Một số tính chất bảo tồn trên siêu không gian
lượt xem 3
download
Trong bài viết này, nhóm tác giả nghiên cứu về không gian Hausdorff, họ hữu hạn trên các tập con compact và mối quan hệ giữa không gian topo X và siêu không gian gồm các tập con hữu hạn F(X) của nó.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Một số tính chất bảo tồn trên siêu không gian
- 68 Lương Quốc Tuyển, Hồ Quốc Trung, Lê Văn Có MỘT SỐ TÍNH CHẤT BẢO TỒN TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN SOME PRESERVED PROPERTIES ON A HYPERSPACE Lương Quốc Tuyển1, Hồ Quốc Trung2*, Lê Văn Có2 1 Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng 2 Sinh viên Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng *Tác giả liên hệ: qt08102000@gmail.com (Nhận bài: 26/7/2021; Chấp nhận đăng: 20/9/2021) Tóm tắt - Good và Macías [1] đã chứng minh được sự bảo tồn của Abstract - Good and Macísas [1] have proved the preservation of một số tính chất topo từ một không gian topo lên không gian tích đối some topological properties from a topological space to its n -fold xứng cấp n của nó. Cụ thể, nếu một không gian topo có họ bảo tồn symmetric product space. In particular, if a topological space has bao đóng, thì không gian tích đối xứng cấp n của nó cũng có một họ a closure-preserving family, its n -fold symmetric product space bảo tồn bao đóng. Trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu về also has a closure-preserving one. In this paper, the authors study không gian Hausdorff, họ hữu hạn trên các tập con compact và mối on Hausdorff space, finite family on compact subsets, and the quan hệ giữa không gian topo X và siêu không gian gồm các tập con relation between a topological space X and its hyperspace of hữu hạn ( X ) của nó. Nhờ đó, đã chứng được minh được các kết finite subsets ( X ). The following results are proved: (1) If X is quả mới như sau: (1) Nếu X là một không gian Hausdorff, thì siêu a Hausdorff space, then the hyperspace ( X ) is also a Hausdorff không gian ( X ) cũng là một không gian Hausdorff; (2) Nếu không one; (2) If space X has a finite family on the compact subsets, gian X có họ hữu hạn trên các tập con compact, thì siêu không gian then the hyperspace ( X ) also has a finite one on the compact ( X ) cũng có họ hữu hạn trên các tập con compact. subsets. Từ khóa - Tích đối xứng; siêu không gian; không gian Hausdorff; Key words - Symmetric product; hyperspace; Hausdorff space; tập compact; họ hữu hạn trên các tập con compact compact set; finite family on compact subsets 1. Giới thiệu Trong bài báo này, nhóm tác giả sử dụng một số ký hiệu: Năm 1931, Borsulk và Ulam [2] đã giới thiệu khái niệm không gian tích đối xứng cấp n của không gian topo và đã = {0, 1, 2, 3, ...}, * = {1, 2, 3, ...}, đưa ra một số tính chất quan trọng của nó. Trong những | A | là lực lượng của tập hợp A. Giả sử là họ nào năm gần đây, nhiều tác giả trên thế giới đã quan tâm nhiều đó gồm các tập con của không gian topo X , ký hiệu đến bài toán về sự bảo toàn các tính chất topo lên không gian tích đối xứng cấp n của nó. Nhờ đó, các tác giả đã thu = U : U . được nhiều kết quả thú vị (xem [1-7]). Cụ thể, năm 2016, Good và Macías [1] đã chứng minh được sự bảo tồn của 2. Cơ sở lí thuyết và phương pháp nghiên cứu một số tính chất topo từ một không gian topo lên không 2.1. Cơ sở lí thuyết gian tích đối xứng cấp n của nó, và nếu X là một không Giả sử X là một không gian topo. Ta đặt gian topo có một họ bảo tồn bao đóng, thì không gian tích đối xứng cấp n của nó cũng có một họ bảo tồn bao đóng. (1) CL( X ) {A X : A đóng và khác rỗng }; Gần đây, Tuyển và Tuyên [7] đã đưa ra kết quả rằng, nếu (2) 2 X {A CL( X ) : A compact }; X là một không gian topo có cn-mạng (tương ứng, ck-mạng) có tính chất σ-(P), thì không gian tích đối xứng (3) n (X ) {A 2 X : | A | n}; cấp n của nó cũng có cn-mạng (tương ứng, ck-mạng) có tính chất σ-(P). (4) (X ) {A 2 : A hữu hạn }. X Trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu về mối Chúng ta trang bị cấu trúc topo Vietoris trên không gian quan hệ giữa một số tính chất mạng trên không gian topo CL( X ) với cơ sở X và tính chất mạng trên siêu không gian ( X ) gồm các = U1 , , U s : U1 , ..., U s là các tập mở của tập con hữu hạn của nó. Nhờ đó, đã chứng minh được rằng, nếu X là không gian Hausdorff, thì siêu không gian ( X ) X, s * , cũng là không gian Hausdorff và nếu X là không gian trong đó Hausdorff có một họ hữu hạn trên tập con compact, thì siêu s không gian ( X ) cũng là không gian Hausdorff có một họ U1 , ,U s A CL( X ) : A Ui , A Ui , i s hữu hạn trên các tập con compact. i 1 1 The University of Danang - University of Science and Education (Luong Quoc Tuyen) 2 Student Faculty of Mathematics, The University of Danang - University of Science and Education (Ho Quoc Trung, Le Van Co)
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 3, 2022 69 Như vậy, n(X ) và ( X ) là các không gian con của E X = U ( X \{x}). CL( X ) với topo cảm sinh từ topo Vietoris. Khi đó, Mặt khác, bởi vì (1) n(X ) được gọi là không gian tích đối xứng cấp n E U = {x} , của X . E ( X \{x}) (2) ( X ) được gọi là siêu không gian gồm các tập con nên là lân cận mở của E trong ( X ). hữu hạn của X . = V (X ) là lân cận mở của F trong ( X ). Rõ ràng rằng (X ) (X ) và n 1 n = . n (X ) n 1 ( X ) với mọi n * . Thật vậy, giả sử ngược lại rằng . Khi đó, ta lấy A . Bởi vì A nên ta suy ra A V . Mặt Bây giờ, giả sử U1 , , U s là các tập mở trong X . Khi khác, vì A nên ta có A U , kéo theo đó, ta ký hiệu U V . Điều này mâu thuẫn với U V = . U1 , ,U s U1 , ,U s ( X ). (X ) Định lí 3.1.2. Giả sử X là không gian topo Hausdorff. Như vậy, topo trên ( X ) có cơ sở Khi đó, nếu là một họ CF trong X, thì = U1, ,U s (X ) : U1, ..., U s mở trong X , s * . U = U1 ,,U r (X ) : Ui , 1 i r, r * Định nghĩa 2.1.1 ([4]). Giả sử X là một không gian là một họ CF trong ( X ). topo và là họ nào đó gồm các tập con của X . Khi đó, Chứng minh. Bởi vì X là không gian Hausdorff nên được gọi là họ hữu hạn trên các tập con compact của theo Bổ đề 3.1.1 ta suy ra rằng, ( X ) cũng là một không X (viết tắt là CF) nếu với mọi tập con compact K X , gian Hausdorff. Bây giờ, giả sử là một tập con compact ta có U K : U là họ hữu hạn. trong ( X ). Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2 ta suy ra K = Bổ đề 2.1.2 ([1]). Nếu là tập con compact trong là tập con compact của X . Bởi vì là họ CF trong X ( X ), thì là tập con compact trong X . nên tồn tại tập hữu hạn sao cho 2.2. Phương pháp nghiên cứu {U K : U } = {Ki : i }. Nhóm tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý Với mỗi i , ta đặt thuyết trong quá trình thực hiện bài báo; Nghiên cứu các = {U : U K = Ki }, bài báo của các tác giả đi trước và sử dụng cách tương tự i hóa, khái quát hóa để đưa ra những kết quả mới cho mình. và với mỗi , ta đặt 3. Kết quả và đánh giá U = U1,,U r (X ) : với mỗi i r , tồn tại j 3.1. Kết quả sao cho U i j, và với mỗi j , tồn tại i s sao cho Bổ đề 3.1.1. Nếu X là một không gian Hausdorff, thì ( X ) cũng là không gian Hausdorff. Ui j . Chứng minh. Giả sử E , F ( X ) sao cho E F . Bởi Khi đó, ta thu được U = 1. vì E F nên không giảm tổng quát ta giả sử rằng tồn tại Thật vậy, giả sử rằng x E \ F. Bởi vì F là tập hữu hạn và X là không gian U1 ,,U s ( X ) , V1 ,,Vr Ui , Hausdorff nên tồn tại các lân cận mở U của x và V của (X ) F trong X sao cho U V = . F U1 ,,U s (X ) . Trường hợp 1: Nếu E = {x}, thì ta lấy = U (X ) Khi đó, ta có và = V (X ). Khi đó, rõ ràng rằng là lân cận mở của F K; E và là lân cận mở của F trong ( X ) thỏa mãn Giả sử x F , khi đó bởi vì = . F {U i : i s} Trường hợp 2: Nếu E {x}, thì ta đặt nên ta suy ra, tồn tại i s sao cho x U i . Bởi thế, tồn tại = U , X \{x} ( X ) ; = V ( X ) . j sao cho Ui và tồn tại k r sao cho Vk j, j. Khi đó, Như vậy, ta có là lân cận mở của E trong ( X ). x U i K = Vk K , Thật vậy, rõ ràng rằng mở trong ( X ) và kéo theo F {V j : j r}.
- 70 Lương Quốc Tuyển, Hồ Quốc Trung, Lê Văn Có Giả sử i r , khi đó tồn tại j sao cho Vi j, 4. Kết luận và tồn tại k s sao cho U k Ta có Trong những năm gần đây, một số tác giả trên thế giới j. quan tâm nhiều đến sự bảo toàn tính chất topo lên các siêu Vi K = U k K . không gian của nó và đã thu được nhiều kết quả thú vị. Trong bài báo này, nhóm tác giả đã nghiên cứu về các tính Bởi vì F U1 ,,U s nên ta có (X ) chất của họ hữu hạn trên các tập con compact trong không F (Vi K ) , gian topo và trong siêu không gian. Nhờ đó, đưa ra các kết quả mới rằng, nếu X là không gian topo Hausdorff có một kéo theo F U k . Như vậy, F V1 ,,Vr (X ), do họ hữu hạn trên tập con compact, thì siêu không gian đó ta có ( X ) cũng là không gian Hausdorff có một họ hữu hạn U1 ,,U s (X ) V1 ,,Vr (X ) . trên các tập con compact. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được rằng TÀI LIỆU THAM KHẢO V1 ,,Vr (X ) U1 ,,U s (X ) . [1] C. Good and S. Macías, “Symmetric products of generalized metric spaces”, Topology and its applications, vol. 206, pp. 93–114, 2016. Từ chứng minh trên ta thu được [2] K. Borsuk and S. Ulam, “On symmetric products of topological V1 ,,Vr (X ) = U1 ,,U s (X ) . spaces”, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 37, no. 12, pp. 875–882, 1931. Cuối cùng, bởi vì hữu hạn nên : là tập [3] E. Michael, “Topologies on Spaces of Subsets”, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 71, no. 1, pp. 152–182, 1951. hữu hạn. Do đó, với mọi i s, s * , ta có [4] R. Engelking, General topology, Rev. and completed ed. Berlin: Heldermann, 1989. U1,,U s (X ) : U1 ,,U s (X ) U [5] L.-X. Peng and Y. Sun, “A study on symmetric products of generalized metric spaces”, Topology and its applications, vol. 231, = U : pp. 411–429, 2017. [6] Z. Tang, S. Lin, and F. Lin, “Symmetric products and closed finite- là tập hữu hạn. Như vậy, U là họ CF trong ( X ). to-one mappings”, Topology and its Applications, vol. 234, pp. 26–45, 2018. 3.2. Đánh giá [7] L. Q. Tuyen and O. V. Tuyen, “On the fold symmetric product of a Nhóm tác giả nghiên cứu một số tính chất topo được space with a property network (network)”, Commentationes bảo toàn từ không gian topo X lên siêu không gian gồm Mathematicae Universitatis Carolinae, vol. 61, no. 2, pp. 257-263, 2020. các tập con hữu hạn ( X ) của nó. Nhờ đó, đã đưa ra và [8] J. Yang and S. Lin, “The closed finite-to-one mappings and their chứng minh được một kết quả mới được thể hiện ở Định applications”, Applied Mathematics-A Journal of Chinese lí 3.1.2. Universities, vol. 34, no. 2, pp. 149–161, 2019.
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Hệ thống thông tin di động thế hệ ba UMTS - chương 4
9 p | 194 | 76
-
Luận văn thạc sĩ khoa học: Tính toán phân tích chế độ làm việc của lưới điện 220KV Lào Cai - Yên Bái - Việt Trì - Vĩnh Yên giai đoạn cấp điện từ Trung Quốc xét đến chế độ sự cố đóng máy phát điện Thác Bà vào làm việc
118 p | 163 | 61
-
đồ án: thiết kế mặt bằng kho bảo quản đông lạnh, chương 10
6 p | 165 | 55
-
Thiết kế quy trình công nghệ chế tạo nắp hầm hàng tàu vỏ thép, chương 5
9 p | 176 | 44
-
bảo vệ rơle trạm biến áp, chương 1
6 p | 119 | 33
-
Bù công suất phản kháng nâng cao chất lượng điện năng lưới điện nông nghiệp
5 p | 141 | 19
-
Công nghệ xử lý khí - Phần 2
65 p | 82 | 17
-
Tổ chức không gian kiến trúc cảnh quan trong quá trình phát triển nhà cao tầng tại khu vực nội đô của thành phố Hà Nội – Hướng tới đô thị bền vững
18 p | 98 | 7
-
Sự biến đổi chất lượng của chè tươi nguyên liệu trong quá trình bảo quản
5 p | 91 | 6
-
Ứng dụng tin học phân tích tính toán ổn định bờ mỏ lộ thiên
9 p | 74 | 5
-
Nâng cao hiệu quả sử dụng năng lượng trong các nhà máy có xét đến ảnh hưởng của chất lượng điện áp đến hiệu suất của động cơ điện
3 p | 8 | 3
-
Nghiên cứu và giải pháp công nghệ vật liệu bao nilon và cát
4 p | 43 | 3
-
Mô phỏng sự ảnh hưởng của tính chất đất đến quá trình lan truyền chất ô nhiễm xuống nước ngầm của các bãi rác khu vực nông thôn, lấy ví dụ một số bãi rác khu vực Giao Thủy, Nam Định
11 p | 62 | 3
-
Mô phỏng bộ lọc sóng hài thụ động với tần số biến đổi
6 p | 58 | 3
-
Tính chất điện môi, sắt điện của hệ gốm PZT-PZN-PMnN
9 p | 52 | 3
-
Những vấn đề còn tồn tại trong việc nghiên cứu quá trình phục hồi cấu trúc của thủy tinh kim loại
9 p | 13 | 3
-
Đánh giá thực nghiệm và mô phỏng độ thấm khí của đá xi măng có xét đến ảnh hưởng của độ bão hòa nước
12 p | 49 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn