Một số phương pháp giải PT Vô tỉ và BPT Vô tỉ - Ng.Trường Sơn

Chia sẻ: Trần Thị Trúc Diễm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

157
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn lớp 12 tham khảo 1 số bài tập về phương trình vô tỉ và bất phương trình vô tỉ của Nguyễn Trường Sơn bao gồm 42 câu tự luận giúp các thí sinh có thêm tư liệu chuẩn bị ôn thi với kết quả tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp giải PT Vô tỉ và BPT Vô tỉ - Ng.Trường Sơn

Trang 1 BÀI 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PP1. Lũy thừa hai vế Bài 1 Giải phương trình a. x 2  3x  2  x  1 b. 3x 2  9x  1  x  2 c. x 2  2x  3x  4 d. (x  3) x 2  4  x 2  9 e. x  3  7  x  2x  8 f. x  2  3  x  5  2x g. (x  3) x 2  3x  2  x 2  8x  15 h. (x  4) 10  x 2  x 2  2x  8 x2 x2 i.  3x  2  1  x j.  4x  3  1  x 3x  2 4x  3 Bài 2 Giải phương trình a. x 2  3x  2  x 2  6x  5  2x 2  9x  7 b. x 2  3x  2  x 2  4x  3  x 2  5x  4 Bài 3 Giải phương trình a. 3 x  5  3 x  6  3 2x  11 b. 3 x  1  3 x  1  3 5x c. 3 2x  1  3 x  1  3 3x  1 Bài 4 Giải phương trình a. x  x  1  x  4  x  9  0 nghiệm x = 0 b. x  1  x  16  x  4  x  9 nghiệm x = 0 c. x  3  3x  1  2 x  2x  2 PP2. Đặt ẩn phụ Dạng 1: Đặt t = f (x) Bài 1 Giải phương trình a. (x  1)(x  4)  5 x 2  5x  28 b. 5x 2  10x  1  7  2x  x 2 c. (4  x)(6  x)  x 2  2x  12 d. x(x  5)  2 3 x 2  5x  2  2 Bài 2 Tìm m để phương trình có nghiệm a.  x 2  2x  4 (3  x)(1  x)  m  2 m  [  1;11] 41  56 2 b. 2x 2  5x  4 (3  x)(1  2x)  m  2 m  [  1; ] 8 Bài 3 Giải phương trình 5 1 3 1 a. 5 x   2x  4 b. 3 x   2x  7 2 x 2x 2 x 2x Dạng 2: Đặt t = A  B Bài 4 Giải phương trình a. 2x  3  x  1  3x  2 2x 2  5x  3  2 Nghiệm 25  6 17 2 b. 7x  7  7x  6  2 49x  7x  42  181  14x c. x  4  x  4  2x  12  2 x 2  16 d. 3x  2  x  1  4x  9  2 3x 2  5x  2 Bài 5 (B 2011) Giải phương trình: 3 2  x  6 2  x  4 4  x 2  10  3x (nghiệm x = 6/5) Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm
Trang 2 6 2 9 a. 1  x  8  x   x 2  7x  8  m m [ ;3] 2 b. 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  m c. 3( 1  2x  1  x )  m  x  2 1  x  2x 2 PP3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Bài 7 Giải phương trình a. x 2  3x  x x 2  2  1  2 x 2  2 (đặt t  x 2  2 ) b. (x  1) x 2  2x  3  x 2  1 c. x 2  1  2x. x 2  2x Nghiệm x  1  2 d. 3x  x  48  (3x  10) x 2  15 2 e. 2(x  1). x 2  2x  1  x 2  2x  1 f. x 2  4x  (x  2). x 2  2x  15  39 g. (1  4x) 4x 2  1  8x 2  2x  1 h. (4x  1) x3  1  2x 3  2x  1 i. x 3  3x  2  (x  2) x 3  2x  1 PP4. Chia để làm xuất hiện ẩn phụ Bài 8 Giải phương trình 4 a. (x  2) x 2  x  4  2x (bình phương, chia x² rồi đặt t  x  ) x b. x 2  3x  2  2 x 2  x  2  2 x (chia x) 1 c. x  1  x 2  4x  1  3 x (chia cho x và đặt t  x  ) x Bài 9 Giải phương trình a. 2(x 2  2)  5 x 3  1 (bình phương, chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử) b. 5x 2  14x  9  x 2  x  20  5 x  1 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2x 2  5x  2  5 (x 2  x  20)(x  1)  2(x 2  4x  5)  3(x  4)  5 (x  4)(x 2  4x  5) x 2  4x  5 x 2  4x  5 2 3 5 x4 x4 PP5. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp. Bài 10 Giải phương trình a. 2x 2  5x  1  7 x 3  1 (Đặt u  x  1; v  x 2  x  1 ) b. x 2  3 x 2  1  x 4  x 2  1 (Đặt a = x² và b  x 2  1 ) Bài 11. Giải phương trình: x 2  2x  2x  1  3x 2  4x  1 Đặt ĐK, bình phương 2 vế ta có  x2  2x   2x 1  x2  1   x 2  2x   2x  1   x 2  2x    2x  1  u  x 2  2x  Đặt:  khi đó ta có: uv  u 2  v 2  v  2x  1 
Trang 3 1 5 1 5 Do u, v cùng không âm nên u  v  x 2  2x   2x  1 2 2   2x 2  2 1  5 x     5  1  0 . (vô nghiệm) Bài 12. Giải phương trình: 4x 2  5x  1  2 x 2  x  1  9x  3  4x 2  5x  1  a  0  Đặt  ta có: a – b = a² – b² 2 2 x  x  1  b  0  Bài 13 Giải phương trình: x3  3x 2  2 (x  2)3  6x  0 Đặt y  x  2 ta được phương trình: x 3  3x 2  2y3  6x  0  x 3  2y3  3x(x  2)  0 x  y  x 3  3xy 2  2y3  0    x  2y Bài tập tự luyện a. x3  3x 2  2 (x  1)3  3x  0 b. x 3  (3x 2  4x  4) x  1  0 PP6. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Bài 14 Giải phương trình 3 2x  1  6 x  4  (2x  1)(x  4)  7  0  u  2x  1  Đặt   2v 2  u 2  7 (1) v  x  4  Thay vào phương trình có: 3u  6v  uv  7  0 (2) Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2v  u)(u  v  3)  0  x  0 Bài 15 Giải phương trình a. 2 3 3x  2  3 6  5x  8  0 (A 2009) Nghiệm x = –2 b. 2 3 3x  2  3 6  5x  16  0 c. x  17  x 2  x 17  x 2  9 d. x.3 35  x 3 .(x  3 35  x 3 )  30 1 1 1  3 e.  2 Nghiệm x  1; x 2  x2 2 1  5 f. x 3  1  2 3 2x  1 Nghiệm x  1; 2 g. x 3  2  3 3 3x  2 PP7. Đặt ẩn phụ đặc biệt Bài 16 Giải phương trình a. x  1  x 2  4x  5 4x  9 4x  9 1 b.  7x 2  7x (đặt  y ) 28 28 2 c. x  2  x 2  6x  10 (đặt x 2  y3) d. 2x  1  4x 2  12x  5 (đặt 2x  1  2y  3 ) PP8. Phân tích thành nhân tử Bài 1 Giải phương trình a. x  3  2x x  1  2x  x 2  4x  3
Trang 4 4x b. x 3  4 x x 3 c. 2 x  3  9x 2  x  4 Bài 2 Giải phương trình a. x 2  10x  21  3 x  3  2 x  7  6 b. x 2  8x  15  3 x  3  2 x  5  6 x 2  7x  4 c. x  2 x  1  (x  1) x  x 2  x  0 d. 4 x 0 x2 PP9. Thêm bớt, nhân liên hợp Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm xo hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành (x – xo)P(x) = 0 và P(x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được. Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị xo để trong căn là bình phương hoặc lập phương. Bài 1 Giải phương trình a. (B 2010) 3x  1  6  x  3x 2  14x  8  0 3 1 PT  (x  5)(   3x  1)  0 . Nghiệm duy nhất x = 5 3x  1  4 6  x 1 b. 2 3 3x  2  3 6  5x  16  0 Nghiệm duy nhất x  2 c. 4(2 10  2x  3 9x  27)  4x 2  15x  33    Đặt ĐK: x ≤ 5. Pt  4 4  3 9x  37  8 4  10  2x  4x 2  15x  81  0  4  27  9x  8(6  2x)  2   (x  3)(4x  27)  0 4  10  2x 16  4 3 9x  37   3 9x  37  Ngoài nghiệm x = –3 thì pt còn lại là 36 16 2   4x  27  0 4  10  2x 16  4 3 9x  37   3 9x  37  36 16  2   4x  27  0 4  10  2x 12   3 9x  37  2  36 16 VT    4.5  27  0 12 4 Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3 và 5 Bài 2 Giải phương trình a. x  1  4x 2  1  3x b. x  1  9x 2  1  4x c. x 2  12  5  3x  x 2  5 Nghiệm duy nhất x = 2 2 2 d. x  15  3x  2  x  8 e. 3x 2  5x  1  x 2  2  3x 2  3x  3  x 2  3x  4 Bài 3 Giải phương trình a. 2x 2  x  9  2x 2  x  1  x  4 VT  0  (x  4)  0  2x 2  x  9  2x 2  x  1  2x 2  x  9  2x 2  x  1  2 8  PT    2 2x 2  x  9  x  6  x  0;  2x 2  x  9  2x 2  x  1  x  4 7  b. 2x 2  x  1  x 2  x  1  3x
Trang 5 3 2 3 Bài 4. Giải phương trình: x  1  x  x  2 Điều kiện: x  3 2 Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình   3 2 3  x  1  2  x  3  x  2  5   x  3  1  x 3  2   x  3  x  3x  9    3 x2 1 2  23 x 2 1  4  x3  2  5      x 3 x 3 x 2  3x  9 Ta chứng minh: 1   1 2 3 3 3 (x 2  1) 2  2 x 2  1  4 ( x 2  1  1)2  3 x3  2  5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Bài 7 Giải phương trình a. x 2  3x  1  (x  3) x 2  1 b. 4  3 10  3x  x  2 c. 2 (2  x)(5  x)  x  (2  x)(10  x) d. 2x 2  16x  18  x 2  1  2x  4 e. 2x 2  1  x 2  3x  2  2x 2  2x  3  x 2  x  2 f. 3x 2  7x  3  x 2  2  3x 2  5x  1  x 2  3x  4 Bài 8 Giải phương trình 3 a. x 2  4  x  1  2x  3 b. 3 x 2  1  3x 3  2  3x  2 c. 2x 2  11x  21  33 4x  4  0 d. 3 x 2  1  x  x 3  1 PP10. So sánh, đánh giá, bất đẳng thức Bài 1 Giải phương trình a. x  2  4  x  x 2  6x  11 (nghiệm x = 3) b. x  2  10  x  x 2  12x  52 c. x 2  2x  5  x  1  2 (nghiệm x = 1) d. 3x  6x  7  5x  10x  14  4  2x  x 2 2 2 (nghiệm x = –1) 6 e. 2x  1  19  2x  2  x  10x  24 Bài 2 Giải phương trình a. 2 7x 3  11x 2  25x  12  x 2  6x  1 VT = 2 (7x  4)(x 2  x  3) ≤ VP (Côsi) b. 2 5x 3  3x 2  3x  2  x 2  6x  1 1 1 c. 2  x 2  2   4  (x  ) 2 x x 1 1 PT  ( 2  x 2  x)  ( 2  2  )  4 x x x 2  6x  15 Bài 4. Giải phương trình: 2  x 2  6x  18 (1) x  6x  11
Trang 6 4 2 (1)  1    x  3 9  x  3 2  2 4 4 Mà: 1  2  1  3 và  x  3 2  9  3 .  x  3 2 2 Do đó ta có: (x – 3)² = 0 Bài 5 Giải phương trình 13 x 2  x 4  9 x 2  x 4  16 Bình phương 2 vế ta được: x 2 (13 1  x 2  9 1  x 2 )2  256 . Áp dụng bđt: (13 1  x 2  9 1  x 2 )2  ( 13. 13  13x 2  3 3. 3  3x 2 ) 2  40(16  10x 2 ) 2 VT  x 2 40(16  10x 2 ) ≤ VP. Nghiệm x   5 PP11. Sử dụng công cụ khảo sát và tính chất hàm số Cơ sở phương pháp: Để giải phương trình: f (x)  m ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến. Xét hàm số f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà suy ra f(a) = f(b) a = b. Bài 1 Giải các phương trình. a. x  x  5  x  7  x  16  14 (nghiệm x = 9) b. x  1   x 3  4x  5 (Chuyển vế, nghiệm duy nhất x = 1) c. 2x  1  x 2  3  4  x Bài 2 (CĐ 2012) Giải phương trình 4x 3  x  (x  1) 2x  1  0 Nhân 2 vế với 2 và biến đổi phương trình  (2x)3  2x  (2x  1) 2x  1  2x  1 Xét hàm số f(t) = t³ + t, tính đạo hàm nhận xét dấu suy ra hàm số luôn đồng biến. 1 5 Từ phương trình có f (2x)  f ( 2x  1)  2x  2x  1  x  4 Bài tập tự luyện a. 2x(4x 2  1)  (x 2  3x  1) x 2  3x b. 4x 3  x  (x  2) 2x  3  0 Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm: m  x 2  2x  4  x 2  2x  4 Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm: 4  x 2  mx  m  2 Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm: x  1  x  1  5  x  18  3x  2m  1 Bài 6 (A 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm: 3 x  1  m x  1  2 4 x 2  1 x 1 x 1 Gợi ý: cô lập tham số m  2 4 3 x 1 x 1 Bài 7 (B 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm m( 1  x 2  1  x 2  2)  2 1  x 4  1  x 2  1  x 2 Đặt ẩn phụ: t  1  x 2  1  x 2 Bài 8 (B 2007) Chứng minh rằng với mọi m  0 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 2  2x  8  m(x  2) Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba.
Trang 7 BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản:  f (x)  0 f (x)  0    g(x)  0 Dạng 1: f (x)  g(x)  g(x)  0 Dạng 2: f (x)  g(x)   g(x)  0  2  f (x)  [g(x)]  f (x)  [g(x)]2  Dạng 3: A  B  C Bài 1 Giải bất phương trình a. x 2  2x  15  x  3 x  [5; 6] b.  x 2  6x  5  8  2x x  [3;5] c. x 2  2x  8  x  3 d. x 2  3x  10  x  2 Bài 2 Giải bất phương trình a. (x  3) x 2  4  x 2  9 b. 5x  1  x  1  2x  4 (A 2005) c. 7x  13  3x  9  5x  27 d. x  1  2 x  2  5x  1 (CĐ 2009) 2(x 2  16) 7x e.  x 3  x 3 x 3 Bài 3 Giải bất phương trình 51  2x  x 2 8  2x  x 2 a. 1 b. 1 1 x 6  3x 1 1 c.  2x 2  3x  5 2x  1 Bài 4 Giải bất phương trình: x 2  4x  3  2x 2  3x  1  x  1 Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 1 Giải bất phương trình a. 5x 2  10x  1  7  2x  x 2 b. 2x 2  x 2  5x  6  10x  15 c. (x  3)(8  x)  x 2  11x  0 Bài 2 Giải bất phương trình 5 1 x x 1 a. 10 x   4x  8 b. 2 3 0 x x x 1 x Bài 3 (B 2012) Giải bất phương trình x  1  x 2  4x  1  3 x 1 Chia 2 vế cho x và đặt t  x  x Bài 4 (Thi thử 2013) Giải BPT: x 2  x  2  3 x  5x 2  4x  6 Điều kiện: x ≥ 2 Bình phương 2 vế và rút gọn ta được: 3 x(x  2)(x  1)  2x(x  2)  2(x  1) x(x  2) Chia 2 vế cho (x  1) và đặt t  x 1 Bài 5 Giải bất phương trình a. 5x 2  14x  9  x 2  x  20  5 x  1 Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2x 2  5x  2  5 (x 2  x  20)(x  1)  2(x 2  4x  5)  3(x  4)  5 (x  4)(x 2  4x  5) Chia cho (x + 4) rồi đặt ẩn phụ
Trang 8 2 2 b. 7x  25x  19  x  2x  35  7 x  2 Chuyển vế, bình phương ta được: 3(x 2  5x  14)  4(x  5)  7 (x 2  5x  14)(x  5) Bài 6 (Thi thử 2012) Giải BPT x 3  (3x 2  4x  4) x  1  0 y  0  ĐK x ≥ –1. Đặt y  x  1   2 y  x  1  Bpt x 3  (3x 2  4y 2 )y  0 Xét hai trường hợp y = 0 và y > 0 (chia cho y³ khi y > 0) Cách 2: Có thể biến đổi BPT về dạng tích Bài tập tự luyện: x3  3x 2  2 (x  2)3  6x  0 Phương pháp nhân liên hợp. Bài 1 Giải bất phương trình 1  1  8x 2 a. 1  x  1  x  x  0 b. 1 2x Bài 2 Giải bất phương trình a. 3x  1  6  x  3x 2  14x  8  0 . Nhẩm nghiệm vế trái x = 5 3 1 BPT  (x  5)(   3x  1)  0 3x  1  4 6  x 1 b. 2 3 3x  2  3 6  5x  16  0 6 15 BPT  (x  2)[ 3 2 + ] 0 ( 3x  2)  2 3 3x  2  4 6  5x  4 Phương pháp so sánh, đánh giá, bất đẳng thức Bài 1 Giải bất phương trình a. x  2  4  x  x 2  6x  11 b. x  2  10  x  x 2  12x  52 c. x 2  2x  5  x  1  1  2x  x 2 d. 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2 6 e. 2x  1  19  2x  2  x  10x  24 Bài 2 Giải bất phương trình x 2  6x  1 a. 2 7x 3  11x 2  25x  12  x 2  6x  1 b. 5x3  3x 2  3x  2  2 x x Bài 5 (A 2010) Giải BPT: 1 2 1  2(x  x  1) Ta có 1  2(x 2  x  1)  0 nên BPT  2(x 2  x  1)  1  x  x (1) Mặt khác ta lại có: 2(x 2  x  1)  2(1  x)2  2( x )2  1  x  x (2) Từ (1) và (2)  2(x 2  x  1)  1  x  x . 3 5 Dấu bằng khi 1  x  x  x  (nhận) 2