Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11

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Nội dung Text: Ôn thi đại học môn Toán phần lượng giác_Chương 11

CHÖÔNG XI: NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙC I. TÍNH CAÙ C GOÙ C CUÛ A TAM GIAÙ C Baø i 201: Tính caù c goù c cuû a ΔABC neá u : 3 sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) = ( *) 2 Do A+B+C= π 3 Neâ n : ( *) ⇔ sin A + sin B − cos C = 2 A+B A−B ⎛ C ⎞ 3 ⇔ 2 sin cos − ⎜ 2 cos2 − 1 ⎟ = 2 2 ⎝ 2 ⎠ 2 C A−B C 1 ⇔ 2 cos cos − 2 cos2 = 2 2 2 2 C C A−B ⇔ 4 cos2 − 4 cos cos +1 = 0 2 2 2 2 ⎛ C A − B⎞ 2 A − B ⇔ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + 1 − cos =0 ⎝ 2 2 ⎠ 2 2 ⎛ C A − B⎞ 2 A − B ⇔ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + sin =0 ⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎧ C A−B ⎪2 cos 2 = cos 2 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪sin A − B = 0 ⎪ ⎩ 2 ⎧ C ⎪2 cos 2 = cos 0 = 1 ⎧C π ⎪ ⎪ = ⇔ ⎨ ⇔ ⎨2 3 ⎪ A−B ⎪A = B =0 ⎩ ⎪ 2 ⎩ ⎧ π ⎪A = B = 6 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪C = 2π ⎪ ⎩ 3 Baø i 202: Tính caù c goù c cuû a ΔABC bieá t : 5 cos 2A + 3 ( cos 2B + cos 2C ) + = 0 (*) 2 5 Ta coù : ( *) ⇔ 2 cos2 A − 1 + 2 3 ⎡cos ( B + C ) cos ( B − C ) ⎤ + = 0 ⎣ ⎦ 2
⇔ 4 cos2 A − 4 3 cos A. cos ( B − C ) + 3 = 0 2 ⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 − 3 cos2 ( B − C ) = 0 ⎣ ⎦ 2 ⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 sin 2 ( B − C ) = 0 ⎣ ⎦ ⎧sin ( B − C ) = 0 ⎧B − C = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ 3 ⇔⎨ 3 ⎪cos A = cos ( B − C ) ⎪cos A = ⎩ 2 ⎩ 2 ⎧ A = 300 ⎪ ⇔⎨ ⎪B = C = 75 0 ⎩ Baø i 203: Chöù n g minh ΔABC coù C = 1200 neá u : A B C sin A + sin B + sin C − 2 sin ⋅ sin = 2 sin (*) 2 2 2 Ta coù A+B A−B C C A B C (*) ⇔ 2 sin cos + 2 sin cos = 2 sin sin + 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 C A−B C C A+B A B ⇔ 2 cos cos + 2 sin cos = 2 cos + 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 C⎛ A−B C⎞ A B ⇔ cos ⎜ cos + sin ⎟ = cos ⋅ cos 2⎝ 2 2⎠ 2 2 C⎡ A−B A + B⎤ A B ⇔ cos ⎢cos 2 + cos 2 ⎥ = cos 2 cos 2 2⎣ ⎦ C A B A B ⇔ 2 cos cos cos = cos cos 2 2 2 2 2 C 1 A B A B π ⇔ cos = (do cos > 0 vaø cos > 0 vì 0 < ; < ) 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ C = 1200 Baø i 204: Tính caù c goù c cuû a ΔΑΒC bieá t soá ño 3 goù c taï o caá p soá coä n g vaø 3+ 3 sin A + sin B + sin C = 2 Khoâ n g laø m maá t tính chaá t toå n g quaù t cuû a baø i toaù n giaû söû A < B < C Ta coù : A, B, C taï o 1 caá p soá coä n g neâ n A + C = 2B π Maø A + B + C = π neâ n B = 3 3+ 3 Luù c ñoù : sin A + sin B + sin C = 2
π 3+ 3 ⇔ sin A + sin + sin C = 3 2 3 ⇔ sin A + sin C = 2 A+C A −C 3 ⇔ 2 sin cos = 2 2 2 B A −C 3 ⇔ 2 cos cos = 2 2 2 ⎛ 3⎞ A−C 3 ⇔ 2. ⎜ ⎟ cos ⎜ 2 ⎟ = ⎝ ⎠ 2 2 C−A 3 π ⇔ cos = = cos 2 2 6 Do C > A neâ n ΔΑΒC coù : ⎧C − A π ⎧ π ⎪ 2 =6 ⎪C = 2 ⎪ ⎪ ⎪ 2π ⎪ π ⎨C + A = ⇔ ⎨A = ⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ π ⎪ π ⎪B = 3 ⎪B = 3 ⎩ ⎩ Baø i 205: Tính caù c goù c cuû a ΔABC neá u ⎧ b2 + c 2 ≤ a 2 ⎪ (1 ) ⎨ ⎪sin A + sin B + sin C = 1 + 2 ⎩ ( 2) b2 + c 2 − a 2 AÙ p duï n g ñònh lyù haø m cosin: cos A = 2bc Do (1): b + c ≤ a neâ n cos A ≤ 0 2 2 2 π π A π Do ñoù : ≤A
⎧ ⎪sin A = 1 ⎧ π ⎪ ⎪ A 2 ⎪A = 2 ⎪ Daá u “=” taï i (2) xaû y ra ⇔ ⎨cos = ⇔ ⎨ ⎪ 2 2 ⎪B = C = π ⎪ B−C ⎪ ⎩ 4 ⎪cos 2 = 1 ⎩ Baø i 206: (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2004) Cho ΔABC khoâ n g tuø thoû a ñieà u kieä n cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3 ( *) Tính ba goù c cuû a ΔABC * Caù ch 1: Ñaët M = cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 B+C B−C Ta coù: M = 2 cos2 A + 4 2 cos cos −4 2 2 A B−C ⇔ M = 2 cos2 A + 4 2 sin cos −4 2 2 A B-C Do sin > 0 vaø cos ≤1 2 2 A Neâ n M ≤ 2 cos2 A + 4 2 sin − 4 2 π Maë t khaù c : ΔABC khoâ n g tuø neâ n 0 < A ≤ 2 ⇒ 0 ≤ cos A ≤ 1 ⇒ cos2 A ≤ cos A A Do ñoù : M ≤ 2 cos A + 4 2 sin − 4 2 ⎛ A⎞ A ⇔ M ≤ ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 4 2 sin − 4 ⎝ 2⎠ 2 A A ⇔ M ≤ −4 sin2 + 4 2 sin − 2 2 2 2 ⎛ A ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ 2 sin − 1 ⎟ ≤ 0 ⎝ 2 ⎠ Do giaû thieá t (*) ta coù M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ ⎪ A = 90 0 ⎪ B−C ⎧ Vaä y : ⎨cos =1 ⇔ ⎨ ⎪ 2 ⎪B = C = 45 ⎩ 0 ⎪ A 1 ⎪sin 2 = 2 ⎩ * Caù c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 = 0
B+C B−C ⇔ cos2 A + 2 2 cos cos −2=0 2 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 2 sin cos −2=0 2 2 ⎛ A⎞ A B−C ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 2 2 sin cos −2=0 ⎝ 2⎠ 2 2 2 ⎛ A B − C⎞ ⎛ 2 B − C⎞ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos ⎟ − ⎜ 1 − cos ⎟=0 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ A B − C⎞ 2 B −C ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos ⎟ − sin = 0 (*) ⎝ 2 2 ⎠ 2 Do ΔABC khoâ n g tuø neâ n cos A ≥ 0 vaø cos A − 1 < 0 Vaä y veá traù i cuû a (*) luoâ n ≤ 0 ⎧ ⎪cos A = 0 ⎪ ⎪ A B−C Daá u “=” xaû y ra ⇔ ⎨ 2 sin = cos ⎪ 2 2 ⎪ B−C ⎪sin 2 = 0 ⎩ ⎪ A = 90 0 ⎧ ⇔⎨ ⎪B = C = 45 0 ⎩ Baø i 207: Chöù n g minh ΔABC coù ít nhaá t 1 goù c 60 0 khi vaø chæ khi sin A + sin B + sin C = 3 (*) cos A + cos B + cos C Ta coù : ( ) ( ) ( (*) ⇔ sin A − 3 cos A + sin B − 3 cos B + sin C − 3 cos C = 0 ) ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 0 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ A + B π⎞ A−B ⎛ π⎞ ⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 0 ⎝ 2 3⎠ 2 ⎝ 3⎠ ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ 2 sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + 2 sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = 0 ⎣⎝ 2 2 ⎠ 3 ⎦ 2 ⎝ 2 6⎠ ⎝ 2 6⎠ ⎛C π⎞⎡ A−B ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = 0 ⎝ 2 6⎠⎣ 2 ⎝ 2 6 ⎠⎦ ⎛C π⎞ A−B ⎛C π⎞ ⎛π A + B⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = 0 ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ ⎝ 2 6⎠ 2 ⎝ 2 6⎠ ⎝3 2 ⎠ C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ = ∨ = − ∨ = − 2 6 2 3 2 2 3 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 3 3
Baø i 208: Cho ΔABC vaø V = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C – 1. Chöù n g minh: a/ Neá u V = 0 thì ΔABC coù moä t goù c vuoâ n g b/ Neá u V < 0 thì ΔABC coù ba goù c nhoï n c/ Neá u V > 0 thì ΔABC coù moä t goù c tuø 1 1 Ta coù : V = (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B ) + cos2 − 1 2 2 1 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C 2 ⇔ V = cos ( A + B ) .cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B Do ñoù : a/ V = 0 ⇔ cos A = 0 ∨ cos B = 0 ∨ cos C = 0 ⇔ ΔABC ⊥ taï i A hay ΔABC ⊥ taï i B hay ΔABC ⊥ taï i C b/ V < 0 ⇔ cos A.cos B.cos C > 0 ⇔ ΔABC coù ba goù c nhoï n ( vì trong 1 tam giaùc khoâ n g theå coù nhieà u hôn 1 goùc tuø neâ n khoâ n g coù tröôø n g hôï p coù 2 cos cuø n g aâ m ) c/ V > 0 ⇔ cos A.cos B.cos C < 0 ⇔ cos A < 0 ∨ cos B < 0 ∨ cos C < 0 ⇔ ΔABC coù 1 goù c tuø . II. TAM GIAÙC VUOÂNG B a+c Baø i 209: Cho ΔABC coù cotg = 2 b Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g B a+c Ta coù : cotg = 2 b B cos ⇔ 2 = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C B 2R sin B sin B sin 2 B A+C A−C cos 2 sin . cos ⇔ 2 = 2 2 B B B sin 2 sin . cos 2 2 2 B B A−C B ⇔ cos2 = cos . cos (do sin > 0) 2 2 2 2 B A−C B ⇔ cos = cos (do cos > 0) 2 2 2
B A−C B C−A ⇔ = ∨ = 2 2 2 2 ⇔ A = B+C∨C = A +B π π ⇔ A = ∨C= 2 2 ⇔ ΔABC vuoâng taïi A hay ΔABC vuoâng taïi C Baø i 210: Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g taï i A neá u b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a Ta coù : + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A ⇔ + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A ⇔ = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A ⇔ = cos B.cos C sin B sin C ⇔ cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) ⇔ cos B. cos C − sin B. sin C = 0 ⇔ cos ( B + C ) = 0 π ⇔ B+C= 2 ⇔ ΔABC vuoâng taïi A Baø i 211: Cho ΔABC coù : A B C A B C 1 cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 2 2 2 2 Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g Ta coù : A B C 1 A B C (*) ⇔ coscos cos = + sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 1⎡ A+B A − B⎤ C 1 1⎡ A+B A − B⎤ C ⇔ ⎢cos + cos cos = − ⎢cos − cos sin 2⎣ 2 2 ⎥⎦ 2 2 2⎣ 2 2 ⎥⎦ 2 ⎡ C A − B⎤ C ⎡ C A − B⎤ C ⇔ ⎢sin + cos ⎥ cos 2 = 1 − ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ sin 2 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ ⎦ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = 1 − sin 2 + cos = 1 − sin 2 + cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C C A−B C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 2 2 2 2
C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ ⇔ cos ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ = cos 2 ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ 2⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 ⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 2 ⎥ ⎦ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = 1 ∨ = ∨ = 2 2 2 2 2 C π ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C 2 4 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 2 2 2 Baø i 212: Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g neá u : 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) = 15 Do baá t ñaú n g thöù c Bunhiacoá p ki ta coù : 3cos B + 4 sin B ≤ 9 + 16 cos2 B + sin2 B = 15 vaø 6sin C + 8 cos C ≤ 36 + 64 sin2 C + cos2 C = 10 neâ n : 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) ≤ 15 ⎧ cos B sin B ⎧ 4 ⎪ 3 = 4 ⎪ ⎪tgB = 3 ⎪ Daá u “=” xaû y ra ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = 4 ⎪ 6 ⎩ 8 ⎪ ⎩ 3 ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= 2 ⇔ ΔABC vuoâ n g taï i A. Baø i 213: Cho ΔABC coù : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g. Ta coù : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B ⇔ 2 sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin2 C). cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C. cos(A − B) ⇔ cos C = 0 hay − (1 + sin C) = cos C. cos(A − B) (*) ⇔ cos C = 0 ( Do sin C > 0 neâ n −(1 + sin C) < −1 Maø cos C.cos(A − B) ≥ −1 .Vaä y (*) voâ nghieä m .) Do ñoù ΔABC vuoâ n g taï i C III. TAM GIAÙC CAÂN
C Baø i 214:Chöù n g minh neá u ΔABC coù tgA + tgB = 2 cotg 2 thì laø tam giaù c caâ n . C Ta coù : tgA + tgB = 2 cotg 2 C 2 cos sin(A + B) 2 ⇔ = cos A.cos B C sin 2 C 2 cos sin C 2 ⇔ = cos A.cos B C sin 2 C C C 2 sin cos 2 cos ⇔ 2 2 = 2 cos A cos B C sin 2 C ⎛ C ⎞ ⇔ sin 2 = cos A.cos B ⎜ do cos > 0 ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 1 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤ 2 2⎣ ⎦ ⇔ 1 − cos C = − cos C + cos ( A − B ) ⇔ cos ( A − B ) = 1 ⇔A=B ⇔ ΔABC caâ n taï i C. Baø i 215: Chöù n g minh ΔABC caâ n neá u : A B B A sin .cos3 = sin .cos3 2 2 2 2 A B B A Ta coù : sin .cos3 = sin .cos3 2 2 2 2 ⎛ A⎞ ⎛ B⎞ ⎜ sin 2 ⎟ 1 ⎜ sin 2 ⎟ 1 ⇔⎜ = A⎟ A ⎜ B⎟ B ⎜ cos ⎟ cos2 ⎜ cos ⎟ cos2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2⎠ 2 A B (do cos > 0 vaø cos > 0 ) 2 2
A⎛ 2 A⎞ B⎛ 2 B⎞ ⇔ tg ⎜ 1 + tg ⎟ = tg ⎜ 1 + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg 3 − tg 3 + tg − tg = 0 2 2 2 2 ⎛ A B⎞⎡ A B A B⎤ ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg 2 + tg 2 + tg .tg ⎥ = 0 (*) ⎝ 2 2 ⎠⎣ 2 2 2 2⎦ A B A B A B ⇔ tg = tg ( vì 1 + tg 2 + tg 2 + tg tg > 0 ) 2 2 2 2 2 2 ⇔A=B ⇔ ΔABC caâ n taï i C Baø i 216: Chöù n g minh ΔABC caâ n neá u : cos2 A + cos2 B 1 = ( cotg 2 A + cotg 2B ) (*) sin 2 A + sin2 B 2 Ta coù : cos2 A + cos2 B 1 ⎛ 1 1 ⎞ (*) ⇔ = ⎜ + − 2⎟ sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin B 2 2 2 2 ⎠ cos A + cos B 2 2 1⎛ 1 1 ⎞ ⇔ +1 = ⎜ + ⎟ sin A + sin B 2 2 2 ⎝ sin A sin2 B ⎠ 2 2 1⎛ 1 1 ⎞ ⇔ = ⎜ + ⎟ sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin 2 B ⎠ 2 2 2 ⇔ 4 sin2 A sin2 B = ( sin2 A + sin2 B ) 2 ⇔ 0 = ( sin 2 A − sin2 B ) ⇔ sin A = sin B Vaä y ΔABC caâ n taï i C Baø i 217: Chöù n g minh ΔABC caâ n neá u : C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) 2 C Ta coù : a + b = tg ( atgA + btgB ) 2 C ⇔ ( a + b ) cotg = atgA + btgB 2 ⎡ C⎤ ⎡ C⎤ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 0 ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎡ A + B⎤ ⎡ A + B⎤ ⇔ a ⎢ tgA − tg ⎥ + b ⎢ tgB − tg 2 ⎥ = 0 ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ A−B B−A a sin b sin ⇔ 2 + 2 =0 A+B A+B cos A. cos cos B. cos 2 2
A−B a b ⇔ sin = 0 hay − =0 2 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC caâ n taï i C IV. NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙ C Baø i 218: Cho ΔABC thoû a : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g hay caâ n Do ñònh lyù haø m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Neâ n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin 2 A − sin 2 B ) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B 1 1 ⇔ sin ( A − B ) = (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 2 1 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] 2 ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ sin ( A − B ) ⎡1 − sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π ⇔ A = B∨ A+B = 2 vaä y ΔABC vuoâ n g hay caâ n taï i C Caù c h khaù c sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B ⇔ sin ( A − B ) = ( 2 sin cos ) (2 cos sin ) 2 2 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π ⇔ A = B∨ A+B = 2 Baø i 219 ΔABC laø tam giaù c gì neá u ( a 2 + b2 ) sin ( A − B ) = ( a 2 − b2 ) sin ( A + B ) (*) Ta coù : (*) ⇔ ( 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B ) sin ( A − B ) = 4R 2 ( sin 2 A − sin 2 B ) sin ( A + B ) ⇔ sin 2 A ⎡sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎤ + sin 2 B ⎡sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇔ 2sin2 A cos A sin ( −B ) + 2sin2 B sin A cos B = 0
⇔ − sin A cos A + sin B cos B = 0 (do sin A > 0 vaø sin B > 0 ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = 2 Vaä y ΔABC caâ n taï i C hay ΔABC vuoâ n g taï i C. Baø i 220: ΔABC laø tam giaù c gì neá u : ⎧a 2 sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ ⎩sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B (2) Ta coù : (1) ⇔ 4R 2 sin 2 A sin 2B + 4R 2 sin 2 B sin 2A = 16R 2 sin A sin 2 B cos A ⇔ sin 2 A sin 2B + sin2 B sin 2A = 4 sin A sin2 B cos A ⇔ 2 sin2 A sin B cos B + 2 sin A cos A sin 2 B = 4 sin A sin2 B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = 2 sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = 0 ⇔ sin ( A − B ) = 0 ⇔A=B Thay vaø o (2) ta ñöôï c sin 2A = 2 sin 2 A ⇔ 2 sin A cos A = 2 sin 2 A ⇔ cos A = sin A ( do sin A > 0 ) ⇔ tgA = 1 π ⇔A= 4 Do ñoù ΔABC vuoâ n g caâ n taï i C V. TAM GIAÙ C ÑEÀ U Baø i 221: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u : bc 3 = R ⎡ 2 ( b + c ) − a ⎤ (*) ⎣ ⎦ Ta coù : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) 3 = R ⎡2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ 1 3 ⎤ ⎡ 1 3 ⎤ ⇔ 2 sin B ⎢1 − cos C − sin C ⎥ + 2 sin C ⎢1 − cos B − sin B ⎥ = 0 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = 0 (1) ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦
⎛ π⎞ Do sin B > 0 vaø 1 − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 0 ⎝ 3⎠ ⎛ π⎞ sin C > 0 vaø 1 − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 0 ⎝ 3⎠ Neâ n veá traù i cuû a (1) luoâ n ≥ 0 ⎧ ⎛ π⎞ ⎪cos ⎜ C − 3 ⎟ = 1 ⎪ ⎝ ⎠ Do ñoù , (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = 1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ 3⎠ π ⇔C=B= ⇔ ΔABC ñeà u . 3 ⎧ 3 ⎪sin B sin C = (1) ⎪ 4 Baø i 222: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u ⎨ ⎪a 2 = a − b − c 3 3 3 (2) ⎪ ⎩ a−b−c Ta coù : (2) ⇔ a 3 − a 2 b − a 2 c = a 3 − b3 − c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = b3 + c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c2 ) ⇔ a 2 = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c 2 − 2bc cos A = b2 + c 2 − bc (do ñl haø m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc 1 π ⇔ cos A = ⇔A= 2 3 Ta coù : (1) ⇔ 4 sin B sin C = 3 ⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) + cos A ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⎛1⎞ ⎛ π⎞ ⇔ 2 cos ( B − C ) + 2 ⎜ ⎟ = 3 ⎜ do (1 ) ta coù A = ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 3⎠ ⇔ cos ( B − C ) = 1 ⇔ B = C Vaä y töø (1), (2) ta coù ΔABC ñeà u Baø i 223: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u : sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C Ta coù : sin 2A + sin 2B = 2sin ( A + B ) cos ( A − B ) = 2sin C cos ( A − B ) ≤ 2sin C (1) Daá u “=” xaû y ra khi: cos ( A − B ) = 1 Töông töï : sin 2A + sin 2C ≤ 2sin B (2)
Daá u “=” xaû y ra khi: cos ( A − C ) = 1 Töông töï : sin 2B + sin 2C ≤ 2sin A (3) Daá u “=” xaû y ra khi: cos ( B − C ) = 1 Töø (1) (2) (3) ta coù: 2 ( sin2A + sin2B + sin2C) ≤ 2 ( sinC + sinB + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = 1 ⎪ Daá u “=” xaû y ra ⇔ ⎨cos ( A − C ) = 1 ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = 1 ⇔ ΔABC ñeà u Baø i 224: Cho ΔABC coù : 1 1 1 1 + + = (*) sin 2A sin 2B sin C 2 cos A cos B cos C 2 2 2 Chöù n g minh ΔABC ñeà u Ta coù : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C = ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) 2 cos A cos B cos C = 4 sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) Maø : 4 sin A sin B sin C = 2 ⎡ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ sin ( A + B ) ⎣ ⎦ = 2 ⎡cos ( A − B ) + cos C⎤ sin C ⎣ ⎦ = 2 sin C cos C + 2 cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do ñoù , vôù i ñieà u kieä n ΔABC khoâ n g vuoâ n g ta coù (*) ⇔ sin 2 2B sin 2 2C + sin 2 2A sin 2 2C + sin 2 2A sin 2 2B = sin 2A. sin 2B. sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = sin 2 2A sin 2B sin 2C + sin 2 2B sin 2A sin 2C + sin 2 2C sin 2A sin 2B 1 2 1 2 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 2 1 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = 0 2 2 ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔⎨ ⇔ A = B = C ⇔ ABC ñeà u ⎩sin 2B = sin 2C Baø i 225: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u : a cos A + b cos B + c cos C 2p = (*) a sin B + b sin C + c sin A 9R
Ta coù : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = R ⎡2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + 2 sin C cos C ⎤ ⎣ ⎦ = 2R sin C ⎡cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ = 4R sin C sin A sin B ⎣ ⎦ Caù c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R 3 sin 2 A sin 2 B sin2 C ( do bñt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C 2 3 Do ñoù veá traù i : ≤ sin A sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 3 2p a + b + c 2 Maø veá phaû i : = = ( sin A + sin B + sin C ) 9R 9R 9 2 ≥ 3 sin A sin B sin C (2) 3 Töø (1) vaø (2) ta coù ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC ñeà u 4R sin A sin B sin C a+b+c Caù c h 2: Ta coù : (*) ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A 9R ⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⇔ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca 9R a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ 2R ⇔ 9abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Do baá t ñaú n g thöùc Cauchy ta coù a + b + c ≥ 3 abc ab + bc + ca ≥ 3 a 2 b2c 2 Do ñoù : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Daá u = xaû y ra ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC ñeà u . Baø i 226: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 2 2 sin ( A + B ) sin C Ta coù : cot gA + cot gB = = sin A sin B sin A sin B sin C ≥ 2 (do bñt Cauchy) ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
C C C 2 sin cos 2 sin = 2 2 = 2 2 A + B 2 A − B C 2 A − B sin .cos cos cos 2 2 2 2 C ≥ 2tg (1) 2 B Töông töï : cot gA + cot gC ≥ 2tg (2) 2 A cot gB + cot gC ≥ 2tg (3) 2 Töø (1) (2) (3) ta coù ⎛ A B C⎞ 2 ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ 2 ⎜ tg + tg + tg ⎟ ⎝ 2 2 2⎠ Do ñoù daá u “=” taï i (*) xaû y ra ⎧ A−B A−C B−C ⎪cos = cos = cos =1 ⇔⎨ 2 2 2 ⎪sin A = sin B = sin C ⎩ ⇔A=B=C ⇔ ΔABC ñeàu. BAØI TAÄP 1. Tính caù c goù c cuû a ΔABC bieá t : 3 π 2π a/ cos A = sin B + sin C − (ÑS: B = C = ,A = ) 2 6 3 π b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = 0 (ÑS: A = B = C = ) 3 c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0 2. Tính goù c C cuû a ΔABC bieá t : a/ (1 + cot gA ) (1 + cot gB ) = 2 ⎧ A, B nhoïn ⎪ b/ ⎨ 2 ⎪sin A + sin B = 9 sin C 2 ⎩ ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1 3. Cho ΔABC coù : ⎨ ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0 Chöù n g minh Δ coù ít nhaá t moä t goù c 36 0 . 4. Bieá t sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = m . Chöù n g minh a/ m = 2 thì ΔABC vuoâ n g b/ m > 2 thì ΔABC nhoï n c/ m < 2 thì ΔABC tuø . 5. Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g neá u : b+c a/ cos B + cos C = a b c a b/ + = cos B cos C sin B sin C
c/ sin A + sin B + sin C = 1 − cos A + cos B + cos C ( b − c ) = 2 ⎡1 − cos ( B − C )⎤ 2 d/ ⎣ ⎦ b 2 1 − cos 2B 6. Chöù n g minh ΔABC caâ n neá u : 1 + cos B 2a + c a/ = sin B a 2 − c2 sin A + sin B + sin C A B b/ = cot g . cot g sin A + sin B − sin C 2 2 c/ tgA + 2tgB = tgA.tg B 2 ⎛ C ⎞ ⎛ C⎞ d/ a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ C B e/ ( p − b ) cot g = ptg 2 2 C f/ a + b = tg ( atgA + btgB ) 2 7. ΔABC laø Δ gì neá u : A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg 2 b/ c = c cos 2B + b sin 2B c/ sin 3A + sin 3B + sin 3C = 0 d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) 8. Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u a/ 2 ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b/ 3S = 2R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C ) c/ sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C 9R d/ m a + m b + m c = vôù i ma , m b , mc laø 3 ñöôø n g trung tuyeá n 2 Th.S Phạm Hồng Danh – TT luyện thi Vĩnh Viễn