Ôn tập lượng giác
lượt xem 269
download
Tài liệu ôn tập tham khảo phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác nhằm củng cố nâng cao kiến thức môn toán giúp các bạn tự tin khi giải bài toán về lượng giác. Chúc các bạn may mắn trong kỳ thi tôt nghiệp trung học phổ thông và đại học sắp tới!!!
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Ôn tập lượng giác
- LƯỢNG GIÁC CHÖÔNG III: PHÖÔNG TRÌNH BAÄ C HAI VÔÙ I CAÙ C HAØ M SOÁ LÖÔÏ N G GIAÙ C a sin2 u + b sin u + c = 0 ( a ≠ 0) a cos2 u + b cos u + c = 0 ( a ≠ 0) atg 2 u + btgu = c = 0 ( a ≠ 0) a cot g 2 u + b cot gu + c = 0 ( a ≠ 0) Caù c h giaû i: Ñaët : t = sin u hay t = cos u vôù i t ≤ 1 π t = tgu (ñieà u kieä n u ≠ + kπ ) 2 t = cot gu (ñieà u kieä n u ≠ kπ ) Caù c phöông trình treâ n thaø n h: at 2 + bt + c = 0 Giaû i phöông trình tìm ñöôïc t, so vôù i ñieà u kieä n ñeå nhaä n nghieä m t. Töø ñoù giaû i phöông trình löôï n g giaù c cô baû n tìm ñöôï c u. Baø i 56: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2002) Tìm caù c nghieä m treâ n ( 0, 2π ) cuû a phöông trình ⎛ cos 3x + sin 3x ⎞ 5 ⎜ sin x + ⎟ = 3 + cos 2x ( * ) ⎝ 1 + 2 sin 2x ⎠ 1 Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ − 2 ( ) ( Ta coù : sin 3x + cos 3x = 3sin x − 4 sin 3 x + 4 cos3 x − 3 cos x ) ( = −3 ( cos x − sin x ) + 4 cos3 x − sin3 x ) ( = ( cos x − sin x ) ⎡ −3 + 4 cos2 x + cos x sin x + sin 2 x ⎤ ⎣ ⎦ ) = ( cos x − sin x )(1 + 2 sin 2x ) ( Luù c ñoù : (*) ⇔ 5 ⎡sin x + ( cos x − sin x ) ⎤ = 3 + 2 cos2 x − 1 ⎣ ⎦ ) ⎛ 1⎞ ⎜ do sin 2x ≠ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⇔ 2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0
- ⎡ 1 cos x = ⇔⎢ 2 ⎢ ⎢cos x = 2 ( loaïi ) ⎣ π 3 1 ⇔ x = ± + k2π (nhaä n do sin 2x = ± ≠− ) 3 2 2 π 5π Do x ∈ ( 0, 2π ) neâ n x = ∨ x = 3 3 Baø i 57: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoái A, naê m 2005) Giaû i phöông trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 ( *) 1 + cos 6x 1 + cos 2x Ta coù : (*) ⇔ .cos 2x − =0 2 2 ⇔ cos 6x.cos 2x − 1 = 0 (**) ( ) Caù c h 1: (**) ⇔ 4 cos3 2x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0 ⇔ 4 cos4 2x − 3 cos2 2x − 1 = 0 ⎡cos2 2x = 1 ⇔⎢ 2 ⎢cos 2x = − 1 ( voâ nghieäm ) ⎢ ⎣ 4 ⇔ sin 2x = 0 kπ ⇔ 2x = kπ ⇔ x = ( k ∈ Z) 2 1 Caù c h 2: (**) ⇔ ( cos 8x + cos 4x ) − 1 = 0 2 ⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0 ⎡cos 4x = 1 ⇔⎢ ⎢cos 4x = − 3 ( loaïi ) ⎣ 2 kπ ⇔ 4x = k2π ⇔ x = ( k ∈ Z) 2 Caù c h 3: phöông trình löôï n g giaù c khoâ n g maã u möï c : ⎡cos 6x = cos 2x = 1 (**) ⇔ ⎢ ⎣cos 6x = cos 2x = −1 Caù c h 4: cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ cos 8x + cos 4x = 2 ⇔ cos 8x = cos 4x = 1 ⇔ cos 4x = 1 Baø i 58: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoái D, naê m 2005) ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 3 Giaû i phöông trình: cos4 x + sin 4 x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 0 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2
- Ta coù : (*) 1⎡ π⎞ ⎤ 3 ( ) 2 ⎛ ⇔ sin2 x + cos2 x − 2 sin2 x cos2 x + ⎢sin ⎜ 4x − 2 ⎟ + sin 2x ⎥ − 2 = 0 2⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 1 1 3 ⇔ 1 − sin2 2x + [ − cos 4x + sin 2x ] − = 0 2 2 2 1 1 1 1 2 2 ( 2 ) ⇔ − sin2 2x − 1 − 2 sin2 2x + sin 2x − = 0 2 2 ⇔ sin 2x + sin 2x − 2 = 0 ⎡sin 2x = 1 ⇔⎢ ⎣sin 2x = −2 ( loaïi ) π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 Baø i 59: (Ñeà th i tuyeån sinh Ñaï i ho ï c khoá i B, naê m 2004) Giaû i phöông trình: 5 sin x − 2 = 3 (1 − sinx ) tg 2 x ( *) Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 sin2 x Khi ñoù: (*) ⇔ 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) cos2 x sin2 x ⇔ 5sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) 1 − sin2 x 3sin2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 1 + sin x 2 ⇔ 2 sin x + 3sin x − 2 = 0 ⎡ 1 ⇔ ⎢sin x = 2 ( nhaän do sin x ≠ ±1) ⎢ ⎢sin x = −2 ( voâ nghieäm ) ⎣ π 5π ⇔x= + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z) 6 6 1 1 Baø i 60: Giaûi phöông trình: 2 sin 3x − = 2 cos 3x + ( *) sin x cos x Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 1 1 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 ( sin 3x − cos 3x ) = + sin x cos x
- 1 1 ⎣ ( ) ⇔ 2 ⎡3 ( sin x + cos x ) − 4 sin3 x + cos3 x ⎤ = + ⎦ sin x cos x sin x + cos x ⎣ ( ) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) ⎡3 − 4 sin2 x − sin x cos x + cos2 x ⎤ = ⎦ sin x cos x ⎡ 1 ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢ −2 + 8 sin x cos x − =0 ⎣ sin x cos x ⎥ ⎦ ⎡ 2 ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢4 sin 2x − − 2⎥ = 0 ⎣ sin 2x ⎦ ⎡sin x + cos x = 0 ⎡ tgx = −1 ⇔⎢ 2 ⇔⎢ ⎢sin 2x = 1 ∨ sin 2x = −1 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) ⎣4 sin 2x − 2sin 2x − 2 = 0 ⎣ 2 π π π 7π ⇔x=− + kπ ∨ 2x = + k2π ∨ 2x = − + k2π ∨ 2x = + k2π, k ∈ 4 2 6 6 π π 7π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ 4 12 12 Baø i 61: Giaûi phöông trình: ( ) cos x 2 sin x + 3 2 − 2 cos2 x − 1 =1 ( *) 1 + sin 2x π Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + mπ 4 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 sin x cos x + 3 2 cos x − 2 cos2 x − 1 = 1 + sin 2x ⇔ 2 cos2 x − 3 2 cos x + 2 = 0 2 ⇔ cos x = hay cos x = 2 ( voâ nghieäm ) 2 ⎡ π ⎢ x = 4 + k2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k '2π ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎢ ⎣ 4 π ⇔ x = + k2π 4 Baø i 62: Giaûi phöông trình: x 3x x 3x 1 cos x.cos .cos − sin x sin sin = ( *) 2 2 2 2 2 1 1 1 Ta coù : (*) ⇔ cos x ( cos 2x + cos x ) + sin x ( cos 2x − cos x ) = 2 2 2 2 ⇔ cos x.cos 2x + cos x + sin x cos 2x − sin x cos x = 1 ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = 1 − cos2 x + sin x cos x ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = sin x ( sin x + cos x )
- ⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − sin x ) = 0 ( * * ) ( ) ⇔ ( cos x + sin x ) 1 − 2 sin 2 x − sin x = 0 ⎡ cos x = − sin x ⇔⎢ 2 ⎣ 2 sin x + sin x − 1 = 0 ⎡ π ⎡ ⎢ x = − 4 + kπ ⎢ tgx = −1 ⎢ ⎢ π ⇔ ⎢sin x = −1 ⇔ ⎢ x = − + k2π ( k ∈ Z) ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢ ⎢sin x = ⎣ 2 ⎢ x = π + k2π ∨ x = 5π + k2π ⎢ ⎣ 6 6 ⎛π ⎞ Caù c h khaù c: (**) ⇔ tgx = −1 ∨ cos 2x = sin x = cos ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠ Baø i 63: Giaûi phöông trình: 4 cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x ( *) Ta coù : (*) ⇔ 4 cos3 x + 6 2 sin x cos x − 8 cos x = 0 ( ⇔ cos x 2 cos2 x + 3 2 sin x − 4 = 0 ) ( ) ⇔ cos x ⎡ 2 1 − sin 2 x + 3 2 sin x − 4 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ 2 ⇔ cos x = 0 ∨ 2 sin x − 3 2 sin x + 2 = 0 ⎡cos x = 0 ⎢ 2 ⇔ ⎢sin x = ⎢ 2 ⎢ ⎢sin x = 2 ( voâ nghieäm ) ⎣ π 2 π ⇔x= + kπ ∨ sin x = = sin 2 2 4 π π 3π ⇔ x = + kπ ∨ x = + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z ) 2 4 4 Baø i 64 : Giaûi phöông trình: ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ cos ⎜ 2x + ⎟ + cos ⎜ 2x − ⎟ + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x ) ( *) ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ π (*) ⇔ 2 cos 2x.cos + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x ) 4 ⇔ ( ) ( ) 2 1 − 2 sin2 x + 4 + 2 sin x − 2 − 2 = 0 ( ) ⇔ 2 2 sin2 x − 4 + 2 sin x + 2 = 0
- ⎡sin x = 2 ( loaïi ) ( ) ⇔ 2 sin x − 2 2 + 1 sin x + 2 = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎢sin x = 1 ⎢ ⎣ 2 π 5π ⇔ x = + k2π hay x = + k2π, k ∈ 6 6 ( ) Baø i 65 : Giaû i phöông trình : 3 cot g 2 x + 2 2 sin 2 x = 2 + 3 2 cos x ( * ) Ñieà u kieä n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ±1 Chia hai veá (*) cho sin 2 x ta ñöôï c : cos2 x cos x (*) ⇔ 3 sin x 4 +2 2 = 2+3 2 ( ) sin2 x vaø sin x ≠ 0 cos x Ñaët t = ta ñöôï c phöông trình: sin 2 x ( ) 3t 2 − 2 + 3 2 t + 2 2 = 0 2 ⇔t= 2∨t= 3 2 cos x 2 * Vôù i t = ta coù : 2 = 3 sin x 3 ( ⇔ 3 cos x = 2 1 − cos2 x ) ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0 ⎡cos x = −2 ( loaïi ) ⇔⎢ ⎢cos x = 1 ( nhaän do cos x ≠ ±1) ⎢ ⎣ 2 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 cos x * Vôù i t = 2 ta coù : = 2 sin2 x ( ⇔ cos x = 2 1 − cos2 x ) ⇔ 2 cos2 x + cos x − 2 = 0 ⎡cos x = − 2 ( loaïi ) ⎢ ⇔⎢ 2 ⎢cos x = ( nhaän do cos x ≠ ±1) ⎣ 2 π ⇔ x = ± + k2π, k ∈ 4 4 sin2 2x + 6 sin 2 x − 9 − 3 cos 2x Baø i 66 : Giaûi phöông trình: = 0 ( *) cos x
- Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 Luù c ñoù : (*) ⇔ 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x = 0 ( ) ⇔ 4 1 − cos2 2x + 3 (1 − cos 2x ) − 9 − 3 cos 2x = 0 ⇔ 4 cos2 2x + 6 cos 2x + 2 = 0 1 ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = − 2 1 ⇔ 2 cos2 x − 1 = −1 ∨ 2 cos2 x − 1 = − 2 ⎡cos x = 0 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⇔⎢⎢cos x = ± 1 nhaän do cos x ≠ 0 ⎢ ( ) ⎣ 2 π 2π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 3 1 2 Baø i 67: Cho f ( x ) = sin x + sin 3x + sin 5x 3 5 Giaû i phöông trình: f ' ( x ) = 0 Ta coù : f '(x) = 0 ⇔ cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0 ⇔ ( cos x + cos 5x ) + ( cos 3x + cos 5x ) = 0 ⇔ 2 cos 3x cos 2x + 2 cos 4x cos x = 0 ( ) ( ) ⇔ 4 cos3 x − 3 cos x cos 2x + 2 cos2 2x − 1 cos x = 0 ( ) ⇔ ⎡ 4 cos2 x − 3 cos 2x + 2 cos2 2x − 1⎤ cos x = 0 ⎣ ⎦ ⎡ ⎡ 2 (1 + cos 2x ) − 3⎤ cos 2x + 2 cos2 2x − 1 = 0 ⇔ ⎢⎣ ⎦ ⎢cos x = 0 ⎣ ⎡4 cos2 2x − cos 2x − 1 = 0 ⇔⎢ ⎣cos x = 0 1 ± 17 ⇔ cos 2x = ∨ cos x = 0 8 1 + 17 1 − 17 ⇔ cos 2x = = cos α ∨ cos 2x = = cos β ∨ cos x = 0 8 8 α β π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z ) 2 2 2
- 17 Baø i 68: Giaûi phöông trình: sin8 x + cos8 x = cos2 2x ( *) 16 Ta coù : ( ) 2 sin 8 x + cos8 x = sin4 x + cos4 x − 2 sin 4 x cos4 x 2 1 ( ) 2 = ⎡ sin 2 x + cos2 x ⎢ − 2 sin 2 x cos2 x ⎤ − sin4 2x ⎥ ⎣ ⎦ 8 2 ⎛ 1 ⎞ 1 = ⎜ 1 − sin2 2x ⎟ − sin 4 2x ⎝ 2 ⎠ 8 1 = 1 − sin2 2x + sin4 2x 8 Do ñoù : 1 ( *) ⇔ 16 ⎛ 1 − sin2 2x + ⎜ ⎝ 8 ⎞ ( sin4 2x ⎟ = 17 1 − sin2 2x ⎠ ) ⇔ 2 sin4 2x + sin2 2x − 1 = 0 ⎡sin2 2x = −1 ( loaïi ) 1 1 ⇔⎢ ⎢sin2 2x = 1 ⇔ (1 − cos 4x ) = 2 2 ⎢ ⎣ 2 π ⇔ cos 4x = 0 ⇔ x = ( 2k + 1) , ( k ∈ Z ) 8 5x x Baø i 69 : Giaûi phöông trình: sin = 5 cos3 x.sin ( *) 2 2 x Nhaän xeù t thaáy : cos = 0 ⇔ x = π + k2π ⇔ cos x = −1 2 Thay vaø o (*) ta ñöôï c : ⎛ 5π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ + 5kπ ⎟ = − 5. sin ⎜ + kπ ⎟ , khoâ n g thoû a ∀k ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ x Do cos khoâ n g laø nghieä m cuû a (*) neâ n : 2 5x x x x x ( *) ⇔ sin . cos = 5 cos2 x. sin cos vaø cos ≠ 0 2 2 2 2 2 1 5 x ⇔ ( sin 3x + sin 2x ) = cos3 x.sin x vaø cos ≠ 0 2 2 2 x ⇔ 3sin x − 4 sin3 x + 2 sin x cos x = 5 cos3 x.sin x vaø cos ≠0 2 ⎧ x ⎪cos ≠ 0 ⇔⎨ 2 ⎪3 − 4 sin2 x + 2 cos x = 5 cos3 x ∨ sin x = 0 ⎩
- ⎧ x ⎪ cos ≠ 0 ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪5 cos3 x − 4 cos2 x − 2 cos x + 1 = 0 ∨ sin x = 0 ⎪ ⎩ 2 ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⇔ ⎨ x ( ) ⎪( cos x − 1) 5 cos x + cos x − 1 = 0 ∨ sin 2 = 0 ⎩ 2 ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⎪⎡ ⎪ ⎢cos x = 1 ⎪⎢ ⇔ ⎨⎢ −1 + 21 ⎪ ⎢cos x = 10 = cos α ⎪⎢ ⎪⎢ −1 − 21 ⎪ ⎣cos x = ⎢ 10 = cos β ⎩ ⇔ x = k2π hay x = ±α + k2π hay x = ±β + k2π, ( k ∈ Z ) Baø i 70: Giaûi phöông trình: sin 2x ( cot gx + tg2x ) = 4 cos2 x ( *) Ñ ieà u kieä n : cos 2x ≠ 0 vaø sin x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ 0 ∧ cos 2x ≠ 1 cos x sin 2x Ta coù : cot gx + tg2x = + sin x cos 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x ⎛ cos x ⎞ 2 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 sin x.cos x ⎜ ⎟ = 4 cos x ⎝ sin x cos 2x ⎠ 2 cos x ⇔ = 2 cos2 x cos 2x ⇔ ( cos 2x + 1) = 2 cos 2x ( cos 2x + 1) ⇔ ( cos 2x + 1) = 0 hay 1 = 2 cos 2x 1 ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = ( nhaän do cos 2x ≠ 0 vaø cos 2x ≠ 1) 2 π ⇔ 2x = π + k2π ∨ 2x = ± + k2π, k ∈ 3 π π ⇔ x = + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 2 6 6x 8x Baø i 71 : Giaûi phöông trình: 2 cos2 + 1 = 3 cos ( *) 5 5
- ⎛ 12x ⎞ ⎛ 2 4x ⎞ Ta coù : (*) ⇔ ⎜ 1 + cos ⎟ + 1 = 3 ⎜ 2 cos − 1⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 4x 4x ⎛ 4x ⎞ ⇔ 2 + 4 cos3 − 3 cos = 3 ⎜ 2 cos2 − 1⎟ 5 5 ⎝ 5 ⎠ 4 Ñaë t t = cos x ( ñieàu kieän t ≤ 1) 5 Ta coù phöông trình : 4t 3 − 3t + 2 = 6t 2 − 3 ⇔ 4t 3 − 6t 2 − 3t + 5 = 0 ⇔ ( t − 1) ( 4t 2 − 2t − 5 ) = 0 1 − 21 1 + 21 ⇔ t = 1∨ t = ∨t = ( loïai ) 4 4 Vaä y 4x 4x • cos =1⇔ = 2kπ 5 5 5kπ ⇔x= ( k ∈ Z) 2 4x 1 − 21 • cos = = cos α ( vôùi 0 < α < 2 π ) 5 4 4x ⇔ = ±α + l 2 π 5 5α l 5π ⇔x=± + ,(l ∈ Z) 4 2 ⎛ π⎞ Baø i 72 : Giaûi phöông trình tg3 ⎜ x − ⎟ = tgx − 1 ( *) ⎝ 4⎠ π π Ñaë t t = x − ⇔ x = + t 4 4 ⎛π ⎞ 1 + tgt (*) thaø n h : tg3 t = tg ⎜ + t ⎟ − 1 = − 1 vôùi cos t ≠ 0 ∧ tgt ≠ 1 ⎝4 ⎠ 1 − tgt 2tgt ⇔ tg3 t = 1 − tgt ⇔ tg3 t − tg 4 t = 2tgt ⇔ tgt ( tg3 t − tg 2 t + 2 ) = 0 ⇔ tgt ( tgt + 1) ( tg 2 t − 2tgt + 2 ) = 0 ⇔ tgt = 0 ∨ tgt = −1( nhaän so ñieàu kieän ) π ⇔ t = kπ ∨ t = − + kπ, k ∈¢ 4 Vaä y (*)
- π ⇔x= + kπ hay x = kπ, k ∈¢ 4 sin 4 2x + cos4 2x Baø i 73 : Giaûi phöông trình = cos4 4x (*) ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ Ñieà u kieä n ⎧ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎧ ⎛π ⎞ ⎪sin ⎜ 4 − x ⎟ cos ⎜ 4 − x ⎟ ≠ 0 ⎪sin ⎜ 2 − 2x ⎟ ≠ 0 ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎛ π + x ⎞ cos ⎛ π + x ⎞ ≠ 0 ⎪sin ⎛ π + 2x ⎞ ≠ 0 ⎪ ⎝ ⎜4 ⎟ ⎜4 ⎟ ⎪ ⎜2 ⎟ ⎩ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠ ⇔ cos 2x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ ±1 Do : ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 1 − tgx 1 + tgx tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ = . =1 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ 1 + tgx 1 − tgx Khi cos2x ≠ 0 thì : (*) ⇔ sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x ⇔ 1 − 2 sin 2 2x cos2 2x = cos4 4x 1 ⇔ 1 − sin 2 4x = cos4 4x 2 1 ⇔ 1 − (1 − cos2 4x ) = cos4 4x 2 ⇔ 2 cos4 4x − cos2 4x − 1 = 0 ⎡ cos2 4x = 1 ⇔⎢ 2 ⇔ 1 − sin 2 4x = 1 ⎢ cos 4x = − 1 ( voâ nghieäm ) ⎢ ⎣ 2 ⇔ sin 4x = 0 ⇔ 2 sin 2x cos 2x = 0 ⇔ sin 2x = 0 ( do cos 2x ≠ 0 ) π ⇔ 2x = kπ, k ∈¢ ⇔ x = k , k ∈¢ 2 1 2 Baø i 74 :Giaû i phöông trình: 48 − − 2 (1 + cot g2x cot gx ) = 0 ( *) cos x sin x 4 Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 Ta coù :
- cos 2x cos x 1 + cot g2x cot gx = 1 + . sin 2x sin x sin 2x sin x + cos 2x cos x = sin x sin 2x cos x 1 = = ( do cos x ≠ 0 ) 2 sin x cos x 2 sin 2 x 2 1 1 Luù c ñoù (*) ⇔ 48 − − 4 =0 cos x sin x 4 1 1 sin 4 x + cos4 x ⇔ 48 = + 4 = cos4 x sin x sin 4 x cos4 x ⇔ 48sin 4 x cos4 x = sin 4 x + cos4 x ⇔ 3sin 4 2x = 1 − 2 sin 2 x cos2 x 1 ⇔ 3sin 4 2x + sin 2 2x − 1 = 0 2 ⎡ 2 2 ⎢sin x = − 3 ( loïai ) ⇔⎢ ⎢sin 2 x = 1 ( nhaän do ≠ 0 ) ⎢ ⎣ 2 1 1 ⇔ (1 − cos 4x ) = 2 2 ⇔ cos 4x = 0 π ⇔ 4x = + kπ 2 π kπ ⇔ x = + ( k ∈ Z) 8 4 Baø i 75 : Giaû i phöông trình 5 ( ) sin 8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos 2x ( *) 4 Ta coù : (*) 5 ( ) ( ⇔ sin8 x − 2 sin10 x + cos8 x − 2 cos10 x = ) 4 cos 2x 5 ⇔ sin 8 x (1 − 2 sin 2 x ) − cos8 x ( −1 + 2 cos2 x ) = cos 2x 4 5 ⇔ sin 8 x.cos 2x − cos8 x cos 2x = cos 2x 4 ⇔ 4 cos 2x ( sin x − cos x ) = 5 cos 2x 8 8
- ⇔ cos 2x = 0 hay 4 ( sin 8 x − cos8 x ) = 5 ⇔ cos 2x = 0 hay 4 ( sin 4 x − cos4 x )( sin 4 x + cos4 x ) = 5 ⎛ 1 ⎞ ⇔ cos 2x = 0 hay 4 ⎜ 1 − sin 2 2x ⎟ = 5 ⎝ 2 ⎠ ⇔ cos 2x = 0 hay − 2 sin 2x = 1(Voâ nghieäm ) 2 π ⇔ 2x = + kπ, k ∈¢ 2 π kπ ⇔x= + , k ∈¢ 4 2 Caù c h khaù c: Ta coù 4 ( sin 8 x − cos8 x ) = 5 voâ nghieä m Vì ( sin 8 x − cos8 x ) ≤ 1, ∀ x neâ n 4 ( sin 8 x − cos8 x ) ≤ 4 < 5, ∀x Ghi chuù : Khi gaë p phöông trình löôï n g giaùc daï n g R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) vôù i R haø m höõ u tyû thì ñaë t t = tgx 2t 2t 1 − t2 Luù c ñoù tg2x = , sin 2x = , cos 2x = 1 − t2 1 + t2 1 + t2 Baø i 76 : (Ñeå thi tuyeån sinh Ñaïi hoï c khoái A, naêm 2003) Giaû i phöông trình cos 2x 1 cot gx − 1 = + sin2 x − sin 2x ( *) 1 + tgx 2 Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 vaø tgx ≠ −1 Ñaët t = tgx thì (*) thaø nh : 1 − t2 1 1 + t 2 + 1 ⎡1 − 1 − t ⎤ − 1 . 2t 2 −1 = ⎢ ⎥ t 1+t 2⎣ 1 + t2 ⎦ 2 1 + t2 1−t 1 − t 1 2t 2 t ⇔ = + . − ( do t ≠ −1) t 1+t 2 2 1+t 2 1 + t2 2 1 − t t 2 − 2t + 1 (1 − t ) ⇔ = = t 1 + t2 1 + t2 ⇔ ( 1 − t ) (1 + t 2 ) = ( 1 − t ) t 2 ⎡1 − t = 0 ⎡ t = 1 ( nhaän do t ≠ −1) ⇔⎢ ⇔⎢ 2 ⎣1 + t = (1 − t ) t ⎢2t − t + 1 = 0 ( voâ nghieäm ) 2 ⎣ π Vaä y (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( nhaän do sin 2x = 1 ≠ 0) 4 Baø i 77 : Giaûi phöông trình: sin 2x + 2tgx = 3 ( * ) Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 Ñ aët t = tgx thì (*) thaøn h :
- 2t + 2t = 3 1 + t2 ⇔ 2t + ( 2t − 3) (1 + t 2 ) = 0 ⇔ 2t 3 − 3t 2 + 4t − 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( 2t 2 − t + 3) = 0 ⎡t = 1 ⇔⎢ 2 ⎣2t − t + 3 = 0 ( voâ nghieäm ) π Vaäy (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) 4 Baø i 78 : Giaû i phöông trình 2 cot gx − tgx + 4 sin 2x = ( *) sin 2x Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 2t Ñaë t t = tgx thì : sin 2x = do sin 2x ≠ 0 neân t ≠ 0 1 + t2 1 8t 1 + t2 1 (*) thaø n h : − t + = = +t t 1 + t2 t t 8t ⇔ = 2t 1 + t2 4 ⇔ = 1 ( do t ≠ 0 ) 1 + t2 ⇔ t 2 = 3 ⇔ t = ± 3 ( nhaän do t ≠ 0 ) ⎛ π⎞ Vaäy (*) ⇔ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 3⎠ π ⇔ x = ± + kπ, k ∈ 3 Baø i 79 : Giaû i phöông trình (1 − tgx )(1 + sin 2x ) = 1 + tgx ( * ) Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 Ñaët = tgx thì (*) thaø nh : 2t ⎞ (1 − t ) ⎛ 1 + ⎜ ⎟ =1+t ⎝ 1 + t2 ⎠ ( t + 1) = 1 + t 2 ⇔ (1 − t ) 1 + t2 ⎡ t = −1 ⎡ t = −1 ⇔ ⎢ (1 − t )(1 + t ) ⇔ ⎢ ⎢ =1 ⎣1 − t = 1 + t 2 2 ⎢ ⎣ 1+t 2 ⇔ t = −1 ∨ t = 0
- ⎡ tgx = −1 π Do ñoù (*) ⇔ ⎢ ⇔ x = − + kπ hay x = kπ, k ∈ ⎣ tgx = 0 4 Baø i 80 : Cho phöông trình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ( * ) 3 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎛ π 3π ⎞ b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ , ⎟ ⎝2 2 ⎠ Ta coù (*) 2 cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0 2 ⎧t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪2t − ( 2m + 1) t + m = 0 ⎩ ⎧ t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 1 ⎪t = ∨ t = m ⎩ 2 3 a/ Khi m = , phöông trình thaønh 2 1 3 cos x = ∨ cos x = ( loaïi ) 2 2 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 ⎛ π 3π ⎞ b/ Khi x ∈ ⎜ , ⎟ thì cos x = t ∈ [−1, 0) ⎝2 2 ⎠ 1 Do t = ∉ [ −1, 0] neân 2 π 3π ( *) coù nghieäm treân ⎛ , ⎞ ⇔ m ∈ ⎡ −1, 0) ⎜ ⎟ ⎣ ⎝2 2 ⎠ Baø i 81 : Cho phöông trình ( cos x + 1)( cos 2x − m cos x ) = m sin 2 x ( *) a/ Giaû i (*) khi m= -2 ⎡ 2π ⎤ b/ Tìm m sao cho (*) coù ñuù n g hai nghieä m treâ n ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ Ta coù (*) ⇔ ( cos x + 1) ( 2 cos2 x − 1 − m cos x ) = m (1 − cos2 x ) ⇔ ( cos x + 1) ⎡2 cos2 x − 1 − m cos x − m (1 − cos x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( cos x + 1) ( 2 cos2 x − 1 − m ) = 0 a/ Khi m = -2 thì (*) thaø nh :
- ( cos x + 1) ( 2 cos2 x + 1) = 0 ⇔ cosx = -1 ⇔ x = π + k2π ( k ∈ Z ) ⎡ 2π ⎤ ⎡ 1 ⎤ b / Khi x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì cos x = t ∈ ⎢ − ,1⎥ ⎣ 3⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎡ 1 ⎤ Nhaä n xeù t raè n g vôù i moãi t treâ n ⎢ − ,1⎥ ta chæ tìm ñöôï c duy nhaá t moä t x treâ n ⎣ 2 ⎦ ⎡ 2π ⎤ ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ ⎡ 1 ⎤ Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ 2t 2 − 1 − m = 0 coù ñu ù n g hai n ghieä m treâ n ⎢ − ,1⎥ ⎣ 2 ⎦ Xeù t y = 2t 2 − 1 ( P ) vaø y = m ( d ) Ta coù y’ = 4t ⎡ 2π ⎤ Vaä y (*) coù ñuù ng hai nghieä m treâ n ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ ⎡ 1 ⎤ ⇔ (d) caé t (P) taï i hai ñieå m phaân bieä t treâ n ⎢ − ,1⎥ ⎣ 2 ⎦ 1 ⇔ −1 < m ≤ 2 2 Baø i 82 : Cho phöông trình (1 − a ) tg 2 x − + 1 + 3a = 0 (1) cos x 1 a/ Giaû i (1) khi a = 2 ⎛ π⎞ b/ Tìm a ñeå (1) coù nhieà u hôn moä t nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ π Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ 2
- (1) ⇔ (1 − a ) sin2 x − 2 cos x + (1 + 3a ) cos2 x = 0 ⇔ (1 − a ) (1 − cos2 x ) − 2 cos x + (1 + 3a ) cos2 x = 0 ⇔ 4a cos2 x − 2 cos x + 1 − a = 0 ⇔ a ( 4 cos2 x − 1) − ( 2 cos x − 1) = 0 ⇔ ( 2 cos x − 1) ⎡a ( 2 cos x + 1) − 1⎤ = 0 ⎣ ⎦ 1 ⎛ 1⎞ a/ Khi a = thì (1) thaø n h : ( 2 cos x − 1) ⎜ cos x − ⎟ = 0 2 ⎝ 2⎠ 1 π ⇔ cos x = = cos ( nhaän do cos x ≠ 0 ) 2 3 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 ⎛ π⎞ b/ Khi x ∈ ⎜ 0, ⎟ thì cos x = t ∈ ( 0,1) ⎝ 2⎠ ⎡ 1 cos x = t = ∈ ( 0,1) Ta coù : (1) ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎢2a cos x = 1 − a ( 2 ) ⎣ ⎧ ⎪a ≠ 0 ⎪ ⎧1 ⎫ ⎪ 1−a Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ (2) coù nghieä m treâ n ( 0,1) \ ⎨ ⎬ ⇔ ⎨0 < 0 ⎧1 ⎪ 2a ⎪ ⎪ 1 ⎪3 < a < 1 ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨a < 0 ∨ a > ⇔ ⎨ ⎪ 1 − 3a ⎪ 3 ⎪a ≠ 1
- ⎧t = sin 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪2t − 3t + m − 1 = 0 ( 2 ) ⎩ a/ Khi m = 1 thì (1) thaø nh ⎧t = sin 2x ( t ≤ 1) ⎧ t = sin 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⎪ ⎨ 2 ⇔⎨ 3 ⎪2t − 3t = 0 ⎩ ⎪t = 0 ∨ t = ( loaïi ) ⎩ 2 kπ ⇔ sin 2x = 0 ⇔ x = 2 ⎡ π⎤ b/ Khi x ∈ ⎢0, ⎥ thì sin 2x = t ∈ [ 0,1] ⎣ 4⎦ Nhaän thaáy raè n g moãi t tìm ñöôïc treâ n [ 0,1] ta chæ tìm ñöôïc duy nhaá t moä t ⎡ π⎤ x ∈ ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù : (2) ⇔ −2t 2 + 3t + 1 = m Xeù t y = −2t 2 + 3t + 1 treân [ 0,1] Thì y ' = −4t + 3 Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ (d) y = m caé t taï i hai ñieå m phaâ n bieä t treâ n [ 0,1] 17 ⇔2 ≤ m < 8 Caù c h khaù c :ñaët f (x) = 2t 2 − 3t + m − 1 . Vì a = 2 > 0, neâ n ta coù ⎧Δ =17 − 8m > 0 ⎪ f (0) = m −1≥ 0 ⎪ ⎪ 17 Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ ⎨ f (1) = m − 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ m < ⎪ 8 S 3 ⎪ 0 ≤ = ≤1 ⎪ ⎩ 2 4 Baø i 84 : Cho phöông trình 4 cos5 x.sin x − 4 sin 5 x cos x = sin 2 4x + m (1 ) a/ Bieát raè ng x = π laø nghieäm cuûa (1). Haõ y giaûi (1) trong tröôøn g hôï p ñoù . π b/ Cho bieá t x = − laø moä t nghieä m cuû a (1). Haõ y tìm taá t caû nghieä m cuû a (1) thoû a 8 x − 3x + 2 < 0 4 2
- (1) ⇔ 4 sin x cos x ( cos4 x − sin 4 x ) = sin2 4x + m ⇔ 2 sin 2x ( cos2 x − sin2 x )( cos2 x + sin 2 x ) = sin 2 4x + m ⇔ 2 sin 2x.cos 2x = sin 2 4x + m ⇔ sin 2 4x − sin 4x + m = 0 (1) a/ x = π laø nghieä m cuû a (1) ⇒ sin2 4π − sin 4π + m = 0 ⇒m = 0 Luù c ñoù (1) ⇔ sin 4x (1 − sin 4x ) = 0 ⇔ sin 4x = 0 ∨ sin 4x = 1 π ⇔ 4x = kπ ∨ 4x = + k2π 2 kπ π kπ ⇔x = ∨x= + ( k ∈ Z) 4 8 2 ⎧t = x2 ≥ 0 ⎪ ⎧t = x2 ≥ 0 b/ x 4 − 3x 2 + 2 < 0 ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ ⎪t − 3t + 2 < 0 ⎩ ⎩1 < t < 2 ⇔ 1 < x2 < 2 ⇔ 1 < x < 2 ⇔ − 2 < x < −1 ∨ 1 < x < 2 ( *) π ⎛ π⎞ x=− thì sin 4x = sin ⎜ − ⎟ = −1 8 ⎝ 2⎠ π x = − laø nghieäm cuûa (1) ⇒ 1 + 1 + m = 0 8 ⇒ m = −2 Luù c ñoù (1) thaø nh : sin2 4x − sin 4x − 2 = 0 ⎧t = sin 4x ( vôùi t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪t − t − 2 = 0 2 ⎩ ⎧t = sin 4x ( vôùi t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪t = −1 ∨ t = 2 ( loaïi ) ⎩ ⇔ sin 4x = −1 π ⇔ 4x = − + k2π 2 π kπ ⇔x = − + 8 2 Keá t hôï p vôù i ñi eà u kieä n (*) suy ra k = 1 π π 3π Vaä y (1) coù n ghieä m x = − + = thoû a x4 − 3x2 + 2 < 0 8 2 8 Baø i 85 : Tìm a ñeå hai phöông trình sau töông ñöông 2 cos x.cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x (1 ) 4 cos2 x − cos 3x = a cos x + ( 4 − a )(1 + cos 2x ) ( 2)
- Ta coù : (1) ⇔ cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x ( ⇔ cos x = 1 + 2 cos2 x − 1 ) ⇔ cos x (1 − 2 cos x ) = 0 1 ⇔ cos x = 0 ∨ cos x = 2 ( ) Ta coù : (2) ⇔ 4 cos x − 4 cos x − 3 cos x = a cos x + ( 4 − a ) 2 cos2 x 2 3 ⇔ 4 cos3 x + ( 4 − 2a ) cos2 x ( a − 3) cos x = 0 ⎡cos x = 0 ⇔⎢ ⎢4 cos x + 2 ( 2 − a ) cos x + a − 3 = 0 2 ⎣ ⎛ 1⎞ ⇔ cos x = 0 hay ⎜ cos x − ⎟ [ 2 cos x + 3 − a ] = 0 ⎝ 2⎠ 1 a−3 ⇔ cos x = 0 ∨ cos x = ∨ cos x = 2 2 Vaä y yeâ u caà u baø i toaù n ⎡a − 3 ⎢ 2 =0 ⎢ ⎡a = 3 ⇔ ⎢a − 3 = 1 ⇔ ⎢a = 4 ⎢ 2 2 ⎢ ⎢a − 3 a−3 ⎣a < 1 ∨ a > 5 ⎢ ⎢ < −1 ∨ >1 ⎣ 2 ⎢ 2 Baø i 86 : Cho phöông trình : cos4x = cos 2 3x + asin 2 x (*) a/ Giaû i phöông trì nh khi a = 1 ⎛ π ⎞ b/ Tìm a ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 12 ⎠ 1 a Ta coù : ( *) ⇔ cos 4x = (1 + cos 6x ) + (1 − cos 2x ) 2 2 ( ) ⇔ 2 2 cos 2x − 1 = 1 + 4 cos 2x − 3 cos 2x + a (1 − cos 2x ) 2 3 ⎧t = cos 2x ⎪ ( t ≤ 1) ⇔⎨ ⎩ ( 2 ) ⎪2 2t − 1 = 1 + 4t − 3t + a (1 − t ) 3 ⎧t = cos 2x ⎪ ( t ≤ 1) ⇔⎨ ⎪−4t + 4t + 3t − 3 = a (1 − t ) 3 2 ⎩ ⎧1 = cos 2x ⎪ ( t ≤ 1) ⇔⎨ ( ) ⎪( t − 1) −4t + 3 = a (1 − t ) ( * *) ⎩ 2 a/ Khi a = 1 thì (*) thaø nh :
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
226 bài tập Lượng giác lớp 10 (Có đáp án)
169 p | 18000 | 2384
-
Bài tập lượng giác 11
1 p | 3424 | 565
-
Các dạng bài tập lượng giác
5 p | 1602 | 427
-
Tổng hợp công thức và bài tập lượng giác
14 p | 1374 | 324
-
Bài tập lượng giác lớp 10
6 p | 1110 | 182
-
Bài tập công thức lượng giác nâng cao có đáp án
11 p | 1168 | 126
-
Tuyển tập Lượng giác (đáp án chi tiết) - GV.Lưu Huy Thưởng
42 p | 504 | 85
-
Bài tập Lượng giác lớp 10 nâng cao: Chương 6 - GV. Trần Sĩ Tùng
12 p | 902 | 77
-
Tuyển tập 200 bài tập Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015
85 p | 279 | 59
-
Chuyên đề luyện thi ĐH: Ôn tập lượng giác phương trình lượng giác - Huỳnh Chí Hào
13 p | 214 | 38
-
Dự đoán câu lượng giác trong kì thi THPTQG 2015 - Thầy Đặng Việt Hùng
4 p | 182 | 35
-
Bài tập Lượng giác lớp 10 nâng cao: Vấn đề 6 - GV. Trần Sĩ Tùng
7 p | 526 | 34
-
Chuyên đề LTĐH: Chuyên đề 6 - Ôn tập lượng giác phương trình lượng giác
13 p | 156 | 21
-
Bài tập lượng giác Toán 11
85 p | 194 | 17
-
Chuyên đề Lượng giác - Luyện thi đại học: Phần 2
131 p | 129 | 16
-
Ôn tập Toán 11: Chương 1 - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
146 p | 21 | 8
-
Hệ thống bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
99 p | 14 | 4
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn