ÔN TẬP MÔN TOÁN: TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Paradise1 Paradise1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

217
lượt xem 41
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu giảng dạy về toán đã được giảng dạy với mục đích cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, có tính hệ thống liên quan tới toán học. Thông qua tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại kiến thức. Chúc các bạn thành công

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ÔN TẬP MÔN TOÁN: TÍCH PHÂN

VIII.TÍCH PHÂN 2 106) Cho f(x)= x x3 , tìm A, B và C sao cho: (x  1) 3 A B C Kq: A= -1; B=3 và C=1 f(x)= .   (x  1) 3 (x  1) 2 x  1 2 2) Từ đó tính  x  x  3dx (x  1) 3 3 107) Tính  x  x  2dx 3 ( x  2) 108) Tính  (2x  3)dx 2 x  3x  2 2 109) Tính  3x dx 3 x 1 110) Tìm A, B , C để sinxcosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx2sinx) +C Kq: A=  1 ; B=  3 và C= 8 5 5 5 111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả x c) a) y= x  1 2 x (  1) +C 3 x 1 tgxcotgx+C y= sin2 x. cos2 x b) d) xsinx+C x y=2 sin 2 2 sinx+cosx+C cos2x y= cosx  sin x
112) Tìm nguyên hàm F(x) c ủa f(x)= x3x2+2x1 biết rằng F(0) = 4. 4 x3 Kết qua: F(x) = x +x2x+4  4 3 113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx. Kết qua: F(x) = x. l nx-x+C 114) Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x2 , ta x 1 A B có: Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:   2 x  3x  2 x  2 x  1 x 1 f (x )  2 x  3x  2 Kết qua: A=3; B= 2. F(x) = 3 l nx22 l nx1+ C= l n 3 x 2 +C (x  1) 2 115) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả d)  1 dx l a)  cot gx.dx l n l n x. ln x nsinx+C .sinxdx x+C b)  cot g x.dx 2 e)  e 2 cosx  3 c) f)  dx sin x cotgxx+C 1 2 cosx  3 +C 2  sin x. cosxdx e  2
l n tg x +C 1 sin3x+C 2 3 116) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 2 e) 2 a)  x 2 dx 2x 2 1  1 11 3  15 3 3  2 cot g2 x  cos2 x dx 3 2 3 b)  x  4x dx  x 4 1  2 c)  | x 3 4 f)  1  sin x 2  1 | dx dx 2 sin x 2  6 12  3 2 2 4 d)  tg xdx g) 2 2 0  2 4 2  sin x cos xdx 0 1 3 4  4 117) Tính các tích phân: Tích phân Kết Tích phân Kết quả quả  1 dx a)  2 sin x g)  dx x 1 0 0 1  3 cosx 2 ln2 ln2 3 2 dx b)  (2x  1) 2 1
 1 1 4x  2 c)  3 2 dx h)  cos x 3 .dx x2  x  1 0 2 sin x  1 6 2  4 d)  tgxdx  2 i)  sin x  cosx .dx 0 2ln3 sin x  cosx  3 ln 2 x e dx e)  ex  3 1 0 j)  (2x  1) x 2  x  1 .dx ln( 3 +1) ln 0 2  2 f)  cos 3 x.dx e 2 k)  ln x dx 0 x 1 ln 5 0 4 1 2 3 3 118) Chứng minh rằng: 3 11 4 dx   a) b) 54 2   ( x  7  11  x )dx  108   3  2 sin2 x  2 4  7 4 119) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả  4 a)  sin 2x.dx 0 1 2 e 1  ln x b)  dx x 1
 2 (2 2  1) sin 3 xdx 3 c) 3  cos 2 x 0  4 d)  tg xdx 4 1 0 2  e) 2 dx  sin 4 x  4 1 f)  3 1  xdx 3  8 0 12 1 g)  x x 2  1 dx 0 4 1 dx 3 h)  2 x  x 1 0 1 e x dx k)  3 1 ex 0 4  2 l)  sin x 3 cosx dx 0 1 (2 2  1) 3  33 2( e  1  2 )
3 4 120) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Nhân tử số và mẫu số cho 2 dx m)  2 x x 1 2  x.Kq: 12 3 n)  9  x 2 dx 3 1 dx o)  9 4 x2 0 2 1 p)  x 2 1  x 2 dx 0  3 6 q)  x 2  1 dx 0 r) 1 1  x2 dx  x2  1 x=sint. Kq: 2 16 1 dx s)  x 0 1 e 1  3 ln(2  3) 2 dx 2 t)  1  cosx 0  3 u)  sin xdx 3 3 cos2 x 0 3  2 sin x v)  dx 2 0 1  cos x 2e TS+exex.Kq:l n e 1
e 4 w)  ln x dx x 1 1 1  4 1 5 121) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả e 1 c)  ln xdx a)  xe 2 x dx 1 0 2 e 1 1  4  4 xdx 2 b)  ( x  1) cos xdx d)  cos 2 x 0 0  2 2   ln 2 4 Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả  1 h)  x ln(1  x 2 )dx 2 e)  x sin x.cos xdx 0 0  8  i)  (e cos x  x ) sin xdx e ln2 1 f)  (ln x) 2 dx 0 2 1 1 e 2 g)  ln(1  x 2 )dx 0
e2  1   2 e j)  e x sin xdx ln22+  0 2  e2 1 2 122) Chứng minh rằng:   2 2 Hd: x=  t a)  f (sin x)dx   f (cosx)dx 2 0 0 b b b)  f (x)dx   f ( b  x)dx Hd: x=bt 0 0 2 a 1a Hd: t=x2 c)  x xf (x)dx (a>0) 3 f (x 2 )dx  2 0 0   2 2 Hd: x=  t d)  f (tgx)dx   f (cot gx)dx 2 0 0   x. sin x  2 e)  xf (sin x)dx   f (sin x)dx . Áp dụng, tính:  1  cos2 x dx 0 0 0  Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t. Lần 2, để tính  f (sin x)dx ta đặt x=  +s 2  2   và kết quả bài 118a). Tính  x. sin x dx =   sin x , đặt t=cosx, dx 2 2 1  cos x 1  cos x 0 0 2 kq: 4
123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn a a [a;a] (a>0) thì:  f (x)dx  2 f (x)dx . Hd: t=x a 0 124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn a [a;a] (a>0) thì:  f (x)dx 0 . Hd: t=x a  8 125) Chứng minh rằng:  x sin7 xdx 0 . Áp dụng bài 124). 6   8 1 1 126) Chứng minh rằng:  e dx 2 ecosx dx . Áp dụng bài 123). cosx 1 0 x x 127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì:  f (t )dt   f (t )dt . a a Hd: t=x a 128) Chứng minh rằng  sin x.f (cosx)dx 0 . Áp dụng bài 124) a a a 129) Chứng minh rằng  cosx.f (x )dx 2 cosx.f (x 2 )dx . Áp dụng bài 123). 2 a 0 1 1 130) Chứng minh rằng  x (1  x) n dx   x n (1  x) m dx . Hd:x=1t m 0 0 131) Tính các tích phân sau: Tích phân Kết quả 2 a)  ln(x  x 2  1)dx 2 Hs lẻ: 0
 2 b)  x  sin x dx 1  cosx  6 2 c)  ln x dx  (1  3) x5 6 1 ln 2 d)  x.e x dx 0 15 ln 2  e 256 64 e)  | ln x | dx 1 e 1 x3 f)  dx e x2  1 ln 0 2  2 2(e  1) g)  6 1 - cosx.sinx dx e 0 e ln 2 6 7 Tích phân Kết quả ln 3 e x dx h)  (e x  1) 3 0 2 1 0 k)  x(e 2x  3 x  1)dx 1  3 4 4 l)  x dx  2 4e 7 1  cos2x 0  2 4 m)  1  2 sin x dx 1  sin 2x 1 0 (  ln 2) 42
23 dx n)  x x2  4 5 ln 2 1 o) 3 1 - x 2 dx x 0 ln 5 e 2x p)  dx ex  1 ln 2 15 ln 43 2 q)  | x 2 - x | dx 0 2 15 1 2 r)  x 3 e x dx 0 e 2 s)  x 1 .lnx dx x l 20 3 1 u=x2, dv=?. 1 2 12 (e  3) 4 1 132) Cho In =  x e x .dx (n N) n 0 a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In1 (n≥1) 1 b) Áp dụng tính I3 =  x e .dx . Kết quả: 62e 3 x 0  4 133) Cho In =  tg x.dx (n N ) n 0
Hd: In>In+1,x(0;  ) a) Chứng minh rằng In > In+1. 4 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In.  1 4 1 Hướng dẫn: In+2 =  tg x(  In + In+2= . n  1).dx cos2 x n1 0  134) Tính In =  cos x. cosnx.dx (n N) n 0 u  cosn x 1 1  Hướng dẫn: đặt , tìm được In= In1=…= n1 I1= .  2n dv  cosnx.dx 2 2  2 135) Tính In =  cos x.dx (n N) n 0 u  cosn 1 x tìm được In= n  1 In2. Hướng dẫn: đặt ,  dv  cosx.dx n Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :  n=2k ( n chẵn): In= 1.3....(n  1) .  2.4...n 2  n=2k+1 ( n lẻ): In= 2.4....(n  1) 3.5...n  2 136) Cho In =  sin x.dx (n N) n 0 a) Chứng minh rằng In+2 = n  1 In. n 2 b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng. c) Tính In. Hướng dẫn:
u  sinn 1 x a) Đặt  dv  sin x.dx  b) Chứng minh f(n+1)=f(n) f(n)=…=f(0)= 2 c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :  n=2k ( n chẵn): I2k= 1.3....(2k  1) .  2.4...2k 2 2.4...2k  n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1= 3.5...(2k  1) 1 Kết quả: a= 0 137)a) Tính I0 =  (2x  1).e .dx , x x 2 0 1 2 Hd: b) Truy b) Chứng minh rằng In =  (2x  1) .ex  x .dx =0 2n 1 0 hồi.   2 2 138) Tìm liên hệ giữa In =  x và Jn =  x và tính I3. n n . cosx.dx . sin x.dx 0 0  Kết quả: ( ) 3  3  6 2 x Kq: 0 139) Giải phương trình:  e .dt = 0. t 0 140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x2+3x2, d1:y = 1 K q: x1 và d2:y=x+2 12 141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x33x và đường thẳng y=2.
27 K q: 4 5 142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1 ) : y  x 2  x 1 2 3 8 K q: v aø P2 ) : y  -x 2  ( x 1 2 3 143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3x)2, Ox và x=2; x= 4. Kq: 2 x2 144) Cho hai đường cong : ( P1 ) : y  . 2 x vaø 2 ) : y  (P 2 a) (P1) và (P2) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M. 4 K q: b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1) và (P2). 3 145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0. Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y2+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y2-3y = 0  y=0 V y=3. Vậy diện tích hình phẳng cần tìm 3 3 9 là: S   (x  x d )dy   (y 2  3y)dy  ........ P 2 0 0 146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:  K q: 1 a) (C): y = cosx ; y = 0 ; ;x. x 2 K q: 9 b) (C): y = x2 – 2x + 3 ; (d): y = 5 – x . 2
c) (C): y = 2x3 – x2 – 8x + 1 ; (d): y = 6. K q: 2401 96 d) (P): y = - x2 + 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung. K q: 9 e) (C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x =  1 2 Kq: 27 64 1 5  9 f) (C): y= x2-2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ K q: M  ;1 . 2 2  8 12 13 1 ; y  e x ; x  1 . Kq: g) y  e  2x 2 e2 e Kq: 4 h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. 16 i) y2 = 2x + 1; y = x – 1 . Kq: 3 Kq: 2ln2-1 j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2. 147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox: 4 a) y  , y  0 , x  1, x  4 Kq : 12 x 23 b) y  x 3  1 , y  0 , x  0 , x  1 Kq : 14 625 c) y  5x  x 2 , y  0 Kq : 6 32 d) y 2  4x , y  x Kq : 3 x2 y2 e) (E) : 1 Kq : 16  9 4 1 x Kq : e 2 f) y  x 2 .e 2 , x  1 , x  2 , y  0
g) y  x.ex , x  1 , y  0 Kq :  3 148) Cho (E) : 9x2 + 25y2 = 225 ;(d):y = . Tính diện tích hình phẳng 2 Kq: giới hạn bởi (d) và phần trên d của (E). 5- 15 3 4 149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2x2 , (C): y= 1 x 2 và Ox. K q: 8 2  3 2 150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y2 = x3(y≥0) , y = 0, x= 1  Kq: a) Quay quanh trục Ox. 4 4 Kq: b) Quay quanh trục Oy. 7 151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x  1 ., tiệm cận x 1 ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0. Kq: 2ln2