Ôn tập đại số cơ sở bài 4-TS Trần Huyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

171
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập đại số cơ sở bài 4-TS Trần Huyền bàm sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập đại số cơ sở bài 4-TS Trần Huyền

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS Tr n Huyên Ngày 23 tháng 11 năm 2004 Bài 4. Các Bài Toán Ki m Tra Nhóm Con Chu n T c M t nhóm con A c a nhóm X đư c g i là nhóm con chu n t c (hay ư c chu n t c) c a X, n u A th a thêm đi u ki n: ∀x ∈ X, ∀a ∈ A thì xax−1 ∈ A (∗) ( ho c x−1 ax ∈ A) Đi u ki n (∗) đư c g i là đi u ki n chu n t c V y : A X n u A ⊂ X và A th a đi u ki n chu n t c. n Và đ ki m tra A X thì ta ph i ki m tra : • A là nhóm con c a X và sau đó ti p t c • Ki m tra A th a đi u ki n chu n t c. Ví d 1. Cho nhóm a b 1 b X= : ac = 0 và A = :c=0 0 c 0 c Ch ng minh r ng : A X GI I: Hi n nhiên là A = ∅. Trư c h t ta ch ng minh A ⊂ X. n Th t v y: 1
1 b1 1 b2 1 b1 1 b2 1 b2 + b1 c 2 • ∀ , ∈A: = 0 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 c1 c2 1 b1 1 b2 v i c1 c2 = 0, nên ∈ A. 0 c1 0 c2 −1 1 b 1 b 1 −b/c • ∀ ∈ A thì = ∈A 0 c 0 c 0 1/c Theo tiêu chu n 2 v nhóm con ta có A ⊂ X n Ti p t c ki m tra đi u ki n chu n t c: a b 1 b1 • ∀ ∈ X, ∀ ∈ A thì: 0 c 0 c1 −1 a b 1 b1 a b a b 1 b1 1/a −b/ac = = 0 c 0 c1 0 c 0 c 0 c1 0 1/c 1 x ∈A 0 c1 −b ab1 + bc2 (v i x = + , tuy nhiên đây có th ta không c n tính c th x, vì đòi h i m t ma c c tr n thu c A ch c n có s 1 góc trên bên trái và c1 = 0). V y: A X Ví d 2. Cho nhóm X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} v i phép toán hai ngôi: (k1 , k2 )(l1 , l2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 ) (đã ki m tra X là nhóm trong ví d 1.§1) Ch ng minh r ng nhóm con A sinh b i ph n t a = (0, 1) là nhóm con chu n t c c a X. Phân tích ban đ u: Trong bài toán này gi thi t đã cho A là nhóm con < a >. Vì v y ch còn ph i ki m tra A tho đi u ki n chu n t c. Tuy nhiên mu n làm đi u đó thì ph i bi t đư c d ng t ng quát ph n t c a A, t c trư c h t ph i mô t tư ng minh các ph n t c a A. GI I: Ta có: A =< a >= {an : n ∈ Z} v i a = (0, 1) Trư c h t ta ch ra (0, 1)n = (0, n) khi n > 0 theo qui n p. Th t v y: V i n = 1 thì (0, 1)1 = (0, 1) Gi s (0, 1)n−1 = (0, n − 1) v i n ≥ 2 Khi đó: (0, 1)n = (0, n − 1)(0, 1) = (0 + 0, n − 1 + (−1)0 1) = (0, n) V y: (0, 1)n = (0, n) v i m i n > 0 V i n < 0 thì −n > 0 nên: (0, 1)n = [(0, 1)−n ]−1 = (0, −n)−1 = (0, (−1)0+1 (−n)) = (0, n) Cu i cùng: (0, 1)0 = (0, 0). V y: A = {(0, 1)n : n ∈ Z} = {(0, n) : n ∈ Z} Bây gi ta ki m tra A th a đi u ki n chu n t c: ∀(k1 , k2 ) ∈ X, ∀(0, n) ∈ A: 2
(k1 , k2 )(0, n)(k1 , k2 )−1 = (k1 , k2 )(0, n)(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) = (0, m) ∈ A (v i m = (−1)k1 n; tuy nhiên giá tr m có th không ph i tính c th vì đòi h i ph n t thu c A ch c n thành ph n đ u b ng 0 là đ !) K t lu n: A X Ví d 3. Cho nhóm X như ví d 2, và cho t p B = {(n, 0) : n ∈ Z} ⊂ X Ch ng minh r ng B là nhóm con không chu n t c c a X. GI I: Đ ki m tra B ⊂ X, ta có th dùng tiêu chu n 2 n • ∀(n, 0), (m, 0) ∈ B ta có: (n, 0)(m, 0) = (n + m, 0) ∈ B • ∀(n, 0) ∈ B : (n, 0)−1 = (−n, 0) ∈ B V y B ⊂ X Đ ch ra B không th a đi u ki n chu n t c ta ch ra t n t i các ph n t (1, 1) ∈ X n và (1, 0) ∈ B mà: (1, 1)(1, 0)(1, 1)−1 = (1 + 1, 1)(−1, 1) = (1, 1 + (−1)2 1) = (1, 2) ∈ B / V y : B là nhóm con không chu n t c c a X. Khái ni m nhóm con chu n t c còn có th đư c đ nh nghĩa nh vào các l p ghép trái và l p ghép ph i Ta nh c l i các khái ni m l p ghép theo nhóm con đ dùng cho các ví d ti p theo. Cho nhóm X, A ⊂ X và x ∈ X. Khi đó: n - L p ghép trái xA = {xa : a ∈ A} - L p ghép ph i Ax = {ax : a ∈ A}. V m i quan h gi a các l p ghép theo nhóm con ta có vài k t qu c n ghi nh đ s d ng: • N u y ∈ xA thì yA = xA. • Hai l p ghép xA và yA thì ho c xA ∩ yA = ∅ ho c xA ≡ yA. Khái ni m nhóm con chu n t c đ nh nghĩa trên cơ s các l p ghép là : ” Nhóm con A ⊂ X là nhóm con chu n t c c a X n u v i m i x ∈ X thì xA = Ax”. n Hi n nhiên là đ nh nghĩa m i này hoàn toàn tương đương v i đ nh nghĩa ban đ u, đ c gi có th xem các ch ng minh trong các tài li u v đ i s đ i cương, đây ta ch nh c l i đ s d ng. Ví d 4. Cho nhóm X và các nhóm con chu n t c c a X là A, B. Ch ng minh AB = BA và AB X GI I: Ta có AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} = {ab : b ∈ B} = aB = Ba = {ba : b ∈ B} = a∈A a∈A a∈A a∈A BA Đ ch ng minh AB X, tru c h t ta c n ch ra AB ⊂ X n 3
Hi n nhiên AB = ∅ và đ ki m tra AB ⊂ X ta dùng tiêu chu n 3: n ∀a1 b1 , a2 b2 ∈ AB thì (a1 b1 )(a2 b2 )−1 = a1 (b1 b−1 )a−1 = a1 a−1 b ∈ AB 2 2 2 (do b1 b−1 a−1 ∈ Ba−1 = a−1 B nên ∃b ∈ B mà b1 b−1 a−1 = a−1 b). 2 2 2 2 2 2 2 Cu i cùng v i ∀x ∈ X: x(AB) = (xA)B = (Ax)B = A(xB) = A(Bx) = (AB)x V y: AB X Nh n xét 1: Đ ch ng minh AB = BA và AB ⊂ ta ch c n s d ng tính chu n t c c a m t n nhóm con B (ho c A) là đ . Nh n xét 2: Ví d này hoàn toàn có th gi i b ng đ nh nghĩa ban đ u, tuy nhiên đ nh nghĩa m i giúp ta ti t ki m ngôn ng trình bày hơn. Ví d 5. Cho nhóm X và A ⊂ X sao cho t p thương n X/ = {xA : x ∈ X} A ch g m có hai l p ghép trái. Ch ng minh r ng A X. GI I: Theo gi thi t c a bài toán ta có: X = A ∪ (X \ A) trong đó l p ghép trái X \ A = xA v i b t kì x ∈ A. / Ta ch ng minh A th a đi u ki n chu n t c: - N u x ∈ A và a ∈ A thì hi n nhiên xax−1 ∈ A - N u x ∈ A và a ∈ A mà xax−1 ∈ A, t c xax−1 ∈ x \ A / / Suy ra: ax−1 ∈ A, do đó x−1 ∈ A và x ∈ A. Đi u vô lí này ch ng t xax−1 ∈ A. V y ∀x ∈ X, ∀a ∈ A : xax−1 ∈ A, t c A X 4
BÀI T P a b 1. Trong nhóm X = : ac = 0 , ch ng minh các b ph n 0 c a b 1 b B= :a=0 và C = :b∈R 0 1 0 1 là các nhóm con chu n t c. 2. Cho nhóm X. Ta g i tâm c a nhóm X là C(X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X} Ch ng minh C(X) X. ∗ 3. Trong nhóm nhân Mn _ các ma tr n vuông c p n không suy bi n, ch ng minh r ng các b ph n sau là các nhóm con chu n t c: 1 ∗ (a) Mn = {A ∈ Mn : detA = 1} ±1 ∗ (b) Mn = {A ∈ Mn : detA2 = 1} + ∗ (c) Mn = {A ∈ Mn : detA > 0} 4. Cho X là nhóm và x, y ∈ X. Hoán t c a x và y là [x, y] = x−1 y −1 xy. G i A là nhóm con c a X đư c sinh b i t p t t c các hoán t [x, y] v i m i c p x, y ∈ X. Ch ng minh A X. 5. Cho X là nhóm, A X và B ⊂ X. Ch ng minh AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} là m t nhóm n con c a X. 6. Trong nhóm S4 _ các phép th b c 4 cho t p K = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} trong đó e là phép th đ ng nh t. Ch ng minh r ng K S4 5