Ôn tập đại số cơ sở bài 6-TS Trần Huyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

168
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập đại số cơ sở bài 6-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập đại số cơ sở bài 6-TS Trần Huyền

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS Tr n Huyên Ngày 30 tháng 12 năm 2004 Bài 6. Các Bài T p V Nhóm Đ ng C u Theo đ nh nghĩa, nhóm X là đ ng c u v i nhóm Y (và vi t X ∼ Y ) n u t n t i m t ánh x = f đ ng c u f : X → Y . Đ ch ra X đ ng c u v i Y theo ánh x f , ta vi t X ∼ Y . = Quan h đ ng c u trong l p các nhóm là quan h tương đương, vì X 1 • V i m i nhóm X: X ∼ X = f f −1 • N u X ∼ Y thì Y ∼ X = = f g gf • N u X ∼ Y và Y ∼ Z thì X ∼ Z = = = Như v y, đ ch ng t hai nhóm X, Y là đ ng c u v i nhau ta có th thi t l p m t ánh x đ ng c u t X t i Y hay t Y t i X ho c có th thi t l p các ánh x đ ng c u t X, Y t i m t nhóm th ba. Ví d 1: Cho t p h p các ma tr n c p hai sau 1 a A= :a∈R 0 1 a) Ch ng minh r ng A là nhóm v i phép nhân ma tr n. b) Ch ng minh r ng A ∼ (R+ , ·) trong đó (R+ , ·) là nhóm nhân các s th c dương. = Gi i ∗ a) Đ ch ng minh A là nhóm v i phép nhân ma tr n ta ch c n ch ng minh A ⊂ (M2 , ·), trong n ∗ đó (M2 , ·) là nhóm nhân các ma tr n c p hai không suy bi n. Xin dành vi c ki m tra chi ti t cho b n đ c. b) Đ ch ng minh A ∼ (R+ , ·) ta xây d ng ánh x : = 1 ln a f : R+ → A mà ∀a ∈ R+ thì f (a) = 0 1 1
D th y f là đ ng c u vì ∀a, b ∈ R+ ta có 1 ln ab 1 ln a + ln b f (a.b) = = 0 1 0 1 1 ln a 1 ln b = = f (a)f (b) 0 1 0 1 Tính 1 ln a 1 0 Ker f = a ∈ R+ : f (a) = = 0 1 0 1 = a ∈ R+ : ln a = 0 = {1} V y f đơn c u. 1 x 1 x Hi n nhiên f toàn ánh vì v i m i ∈ A, t n t i a = ex ∈ R+ mà f (a) = . 0 1 0 1 V y f là đ ng c u: A ∼ (R+ , ·). = Nh n xét 1: Chúng ta đã khá quen bi t v i ánh x đ ng c u ln : (R+ , ·) → (R, +), t nhóm nhân các s th c dương t i nhóm c ng các s th c, đ ng th i t phép nhân trong 1 a 1 b 1 a+b A: = ta d phát hi n ra: A ∼ (R, +). Vì v y ta có th ch ng = 0 1 0 1 0 1 minh A ∼ (R+ , ·) thông qua hai đ ng c u này và th t ra ánh x đ ng c u xây d ng trên là = s k t h p hai ánh x nói trên. Nh n xét 2: N u chúng ta nh r ng, m t ánh x song ánh f t m t nhóm X t i t p Y có trang b phép toán hai ngôi mà f b o toàn các phép toán thì khi đó Y cũng là m t nhóm. Và do v y trong bài toán trên, k t qu câu (a) có th đư c suy tr c ti p t câu (b) mà không c n ph i ki m tra đ c l p. Ví d 2: Cho nhóm X và A, B là các nhóm con chu n t c c a X th a A.B = X và A∩B = {e}. Ch ng minh: a) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba b) X ∼ A × B = 2
Gi i a) Ta có ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thì aba−1 b−1 = (aba−1 )b−1 ∈ B vì B X aba−1 b−1 = a(ba−1 b−1 ) ∈ A vì A X Như v y: aba−1 b−1 ∈ A ∩ B = {e} t c là aba−1 b−1 = e ⇔ ab = ba. b) Đ ch ng minh X ∼ A × B (tích tr c ti p c a A và B) ta xây d ng ánh x f : A × B → X = mà v i m i (a, b) ∈ A × B thì f (a, b) = ab. • Ta ki m tra f là đ ng c u: ∀(a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B thì f [(a1 , b1 ), (a2 , b2 )] = f (a1 a2 , b1 b2 ) = a1 (a2 b1 )b2 = (a1 b1 )(a2 b2 ) = f (a1 , b1 ).f (a2 , b2 ) ( vì a2 b1 = b1 a2 theo (a)) • Tính Ker f = {(a, b) : ab = e} = {(a, b) : a = b−1 ∈ A ∩ B} = {(a, b) : a = b−1 = e} = {(e, e)}. V y f đơn c u. • Tính toàn ánh c a f đư c suy ra t X = A.B. Th t v y, v i m i x ∈ X, ∃a ∈ A, b ∈ B sao cho x = ab nên t n t i (a, b) ∈ A × B mà f (a, b) = x. Nh n xét 1: Đ ý r ng tính chu n t c c a hai nhóm con A, B đây ch đư c dùng đ ch ng minh cho tính ch t giao hoán c a hai ph n t a ∈ A, b ∈ B t c là ab = ba, ph c v cho vi c ki m tra f : A × B → X là đ ng c u. B i v y, m t bi n d ng c a ví d 2 là: Cho A, B là các nhóm con c a X th a A.B = X, A ∩ B = {e} và ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba. Ch ng minh r ng X ∼ A × B. = Nh n xét 2: Trong đ ng c u X ∼ A × B nh n xét 1 s cho ta A X và B X. Như v y = v i các gi thi t A.B = X và A ∩ B = {e} c a hai nhóm con A, B cho trư c, hai gi thi t còn l i là A, B X và ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thì ab = ba là tương đương nhau. B n hãy th ch ng minh tr c ti p s tương đương này đư c không? Ví d 3: Cho X là nhóm c ng giao hoán và E(X) là t p h p t t c các t đ ng c u c a X. Xác đ nh trên E(X) phép c ng ∀f, g ∈ E(X) thì f +g : X → X mà ∀x ∈ X (f +g)(x) = f (x)+g(x). Ch ng minh r ng a) E(X) là nhóm c ng giao hoán v i phép c ng trên b) E(Q) ∼ Q v i Q là nhóm c ng các s h u t . = 3
Gi i a) Đ ki m tra E(X) là nhóm c ng giao hoán ta l n lư t ki m tra: • Phép c ng trên E(X) là phép toán hai ngôi, nói cách khác n u f, g : X → X là đ ng c u ? thì f + g là đ ng c u t c là: ∀x1 , x2 ∈ X : (f + g)(x1 + x2 ) = (f + g)(x) + (f + g)(y). • Phép c ng trên E(X) là k t h p, giao hoán. • Ph n t 0 ∈ E(X) là ánh x θ : X → X mà θ(X) = 0. • ∀x ∈ E(X) thì (−f ) : X → X mà (−f )(x) = −f (x) là đ ng c u và là đ i c a f . T t c các tính toán chi ti t đ hoàn t t các n i dung ki m tra trên không m y khó khăn xin như ng cho đ c gi . b) Đ ch ng minh E(Q) ∼ Q ta thi t l p ánh x ϕ : E(Q) → Q mà ∀f ∈ E(Q) thì ϕ(f ) = f (1). = D th y ϕ là đ ng c u vì ∀f, g ∈ E(Q) thì ϕ(f +g) = (f +g)(1) = f (1)+g(1) = ϕ(f )+ϕ(g). Ta ch ng minh ϕ là song ánh, t c là ∀q ∈ Q thì t n t i và duy nh t đ ng c u f : Q → Q mà f (1) = q. Đ ng c u f đó đư c xác đ nh b i công th c: m m m ∀ ∈ Q thì f ( ) = .q n n n B n đ c d dàng ki m tra đây là m t đ ng c u và f (1) = q. N u có m t đ ng c u g : Q → Q q mà g(1) = q thì ∀n = 0: n.g( n ) = g(n. n ) = g(1) = q. Suy ra g( n ) = n và do đó ∀ m ∈ Q: 1 1 1 n q g( m ) = m.g( n ) = m. n = m .q = f ( m ). V y f = g. n 1 n n Do v y, ϕ là đ ng c u. Ngoài cách thi t l p các đ ng c u tr c ti p gi a hai nhóm đôi khi đ ch ng minh hai nhóm đ ng c u v i nhau trong trư ng h p m t nhóm đư c bi u di n dư i d ng m t nhóm thương ta có th áp d ng đ nh lý Nơte v toàn c u nhóm. Ta nh c l i đ nh lý đó: ˜ Đ nh lý (Nơte) Cho f : X → Y là toàn c u. Khi đó t n t i và duy nh t đ ng c u f : X/Ker f → ˜ Y sao cho f = f .p trong đó p : X → X/Ker f là đ ng c u chi u. S d ng đ nh lý này n u ta mu n ch ng minh đ ng c u nhóm thương X/A ∼ Y , ta ch c n thi t = l p toàn c u f : X → Y sao cho Ker f = A và t đ nh lý ta có đ ng c u f : X/A ∼ Y . ˜ = Ví d 4: Ch ng minh r ng m i nhóm cyclic h u h n c p n là đ ng c u v i nhau. Phân tích: Trong các nhóm cyclic c p n có nhóm Zn = Z/nZ. Đ ch ng minh các nhóm cyclic c p n đ u đ ng c u v i nhau, ta ch c n ch ng minh chúng đ u đ ng c u v i Zn . V y l y b t kỳ nhóm cyclic c p n: a n ta ph i ch ng minh Zn ∼ a n . = Gi i Cho nhóm cycilc c p n: a n . Ta xây d ng ánh x f : Z → an n mà ∀m ∈ Z thì f (m) = am . D th y f là đ ng c u vì ∀m1 , m2 ∈ Z ta có f (m1 + m2 ) = am1 +m2 = am1 .am2 = f (m1 ).f (m2 ) Hi n nhiên f là toàn ánh. V y f toàn c u. Đ ng th i Ker f = {m : am = e} = {m : n|m} = nZ V y theo đ nh lý Nơte, t n t i đ ng c u f : Z/nZ ∼ a ˜ = n V y m i nhóm cyclic c p n đ u đ ng c u v i Zn và do v y chúng đ ng c u v i nhau. Ví d 5: Trong nhóm nhân C∗ các s ph c khác 0, xét t p h p H g m t t c các s ph c n m trên tr c th c và tr c o. Ch ng minh r ng H ⊂ C∗ , đ ng th i có đ ng c u: C∗/H ∼ D trong n = đó D là nhóm nhân các s ph c có môđun b ng 1. 4
Gi i Ta bi u di n các s ph c thu c H dư i d ng lư ng giác và đư c: kπ kπ H= r cos + i sin : r ∈ R+ , k ∈ Z 2 2 Hi n nhiên H = ∅ và ta ki m tra H ⊂ C∗ , theo tiêu chu n th ba: v i m i z1 = r1 cos k1 π + i sin k1 π , n 2 2 k2 π k2 π z2 = r2 cos 2 + i sin 2 thu c H, ta có −1 r1 (k1 − k2 )π (k1 − k2 )π z1 .z2 = cos + i sin ∈H r2 2 2 V y H ⊂ C∗ . n Đ ch ng minh C∗/H ∼ D ta thi t l p ánh x f : C∗ → D mà f [r(cos ϕ + i sin ϕ)] = = cos 4ϕ + i sin 4ϕ v i ∀ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) ∈ C∗ . Đ c gi có th d dàng ki m tra f là đ ng c u và toàn ánh! Đ ng th i Ker f = {r(cos ϕ + i sin ϕ) : (cos 4ϕ + i sin 4ϕ) = 1} = {r(cos ϕ + i sin ϕ) : 4ϕ = 2kπ} kπ = {r(cos ϕ + i sin ϕ) : ϕ = }=H 2 V y, theo đ nh lý Nơte, t n t i đ ng c u f : C∗/H ∼ D ˜ = Nh n xét: M u ch t c a l i gi i này là vi c bi u di n H dư i d ng lư ng giác, đi u đó có đư c nh nh n xét các ph n t thu c H đ u n m trên hai tr c có argument là b i nguyên c a π/2. Vi c xây d ng đ ng c u f : C∗ → D mà Ker f = H, do cách bi u di n H mà th a hai đòi h i: chuy n m i ph n t t i ph n t có mođun b ng 1 (b ng cách chia ph n t đó cho chính môđun c a nó) và chuy n m i ph n t có argument kπ/2 thành ph n t có argument k2π (b ng cách nhân argument lên 4 l n); t đó cho ta ánh x c n tìm. Bài t p 1) Ch ng minh r ng m i nhóm cyclic vô h n đ ng c u v i nhau. 2) Cho X là nhóm Aben h u h n c p m.n v i (m, n) = 1. Đ t A = {x ∈ X : xm = e}, B = {x ∈ X : xn = e}. Ch ng minh r ng X ∼ A × B. = 3) Cho C∗ là nhóm nhân các s ph c khác 0, R∗ là nhóm nhân các s th c khác 0, D là nhóm nhân các s ph c có môđun b ng 1. Ch ng minh r ng C∗/R∗ ∼ D. = 4) Cho E(X) là nhóm c ng các đ ng c u c a nhóm c ng giao hoán X (xem ví d 3). Ch ng minh r ng E(Z) ∼ Z. = ∗ 1 5) Cho Mn và Mn là t p các ma tr n vuông c p n không suy bi n và t p các ma tr n có đ nh th c b ng 1. Ch ng minh r ng Mn/Mn ∼ (R∗ , ·). ∗ 1 = 6) Cho f : (R, +) → (R∗ , ·) là đ ng c u nhóm. Ch ng minh r ng t n t i ph n t a ∈ R sao cho f (x) = ax , ∀x ∈ R. 5