Ngành giáo dục tiểu học - Ôn thi tốt nghiệp Đại học phần toán cao cấp: Phần 1

Chia sẻ: Bin Bin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

208
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của Tài liệu Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp Đại học ngành giáo dục tiểu học phần toán cao cấp: Phần 1 - ĐH Huế gồm 3 chương trình bày về quan hệ, ánh xạ, nhóm. Nội dung của từng chương được trình bày với 2 phần tóm tắt, bài tập và lời giải sẽ giúp các bạn nắm bắt nội dung một cách cụ thể nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ngành giáo dục tiểu học - Ôn thi tốt nghiệp Đại học phần toán cao cấp: Phần 1

§¹i häc huÕ Trung t©m §μo t¹o tõ xa TS. NguyÔn Gia §Þnh - pgs.ts. TrÇn Léc Hïng ts. NguyÔn Vò TiÕn - ts.NguyÔn V¨n To¶n - ts.T«n ThÊt TrÝ H−íng dÉn «n thi tèt nghiÖp ®¹i häc ngμnh gi¸o dôc tiÓu häc phÇn to¸n cao cÊp (T¸i b¶n lÇn thø nhÊt) Nhμ xuÊt b¶n Gi¸o dôc
Lêi nãi ®Çu .......................................................................................................... 4 Ch−¬ng I: Quan hÖ ............................................................................................ 5 Tãm t¾t lÝ thuyÕt........................................................................................................5 Bμi tËp vμ lêi gi¶i ......................................................................................................9 Ch−¬ng II : ¸nh x¹ ........................................................................................... 16 Tãm t¾t lÝ thuyÕt...................................................................................................... 16 Bμi tËp vμ lêi gi¶i .................................................................................................... 22 Ch−¬ng III: Nhãm ................................................................................................ 34 Tãm t¾t lÝ thuyÕt...................................................................................................... 34 Bμi tËp vμ lêi gi¶i .................................................................................................... 40 Ch−¬ng IV : Vμnh -Tr−êng ................................................................................ 50 Tãm t¾t lÝ thuyÕt...................................................................................................... 50 Bμi tËp vμ lêi gi¶i .................................................................................................... 58 Ch−¬ng V: BIÕn cè ngÉu nhiªn vμ x¸c suÊt ...................................................71 Tãm t¾t lÝ thuyÕt...................................................................................................... 71 Bμi tËp vμ lêi gi¶i .................................................................................................... 74 Ch−¬ng VI: BiÕn ngÉu nhiªn vμ ph©n phèi x¸c suÊt .........................................111 Tãm t¾t lÝ thuyÕt.................................................................................................... 111 Bμi tËp vμ lêi gi¶i .................................................................................................. 113 Ch−¬ng VII : Thèng kª to¸n häc ..................................................................... 125 Tãm t¾t lÝ thuyÕt.................................................................................................... 125 Bμi tËp vμ lêi gi¶i .................................................................................................. 128
Lêi nãi ®Çu HiÖn nay c¸c häc viªn cña Trung t©m §μo t¹o Tõ xa thuéc §¹i häc HuÕ (TT§TTX), cã mét sè häc phÇn vÒ to¸n, ®Òu tr«ng chê mét hÖ thèng c¸c s¸ch bμi tËp víi lêi gi¶i chi tiÕt hoÆc h−íng dÉn gi¶i ®Ó cã thÓ gióp hä hiÓu bμi tèt h¬n vμ tõ ®ã cã thÓ gi¶i ®−îc c¸c ®Ò thi theo yªu cÇu cña TT§TTX. §Æc biÖt lμ c¸c häc viªn ngμnh gi¸o dôc tiÓu häc, víi sè l−îng ngμy cμng ®«ng, ®ang rÊt cÇn mét bé s¸ch nh− thÕ. H¬n thÕ n÷a, cho ®Õn nay vÉn ch−a cã tμi liÖu h−íng dÉn «n thi tèt nghiÖp ®¹i häc ngμnh gi¸o dôc tiÓu häc phÇn to¸n cao cÊp. Trong t×nh h×nh víi yªu cÇu bøc thiÕt nh− thÕ, chóng t«i cè g¾ng hoμn thμnh tμi liÖu phôc vô cho viÖc «n thi tèt nghiÖp vμ c¸c yªu cÇu nãi trªn. §©y lμ tuyÓn tËp gåm c¸c bμi tËp vÒ ®¹i sè vμ x¸c suÊt thèng kª dμnh cho c¸c häc viªn cña TT§TTX ngμnh gi¸o dôc tiÓu häc «n tËp ®Ó chuÈn bÞ thi tèt nghiÖp. Néi dung cña tμi liÖu nμy ®−îc bè trÝ trong 7 ch−¬ng, ë mçi ch−¬ng gåm hai phÇn : tãm t¾t lÝ thuyÕt vμ c¸c bμi tËp víi lêi gi¶i chi tiÕt. §ã lμ c¸c ch−¬ng vÒ quan hÖ, ¸nh x¹, nhãm, vμnh-tr−êng, biÕn cè ngÉu nhiªn vμ x¸c suÊt, biÕn ngÉu nhiªn vμ ph©n phèi x¸c suÊt, thèng kª to¸n häc. Toμn bé néi dung ®Òu b¸m s¸t ch−¬ng tr×nh míi cña TT§TTX vμ Bé Gi¸o dôc vμ §μo t¹o vÒ to¸n cao cÊp dμnh cho ngμnh gi¸o dôc tiÓu häc. Tμi liÖu nμy cßn cã thÓ dïng lμm tμi liÖu tham kh¶o tèt cho c¸c sinh viªn ngμnh to¸n vμ gi¸o dôc tiÓu häc cña c¸c tr−êng ®¹i häc vμ cao ®¼ng. C¸c t¸c gi¶ xin ch©n thμnh c¶m ¬n TT§TTX vμ Khoa To¸n-C¬-Tin häc (Tr−êng §¹i häc Khoa häc-§¹i häc HuÕ) vÒ sù gióp ®ì quý b¸u vμ t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho viÖc xuÊt b¶n cuèn s¸ch nμy. C¸c t¸c gi¶ mong nhËn ®−îc sù chØ gi¸o cña c¸c ®ång nghiÖp vμ ®éc gi¶ vÒ nh÷ng thiÕu sãt khã tr¸nh khái cña cuèn s¸ch. HuÕ, th¸ng 04 n¨m 2002
Ch−¬ng I: Quan hÖ Tãm t¾t lÝ thuyÕt 1.1. Quan hÖ hai ng«i 1.1.1. §Þnh nghÜa Cho hai tËp hîp X vμ Y. Mét quan hÖ hai ng«i tõ X ®Õn Y lμ mét tËp con R cña tÝch Descartes X × Y. Ta nãi phÇn tö x ∈ X cã quan hÖ R víi phÇn tö y ∈ Y nÕu (x, y) ∈ R vμ viÕt lμ xRy. §Æc biÖt, nÕu R ⊂ X2 th× ta nãi R lμ mét quan hÖ hai ng«i trªn X. 1.1.2. §Þnh nghÜa Cho R lμ mét quan hÖ hai ng«i trªn tËp hîp X. Khi ®ã ta nãi – R cã tÝnh ph¶n x¹ nÕu ∀x ∈ X, xRx ; – R cã tÝnh ®èi xøng nÕu ∀x, y ∈ X, xRy ⇒ yRx ; – R cã tÝnh ph¶n ®èi xøng nÕu ∀x, y ∈ X, xRy vμ yRx ⇒ x = y ; – R cã tÝnh b¾c cÇu, nÕu ∀x, y, z ∈ X, xRy vμ yRz ⇒ xRz. 1.1.3. ThÝ dô 1) Quan hÖ “b»ng nhau” (=) trªn mét tËp hîp X tuú ý cã c¸c tÝnh chÊt : ph¶n x¹, ®èi xøng, ph¶n ®èi xøng vμ b¾c cÇu. 2) Quan hÖ ≤ trªn tËp hîp N c¸c sè tù nhiªn cã c¸c tÝnh chÊt : ph¶n x¹, ph¶n ®èi xøng vμ b¾c cÇu. 3) Quan hÖ “bao hμm” (⊂) trªn tËp hîp P(X) gåm tÊt c¶ c¸c tËp con cña X lμ mét quan hÖ hai ng«i cã c¸c tÝnh chÊt : ph¶n x¹, ph¶n ®èi xøng vμ b¾c cÇu. 4) Quan hÖ ®ång d¹ng (∼) trªn tËp hîp c¸c tam gi¸c cã c¸c tÝnh chÊt : ph¶n x¹, ®èi xøng vμ b¾c cÇu. 1.2. Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng 1.2.1. §Þnh nghÜa Quan hÖ hai ng«i R trªn tËp hîp X ®−îc gäi lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X nÕu R cã ba tÝnh chÊt ph¶n x¹, ®èi xøng vμ b¾c cÇu. Ch¼ng h¹n, quan hÖ b»ng nhau vμ quan hÖ ®ång d¹ng nh− trong ThÝ dô 1.1.3 lμ nh÷ng quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. 1.2.2. §Þnh nghÜa Cho R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp hîp X vμ a ∈ X. TËp hîp {x ∈ X | xRa} gäi lμ líp t−¬ng ®−¬ng cña a (theo quan hÖ R), kÝ hiÖu lμ a hay [a] hay C(a). Mçi phÇn tö cña mét líp t−¬ng ®−¬ng gäi lμ mét ®¹i biÓu cña líp t−¬ng ®−¬ng ®ã.
1.2.3. MÖnh ®Ò Cho R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp hîp X. Khi ®ã mäi líp t−¬ng ®Òu kh¸c rçng vμ hai líp t−¬ng ®−¬ng bÊt k× hoÆc rêi nhau hoÆc trïng nhau. 1.2.4. §Þnh nghÜa Mét ph©n ho¹ch cña tËp hîp X lμ mét hä (Xi)i ∈ I gåm c¸c tËp con kh¸c rçng cña X sao cho X = ∪ Xi , Xi ∩ Xj = ∅ (∀i, j ∈ I, i ≠ j). i∈I 1.2.5. MÖnh ®Ò Mçi quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn tËp hîp X x¸c ®Þnh mét ph©n ho¹ch cña X bëi c¸c líp t−¬ng ®−¬ng. §iÒu ng−îc l¹i còng ®óng. Cô thÓ lμm mçi ph©n ho¹ch (Xi)i ∈ I cña tËp hîp X x¸c ®Þnh mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng R trªn X, sao cho mçi Xi lμ mét líp t−¬ng ®−¬ng. Quan hÖ R ®−îc x¸c ®Þnh bëi : xRy nÕu cã i ∈ I sao cho x, y ∈ Xi. 1.2.6. §Þnh nghÜa Cho X lμ mét tËp hîp vμ R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X. TËp hîp c¸c líp t−¬ng ®−¬ng ph©n biÖt cña X ®èi víi quan hÖ R ®−îc gäi lμ tËp hîp th−¬ng cña X theo quan hÖ t−¬ng ®−¬ng R, kÝ hiÖu lμ X/R. 1.2.7. ThÝ dô 1) Cho tËp hîp X = {1, 2, 3, 4} vμ xÐt quan hÖ hai ng«i R trªn P(X) nh− sau : ∀A, B ∈ P(X). A R B ⇔ |A| = |B|. (KÝ hiÖu |A| ®Ó chØ sè phÇn tö cña A.) DÔ dμng chøng minh ®−îc R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn P(X). C¸c líp t−¬ng ®−¬ng theo quan hÖ R lμ : C0 = {∅} (tËp con cña X kh«ng cã phÇn tö nμo). C1 = {{1}, {2}, {3}, {4}} (c¸c tËp con cña X cã mét phÇn tö). C2 = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} (c¸c tËp con cña X cã hai phÇn tö). C3 = {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}} (c¸c tËp con cña X cã ba phÇn tö). C4 = {{1, 2, 3, 4}} (tËp con cña X cã bèn phÇn tö). TËp hîp th−¬ng cña P(X) theo quan hÖ R lμ P(X)/R = {C0, C1, C2, C3, C4}. 2) Cho n lμ mét sè nguyªn lín h¬n 1 vμ xÐt quan hÖ hai ng«i sau trªn tËp Z c¸c sè nguyªn vμ gäi lμ quan hÖ ®ång d− m«®ul« n : ∀x, y ∈ Z, x ≡ y (mod n) ⇔ x – y lμ béi sè cña n. DÔ dμng chøng minh ®−îc ≡ (mod n) lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn Z. Víi mçi x ∈ Z, tån t¹i duy nhÊt hai sè nguyªn q vμ r sao cho x = qn + r víi 0 ≤ r < n vμ khi ®ã x ≡ r (mod n).
Do ®ã c¸c líp t−¬ng ®−¬ng theo quan hÖ nμy lμ 0 = {qn | q ∈ Z}, 1 = {qn + 1 | q ∈ Z}, ..., n −1 = {qn + n – 1 | q ∈ Z}. TËp hîp th−¬ng cña Z theo quan hÖ ®ång d− m«dul« n lμ { 0 , 1 , ..., n −1 } vμ th−êng kÝ hiÖu lμ Zn, mçi phÇn tö cña Zn gäi lμ mét sè nguyªn m«®ul« n. 1.3. Quan hÖ thø tù 1.3.1. §Þnh nghÜa Quan hÖ hai ng«i ≤ trªn tËp hîp X ®−îc gäi lμ mét quan hÖ thø tù trªn X nÕu nã cã c¸c tÝnh chÊt ph¶n x¹, ph¶n ®èi xøng vμ b¾c cÇu. TËp hîp X ®−îc trang bÞ mét quan hÖ thø tù ≤ ®−îc gäi lμ mét tËp ®−îc s¾p thø tù. NÕu x ≤ y, ta nãi x ®øng tr−íc y. NÕu x ≤ y vμ x ≠ y th× ta viÕt x < y. TËp con Y ⊂ X ®−îc gäi lμ ®−îc s¾p thø tù toμn phÇn (hay ®−îc s¾p thø tù tuyÕn tÝnh) nÕu víi mäi x, y ∈ Y, ta cã x ≤ y hoÆc y ≤ x. Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i ta nãi Y ®−îc s¾p thø tù bé phËn. 1.3.2. ThÝ dô 1) Quan hÖ ≤ th«ng th−êng trªn c¸c tËp hîp sè N, Z, Q, R lμ quan hÖ thø tù toμn phÇn. 2) Trªn tËp hîp N c¸c sè tù nhiªn, xÐt quan hÖ hai ng«i chia hÕt (“|”) nh− sau : ∀x, y ∈ N, x ≠ 0, x | y ⇔ ∃k ∈ N, y = kx. Quan hÖ nμy cã hai tÝnh chÊt : ph¶n ®èi xøng vμ b¾c cÇu, nh−ng kh«ng cã tÝnh chÊt ph¶n x¹ (ta kh«ng cã 0|0). V× vËy, quan hÖ chia hÕt kh«ng ph¶i lμ quan hÖ thø tù trªn N. Tuy nhiªn, quan hÖ chia hÕt l¹i lμ mét quan hÖ thø tù trªn tËp N* c¸c sè tù nhiªn kh¸c kh«ng. ë ®©y quan hÖ chia hÕt s¾p thø tù bé phËn tËp N*. 3) Quan hÖ bao hμm (“⊂”) s¾p thø tù bé phËn tËp P(X) gåm c¸c tËp con cña X. 4) Cho X lμ tËp hîp ®−îc s¾p thø tù toμn phÇn bëi quan hÖ ≤. Trªn X n, ta ®Þnh nghÜa quan hÖ hai ng«i D nh− sau : ∀x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ X n. xDy ⇔ x = y hoÆc ∃i , x1 = y1 , ..., xi – 1 = yi – 1 , xi < yi. Khi ®ã Xn ®−îc s¾p thø tù toμn phÇn bëi quan hÖ D. Quan hÖ nμy ®−îc gäi lμ quan hÖ thø tù tõ ®iÓn.
1.3.3. §Þnh nghÜa Cho X lμ tËp hîp ®−îc s¾p thø tù bëi quan hÖ thø tù ≤ vμ A ⊂ X. Ta nãi : PhÇn tö a ∈ X lμ phÇn tö tèi ®¹i cña X nÕu ∀x ∈ X, a ≤ x ⇒ x = a ; PhÇn tö b ∈ X lμ phÇn tö tèi tiÓu cña X nÕu ∀x ∈ X, x ≤ b ⇒ x = b ; PhÇn tö m ∈ X lμ phÇn tö lín nhÊt cña X nÕu ∀x ∈ X, x ≤ m ; PhÇn tö n ∈ X lμ phÇn tö nhá nhÊt cña X nÕu ∀x ∈ X, n ≤ x ; PhÇn tö c ∈ X lμ phÇn tö chÆn trªn cña A nÕu ∀x ∈ A, x ≤ c ; PhÇn tö d ∈ X lμ phÇn tö chÆn d−íi cña A nÕu ∀x ∈ A, d ≤ x ; PhÇn tö nhá nhÊt cña tËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö chÆn trªn cña A lμ cËn trªn cña A trong X, kÝ hiÖu lμ sup A ; X PhÇn tö lín nhÊt cña tËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö chÆn d−íi cña A lμ cËn d−íi cña A trong X, kÝ hiÖu lμ inf A. N 1.3.4. Chó ý PhÇn tö lín nhÊt hay nhá nhÊt (nÕu cã) lμ duy nhÊt. NÕu cã phÇn tö lín nhÊt th× ®ã còng lμ phÇn tö tèi ®¹i duy nhÊt. T−¬ng tù, nÕu cã phÇn tö nhá nhÊt th× ®ã còng lμ phÇn tö tèi tiÓu duy nhÊt. CËn trªn cña A thuéc A khi vμ chØ khi nã lμ phÇn tö lín nhÊt cña A. T−¬ng tù, cËn d−íi cña A thuéc A khi vμ chØ khi nã lμ phÇn tö nhá nhÊt cña A. 1.3.5. §Þnh nghÜa Cho tËp hîp X ®−îc s¾p thø tù bëi quan hÖ ≤. Ta nãi X ®−îc s¾p thø tù tèt bëi quan hÖ nμy nÕu mäi tËp con kh¸c rçng cña X ®Òu cã phÇn tö nhá nhÊt. 1.3.6. ThÝ dô 1) XÐt tËp ®−îc s¾p thø tù N* bëi quan hÖ chia hÕt (“|”) vμ A = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. TËp A kh«ng cã phÇn tö lín nhÊt, nh−ng cã phÇn tö nhá nhÊt vμ còng lμ phÇn tö
tèi tiÓu duy nhÊt lμ 1, c¸c phÇn tö tèi ®¹i lμ 7, 8, 9, 10, 11, 12. CËn trªn cña A trong N* lμ BCNN (1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) vμ cËn d−íi cña A trong N* lμ 1. 2) XÐt tËp ®−îc s¾p thø tù P(X) bëi quan hÖ bao hμm (“⊂”), trong ®ã X lμ mét tËp kh¸c rçng. PhÇn tö lín nhÊt vμ nhá nhÊt cña P(X) lÇn l−ît lμ X vμ ∅. C¸c phÇn tö tèi tiÓu cña P(X) \ {∅} lμ c¸c tËp {a} víi a ∈ X. C¸c phÇn tö tèi ®¹i cña P(X) \ {X} lμ c¸c tËp X \ {a} víi a ∈ X. CËn trªn vμ cËn d−íi cña A = {A1, A2, ..., An} trong P(X) lÇn l−ît lμ A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An vμ A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An. 3) TËp hîp s¾p thø tù (N, ≤) lμ mét tËp s¾p thø tù tèt. C¸c tËp hîp s¾p thø tù (R, ≤), (Z, ≤) kh«ng ph¶i lμ c¸c tËp s¾p thø tù tèt. TËp s¾p thø tù (N* , |) kh«ng ph¶i lμ c¸c tËp s¾p thø tù tèt v× tËp con A = {2, 3, 5} kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt. Bμi tËp vμ lêi gi¶i 1. X¸c ®Þnh xem quan hÖ R trªn tËp Z c¸c sè nguyªn cã tÝnh ph¶n x¹, ®èi xøng, ph¶n ®èi xøng, b¾c cÇu kh«ng ? Víi xRy nÕu vμ chØ nÕu : a) x ≠ y ; b) xy ≥ 1 ; c) x = y + 1 hay x = y – 1 ; d) x lμ béi sè cña y ; e) x vμ y cïng ©m hoÆc cïng kh«ng ©m ; f) x = y2 ; g) x ≥ y2. Gi¶i a) R chØ cã tÝnh ®èi xøng. b) R cã tÝnh ®èi xøng vμ b¾c cÇu. c) R chØ cã tÝnh ®èi xøng. d) R cã tÝnh ph¶n x¹ vμ b¾c cÇu. e) R cã tÝnh ph¶n x¹, ®èi xøng vμ b¾c cÇu. f) R chØ cã tÝnh ph¶n ®èi xøng. g) R cã tÝnh ph¶n ®èi xøng vμ b¾c cÇu. 2. Cho tËp hîp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ⊂ Z. H·y liÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña quan hÖ R sau trªn X vμ xÐt xem quan hÖ R cã c¸c tÝnh chÊt nμo ? a) ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ x + y lμ sè ch½n.
b) ∀x, y ∈ X, x ≠ 0, xRy ⇔ x | y. Gi¶i a) R = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 0), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}. DÔ dμng chøng minh ®−îc R cã c¸c tÝnh chÊt : ph¶n x¹, ®èi xøng vμ b¾c cÇu. b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0)}. DÔ dμng cã ®−îc R cã c¸c tÝnh chÊt : ph¶n ®èi xøng vμ b¾c cÇu. 3. Mét quan hÖ R trªn tËp X ®−îc gäi lμ quan hÖ vßng quanh nÕu xRy vμ yRz kÐo theo zRx. Chøng minh r»ng quan hÖ R lμ ph¶n x¹ vμ vßng quanh nÕu vμ chØ nÕu R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. Gi¶i (⇒) Ta ®· cã R lμ ph¶n x¹. ∀x, y ∈ X, xRy ⇒ xRy ∧ yRy ⇒ yRx (do tÝnh vßng quanh), tøc lμ R cã tÝnh ®èi xøng. ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ zRx ⇒ xRz, tøc lμ R cã tÝnh b¾c cÇu. VËy R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. (⇐) R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng nªn R cã tÝnh ph¶n x¹. ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ xRz ⇒ zRx, tøc lμ R cã tÝnh vßng quanh. 4. Cho L0 lμ mét ®−êng th¼ng cho tr−íc trong mÆt ph¼ng R2. Mét quan hÖ R trªn tËp L tÊt c¶ c¸c ®−êng th¼ng trong mÆt ph¼ng R2 ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau : ∀L1, L2 ∈ L, L1 R L2 ⇔ L1 ∩ L0 ≠ ∅ vμ L2 ∩ L0 ≠ ∅. X¸c ®Þnh xem R cã lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng hay kh«ng ? Gi¶i R cã tÝnh ®èi xøng vμ b¾c cÇu, nh−ng R kh«ng cã tÝnh ph¶n x¹. Do ®ã R kh«ng lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. Tuy nhiªn, nÕu L lμ tËp c¸c ®−êng th¼ng trong mÆt ph¼ng R2 c¾t L0 th× R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn L. 5. Cho M lμ mét tËp hîp kh¸c rçng vμ a ∈ M. Trªn X = P(M), ta ®Þnh nghÜa quan hÖ hai ng«i nh− sau : R = {(A, B) ∈ X 2 | A = B hay a ∈ A ∩ B}. Chøng minh r»ng R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X. H·y chØ ra tËp hîp th−¬ng. Gi¶i Tõ A = A, ta cã (A, A) ∈ R hay R cã tÝnh ph¶n x¹. ∀A, B ∈ X, (A, B) ∈ R ⇒ A = B ∨ a ∈ A ∩ B ⇒ B = A ∨ a ∈ B ∩ A ⇒ (B, A) ∈ R, tøc lμ R cã tÝnh ®èi xøng.
∀A, B, C ∈ X, (A, B) ∈ R ∧ (B, C) ∈ R ⇒ (A = B ∨ a ∈ A ∩ B) ∧ (B = C ∨ a ∈ B ∩ C) ⇒ (A = B ∧ B = C) ∨ (A = B ∧ a ∈ B ∩ C) ∨ (a ∈ A ∩ B ∧ B = C) ∨ (a ∈ A ∩ B ∧ a ∈ B ∩ C) ⇒ A = C ∨ a ∈ A ∩ C ⇒ (A, C) ∈ R, tøc lμ R cã tÝnh b¾c cÇu. VËy R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. Víi mçi A ∈ X, nÕu a ∉ A th× (A, B) ∈ R ⇔ A = B nghÜa lμ líp t−¬ng ®−¬ng A = {A} vμ nÕu a ∈ A th× (A, B) ∈ R ⇔ a ∈ B nghÜa lμ líp t−¬ng ®−¬ng A = {B ∈ X | a ∈ B}. Do ®ã tËp th−¬ng cña X theo R lμ X / R = {{A} | A ⊂ M, a ∉ A} ∪ {{A ∈ X | a ∈ A}}. 6. Gäi X lμ tËp hîp mäi hμm thùc biÕn sè thùc. Chøng tá quan hÖ R sau lμ quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn X : a) ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ ∃C > 0, x(t) = y(t), ∀t ∈ R, |t| < C. x (t ) − y( t ) b) ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ lim = 0 , trong ®ã n ∈ N cho tr−íc. t →0 tn Gi¶i a) ∀x ∈ X, x(t) = x(t), ∀t ∈ R, nghÜa lμ R cã tÝnh ph¶n x¹, ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ ∃C > 0, x(t) = y(t), ∀t ∈ R. |t| < C ⇒ ∃C > 0, y(t) = x(t), ∀t ∈ R, |t| < C ⇒ yRx, nghÜa lμ R cã tÝnh ®èi xøng. ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ ∃C1, C2 > 0, (x(t) = y(t), ∀t ∈ R, |t| < C1) ∧ (y(t) = z(t). ∀t ∈ R, |t| < C2) ⇒ ∃C = min (C1, C2), x(t) = z(t), ∀t ∈ R, |t| < C, nghÜa lμ R cã tÝnh b¾c cÇu. VËy R lμ quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. x (t ) − x (t ) b) ∀x ∈ X, lim = 0 hay xRx, nghÜa lμ R cã tÝnh ph¶n x¹. t →0 tn x ( t ) − y( t ) y(t ) − x (t ) ∀x, y ∈ X, xRy ⇒ lim n = 0 ⇒ lim = 0 ⇒ yRx, nghÜa lμ R cã tÝnh ®èi t →0 t t →0 tn x ( t ) − y( t ) y(t ) − z(t ) x (t ) − z(t ) xøng. ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ lim n = 0 ∧ lim n = 0 ⇒ lim t →0 t t →0 t t →0 tn x ( t ) − y( t ) y(t ) − z(t ) = lim n + lim = 0 ⇒ xRz, nghÜa lμ R cã tÝnh b¾c cÇu. VËy R lμ quan hÖ t →0 t t →0 tn t−¬ng ®−¬ng. 7. XÐt quan hÖ hai ng«i R trªn N2 nh− sau : ∀(m1, n1), (m2, n2) ∈ N2, (m1, n1) R (m2, n2) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1. Chøng minh r»ng R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn N2. H·y chØ ra tËp hîp th−¬ng.
Gi¶i Râ rμng R cã tÝnh ph¶n x¹. ∀(m1, n1), (m2, n2) ∈ N2, (m1, n1) R (m2, n2) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 ⇒ m2 + n1 = m1 + n2 ⇒ (m2, n2) R (m1, n1), nghÜa lμ R cã tÝnh ®èi xøng. ∀(m1, n1), (m2, n2), (m3, n3) ∈ N2, (m1, n1) R (m2, n2) ∧ (m2, n2) R (m3, n3) ⇒ m1 + n2 = m2 + n1 ∧ m2 + n3 = m3 + n2 ⇒ m1 + n2 + m2 + n3 = m2 + n1 + m3 + n2 ⇒ m1 + n3 = m3 + n1 ⇒ (m1, n1) R (m3, n3), nghÜa lμ R cã tÝnh b¾c cÇu. VËy R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. ∀(m, n) ∈ N2, líp t−¬ng ®−¬ng (m, n) = {(m′, n′) ∈ N2 | m′ – n′ = m – n}. TËp hîp th−¬ng lμ N2 / R = { (m, n) | (m, n) ∈ N2} vμ chÝnh lμ tËp Z c¸c sè nguyªn. 8. Trªn Z × N*, xÐt quan hÖ hai ng«i sau : ∀(z1, n1), (z2, n2) ∈ Z × N*, (z1, n1) R (z2, n2) ⇔ z1n2 = z2n1. Chøng minh r»ng R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng trªn Z × N*. H·y chØ ra tËp hîp th−¬ng. Gi¶i Râ rμng R cã tÝnh ph¶n x¹. ∀(z1, n1), (z2, n2) ∈ Z × N*, (z1, n1) R (z2, n2) ⇒ z1n2 = z2n1 ⇒ z2n1 = z1n2 ⇒ (z2, n2) R (z1, n1), nghÜa lμ R cã tÝnh ®èi xøng. ∀(z1, n1), (z2, n2), (z3, n3) ∈ Z × N*, (z1, n1) R (z2, n2) ∧ (z2, n2) R (z3, n3) ⇒ z1n2 = z2n1 ∧ z2n3 = z3n2 ⇒ z1n2z2n3 = z2n1z3n2 ⇒ z1z2n3 = z2z3n1 ; nÕu z2 ≠ 0 th× z1n3 = z3n1, nÕu z2 = 0 th× z1n2 = 0 (⇒ z1 = 0) vμ z3n2 = 0 (⇒z3 = 0) nªn z1n3 = z3n1 = 0 hay (z1, n1) R (z3, n3), nghÜa lμ R cã tÝnh b¾c cÇu. VËy R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. z′ z ∀(z, n) ∈ Z × N*, líp t−¬ng ®−¬ng (z, n) = {(z′, n′) ∈ Z × N* | = }. n′ n TËp hîp th−¬ng lμ (Z × N*) / R = { (z, n) | (z, n) ∈ Z × N*} vμ chÝnh lμ tËp Q c¸c sè h÷u tØ. 9. Trong mÆt ph¼ng cã hÖ to¹ ®é vu«ng gãc, hai ®iÓm P1(x1, y1), P2(x2, y2) ®−îc gäi lμ quan hÖ víi nhau bëi R nÕu vμ chØ nÕu x1y1 = x2y2. Chøng tá r»ng R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng vμ t×m c¸c líp t−¬ng ®−¬ng. B©y giê nÕu ®Þnh nghÜa P1 S P2 ⇔ x1y1 = x2y2 vμ x1x2 ≥ 0
th× S cßn lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng n÷a kh«ng ? Gi¶i DÔ dμng chøng minh ®−îc R cã tÝnh ph¶n x¹, ®èi xøng vμ b¾c cÇu, nghÜa lμ R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. Víi ®iÓm P(a, b) trong mÆt ph¼ng, líp t−¬ng ®−¬ng P(a, b) = {P′(x, y) | xy = c} (víi c = ab). NÕu c = 0 th× P(a, b) chÝnh lμ hai trôc täa ®é x = 0 vμ y = 0. NÕu c ≠ 0 th× P(a, b) chÝnh lμ hyperbol cã ph−¬ng tr×nh xy = c. TËp hîp th−¬ng lμ tËp {{P(x, y) | xy = c} | c ∈ R}. S kh«ng lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng v× nã kh«ng cã tÝnh b¾c cÇu ((1, 0) S (0, 1) , (0, 1) S (–1, 0) nh−ng kh«ng cã (1, 0) S (–1, 0)). 10. Trªn tËp hîp R c¸c sè thùc, xÐt quan hÖ hai ng«i R sau : ∀x, y ∈ R, xRy ⇔ x3 – y3 = x – z. Chøng minh r»ng R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. T×m c¸c líp t−¬ng ®−¬ng vμ t×m tËp hîp th−¬ng. Gi¶i ∀x, y, z ∈ R, x3 – x3 = x – x = 0, tøc lμ xRx hay R cã tÝnh ph¶n x¹ ; x3 – y3 = x – y ⇒ y3 – x3 = y – x tøc lμ xRy ⇒ yRx hay R cã tÝnh ®èi xøng ; x3 – y3 = x – y vμ y3 – z3 = y – z ⇒ x3 – z3 = (x3 – y3) + (y3 – z3) = (x – y) + (y – z) = x – z, tøc lμ xRy vμ yRz ⇒ xRz hay R cã tÝnh b¾c cÇu. VËy R lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng. ∀a ∈ R, a = {x ∈ R | x3 – a3 = x – a} = {x ∈ R | (x – a) (x2 + ax + a2 – 1) = 0}. 2 2 NÕu a < − hay a > th× a = {a} ; 3 3 2 1 2 1 NÕu a = − hay a = th× a = { − , }; 3 3 3 3 2 1 2 1 NÕu a = hay a = – th× a = { ,– }; 3 3 3 3 2 2 1 NÕu −
11. Cho f lμ mét ®¬n ¸nh tõ tËp X vμo tËp N c¸c sè tù nhiªn. Chøng minh r»ng quan hÖ R ®−îc x¸c ®Þnh bëi : ∀x, y ∈ X, xRy ⇔ f(x) ≤ f(y) lμ mét quan hÖ thø tù toμn phÇn trªn X. Gi¶i ∀x, y, z ∈ X, f(x) ≤ f(x) hay R cã tÝnh ph¶n x¹, nÕu f(x) ≤ f(y) vμ f(y) ≤ f(z) th× f(x) ≤ f(z) hay R cã tÝnh b¾c cÇu. Ngoμi ra, nÕu f(x) ≤ f(y) vμ f(y) ≤ f(x) th× f(x) = f(y) vμ do f lμ ®¬n ¸nh nªn x = y hay R cã tÝnh ph¶n ®èi xøng. ∀x, y ∈ X, ta lu«n cã f(x) ≤ f(y) hoÆc f(y) ≤ f(x) hay xRy hoÆc yRx. V× vËy, R lμ mét quan hÖ thø tù toμn phÇn trªn X. 12. Cho tËp hîp X = {2, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12}. H·y x¸c ®Þnh phÇn tö tèi ®¹i, tèi tiÓu, lín nhÊt vμ nhá nhÊt cña tËp hîp X víi quan hÖ thø tù chia hÕt “|” vμ cña tËp hîp P(X) \ {∅} víi quan hÖ thø tù bao hμm “⊂”. Gi¶i §èi víi quan hÖ thø tù chia hÕt “|” trªn X, c¸c phÇn tö tèi ®¹i lμ 7, 8, 10, 11, 12, c¸c phÇn tö tèi tiÓu lμ 2, 7, 11, kh«ng cã phÇn tö lín nhÊt còng nh− nhá nhÊt. §èi víi quan hÖ bao hμm “⊂” trªn P(X) \ {∅}. PhÇn tö tèi ®¹i duy nhÊt còng nh− phÇn tö lín nhÊt lμ X, c¸c phÇn tö tèi tiÓu lμ c¸c tËp con cã mét phÇn tö cña X, kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt. 13. XÐt quan hÖ chia hÕt trªn tËp hîp N* vμ c¸c tËp con A = {4, 8, 12}, B = {2, 3, 4, 5}. a) T×m c¸c phÇn tö lín nhÊt, nhá nhÊt cña A vμ B. b) T×m c¸c phÇn tö tèi ®¹i, tèi tiÓu cña A vμ B. c) T×m c¸c phÇn tö cËn trªn, cËn d−íi cña A vμ B. Gi¶i a) A kh«ng cã phÇn tö lín nhÊt vμ cã phÇn tö nhá nhÊt lμ 4. B kh«ng cã phÇn tö lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt. b) A cã c¸c phÇn tèi ®¹i lμ 8, 12 vμ tèi tiÓu duy nhÊt lμ 4. B cã c¸c phÇn tö tèi ®¹i lμ 3, 4, 5 vμ cã c¸c phÇn tö tèi tiÓu lμ 2, 3, 5. c) A vμ B lÇn l−ît cã cËn trªn lμ BCNN(4, 8, 12) = 24 vμ BCNN (2, 3, 4, 5) = 60, A vμ B lÇn l−ît cã cËn d−íi lμ UCLN(4, 8, 12) = 4 vμ UCLN(2, 3, 4, 5) = 1. 14. TËp A ®−îc gäi lμ s¾p thø tù ®Çy ®ñ bëi quan hÖ thø tù ≤ nÕu mäi tËp con kh¸c rçng cña A bÞ chÆn trªn ®Òu cã cËn trªn. a) Chøng minh r»ng s¾p thø tù tèt lμ s¾p thø tù ®Çy ®ñ. b) Chøng tá r»ng N vμ R s¾p thø tù ®Çy ®ñ bëi quan hÖ ≤ th«ng th−êng, nh−ng Q s¾p thø tù kh«ng ®Çy ®ñ bëi ≤.
Gi¶i a) Gi¶ sö A ®−îc s¾p thø tù tèt bëi ≤ vμ B lμ mét tËp con tuú ý kh¸c rçng cña A cã chÆn trªn. Khi ®ã tËp C gåm c¸c chÆn trªn cña B lμ tËp con kh¸c rçng cña A. V× vËy, C cã phÇn tö nhá nhÊt c vμ c chÝnh lμ cËn trªn cña B. Do ®ã A ®−îc s¾p thø tù ®Çy ®ñ bëi ≤. b) N lμ tËp ®−îc s¾p thø tù tèt bëi quan hÖ ≤ th«ng th−êng, nªn theo C©u a) N ®−îc s¾p thø tù ®Çy ®ñ bëi quan hÖ nμy. Theo nguyªn lÝ vÒ cËn cña tËp c¸c sè thùc R, mäi tËp con kh¸c rçng cña R bÞ chÆn trªn th× cã cËn trªn. Do ®ã R ®−îc s¾p thø tù ®Çy ®ñ bëi quan hÖ ≤. XÐt tËp B = {q ∈ Q | 0 < q < 2 } th× B ≠ ∅ vμ cã chÆn trªn trong Q. NÕu B cã cËn trªn lμ c th× sÏ dÉn ®Õn v« lÝ v× gi÷a 2 vμ c cã v« sè sè h÷u tØ (tÝnh chÊt trï mËt cña Q trong R). 15. Cho X lμ mét tËp kh¸c rçng vμ M lμ tËp c¸c ¸nh x¹ tõ X vμo tËp {0, 1}. Trªn M, xÐt quan hÖ R nh− sau : ∀f, g ∈ M, fRg ⇔ ∀x ∈ X, f(x)g(x) = f(x). Chøng minh r»ng R lμ mét quan hÖ thø tù. M cã ®−îc s¾p thø tù toμn phÇn bëi R hay kh«ng ? H·y x¸c ®Þnh c¸c phÇn tö tèi ®¹i vμ tèi tiÓu cña M. Gi¶i ∀f, g, h ∈ M, ∀x ∈ X. f(x) f(x) = f(x) hay fRf. Do ®ã R cã tÝnh ph¶n x¹ ; NÕu fRg vμ gRf tøc lμ f(x) g(x) = f(x) vμ g(x) f(x) = g(x) th× f(x) = g(x) hay f = g, do ®ã R cã tÝnh ph¶n ®èi xøng ; NÕu fRg vμ gRh tøc lμ f(x) g(x) = f(x) vμ g(x) h(x) = g(x) th× f(x) g(x) h(x) = f(x) ; khi ®ã, nÕu g(x) = 0 th× f(x) h(x) = f(x) = 0 vμ nÕu g(x) = 1 th× f(x) h(x) = f(x) ; nghÜa lμ, ta cã fRh, do ®ã R cã tÝnh b¾c cÇu. V× vËy, R lμ mét quan hÖ thø tù trªn M. NÕu M chØ cã 1 phÇn tö x th× ∀f, g ∈ M, ta lu«n cã f(x) g(x) = f(x) hoÆc g(x) f(x) = g(x), tøc lμ fRg hay gRf, do ®ã R lμ quan hÖ thø tù toμn phÇn. NÕu M cã h¬n 1 phÇn tö th× víi x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2. chän f, g ∈ M tháa m·n f(x1) = 1, g(x1) = 0 vμ f(x2) = 0, g(x2) = 1. Ta cã (f, g) ∉ R vμ (g, f) ∉ R. Do ®ã R cã quan hÖ thø tù kh«ng toμn phÇn. Chän a ∈ M tho¶ m·n a(x) = 1, ∀x ∈ X th× ∀f ∈ M, ta cã f(x) a(x) = f(x) hay fRa, do ®ã a lμ phÇn tö tèi ®¹i duy nhÊt còng lμ phÇn tö lín nhÊt cña M. Chän b ∈ M tháa m·n b(x) = 0, ∀x ∈ X th× ∀f ∈ M, ta cã b(x) f(x) = b(x) hay bRf, do ®ã b lμ phÇn tö tèi tiÓu duy nhÊt còng lμ phÇn tö nhá nhÊt cña M.
Ch−¬ng II : ¸nh x¹ Tãm t¾t lÝ thuyÕt 2.1. Kh¸i niÖm vμ c¸c tÝnh chÊt 2.1.1. §Þnh nghÜa Cho hai tËp hîp A vμ B. Mét ¸nh x¹ f tõ A vμo B lμ mét sù ghÐp ®«i mçi phÇn tö a ∈ A víi mét phÇn tö duy nhÊt cña B, kÝ hiÖu lμ f(a). PhÇn tö f(a) ∈ B ®−îc gäi lμ gi¸ trÞ cña f t¹i a. A ®−îc gäi lμ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh vμ B gäi lμ tËp ®Ých hay miÒn gi¸ trÞ. Mét ¸nh x¹ f tõ A vμo B cßn ®−îc gäi lμ mét hμm tõ A vμ B vμ ®−îc kÝ hiÖu bëi f : A → B hay A ⎯⎯ B hay f : a ∈ A f → f(a) ∈ B. VËy mét ¸nh x¹ hoμn toμn ®−îc x¸c ®Þnh bëi tËp nguån, tËp ®Ých vμ gi¸ trÞ t¹i mäi phÇn tö cña tËp nguån. V× lÝ do ®ã, ®¼ng thøc f = g gi÷a hai ¸nh x¹ x¶y ra khi vμ chØ khi f vμ g cã cïng tËp nguån, cïng tËp ®Ých vμ f(a) = g(a) víi mäi a thuéc tËp nguån. Cho ¸nh x¹ f : A → B. TËp hîp {(a, f(a)) | a ∈ A} gäi lμ ®å thÞ cña ¸nh x¹ f, kÝ hiÖu Gf. 2.1.2. ThÝ dô 1) Cho A lμ mét tËp hîp vμ B lμ mét tËp con cña A. PhÐp t−¬ng øng f : A → A cho bëi f(a) = a lμ mét ¸nh x¹, gäi lμ ¸nh x¹ ®ång nhÊt, kÝ hiÖu idA hay 1A ; g : B → A cho bëi g(a) = a còng lμ mét ¸nh x¹, gäi lμ phÐp nhËp hay phÐp bao hμm, kÝ hiÖu iA . B 2) Cho ¸nh x¹ f : A → B, X lμ mét tËp con cña A vμ Y lμ mét tËp chøa A. Khi ®ã ta cã ¸nh x¹ g : X → B cho bëi g(x) = f(x) víi mäi x ∈ X. ¸nh x¹ g gäi lμ thu hÑp cña f lªn X, kÝ hiÖu g = f | X. Ngoμi ra, nÕu cã ¸nh x¹ h: Y → B sao cho h | A = f th× h gäi lμ mét më réng cña f. 1 3) C¸c hμm sè y = 1 + x2 , y = x,y= x¸c ®Þnh lÇn l−ît c¸c ¸nh x¹ sau : 1+ x + + f : R → R+, g : R 0 → R 0 , h: R \ {–1} → R. + trong ®ã R+ = {x ∈ R | x > 0} vμ R 0 = {x ∈ R | x ≥ 0}. 4) Cho c¸c ¸nh x¹ f, g, h : R → R x¸c ®Þnh bëi f(x) = |x| (trÞ tuyÖt ®èi cña x), g(x) = [x] (phÇn nguyªn cña x), h(x) = x – [x] (phÇn lÎ cña x), trong ®ã phÇn nguyªn cña x lμ sè nguyªn [x] tho¶ m·n [x] ≤ x < [x] + 1. Khi ®ã, f |R+ = idR+ , g | Z = idZ , h | Z = 0. 0 0 2.1.3. §Þnh nghÜa Cho f : A → B lμ mét ¸nh x¹, x ∈ A, X lμ mét tËp con cña A vμ Y lμ mét tËp con cña B. Khi ®ã ta nãi
• f(x) lμ ¶nh cña x bëi f, • f(X) = {f(a) ∈ B | a ∈ X} lμ ¶nh cña X t¹o bëi f. • f–1(Y) = {a ∈ A | f(a) ∈ Y} lμ t¹o ¶nh cña Y bëi f. §Æc biÖt, víi b ∈ B, f–1({b}) = {a ∈ A | f(a) = b} vμ viÕt ®¬n gi¶n lμ f–1(b). Mçi a ∈ f–1(b) gäi lμ mét t¹o ¶nh cña b bëi f. Khi X = A ta gäi f(X) lμ ¶nh cña f vμ kÝ hiÖu lμ Imf. Khi X = ∅, ta cã f(∅) = ∅. 2.1.4. TÝnh chÊt Cho ¸nh x¹ f : A → B, X vμ Y lμ c¸c tËp con cña A, S vμ T lμ c¸c tËp con cña B. Khi ®ã ta cã : 1) X ⊂ f–1(f(X)). 2) f(f–1(S)) ⊂ S. 3) f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y). 4) f(X ∩ Y) ⊂ f(X) ∩ f(Y). 5) f–1(S ∪ T) = f–1(S) ∪ f–1(T). 6) f–1(S ∩ T) = f–1(S) ∩ f–1(T). 7) f(A \ X) ⊃ f(A) \ f(X) 8) f–1(B \ S) = A \ f–1(S). 2.2. §¬n ¸nh - Toμn ¸nh - Song ¸nh 2.2.1. §Þnh nghÜa ¸nh x¹ f : A → B gäi lμ mét ®¬n ¸nh nÕu víi mäi a, a′ ∈ A, a ≠ a′ kÐo theo f(a) ≠ f(a′) hay f(a) = f(a′) kÐo theo a = a′. Ng−êi ta cßn gäi ®¬n ¸nh lμ ¸nh x¹ mét ®èi mét. 2.2.2. §Þnh nghÜa ¸nh x¹ f : A → B gäi lμ mét toμn ¸nh nÕu víi mäi b ∈ B tån t¹i a ∈ A sao cho b = f(a) hay f(A) = B. Ng−êi ta cßn gäi toμn ¸nh f lμ ¸nh x¹ tõ A lªn B. 2.2.3. §Þnh nghÜa ¸nh x¹ f : A → B gäi lμ mét song ¸nh nÕu f võa ®¬n ¸nh võa toμn ¸nh, nghÜa lμ víi mçi b ∈ B tån t¹i duy nhÊt a ∈ A sao cho b = f(a). 2.2.4. ThÝ dô 1) Cho A lμ mét tËp hîp vμ B lμ mét tËp con cña A. Khi ®ã ¸nh x¹ ®ång nhÊt idA cña A B lμ mét song ¸nh, phÐp bao hμm iA lμ mét ®¬n ¸nh.
2) ¸nh x¹ n ∈ Z –n ∈ Z lμ mét song ¸nh. ¸nh x¹ n ∈ Z 2n ∈ Z lμ mét ®¬n ¸nh nh−ng kh«ng ph¶i lμ toμn ¸nh. ¸nh x¹ n ∈ Z n2 ∈ Z kh«ng ph¶i lμ ®¬n ¸nh còng kh«ng ph¶i lμ toμn ¸nh. 3) ¸nh x¹ f : R → R x¸c ®Þnh bëi x x3 lμ mét song ¸nh, nh−ng ¸nh x¹ g: Q → R x¸c ®Þnh bëi x x3 lμ mét ®¬n ¸nh vμ kh«ng ph¶i lμ toμn ¸nh. 4) ¸nh x¹ R → R x¸c ®Þnh bëi x sinx kh«ng ph¶i lμ toμn ¸nh. Tuy nhiªn, ¸nh x¹ R → [–1, 1] x¸c ®Þnh bëi x sinx lμ mét toμn ¸nh ; ¸nh x¹ nμy kh«ng lμ ®¬n ¸nh. 2.3. Hîp thμnh cña c¸c ¸nh x¹ 2.3.1. §Þnh nghÜa Cho hai ¸nh x¹ f : A → B vμ g : B → C. Khi ®ã ta cã ¸nh x¹ h : A → C cho bëi h(a) = g(f(a)) vμ ®−îc gäi lμ ¸nh x¹ hîp thμnh (hay ¸nh x¹ tÝch) cña f vμ g, kÝ hiÖu g f hay gän h¬n lμ gf. 2.3.2. ThÝ dô 1) Cho ¸nh x¹ f : A → B. Khi ®ã, idB f = f idA = f. 1 2) Cho hai ¸nh x¹ f : R \ {0} → R vμ g : R → R + cho bëi f(x) = vμ g(x) = x2 + 1. x x2 +1 Khi ®ã g f : R \ {0} → R + x¸c ®Þnh bëi x g(f(x)) = . x2 2.3.3. TÝnh chÊt Cho ba ¸nh x¹ f : A → B, g : B → C vμ h : C → D. Khi ®ã ta cã (h g) f = h (g f) . 2.3.4. MÖnh ®Ò Cho hai ¸nh x¹ f : A → B vμ g : B → C. Khi ®ã ta cã 1) NÕu f vμ g lμ c¸c ®¬n ¸nh th× g f lμ ®¬n ¸nh. 2) NÕu f vμ g lμ c¸c toμn ¸nh th× g f lμ toμn ¸nh. 3) NÕu f vμ g lμ c¸c song ¸nh th× g f lμ song ¸nh. 2.3.5. §Þnh nghÜa Cho f : A → B vμ g : B → A lμ hai ¸nh x¹ sao cho g f = idA vμ f g = idB. Khi ®ã ta gäi g lμ ¸nh x¹ ng−îc cña f. 2.3.6. MÖnh ®Ò ¸nh x¹ f: A → B lμ mét song ¸nh khi vμ chØ khi f cã ¸nh x¹ ng−îc g: B → A vμ g ®−îc x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi f.
¸nh x¹ ng−îc cña f th−êng ®−îc kÝ hiÖu lμ f 1. 2.3.7. MÖnh ®Ò Cho A vμ B lμ hai tËp h÷u h¹n cã cïng sè phÇn tö vμ ¸nh x¹ f : A → B. Khi ®ã c¸c ®iÒu sau t−¬ng ®−¬ng : 1) f lμ mét ®¬n ¸nh. 2) f lμ mét toμn ¸nh. 3) f lμ mét song ¸nh. 2.4. Gi¶i tÝch tæ hîp 2.4.1. Nh÷ng nguyªn lÝ ®Õm c¬ b¶n 2.4.1.1. Nguyªn lÝ céng Gi¶ sö cã hai c«ng viÖc. ViÖc thø nhÊt cã thÓ lμm b»ng n1 c¸ch, viÖc thø hai cã thÓ lμm b»ng n2 c¸ch vμ nÕu hai viÖc nμy kh«ng thÓ lμm ®ång thêi th× sÏ cã n1 + n2 c¸ch lμm mét trong hai viÖc ®ã. Nguyªn lÝ céng cã thÓ ph¸t biÓu d−íi d¹ng ng«n ng÷ tËp hîp nh− sau : NÕu A1, A2, ... , An lμ c¸c tËp h÷u h¹n ®«i mét rêi nhau, khi ®ã sè phÇn tö cña hîp c¸c tËp hîp nμy lμ |A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An|. 2.4.1.2. Nguyªn lÝ nh©n Gi¶ sö mét nhiÖm vô nμo ®ã ®−îc t¸ch lμm hai viÖc. ViÖc thø nhÊt cã thÓ lμm b»ng n1 c¸ch, viÖc thø hai cã thÓ lμm b»ng n2 c¸ch sau khi viÖc thø nhÊt ®· ®−îc lμm, khi ®ã sÏ cã n1n2 c¸ch thùc hiÖn nhiÖm vô nμy. Nguyªn lÝ nh©n cã thÓ ph¸t biÓu d−íi d¹ng ng«n ng÷ tËp hîp nh− sau : NÕu A1, A2, ... , An lμ c¸c tËp h÷u h¹n, khi ®ã sè phÇn tö cña tÝch Descartes A1 × A2 × ... × An lμ |A1 × A2 × ... × An| = |A1| . |A2| ... |An|. 2.4.1.3. ThÝ dô 1) Mét sinh viªn cã thÓ chän bμi thùc hμnh m¸y tÝnh tõ mét trong ba danh s¸ch t−¬ng øng cã 23, 15 vμ 19 bμi. V× vËy, theo nguyªn lÝ céng cã 23 + 15 + 19 = 57 c¸ch chän bμi thùc hμnh. 2) Ng−êi ta cã thÓ ghi nh·n cho nh÷ng chiÕc ghÕ trong mét gi¶ng ®−êng b»ng mét ch÷ c¸i vμ mét sè nguyªn d−¬ng kh«ng v−ît qu¸ 100. B»ng c¸ch nh− vËy cã bao nhiªu chiÕc ghÕ cã thÓ ghi nh·n kh¸c nhau? Thñ tôc ghi nh·n cho nh÷ng chiÕc ghÕ gåm hai viÖc, g¸n mét trong 26 ch÷ c¸i vμ sau ®ã g¸n mét trong 100 sè nguyªn d−¬ng. Nguyªn lÝ nh©n chØ ra r»ng cã 26 × 100 = 2600 c¸ch kh¸c nhau ®Ó g¸n nh·n cho nh÷ng chiÕc ghÕ. Nh− vËy nhiÒu nhÊt ta cã thÓ g¸n nh·n cho 2600 chiÕc ghÕ. 3) Cã bao nhiªu ¸nh x¹ tõ mét tËp A cã m phÇn tö vμo mét tËp B cã n phÇn tö?
Gi¶ sö A = {a1, a2, ..., am}. Mçi ¸nh x¹ f: A → B hoμn toμn ®−îc x¸c ®Þnh, bëi d·y (f(a1), f(a2), ..., f(am)) trong ®ã c¸c f(ai) (1 ≤ i ≤ m) ®−îc chän trong sè n phÇn tö cña B. V× vËy theo nguyªn lÝ nh©n, cã n × ... × n = nm ¸nh x¹ x¸c ®Þnh trªn A nhËn gi¸ trÞ trªn B. 4) Cã bao nhiªu ®¬n ¸nh tõ mét tËp A cã m phÇn tö vμo mét tËp B cã n phÇn tö ? NÕu m > n th× kh«ng cã ®¬n ¸nh nμo tõ A vμo B. Gi¶ sö m ≤ n vμ A = {a1, a2, ..., am}. Mçi ®¬n ¸nh f : A → B hoμn toμn x¸c ®Þnh bëi d·y (f(a1), f(a2), ..., f(am)) trong ®ã c¸c f(ai) (1 ≤ i ≤ m) ®−îc chän ®«i mét kh¸c nhau trong sè n phÇn tö cña B, nghÜa lμ cã n c¸ch chän cho f(a1), n – 1 c¸ch chän cho f(a2), ..., n – m + 1 c¸ch chän f(am). V× vËy theo nguyªn lÝ n! nh©n, ta cã n (n – 1) ... (n – m + 1) = ®¬n ¸nh tõ A vμo B. (n − m)! 2.4.2. Ho¸n vÞ vμ chØnh hîp 2.4.2.1. §Þnh nghÜa Ho¸n vÞ cña mét tËp c¸c ®èi t−îng kh¸c nhau lμ mét c¸ch s¾p xÕp cã thø tù c¸c ®èi t−îng nμy. NÕu A lμ mét tËp hîp cã n phÇn tö th× mét ho¸n vÞ cña A chÝnh lμ mét song ¸nh tõ A lªn A, ng−êi ta gäi ®©y lμ mét ho¸n vÞ (hay phÐp thÕ) bËc n cña A. Mét c¸ch tæng qu¸t, nÕu A lμ mét tËp hîp tuú ý th× mçi song ¸nh tõ A lªn A còng ®−îc gäi lμ mét ho¸n vÞ (hay phÐp thÕ) cña A. Sè c¸c ho¸n vÞ bËc n lμ n(n – 1) ... 2.1 = n! 2.4.2.2. §Þnh nghÜa Mét c¸ch s¾p xÕp cã thø tù r phÇn tö cña mét tËp hîp n phÇn tö ®−îc gäi lμ mét chØnh hîp chËp r cña tËp hîp n phÇn tö. r Gäi An lμ sè c¸c chØnh hîp chËp r cña tËp hîp n phÇn tö th× r n! An = n(n – 1)(n – 2) ... (n – r + 1) = . (n − r )! 2.4.2.3. ThÝ dô 1) Gi¶ sö cã 8 vËn ®éng viªn ch¹y thi. Ng−êi th¾ng sÏ nhËn ®−îc huy ch−¬ng vμng, ng−êi vÒ ®Ých thø hai nhËn huy ch−¬ng b¹c, ng−êi vÒ ®Ých thø ba nhËn huy ch−¬ng ®ång. Cã bao nhiªu c¸ch trao huy ch−¬ng nμy cho tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ cña cuéc thi cã thÓ x¶y ra. Sè c¸ch trao huy ch−¬ng chÝnh lμ sè chØnh hîp chËp 3 cña tËp hîp 8 phÇn tö. V× thÕ cã A8 = 6 × 7 × 8 = 336 c¸ch trao huy ch−¬ng. 3 2) Gi¶ sö mét th−¬ng nh©n ®i b¸n hμng t¹i 8 thμnh phè. ChÞ ta b¾t ®Çu cuéc hμnh tr×nh t¹i mét thμnh phè nμo ®ã, nh−ng cã thÓ ®Õn 7 thμnh phè kia theo bÊt k× thø tù nμo mμ chÞ ta muèn. Hái chÞ ta cã thÓ ®i qua c¸c thμnh phè nμy theo bao nhiªu lé tr×nh kh¸c nhau ? Sè lé tr×nh cã thÓ gi÷a c¸c thμnh phè b»ng sè ho¸n vÞ cña 7 phÇn tö, v× thμnh phè ®Çu tiªn ®· ®−îc x¸c ®Þnh, nh−ng 7 thμnh phè cßn l¹i cã thÓ cã thø tù tuú ý. Do ®ã cã 7! = 5040 c¸ch ®Ó ng−êi b¸n hμng chän hμnh tr×nh cña m×nh.
2.4.3. Tæ hîp 2.4.3.1. §Þnh nghÜa Mét tæ hîp chËp r cña mét tËp hîp lμ mét c¸ch chän kh«ng cã thø tù r phÇn tö cña tËp hîp ®· cho. Nh− vËy, mét tæ hîp chËp r chÝnh lμ mét tËp con r phÇn tö cña tËp ban ®Çu. Ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc sè tæ hîp chËp r cña tËp hîp n phÇn tö. §Ó lμm ®iÒu ®ã, chó ý r»ng c¸c chØnh hîp chËp r cña mét tËp hîp cã thÓ nhËn ®−îc b»ng c¸ch tr−íc hÕt lËp c¸c tæ r hîp chËp r, råi s¾p thø tù cho c¸c phÇn tö thuéc c¸c tæ hîp ®ã. Do ®ã nÕu gäi Cn lμ sè c¸c tæ hîp chËp r tõ tËp hîp n phÇn tö th× ta cã r r r n! An = Cn . r! hay Cn = . r !(n − r )! r Sè Cn chÝnh lμ sè c¸c tËp con r phÇn tö cña tËp n phÇn tö vμ lμ sè c¸c x©u nhÞ ph©n ®é r dμi n cã ®óng r bit 1. Sè Cn cßn ®−îc gäi lμ hÖ sè nhÞ thøc. Së dÜ cã tªn nh− vËy lμ v× nã xuÊt hiÖn trong khai triÓn nhÞ thøc : n (a + b)n = ∑C r =0 r n ar bn−r . 2.4.3.2. TÝnh chÊt H»ng ®¼ng thøc Pascal : Cho n vμ k lμ c¸c sè nguyªn d−¬ng víi n ≥ k. Khi ®ã Cn −1 + Cn = Cn+1 . k k k H»ng ®¼ng thøc Vandermonde : Cho m, n, r lμ c¸c sè tù nhiªn sao cho r ≤ m vμ r ≤ n. Khi ®ã r Cm+n = r ∑C k =0 k m Cn − k . r 2.4.3.3. ThÝ dô 1) T×m sè giao ®iÓm tèi ®a cña : a) 12 ®−êng th¼ng ph©n biÖt ; b) 6 ®−êng trßn ph©n biÖt ; c) 12 ®−êng th¼ng vμ 6 ®−êng trßn trªn. a) 2 ®−êng th¼ng ph©n biÖt cã tèi ®a 1 giao ®iÓm, nªn sè giao ®iÓm tèi ®a cña 12 12! ®−êng th¼ng ph©n biÖt lμ C12 = 2 = 66. 2! 10! b) 2 ®−êng trßn ph©n biÖt cã tèi ®a 2 giao ®iÓm nªn sè giao ®iÓm tèi ®a cña 6 ®−êng trßn ph©n biÖt lμ 2 C62 = 2 . 15 = 30. c) 1 ®−êng th¼ng c¾t 1 ®−êng trßn tèi ®a t¹i 2 ®iÓm, nªn sè giao ®iÓm tèi ®a cña 12 ®−êng th¼ng vμ 6 ®−êng trßn trªn lμ 66 + 30 + 12 × 6 × 2 = 240 ®iÓm.