn bằng giã mã: Procedure Euclid_Extended (a,m) int y0=0, y1:=1; While a>0 do { r:= m mod a if r=0 then Break q:= m div a y:= y0-y1*q m:=a ; a:=r ; y0:=y1 ; y1:=y } If a>1 Then Return "A không khả nghịch theo mođun m" else Return " Nghịch đảo modulo m của a là y"
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (8/12) 16 Ví dụ về tìm nghịch đảo theo Modulo:  Cho a=143, m=7, tìm nghịch đảo của a.  Giải: Vì 143 mod 7 = 3, nên cần tìm nghịch đảo của 3 modulo 7.  Bước m a r q y0 y1 y 0 7 3 1 2 0 1 -2 1 3 1 0 .. .. .. .. Kết quả tính toán trong bảng cho ta − 2. Lấy số đối của 2 theo  modulo 7 được 5. Vậy: 3-1 mod 7 = 5
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (9/12) 17 Ví dụ về tìm nghịch đảo theo Modulo:  Cho a=30, m=101, tìm nghịch đảo của a.  Giải: Bước m a r q y0 y1 y 0 101 30 11 3 0 1 -3 1 30 11 8 2 1 -3 7 2 11 8 3 1 -3 7 -10 3 8 3 2 2 7 -10 27 4 3 2 1 1 -10 27 -37 5 2 1 0 .. .. .. ..  Kết quả tính toán trong bảng cho ta − 37. Lấy số đối của 37 theo modulo 101 được 64. Vậy: 30-1 mod 101 = 64
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (10/12) 18 Ví dụ về hệ phương trình đồng dư:  Cho hệ phương trình đồng dư: x  5 (mod 7) x  3 (mod 11) x  10 (mod 13)
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (11/12) 19 Ví dụ về hệ phương trình đồng dư (tiếp):  Tính: M = 7 × 11 × 13 = 1001,  M1 = 11 × 13 = 143,  M2 = 7 × 13 = 91,  M3 = 7 × 11 = 77,  y1 = 143 -1 mod 7= 5 theo Euclid mở rộng  y2 = 91-1 mod 11= 4 theo Euclid mở rộng  và y3 = 77 -1 mod 13 = 12 theo Euclid mở rộng 
3. Định lý về số dư Trung Quốc và ứng dụng (12/12) 20 Ví dụ về hệ phương trình đồng dư (tiếp):  Khi đó  =-1: Z7 × Z11 × Z13  ZM có dạng: -1 (a1, a2, a3) = (5 × 143 × a1 + 4 × 91 × a2 + 12 × 77 × a3) mod 1001  Khi đó với a1 = 5 , a2 = 3 và a3 = 10 nghiệm của hệ phương trình là: X = (5 × 143 × 5 + 3 × 91 × 4 + 10 × 77 × 12) mod 1001 = (3 575 + 1 092 + 9 240) mod 1001 = 13 907 mod 1001 = 894 mod 1001 = 894

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.