ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN HỌC

Chia sẻ: Nguyen Cong Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

237
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn tập hè môn toán học', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN HỌC

ÔN T P HÈ MÔN TOÁN H C DÙNG CHO H C SINH KH I 11 LÊN 12 Tài li u này g m nhi u ph n ñư c sưu t m trên Internet, v i s chia s c a các th y cô giáo d y Toán THPT. http://ebook.here.vn ch T p h p chúng l i ñ b n ñ c d dàng ôn t p. Tuy nhiên do m t s Tác gi không ñ l i tên trong Tài li u c a mình nên chúng tôi không th k h t. Xin g i l i c m ơn t i các th y Tr n M nh Tùng (THPT Lương Th Vinh), Phan Phú Qu c (THPT Phan Châu Trinh), và các th y cô khác ñã chia s nh ng Tài li u c a mình. ***** Gi i H n Hàm S Bài 1 : ð nh nghĩa Và M t S ð nh Lý 1.Gi i h n t i m t ñi m : 3x − 2 2n + 1 Ví d : Cho hàm s f(x) = và dãy s ( xn ) bi t xn = 5x + 4 n a) Tính f( xn ) . b) Tính lim xn và limf( xn ) a) Gi i h n h u h n : Cho hàm s f(x) xác ñ nh trên m t kho ng (a;b ) , có th tr ñi m x 0 ∈ (a;b) .Hàm s f(x) có gi i h n L khi x d n t i x 0 , n u m i dãy s ( xn ) ( xn ∈ (a; b), xn ≠ x0 , ∀n ∈ N ) sao cho lim xn = x 0 thì lim f( xn ) = L . Ta vi t : lim f (x ) = L . x →x 0 b) Gi i h n vô c c : ð.n : lim f ( x ) = +∞ ( hay -∞ ) ⇔ ∀(x n ), limx n = x0 ⇒ lim f ( xn ) = +∞ ( hay -∞ ) x → x0 2. Gi i h n t i vô c c : ð.n: lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = +∞ ⇒ lim f (x n ) = L x →+∞ lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = −∞ ⇒ lim f (x n ) = L x →−∞ 3. ð nh lý v gi i h n : ð nh lý 1 : N u hai hàm s f(x) và g(x) ñ u có gi i h n khi x d n t i a thì : lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x). lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x). x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x) f ( x) x → x0 lim = (lim g ( x) ≠ 0). lim 3 f ( x) = 3 lim f ( x). x → x0 g ( x ) lim g ( x) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x) = lim f ( x) ( f(x) ≥ 0 ) x → x0 x → x0 Bài t p http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 1
V n ñ 1: Tìm Gi i H n C a Hàm S T i ði m a Phương pháp : S d ng các gi i h n cơ b n sau : • lim C = C . V i C là h ng s . x→a • lim x n = a n x→a Bài 1 : Tính các gi i h n sau : x 2 + 3x + 2 3x + 2 a) lim( x + 3) , b) lim( x 4 + 3 x 3 − 2 x + 5) , c) lim , lim 3 . x→2 x →1 x →0 3x + 6 3 x → −1 5 x + 6 Bài 2: Tính các gi i h n sau : 8x 2 -3x+7 (x 2 -5x+7)(4x-1)2 2x -1 - x 2 − x a) lim b) lim c) lim x → -∞ 3x 2 + x + 2 (3x 2 + 2)2 x →+∞ x → -∞ 3 27x 3 + x - 3 Bài 2 : Gi i H n M t Bên 1.ð nh nghĩa : a) Gi i h n bên ph i : cho hàm s f(x) xác ñ nh trên ( x 0 ; b) . lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (x 0 ; b ), limx n = x 0 ⇒ lim f (x n ) = L x → x 0+ b) Gi i h n bên trái : cho hàm s f(x) xác ñ nh trên (a; x 0 ) . Ta có : lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (a; x 0 ), limx n = x 0 ⇒ lim f (x n ) = L x → x 0− 2. ð nh lý : ði u ki n c n và ñ ñ hàm s f(x) có gi i h n b ng L là gi i h n bên ph i b ng gi i h n bên trái và b ng L . Ta có : lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L . x→a x→ a x→ a 3. M t s k t qu : 1 1 1 lim k = +∞ (k ∈ Z) , lim− 2 k = +∞ , lim− 2 k +1 = −∞ x → 0= x x →0 x x →0 x Ví d 1: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau x |x −6| x − 2 + 3x 2x − 6 1. lim x - 1 2. lim- 2 3. lim 4. lim- + x → 6 x + 5x + x −9 x →1 x − 1 2 x →1 x →3  3 x − 1, x ≤ 1  Ví d 2: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau : f(x)=  x 2 + 5  x −7 ,x >1  Bài t p 1. Tìm gi i h n c a hàm s sau 4x + 3 − x −1 x2 − 6x + 8 x2 − 6x + 5 5x − x 2 1. lim- 2. lim 3. lim- 4. lim 5. lim x →5 x −5 x →1 x −1 - x →2 x 2 − 5x + 6 x →1− | x2 − x | − x →5 x 2 − 6x + 5 2. Tìm gi i h n c a hàm s sau x 2 − 4x + 3 x 2 − 3x  1 1  a. lim- b. lim- c. lim-  2 − 2  x →5 |1− x | 2 x →5 3x − x 4 5 x →5  x − 1 x − 3x + 2  http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 2
 x 2 + 2 x + 5, x ≤ 1  3. Cho hàm s : f(x) =  x + m  x −7 ,x >1  Tìm m ñ hàm s f(x) có gi i h n khi x d n t i 1 và tìm gi i h n ñó . Bài 3 : Kh Các D ng Vô ð nh Các d ng vô ñ nh : 0 ∞ Khi tính gi i h n c a hàm s ta g p các gi i h n sau : , , ∞ − ∞,0 × ∞ g i là d ng vô ñ nh . Khi 0 ∞ ñó ta không s d ng ñư c các ñ nh lý v gi i h n và cũng không bi t gi i h n này là bao nhiêu .ð tính ñư c các gi i h n ta ph i kh các d ng vô ñ nh trên . 0 V n ñ 1 : Kh D ng Vô ð nh . 0 f ( x) 0 Phương pháp : Gi s lim có d ng . Ta kh d ng này như sau : x→a g ( x) 0 • Phân tích f(x) = (x-a)f 1 (x) và g(x) = (x-a)g 1 (x) . f ( x) f ( x) • Khi ñó : lim = lim 1 , sau ñó tính bình thư ng . x → a g ( x) x→ a g ( x) 1 Bài T p Bài 1 : Tìm các gi i h n sau : x2 − 4 x2 − 4 x 2 + 4x + 3 6x 2 − 5x + 1 a) lim b) lim 3 c) lim 2 d) lim 2 x→2 x − 2 x→2 x − 8 x → −1 2 x − 5 x − 7 x→ 2 x − 7 x + 3 1 2 Bài 2 : Tìm các gi i h n sau : x3 − 2x + 4 x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 3 − 5 x 2 + 3x + 9 a) lim b) lim c) lim x → −2 x 2 + 2x x→2 x3 − x − 6 x →3 x 4 − 8x 2 − 9 Bài 3: Tìm các gi i h n sau x+3 −2 x− x+2 3 x+6 −2 3 8 x + 11 − x + 7 a) lim b) lim c) lim d) lim x →1 x −1 2 x→2 4x + 1 − 3 x→2 x −1 2 x →3 x 2 − 3x + 2 x +1 + x + 4 − 3 e) lim x →0 x ∞ V n ñ 2: Kh D ng Vô ð nh ∞ f ( x) ∞ Phương pháp : Gi s lim có d ng . Ta kh d ng này như sau : x→ a g ( x ) ∞ • Chia c t và m u cho x k là s h ng có s mũ l n nh t c a t và m u. Bài t p Bài 4 : Tính các gi i h n sau : 2x + 3 2 x 4 + 3x + 6 10 x + 3 2 x 2 + 3 x + 10 a) lim 3 b) lim 3 c) lim d) lim x→∞ x + 4 x + 2 x →∞ x + 4 x + 2 x→∞ 5 x + 2 x→∞ 7 x 2 + 4 x + 2 (2 x + 3)(3 x + 5) 2 e) lim x →∞ x3 + 4x + 2 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 3
V n ñ 3: Kh D ng Vô ð nh ∞ − ∞ Gi s lim f(x) = +∞ và limg(x) = +∞ thì lim[f(x) – g(x)] có d ng ∞ − ∞ ∞ Phương pháp : ðưa d ng ∞ − ∞ v d ng ∞ Bài T p Bài 5 : Tính các gi i h n sau 1 2 a) lim ( x 2 + 1 − x) , b) lim ( x 2 + 1 − x) , c) lim( x 2 − 4 x − x) d) lim( − 2 ) x → +∞ x → −∞ x →∞ x →1 x − 1 x −1 1 3 1 3 e) lim( − ) , f) lim( 2 − 3 ) x →1 x − 1 1 − x3 x →1 x + x − 2 x −1 V n ñ 4: Gi i H n Hàm S Lư ng Giác Phương pháp : S d ng ñ nh lý sau : sin x • ð nh lý : lim =1 . x →0 x sin u ( x) • H qu : N u lim u ( x) = 0 thì lim =1 . x→a x→a u ( x) Bài T p Bài 6 . Tính các gi i h n : sin 2 x sin 5 x sin 2 x 1 − cos 2 x a) lim b) lim c) lim d) lim x →0 x x →0 2x x →0 sin 5 x x →0 x2 sin 2 ( x − 1) sin x − 3 cos x sin πx e) lim( x + 1) 2 , f) lim g) lim x →1 ( x − 1) 2 π sin 3 x x →0 x − 1 x→ 3 T ng H p Phương Pháp Kh Các D ng Vô ð nh A. PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN: Các d ng vô ñ nh: f ( x)  0  1. Gi i h n c a hàm s d ng: lim   x →a g( x)  0  o N u f(x) , g(x) là các hàm ña th c thì có th chia t s , m u s cho (x-a) ho c (x-a)2. o N u f(x) , g(x) là các bi u th c ch a căn thì nhân t và m u cho các bi u th c liên h p. f ( x)  ∞  2. Gi i h n c a hàm s d ng: lim   x →∞ g( x)  ∞  o Chia t và m u cho xk v i k ch n thích h p. Chú ý r ng n u x → +∞ thì coi như x>0, n u x → −∞ thì coi như x
f ( x) − g( x) o ðưa v d ng: lim x →∞ f ( x) + g( x ) B. CÁC VÍ D 2 x 2 − 3 x + 2 ( − 2 ) − 3 ( −2 ) + 2 12 1. lim = = − = −3 x →−2 x−2 ( −2 ) − 2 4 x 2 − 3x + 2 ( x − 2 )( x − 1) = lim x − 1 = 2 − 1 = 1 .Chia t và m u cho (x-2). 2. lim = lim ( ) x →2 x−2 x →2 x −2 x →2 3. lim x +1 − 2 = lim ( x +1 − 2 )( )( x +1 + 2 ) 3x + 3 = lim ( ( x + 1 − 4 ) 3x + 3 ) x →3 3x − 3 x →3 ( 3x − 3 )( )( x +1 + 2 ) 3x + 3 ( x →3 )( 3 x − 32 x +1 + 2 ) ( x − 3 ) ( 3 x + 3) ( 3x + 3) = ( 3.3 + 3) = 6 = 1 = lim = lim 3( x − 3) ( x + 1 + 2 ) x →3 3 ( x + 1 + 2 ) 3 ( 3 + 1 + 2 ) 12 2 x →3  x 2 − 3x + 1 lim  x →3+ x − 3 = +∞ x 2 − 3x + 1  4. lim = ∞ (vì t d n v 1 còn m u d n v 0).C th :  x →3 x −3  lim x − 3 x + 1 = −∞ 2  x →3− x − 3  5. lim 3 2x3 − x2 − 1 = lim ( ( x − 1) 2 x + x + 1 2 ) = lim ( ) 2x2 + x + 1 =∞. x →1 x − 4 x 2 + 5 x − 2 2 x →1 ( x − 1)( x − 2 ) x →1 ( x − 1) ( x − 2 ) 2x2 − x + 3 1 3 2− + 2 2x − x + 3 2 x 2 x x = 2 =2 6. lim = lim = lim x →∞ 2 x +1 x →∞ x +1 2 x →∞ 1 1 1+ 2 x2 x 7. lim x − 1 = 0 + x →1 1 x 1+ x +12 x 2 = lim 1 + 1 = 1 8. lim = lim x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ x2 1 1 x 1+ 2 −x 1 + 2 x +1 x = lim  − 1 + 1  = −1 . 2 9. lim = lim x = lim  x →−∞    x →−∞ x x →−∞ x x →−∞ x  x2   x 2 − x + 3 ( x ≤ 1)  10. Cho hàm s : f ( x ) =  x+a . Tìm a ñ hàm s có gi i h n khi x d n t i 1 và  ( x>1)  x tìm gi i h n ñó. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 5
Gi i x →1−   x →1− ( Ta có : lim  f ( x )  = lim x − x + 3 = 3 . 2 ) x+a lim  f ( x )  = lim +   = a +1 x →1 x →1 x + V y lim  f ( x )  = 3 ⇔ a + 1 = 3 ⇔ a = 2   x →1 x3 − 8 ( ( x − 2) x2 + 2x + 4 ) 0 11. lim x →2 x − 2 = lim x →2 x−2 x →2 ( ) = lim x 2 + 2 x + 4 = 12 . D ng   . 0 x3 + 2x − 1 2 1 1+ 2 − 3 x + 2x − 1 3 x3 x x = 1 . D ng  ∞  . 12. lim = lim = lim ∞ x →∞ 2x3 + 1 x →∞ 2x3 + 1 x →∞ 1 2   3 2+ 3 x x 2 3x 2 − x + 1( )  2  ( 2 3x 2 − x + 1 ) x2 13. lim  3 3 (  3 x − x + 1 = lim 2 ) = lim x →∞  x. x + 1  x →∞ x. 3 x 3 + 1 x →∞ x. 3 x 3 + 1 x2  1 1  2 3 − + 2  x x  6 = lim  = =6 x →∞ 1 1 3 1+ 3 x ( x2 + x + 3 − x )( x2 + x + 3 + x ) = lim x 2 + x + 3 − x2 14. lim x →+∞ ( x2 + x + 3 − x ) = lim x →+∞ x2 + x + 3 + x x →+∞ x2 + x + 3 + x x+3 3 1+ x +3 x x 1 = lim = lim = lim = . D ng ( ∞ − ∞ ) x →+∞ x2 + x + 3 + x x →+∞ x 2 + x + 3 + x x →+∞ 1 + 1 + 3 + 1 2 x x x2 Bài T p Tính ð o Hàm Bài 1: B ng ñ nh nghĩa, hãy tính ñ o hàm c a hàm s : y = 2x − 1 t i x0 = 5  1 Gi i: T p xác ñ nh D =  x : x ≥   2 • V i ∆ x là s gia c a x0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì • ∆ y = 2(5 + ∆x) − 1 - 10 − 1 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 6
• Ta có: ∆y = 9 + 2 ∆x − 9 Khi ñó: y’(5)= lim ∆y = lim ( 9 + 2 ∆x − 3 )( 9 + 2 ∆x + 3 ) ∆x ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ( 9 + 2 ∆x + 3 ) 9 + 2 ∆x − 9 2 1 • = lim = lim = ∆x →0 ∆x ( 9 + 2 ∆x + 3 ) ∆x →0 ( 9 + 2∆x + 3 ) 3 x Bài 2 : Ch ng minh hàm s y= liên t c t i x0 = 0, nhưng không có ñ o hàm t i ñi m ñó. x +1 x ,neáu x ≥ 0 HD: Chú ý ñ nh nghĩa: x =  -x ,neáu x 0) Ta có: lim+ = lim+ = lim+ =1 ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x + 1) ∆x →0 ( ∆x + 1) − x 2 , neáu x ≥ 0 Bài 3: Cho hàm s y = f(x) =  x , neáu x
π b) Tính ñ o hàm c a f(x) t i x = 4 HD:a) Vì lim+ f (x) = lim+ cos x =1 và lim− f (x) = lim− (− sin x) = 0; f(0) = cos0 = 1 x →0 x →0 x →0 x →0 ⇒ lim+ f (x) ≠ lim− f (x) x →0 x →0 ⇒ hàm s không liên t c t i x0 = 0 (hàm s gián ño n t i x0 = 0) Bài 7: Tính ñ o hàm các hàm s sau: 1. y = ( x 2 -3x+3)( x 2 +2x-1); ðs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9 2. y = ( x 3 -3x+2)( x 4 + x 2 -1); ðs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x 2  3. Tìm ñ o hàm c a hàm s : y =  + 3x  x − 1 x  ( ) 2  2   2  2  1  x  ( x  )  x ( ) Gi i: y’ =  + 3x  ' x − 1 +  + 3x  x − 1 ' =  − 2 + 3  x − 1 =  + 3x  x (   2 x  )  2  =  − 2 + 3 x −1 +  x  ( 1 )+ x x 2 x 3x  1  ( 3. y = x + 1   x  ) − 1 4. y= ( 3 x + 2 ) (1 + 3 x 2 + 3x ) 5. y = ( x 2 -1)( x 2 -4)( x 2 -9); ðs: 6*x^5-56*x^3+98*x 6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) 1+ x 7. y = 1 + 2x 1 − 3 2x 8. y = 1 + 3 2x x +1 1 9. y = ; ðs:- x −1 (x + 1)(x − 1)3 1− x2 2x 10. y = ; ðs:- 1+ x 2 (1 − x 2 )(1 + x 2 )3  1− x   1− x  1 11. y = cos  1 + x  ; 2  ðs: sin  2  1+ x     x (1 + x ) 2   12. y = (1+sin2x)4; ðs: (1 + sin 2 x)3 sin 2x 13. y =sin2(cos3x); ðs: -3sin(2cos3x)sin3x sin x − cos x 2 14. y = ; ðs: sin x + cos x (sin x + cos x) 2 sin 3x 15. y = 2 sin x.cos x x 1 − cos x − x sin x 518) y = f(x) = ; y’ = 1 − cos x (1 − cos x ) 2 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 8
tan x x − sin x cos x 519) y = f(x) = ; y’ = x x 2 cos 2 x sin x 1 522) y = f(x) = ; y’ = 1 + cos x 1 + cos x x sin x + cos x + x(sin x − cos x) 523) y = f(x) = ; y’ = sin x + cos x 1 + sin 2x 1 1 526) y = f(x) = tan 4 x ; y’ = tan3x. 4 cos 2 x 1 527) y = f(x) = cosx − cos3 x ; y’ = -sin3x 3 3 528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = sin 2x(2 − sin x) 2 1 529) y = f(x) = tan3x –tanx + x; y’ = tan4x 3 x +1 1 535) y = f(x) = tan ; y’ = 2 x +1 2 cos 2 2 3 2 539) y = f(x) = cos 4x; y’ = -12cos 4x.sin4x  1 x 2 −1 544) y = f(x) = 1 + tan  x +  ; y’ =  x  1  1 2x 2 cos 2  x +  1 + tan  x +   x  x 3 672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = sin2x(cosx-2) 2 2sin 2 x 2sin 2x 682) y = f(x) = ; y’ = cos 2x cos 2 2x x x tan + cot 684) y = f(x) = 2 2 ; y’ = − 2(x cos x + sin x) x x 2 sin 2 x x x 1 x 2x 1 2 x 685) y = f(x) = sin 2 cot ; y’ = cot sin − sin …. 3 2 3 2 3 2 2 tan x(1 + 2 tan 2 x) 689) y = f(x) = 1 + tan 2 x + tan 4 x ; y’ = cos 2 x 1 + tan 2 x + tan 4 x 1 1 694) y = f(x) = sin 6 3x − sin 8 3x ; y’ = sin53xcos33x 18 24 705) ( ) y = f(x) = cosx. 1 + sin x ; y’ = − 2 2 sin 3 x 1 + sin 2 x 2  2x + 1   2x + 1  2x + 1  706) y = f(x) = 0.4  cos − sin 0.8x  ; y’ = -0.8  cos − sin 0.8x   sin + cos 0.8x   2   2  2  1 sin 2x 713) y = f(x) = ; y’ = − 1 + sin x 2 (1 + sin 2 x ) 2 3 721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2) http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 9
2 cos x 2sin x 722) y = f(x) = ; y’ = cos 2x cos 2x cos 2x BÀI T P ð O HÀM B SUNG Bài 1.Tìm ñ o hàm c a hàm s : 1 2 x y= x cot2x Gi i: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = cot2x − 2 x sin 2 2x Bài 2. Tìm ñ o hàm c a hàm s : y = 3sin xcosx+cos2x 2 y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’ = 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx) x Bài 3. Cho hàm s : y = x2 + x +1 Tìm TXð và tính ñ o hàm c a hàm s ? TXð: D = R 2x + 1 x 2 + x + 1 − x. 2 x 2 + x + 1 = 2(x + x + 1) − x(2x + 1) =… 2 y’ = x2 + x +1 ( ) 3 x2 + x +1 Bài 4: Ch ng minh r ng các hàm s sau có ñ o hàm không ph thu c x: a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x; HD: Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x = [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =1 ⇒ y’ = 0 (ñpcm) Cách 2: y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’] = 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x) π  π   2π   2π  2 − x 2 + x 2 − x  +cos2  − x  -2sin2x. b) y = cos  3  +cos  3  +cos  3   3  Bài 5: Cho hàm s y = f(x) = 2cos2(4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x) Bài : Cho hàm s y = f(x) = 3cos2(6x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm t p giá tr c a hàm s f'(x) Bài 6: Ch ng minh r ng các hàm s sau th a mãn phương trình : a) y = 2x − x 2 ; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0 ( ) 2 d) y = x 3 [cos(lnx)+sin(lnx)]; x 2 y"-5xy'+10y = 0. e) y = x + x 2 + 1 ; (1+ x 2 )y"+xy'-4y = 0 Bài 7: Cho hàm s y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. 1/. Tính f’(x) và f”(x), t ñó tính f’(0) và f”( π ). 2/. Gi i phương trình f”(x) = 0. x −1 Bài 8: Cho hàm s y = f(x) = cos2x 2 a) Tính f'(x) b) Gi i phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 10
Bài 9: Gi i phương trình f’(x) = 0 bi t r ng: 60 64 sin 3x  cos 3x  f(x) = 3x+ − 3 +5; b) f(x) = +cosx- 3  sin x +  x x 3  3  Gi i: 60 64.3x 2 60 64.3  20 64  f’(x) = 3 − 2 + 6 == 3 − 2 + 4 == 3 1 − 2 + 4  x x x x  x x   20 64  f’(x) = 0 ⇔ 1 − 2 + 4  = 0 ⇔ x4-20x2+64 = 0 (x ≠ 0) ⇔ … {±2; ±4}  x x  Phương Trình Lư ng Giác A. CÁC CÔNG TH C C N NH 1. Công th c cơ b n 1 ≤ sin x ≤ 1 1 ≤ cos x ≤ 1 sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα; tan(α +kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα * Hàm s y = sin x có TXð: D = ¡ ; TGT: [ −1;1] ; Tu n hoàn v i chu kì: T = 2π là hàm s l * Hàm s y = cos x có TXð: D = ¡ ; TGT: [ −1;1] ; Tu n hoàn v i chu kì: T = 2π ; là hàm s ch n π  * Hàm s y = tan x có TXð: D = ¡ \  + kπ ; k ∈ ¢  ; 2  TGT: ¡ ; Tu n hoàn v i chu kì: T = π ; là hàm s l * Hàm s y = cos x có TXð: D = ¡ \ {kπ ; k ∈ ¢ } ; TGT: ¡ ; Tu n hoàn v i chu kì: T = π ; là hàm s l Giá tr lư ng giác c a các cung ñ c bi t: Góc 0 ( 0o ) π 30o π 45o π 60o π 90o ( ) 4( ) 3( ) 2( ) 2π (120o ) 34 (135o ) 56 (150o π (180 ) π π o 6 3 Hàm 1 2 3 3 2 1 sin α 0 2 1 2 0 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 cos α 1 0 − − − -1 2 2 2 2 2 2 1 3 − 3 − 1 tan α 0 1  -1 0 3 3 3 1 − 1 − 3 cot α  1 0 -1  3 3 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 11
2. Các h ng ñ ng th c lư ng giác cơ b n sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α .cot α = 1 1 1 = 1 + tan 2 α = 1 + cot 2 α cos α 2 sin α 2 3. Các công th c có liên quan ñ c bi t a. Cung ñ i nhau sin(-α) = - sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = - tanα cot(-α) = -cotα b. Cung bù nhau sin(π - α) = sinα cos(π - α) = - cosα tan(π - α) = - tanα cot(π - α) = - cotα c. Cung ph nhau π  π  sin  − α  = cos α cos  − α  = sin α 2  2  π  π  tan  − α  = cot α cot  − α  = tan α 2  2  d. Cung hơn kém π sin (π + α ) = − sin α cos (π + α ) = − cos α tan (π + α ) = tan α cot (π + α ) = cot α π e. Cung hơn kém 2 π  π  sin  + α  = cos α cos  + α  = − sin α 2  2  π  π  tan  + α  = − cot α cot  + α  = − tan α 2  2  3. Công th c c ng cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b 4. Công th c nhân ñôi sin 2 x = 2sin x cos x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x 2 tan x tan 2 x = 1 − tan 2 x 5. Công th c h b c 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x = cos 2 x = 2 2 6. Công th c nhân ba sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x cos 3 x = 4 cos x − 3cos x 3 tan 3 x = ( 3 − tan 2 x ) tan x 1 − 3 tan 2 x 7. Công th c bi n ñ i tích thành t ng http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 12
1 cos x.cos y = cos ( x − y ) + cos ( x + y )  2  1 sin x.sin y = cos ( x − y ) − cos ( x + y )  2  1 sin x.cos y = sin ( x − y ) + sin ( x + y )  2  8. Công th c bi n ñ i t ng thành tích x+ y x− y sin ( x + y ) cos x + cos y = 2 cos .cos tan x + tan y = 2 2 cos x cos y x+ y x− y sin ( x − y ) cos x − cos y = −2sin .sin tan x − tan y = 2 2 cos x cos y x+ y x− y sin ( x − y ) sin x + sin y = 2sin .cos cot x + co t y = 2 2 sin x sin y x+ y x− y sin ( y − x ) sin x − sin y = 2 cos .sin cot x − co t y = 2 2 sin x sin y 9. Công th c rút g n: asin x + bcos x a sin x + b cos x = a 2 + b 2 .sin ( x + α ) = a 2 + b 2 .cos ( x − α ) a sin x − b cos x = a 2 + b 2 .sin ( x − α ) = − a 2 + b 2 .cos ( x + α ) ð c bi t:  π  π sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −   4  4  π  π sin x − cos x = 2 sin  x −  = − 2 cos  x +   4  4 M r ng: 2 cot x + tan x = cot x − tan x = 2 cot 2 x sin 2 x α 10. Công th c tình sin α; cosα; tan α theo tan 2 α ð t t = tan ta có: 2 2t 1− t2 2t sin α = cos α = tan α = 1+ t2 1+ t2 1− t2 B PH N BÀI T P I. HÀM S LƯ NG GIÁC: Các d ng bài t p cơ b n 1. D ng 1: Tìm TXð c a hàm s lư ng giác * Phương pháp gi i: S d ng tính ch t: http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 13
- Các hàm s y = sin x, y = cos x xác ñ nh v i m i x ∈ ¡ π - Hàm s : y = tan x xác ñ nh v i m i x ≠ + kπ , k ∈ ¢ 2 - Hàm s : y = cot x xác ñ nh v i m i x ≠ kπ , k ∈ ¢ 1 Ví d : Tìm TXð c a hàm s : y =  π sin  x −   4 L i gi i:  π π π Hàm s có nghĩa ⇔ sin  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ kπ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢  4 4 4 π  V y TXð c a hàm s là: D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  4  sin x + cos x Ví d 2: Tìm TXð c a hàm s : y = cot x − 1 L i gi i:  x ≠ kπ  x ≠ kπ  Hàm s xác ñ nh khi:  ⇔ π ,k ∈¢ cot x ≠ 1  x ≠ + kπ  4  π  V y TXð c a hàm s là: D = ¡ \  x | x = + kπ v x = kπ , k ∈ ¢   4  Bài 1: Tìm t p xác ñ nh c a các hàm s sau: 1 x 2x 1) y = 2) y = tan 3) y = sin 2 cos x − 1 2 x−2 1 4) y = cot 2 x 5) y = cos 2 6) y = cos x + 1 x −1 2.D ng 2: Xét tính ch n l c a hàm s y = f ( x ) : ð nh nghĩa: Cho hàm s y = f ( x ) có TXD là: D ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D (D l tËp ®èi xøng)  * Hàm s f ( x ) ch n ⇔  f ( -x ) = f ( x )  ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D (D l tËp ®èi xøng)  * Hàm s f ( x) l ⇔  f ( -x ) = − f ( x )  * Phương pháp gi i: Bư c 1: Tìm TXð D c a hàm s N u D không là t p ñ i x ng thì ta k t lu n ngay hàm s y = f ( x ) không ch n, không l . N u D là t p ñ i x ng ta th c hi n ti p bư c 2: Bư c 2: V i m i x ∈ D , n u N u f ( − x ) = f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm ch n. N u f ( − x ) = − f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm l . N u f ( − x ) ≠ ± f ( x ) thì hàm s y = f ( x ) là hàm không ch n, không l . Lưu ý tính ch t: http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 14
* ∀x ∈ ¡ : sin ( − x ) = − sin x * ∀x ∈ ¡ : cos ( − x ) = cos x π  * ∀x ∈ ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  : tan ( − x ) = − tan x 2  * ∀x ∈ ¡ \ {kπ , k ∈ ¢ } : cot ( − x ) = − cot x Ví d : Xét tính ch n l c a hàm s : y = sin 3 x L i gi i: TXð: D = ¡ là t p ñ i x ng ∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡ Ta có: f ( − x ) = sin 3 ( − x ) = sin ( −3 x ) = − sin 3 x = − f ( x ) V y hàm s là hàm s l . Bài 2: Xét tính ch n, l c a các hàm s sau: 1) y = sin 2 x 2) y = cos 3 x 3) y = tan 2 x 4) y = x sin x 5) y = 1 − cos x 6) y = x − sin x 3. D ng 3: Tìm chu kì c a hàm s lư ng giác: * Phương pháp gi i: Khi tìm chu kì c a hàm s lư ng giác, ta c n bi n ñ i bi u th c c a hàm s ñã cho v m t bi u th c t i gi n và lưu ý r ng: 1) Hàm s y = sin x, y = cos x có chu kì T = 2π 2) Hàm s y = tan x, y = cot x có chu kì T = π . 2π 3) Hàm s y = sin ( ax + b ) , y = cos ( ax + b ) v i a ≠ 0 có chu kì T = a π 4) Hàm s y = tan ( ax + b ) , y = cot ( ax + b ) v i a ≠ 0 có chu kì T = a 5) Hàm s f1 có chu kì T1 , hàm s f 2 có chu kì T2 thì hàm s f = f1 + f 2 có chu kì T = BCNN (T1 , T2 ) 3 1 Ví d : Tìm chu kì c a hàm s y= + cos 2 x 2 2 L i gi i 3 1 2π Hàm s y= + cos 2 x có chu kì là T = =π 2 2 2 Bài 3: Tìm chu kì c a các hàm s sau: 1) y = 2 cos 2 x 2) y = sin 2 x + 2 cos 3 x * D ng 4: Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s : Phương pháp: D a vào TGT c a các hàm s lư ng giác Chú ý: * Hàm s y = sin x, y = cos x có TGT là: [ −1;1] * Hàm s y = tan x, y = cot x có TGT là: ¡ Ví d : Tìm GTLN, GTNN c a hàm s : y = 3 − 1 − cos x L i gi i: Ta có −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 − cos x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 1 − cos x ≤ 2 ⇒ 0 ≥ − 1 − cos x ≥ − 2 3 ≥ 3 − 1 − cos x ≥ 3 − 2 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 15
V y Maxy = 3 ñ t ñư c ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ Bài 4: Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s :  π 1) y = 3 − 2 sin x 2) y = cos x + cos  x −   3 3) y = cos x + 2 cos 2 x 2 3) y = 2 cos x + 1 5) y = 2 − sin x II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1. Phương trình lư ng giác cơ b n  x = arcsin a + k 2π * D ng 1: sin x = a ( a ≤ 1) nghi m t ng quát:  ;k ∈¢  x = π − arcsin a + k 2π  x = α + k 2π ð c bi t: sin x = sin α ⇔  ;k ∈¢  x = π − α + k 2π  f ( x ) = g ( x ) + k 2π T ng quát: sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔  ;k ∈¢  f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π  * D ng 2: cos x = a ( a ≤ 1) nghi m t ng quát: x = ± arccos a + k 2π ; k ∈ ¢ ð c bi t: cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π ; k ∈ ¢ T ng quát: cos f ( x ) = cos g ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ; k ∈ ¢  π  * D ng 3: tan x = a  x ≠ + kπ ; k ∈ ¢  nghi m t ng quát: x = α + kπ ; k ∈ ¢  2  ð c bi t: tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ¢ T ng quát: tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ; k ∈ ¢ * D ng 4: cot x = a ( x ≠ kπ ; k ∈ ¢ ) nghi m t ng quát: x = α + kπ ; k ∈ ¢ ð c bi t: cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ¢ T ng quát: cot f ( x ) = cot g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ; k ∈ ¢ Ví d minh ho : Gi i các phương trình sau: 1  π  π 1) cos 2 x = 2) sin 3 x = cos 2 x 3) cos  2 x −  + sin  x +  = 0 2  4  4 π  1 4) tan 3 x = cot x 5) cot  − x  = 6) cos x = 3 sin x 4  3 L i gi i  π  π 1 π  2 x = 3 + k 2π  x = 6 + kπ 1) Ta có cos 2 x = ⇔ cos 2 x = cos ⇔  ⇔ ,k ∈¢ 2 3  2 x = − π + k 2π  x = − π + kπ   3   6 V y phương trình có hai h nghi m. 2) Ta có:  π  3 x = − 2 x + k 2π π  2 sin 3 x = cos 2 x ⇔ sin 3 x = sin  − 2 x  ⇔  2  3 x = π −  π − 2 x  + k 2π     2  http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 16
 π k 2π  x= + 10 5 ⇔ ,k ∈¢  x = π + k 2π   2 3) Ta có:  π  π  π  π cos  2 x −  + sin  x +  = 0 ⇔ cos  2 x −  = − sin  x +   4  4  4  4  π 3π  2 x − 4 = x + 4 + k 2π  x = π + k 2π  π  π π ⇔ cos  2 x −  = cos  x + +  ⇔  ⇔ π k 2π , k ∈ ¢  4  4 2 π 2 x − = − x − 3π x = − + + k 2π  6 3   4 4  π  π kπ cos 3 x ≠ 0 3 x ≠ + kπ x ≠ + 4) ði u ki n:  ⇔ 2 ⇔ 6 3 ,k ∈¢ sin x ≠ 0   x ≠ kπ  x ≠ kπ  Ta có: π  π π kπ tan 3 x = cot x ⇔ tan 3 x = tan  − x  ⇔ 3 x = − x + kπ ⇔ x = + ,k ∈¢ 2  2 8 4 Ta th y nghi m trên tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có m t h nghi m. π  π π 5) ði u ki n: sin  − x  ≠ 0 ⇔ − x ≠ kπ ⇔ x ≠ − kπ , k ∈ ¢ (*) 4  4 4 Ta có: π  1 π  π π π π cot  − x  = ⇔ cot  − x  = cot ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − − kπ , k ∈ ¢ tho mãn ñi u 4  3 4  3 4 3 12 ki n (*). V y phương trình có m t h nghi m. 6) Ta có: π π cos x = 3 sin x ⇔ cot x = 3 = cot ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢ 6 6 V y phương trình có m t h nghi m Bài t p tương t : gi i các phương trình sau:  π  π 1) 2 cos 2 x − 1 = 0 2) sin x = cos 3 x 3) cos  x +  + sin  3 x +  = 0  3  4  π π  4) tan 2 x = cot  x +  5) sin x = 3 cos x 6) tan 2  − 2 x  − 3 = 0  4 3  2. Phương trình b c hai ñ i v i m t hàm s lư ng giác. * ð nh nghĩa: Là phương trình có d ng at 2 + bt + c = 0 ( a ≠ 0 ) trong ñó t là m t trong b n hàm s lư ng giác: sin x, cos x, tan x, cot x * Cách gi i: Bư c 1: ð t t b ng hàm s lư ng giác có trong phương trình; Bư c 2: ð t ñi u ki n v i n ph t; Bư c 3: Gi i phương trình tìm t (tho mãn ñi u ki n); Bư c 4: V i m i t tho mãn ta có phương trình lư ng giác cơ b n ⇒ nghi m x http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 17
Ví d minh ho : Gi i các phương trình sau: 1) 2 cos 2 x − 5 cos x + 3 = 0 2) 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0 3 3) 3 cot 2 x − 4 cot x + 3 = 0 4) − 4 tan x − 2 = 0 cos 2 x L i gi i 1) ð t t = cos x , ñi u ki n: t ≤ 1 t = 1 Ta có phương trình tr thành: 2t − 5t + 3 = 0 ⇔  3 2 t = > 1 (lo¹i)  2 V y t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ Phương trình có m t h nghi m 2) Ta có: 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ 1 − 5sin x + 2 (1 − sin 2 x ) = 0 ⇔ 2 sin 2 x + 5sin x − 3 = 0  π sin x = −3 (lo¹i) 1  x = 6 + k 2π ⇔ ⇔ sin x = ⇔  ,k ∈¢ sin x = 1 2  x = 5π + k 2π  2   6 (Chú ý: ta có th không c n ñ t n ph mà coi hàm s lư ng giác như là m t n như ví d này) 3) ði u ki n: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢ ð t cot x = t , khi ñó phương trình tr thành: t = 3 cot x = 3  π    x = 6 + kπ 3t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔  1 ⇔ 1 ⇔ ,k ∈¢  t=  cot x =  x = π + kπ  3  3   3 Ta th y hai h nghi m ñ u tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có hai h nghi m π 4) ði u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ¢ 2 Ta có: − 4 tan x − 2 = 0 ⇔ 3 (1 + tan 2 x ) − 4 tan x − 2 = 0 ⇔ 3 tan 2 x − 4 tan x + 1 = 0 3 cos 2 x  π  tan x = 1  π  x = 4 + kπ tan x = tan ⇔ 1⇔ 4 ⇔ ,k ∈¢  tan x =   x = α + kπ (tan α = 1 )  3  tan x = tan α   3 Ta th y c hai h nghi m ñ u tho mãn ñi u ki n. V y phương trình có 2 h nghi m. Bài 1: Gi i các phương trình sau 1) cos 2 x + sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0 2) cos 2 x + 5sin x + 2 = 0 Bài 2: (Các phương trình ñưa v phương trình b c nh t, b c hai). Gi i các phương trình 1) cos x cos 2 x = 1 + sin x sin 2 x 2) 4 sin x cos x cos 2 x = −1 3) sin 7 x − sin 3 x = cos 5 x 4) cos 2 x − sin 2 x = sin 3 x + cos 4 x 3x 1 5) cos 2 x − cos x = 2sin 2 6) sin x sin 2 x sin 3 x = sin 4 x 2 4 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 18
1 7) sin 4 x + cos 4 x = − cos 2 2 x 8) 3cos 2 x − 2 sin x + 2 = 0 2 9) sin 6 x + cos 6 x = 4 cos 2 2 x 10) 2 tan x − 3cot x − 2 = 0 11) cos 3 x + cos 2 x + cos x = sin 3 x + sin 2 x + sin x 3. Phương trình b c nh t ñ i v i sin x và cos x: * D ng phương trình: a sin x + b cos x = c (a, b, c ≠ 0) (*) * Cách gi i: Cách 1: Chia hai v c a phương trình cho a 2 + b 2 ta ñư c phương trình: a b c sin x + cos x = (**) a +b 2 2 a +b 2 2 a + b2 2 2 2  a   b  Vì:   + 2  =1  a +b   a +b  2 2 2  a  2 = cos α  a + b2 Nên ta ñ t   b = sin α  a + b2  2 c Khi ñó phương trình (**) tr thành: sin x cos α + cos x sin α = a 2 + b2 c ⇔ sin ( x + α ) = là phương trình lư ng giác cơ b n ñã bi t cách gi i! a + b2 2 Chú ý: ði u ki n ñ phương trình có nghi m là: a 2 + b 2 ≥ c 2 b Cách 2: Chia hai v cho a và ñ t tan α = (T làm) a x Cách 3: S d ng công th c tính sin x, cos x theo t = tan (t làm) 2 Ví d : Gi i các phương trình sau: 1) sin x + 3 cos x = 1 2) 5cos 2 x − 12sin 2 x = 13 L i gi i: ( 3) 2 1) Ta có: a 2 + b 2 = 12 + = 2 . Chia hai v c a phương trình cho 2 ta ñư c phương trình: 1 3 1 π π 1  π π sin x + cos x = ⇔ sin x cos + cos x sin = ⇔ sin  x +  = sin 2 2 2 3 3 2  3 6  π π  π  x + 3 = 6 + k 2π  x = − 6 + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈¢  x + π = π − π + k 2π  x = π + k 2π   3 6   2 V y phương trình có hai h nghi m. 2) Ta có: 5cos 2 x − 12sin 2 x = 13 ⇔ −12sin 2 x + 5cos 2 x = 13 http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 19
( −12 ) 2 Có: a2 + b2 = + 52 = 169 = 13 . Chia hai v phương trình cho 13 ta ñư c phương trình : 12 5 − sin x + cos x = 1 13 13 2 2  12   5  12 5 Vì  −  +   = 1 . ð t − = cos α ; = sin α ta ñư c phương trình:  13   13  13 13 π sin x cos α + cos x sin α = 1 ⇔ sin ( x + α ) = 1 ⇔ x + α = + k 2π 2 π ⇔x= − α + k 2π , k ∈ ¢ 2 V y phương trình có m t h nghi m. Bài t p t gi i: Gi i các phương trình sau: 1) 3sin x − 4 cos x = 1 2) 2sin x − 2 cos x = 2 3) 3sin x + 4 cos x = 5 4) 3 sin 3 x + cos 3 x = 2 4. Phương trình thu n nh t ñ i v i sin x và cos x: * D ng phương trình: a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = 0 (*) * Cách gi i: Cách 1: π Bư c 1: Nh n xét cos x = 0 hay x = + kπ , k ∈ ¢ không là nghi m c a phương trình; 2 Bư c 2: Chia c hai v c a phương trình cho cos 2 x ≠ 0 ta ñư c phương trình” a tan 2 x + b tan x + c = 0 Bư c 3: Gi i phương trình ta ñư c nghi m c a phương trình ñã cho. Cách 2: Dùng công th c h b c ñưa v phương trình trình b c nh t ñ i v i sin 2x và cos 2x. (H c sinh t gi i cách này) Chú ý: N u phương trình có d ng t ng quát: a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = d (d ≠ 0) (**) Ta bi n ñ i như sau: (**) ⇔ a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x = d (sin 2 x + cos 2 x) ⇔ ( a − d ) sin 2 x + b sin x cos x + ( c − d ) cos 2 x = 0 . ðây là phương trình có d ng (*) Ví d : Gi i các phương trình: 1) 2 sin 2 x − 5sin x cos x + 3cos 2 x = 0 2) 2 sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x = −2 L i gi i 1) 2 sin 2 x − 5sin x cos x + 3cos 2 x = 0 Vt = 2 Nh n xét: n u cos x = 0 ⇒  ⇒ cos x = 0 không tho mãn phương trình . Vp = 0 Chia c hai v cho cos 2 x ≠ 0 ta ñư c phương trình:  π  tan x = 1  x = 4 + kπ 2 tan 2 x − 5 tan x + 3 = 0 ⇔  ⇔ ,k ∈¢  tan x = 3  x = arctan 3 + kπ  2   2 V y phương trình có hai h nghi m. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 20