intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 

Phần 1: Luyện tập căn bản về bất đẳng thức

Chia sẻ: Bach Tinh Tinh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:43

Thêm vào BST
Báo xấu
368
lượt xem 47
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b 0 chứng minh: 2. Chứng minh: 3. Cho a + b  0 chứng minh:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần 1: Luyện tập căn bản về bất đẳng thức

  1. Bất đẳng thức PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 3 a3 + b3 � + b� a Cho a, b > 0 chứng minh: 1. �2 � 2 � � a2 + b2 Chứng minh: a + b 2. 2 2 a + b 3 a3 + b3 Cho a + b ≥ 0 chứng minh: 3. 2 2 a b + a+ b Cho a, b > 0 . Chứng minh: 4. b a 1 1 2 + Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: 5. 1+ ab 2 2 1+ a 1+ b 2( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 6. a ( b + c + d + e) Chứng minh: a + b + c + d + e2 2 2 2 2 7. 2 2 2 Chứng minh: x + y + z xy + yz + zx 8. a + b+ c ab + bc + ca a. Chứng minh: 9. ; a,b,c 0 3 3 2 a2 + b2 + c2 � + b+ c � a b. Chứng minh: �3 � 3 � � a2 + b2 + c2 ab − ac + 2bc 10. Chứng minh: 4 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ab + a + b 12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 2xy − 2xz + 2yz 13. Chứng minh: x + y + z + 1 2xy(xy2 − x + z + 1 4 4 2 ) 1 3 3 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: a + b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 1
  2. Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ; a,b,c 0 1. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) 2. 9abc ; a,b,c 0 ( 1+ 3 abc ) 3 với a , b , c ≥ 0 Chứng minh: ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) 3. m m a b Cho a, b > 0. Chứng minh: �+ � + �+ � 2m + 1 , với m ∈ Z+ 4. 1 1 � �� � � b� � a � bc ca ab + + a + b + c ; a,b,c 0 Chứng minh: 5. a b c x6 + y9 3x2y3 − 16 ; x,y Chứng minh: 6. 0 4 1 4 3a2 − 1. Chứng minh: 2a + 7. 1+ a2 Chứng minh: a1995 > 1995( a − 1) 8. ,a>0 Chứng minh: a2 ( 1+ b2 ) + b2 ( 1+ c2 ) + c2 ( 1+ a2 ) 6abc . 9. a b c 1� 1 1� 1 +2 +2 �+ + � Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 10. 2 2 2 2� b c � a a +b b +c a +c Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ab a b − 1 + b a − 1 . 11. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 12. Cho a > b > c, Chứng minh: a 33 ( a − b) ( b − c ) c . 13. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: 14. a) b + c ≥ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc � 1 � 1� 1� � � c) �+ �1+ �1+ � 64 1 � � � a � b� c � � � 1 x+ 3 Cho x > y > 0 . Chứng minh: 15. ( x − y) y Chứng minh: 16. x2 + 2 a2 + 5 x+ 8 2 ,∀x ∈ R 4 6 , ∀x > 1 a) b) c) x−1 x2 + 1 a2 + 1 a + b+ c ab bc ca + + ; a, b, c > 0 Chứng minh: 17. a + b b+ c c + a 2 x2 y2 1 + , ∀x , y ∈ R 18. Chứng minh: 4 4 4 1+ 16x 1+ 16y a b c 3 + + 19. Chứng minh: ;a,b,c>0 b+ c a + c a + b 2 2
  3. Bất đẳng thức 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 +3 +3 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. a + b + c + d 44 abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số) với a , b , c ≥ 0 , 3 (Côsi 3 số ) b.a + b + c 3 abc 3 3 3 2 2 2 22. Chứng minh: a + b + c a bc + b ac + c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 4 c 99 abc 3 4 x 18 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2x x 2 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x−1 3x 1 26. Cho y = + , x > −1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x+1 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 3 2x − 1 2 x 5 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 1− x x x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. x2 x2 + 4x + 4 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. x 2 2 Tìm GTNN của f(x) = x + 3 , x > 0. 31. x Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 32. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN. 33. 5 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ . Định x để y đạt GTLN 34. 2 5 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − x 5 . Định x để y đạt GTLN 35. 2 1 5 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − ≤ x ≤ . Định x để y đạt GTLN 36. 2 2 x Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN 37. x +2 x2 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN ( x2 + 2) 3 3
  4. Bất đẳng thức III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) 1. BĐT Bunhiacopxki Chứng minh: sinx + cos x 2 2. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ≥ 7. 3. Cho 3a – 4b = 7. 725 Chứng minh: 3a2 + 5b2 ≥ 4. Cho 2a – 3b = 7. . 47 2464 Chứng minh: 7a2 + 11b2 ≥ 5. Cho 3a – 5b = 8. . 137 Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2. 6. Cho a + b = 2. 1 2 2 Chứng minh: a + b Cho a + b ≥ 1 7. 2 Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 3 a3 + b3 � + b� a Cho a, b > 0 chứng minh: 1. � 2 � (*) 2 � � 3 a3 + b3 � + b � 3 a )2 ( )( � 0 ⇔ 8 a+b a−b 0 . ĐPCM. −� (*) ⇔ 2 �2 � a2 + b2 () Chứng minh: a + b 2. 2 2  a + b ≤ 0 , () luôn đúng. ( a − b) 2 a2 + b2 + 2ab a2 + b2 a + b > 0 , () ⇔ 0⇔ − 0 , đúng.  4 2 4 a2 + b2 . Vậy: a + b 2 2 ( a + b) 3 a3 + b3 a3 + b3 a+b Cho a + b ≥ 0 chứng minh: ⇔ 3 3. 8 2 2 2 ⇔ 3( b − a) ( a2 − b2 ) 2 0 ⇔ −3( b − a) ( a + b) 0 , ĐPCM. a b + a + b () Cho a, b > 0 . Chứng minh: 4. b a () ⇔ a a + b b a b + b a ⇔ ( a − b) a − ( a − b) b 0 ⇔ ( a − b) ( a − b ) ( a − b ) ( a + b ) 0 , ĐPCM. 2 0⇔ 1 1 2 + Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: 5. () 1+ ab 2 2 1+ a 1+ b 4
  5. Bất đẳng thức 2 ab − b2 ab − a 1 1 1 1 + − − + 0⇔ 0 ⇔ ( 1+ a2 ) ( 1+ ab) ( 1+ b2 ) ( 1+ ab) 1+ ab 1+ ab 1+ a2 1+ b2 a ( b − a) b( a − b) b− a � a b� + − 0⇔ 0 ⇔ 1+ ab � + a2 1+ b2 � ( 1+ a2 ) ( 1+ ab) ( 1+ b2 ) ( 1+ ab) 1 � � ( b − a) 2 ( ab − 1) b − a � + ab2 − b − ba2 � a �0⇔ 0 , ĐPCM. ⇔ � 1+ ab �( 1+ a2 ) ( 1+ b2 ) � ( 1+ ab) ( 1+ a2 ) ( 1+ b2 ) � � Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0.  2( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 6. 2 2 2 ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) 0 . ĐPCM. a ( b + c + d + e) Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 7. 2 2 2 a2 a a a − ab + b2 + − ac + c2 + − ad + d2 + − ae + e2 ⇔ 0 4 4 4 4 2 2 2 2 a a a a � �� �� �� � ⇔ � − b � + � − c � + � − d� + � − e � 0 . ĐPCM �2 �� 2 �� 2 �� 2 � Chứng minh: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx 8. ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2zx 0 2 2 2 ( x − y) + ( x − z) + ( y − z) ⇔ 0 a + b+ c ab + bc + ca a. Chứng minh: 9. ; a,b,c 0 3 3 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca  2 2 2 2 � + b + c � a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca a �= � �3 9 3 � a + b+ c ab + bc + ca ⇔ 3 3 2 a2 + b2 + c2 � + b+ c � a b. Chứng minh: �3 � 3 � � 3( a2 + b2 + c2 ) = a2 + b2 + c2 + 2( a2 + b2 + c2 )  2 a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca) = ( a + b + c ) 2 a2 + b2 + c2 � + b+ c � a ⇒ �3 � 3 � � a2 + b2 + c2 ab − ac + 2bc 10. Chứng minh: 4 5
  6. Bất đẳng thức 2 a2 a � � − a ( b − c ) + b2 + c2 − 2bc 0 ⇔ � − ( b − c ) � ⇔ 0. 4 �2 � 2 2 11. Chứng minh: a + b + 1 ab + a + b ⇔ 2a2 + 2b2 + 2 − 2ab − 2a − 2b 0 ⇔ a2 − 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1 0 ⇔ ( a − b) 2 + ( a − 1) 2 + ( b − 1) 2 0. 2 2 2 12. Chứng minh: x + y + z 2xy − 2xz + 2yz ⇔ x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz 0 ⇔ (x – y + z)2 ≥ 0. 13. Chứng minh: x4 + y4 + z2 + 1 2x(xy2 − x + z + 1) ⇔ x4 + y4 + z2 + 1− 2x2y2 + 2x2 − 2xz − 2x 0 ⇔ ( x2 − y ) 22 2 2 + ( x − z ) + ( x − 1) 0. 1 3 3 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: a + b 4 ° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3 2 � 1� 1 1 ⇒ a3 + b3 = 3� − � + . a � 2� 4 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 ⇔ (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2  a > b− c , b > a − c , c > a − b  ⇒ a2 > b2 − 2bc + c2 , b2 > a2 − 2ac + c2 , c2 > a2 − 2ab + b2 ⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) b. 2 a2 > a2 − ( b − c ) ⇒ a2 > ( a + c − b) ( a + b − c )  2 ⇒ b2 > ( b + c − a) ( a + b − c ) b2 > b2 − ( a − c )  2 ⇒ c2 > ( b + c − a) ( a + c − b) c2 > c2 − ( a − b)  ⇒ a2b2c2 > ( a + b − c ) 2 ( a + c − b) 2 ( b + c − a) 2 ⇔ abc > ( a + b − c ) ( a + c − b) ( b + c − a) 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0 c. ⇔ 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0 ⇔ 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0 ⇔ (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 ⇔ [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 ⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác ⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. 6
  7. Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ; a, b, c 0 1.  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: ⇒ a + b 2 ab , b + c 2 bc , a + c 2 ac ⇒ ( a + b) ( b + c ) ( a + c ) 8 a2b2c2 = 8abc . Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) 2. 9abc ; a,b,c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 33 abc , a2 + b2 + c2 3 ⇒ a + b+ c 3 a2b2c2 ⇒ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 ) 3 9 a3b3c3 = 9abc . ( 1+ 3 abc ) 3 , với a , b , c ≥ 0. Chứng minh: ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) 3. ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc.  33 abc , ab + ac + bc 3 3 a2b2c2 a + b+ c  1+ 33 abc + 3 a2b2c2 + abc = ( 1+ 3 abc ) 3 3 ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c )  m m a b Cho a, b > 0. Chứng minh: �+ � + �+ � 2m + 1 , với m ∈ Z+ 4. 1 1 � �� � � b� � a� m m m m m � a� � b� � a � � b� � b a� � + � + �+ � 2 �+ � .�+ � = 2 � + + � 1 1 1 1 2 � b� � a� � b� � a� � a b�  2 4m = 2m + 1 bc ca ab + + a + b + c ; a, b, c > 0 Chứng minh: 5. a b c  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: abc2 b2ac bc ca bc ba = 2c , = 2b , + + 2 2 a b ab a c ac a2bc ca ab + = 2a 2 b c bc bc ca ab + + a + b+ c . ⇒ a b c x6 + y9 3x2y3 − 16 ; x,y Chứng minh: 6. 0 () 4 () ⇔ x6 + y9 + 64 12x2y3 ⇔ ( x2 ) + ( y3 ) + 43 3 3 12x2y3 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( x2 ) 3 + ( y3 ) 3 + 43 3x2y3 4 = 12x2y3 . 7
  8. Bất đẳng thức 1 4 3a2 − 1 () Chứng minh: 2a + 7. 1+ a2 1 4 4 2 4a2 . () ⇔ a + a + a + 1+ 2 1+ a 1 4 4 2 Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a , a , a + 1, 1+ a2 1 1 44 a4a4 ( a2 + 1) a4 + a4 + a2 + 1+ = 4a2 2 2 1+ a 1+ a > 1995( a − 1) () 1995 Chứng minh: a 8. ,a>0 1995 1995 () ⇔ a > 1995a − 1995 � a + 1995 > 1995a 1995 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 1+4 2 ... + 1 1995 1 1+ 4 3 = 1995a a 1994 so￡ Chứng minh: a2 ( 1+ b2 ) + b2 ( 1+ c2 ) + c2 ( 1+ a2 ) 9. 6abc . a2 ( 1+ b2 ) + b2 ( 1+ c2 ) + c2 ( 1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ° Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:  6 °a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 6 a6b6c6 = 6abc a b c 1� 1 1� 1 +2 +2 �+ + � 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2� b c � a a +b b +c a +c a a 1 b b 1 c c 1 = = = ° ,2 ,2 2 2 2 2 2ab 2b 2bc 2c a + c 2ac 2a a +b b +c a b c 1� 1 1� 1 + + �+ + � ° Vậy: 2 a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2 � b c � a 11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ab a b − 1 + b a − 1 . ° a = ( a − 1) + 1 2 a − 1, b = ( b − 1) + 1 2 b − 1 2b a − 1, ab 2a b − 1 ° ab ° ab a b − 1 + b a − 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° x = ( x − 1) + 1= ( x − 1) + x + y + z − 3 2 = ( x − 1) + ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ( y − 1) ( z − 1) 44 ( x − 1) 2 2 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ; 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) Tương tự: y z ⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a 33 ( a − b) ( b − c ) c . 8
  9. Bất đẳng thức ° a = ( a − b) + ( b − c ) + c 3 a − b) ( b − c ) c 3( 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc. 2 2 2 � + c� � + c� �− a � b b 1 2 � = 4a ( 1− a) ° � bc ⇔ 16abc � = 16a � 16a � � �2 � �2 � �2 � ° 4a ( 1− a) 2 = ( 1− a) ( 4a − 4a2 ) = ( 1− a) �− ( 1− 2a) 2 � 1− a = b + c 1 � � b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc � 1 � 1� 1� � � c) �+ �1+ �1+ � 64 1 � � � a � b� c � � � 4 2 � 1 � � + a + b + c � 4 a bc a ° �+ � � = 1 � � a� � a a � 4 4 1 4 ab2c 4 abc2 1 ° 1+ ° 1+ b b c c � 1 � 1� 1� � � �+ �1+ �1+ � 64 1 � �  � a � b� c � � � 1 x+ 3 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( x − y) y ( x − y) y 1 VT = ( x − y) + y + =3 33  ( x − y) y ( x − y) y 16. Chứng minh: x2 + 2 2 ⇔ x2 + 2 2 x2 + 1 ⇔ x2 + 1+ 1 2 x2 + 1 a) x2 + 1 x+ 8 x − 1+ 9 9 9 = x − 1+ x−1 =6 2 b) = x−1 x−1 x−1 x−1 a2 + 5 ( a2 + 1) + 4 4( a2 + 1) 4 = 4 a +1 ⇔ 2 c. 2 a2 + 1 a + b+ c ab bc ca + + ; a, b, c > 0 17. Chứng minh: a + b b+ c c + a 2 ° Vì : a + b 2 ab ab ab ab bc bc bc ac ac ac = = = ⇒ , , a+b b+ c a+ c 2 2 2 2 ab 2 bc 2 ac 2 2 2 ° a + b+ c ab + bc + ca , dựa vào: a + b + c ab + bc + ca . 9
  10. Bất đẳng thức ab + bc + ac a + b+ c ab bc ca + + ° a + b b+ c c + a 2 2 x2 y2 1 + , ∀x , y ∈ R 18. Chứng minh: 1+ 16x4 1+ 16y4 4 x2 x2 x2 1 = = ° 4 2 2 1+ ( 4x) 8 1+ 16x 2.4x 2 2 y2 y y 1 = = ° 4 2 2 1+ ( 4y) 8 1+ 16y 2.4y x2 y2 1 +  4 4 4 1+ 16x 1+ 16y a b c 3 + + 19. Chứng minh: ;a,b,c>0 b+ c a + c a + b 2 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. 1 ° a + b + c = (X + Y + Z) 2 Y + Z− X Z+ X − Y X+Y −Z ° a= ,b= ,c = 2 2 2 1 �Y X � � X � � Y � � a b c Z Z � + + = � + � � + � � + � 3� + + − ° � b + c a + c a + b 2 �X Y ������ Z X YZ � 1 3 [ 2 + 2 + 2 − 3] = . 2 2 Cách khác: a b c �a ��b ��c � + + =� + 1� � + + 1� � + + 1� 3 − ° b+ c a + c a + b � + c � � + c � � + b � b a a 1 �1 1 1� = [ ( a + b) + ( b + c ) + ( c + a) ] � + + − �3 � + c a + c a + b� 2 b  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 [ ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) ] � 1 + 1 + 1 � 9 − 3 = 3 ° � � � + c a + c a + b� 2 2 b 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 +3 +3 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc a3 + b3 = ( a + b) ( a2 − ab + a2 ) ( a + b) ab ° ( a + b) ab + abc = ab( a + b + c ) , tương tự 3 3 ⇒ a + b + abc ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) 3 3 ° b + c + abc ( c + a) ca + abc = ca ( a + b + c ) c3 + a3 + abc ° 10
  11. Bất đẳng thức � + b+ c � 1 1 1 1 a + + =  VT � � ab( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c � abc � 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. a + b + c + d 44 abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số) a+b 2 ab , c + d 2 cd  ( ) 2( ab + cd ) 44 abcd a + b + cd  22 ab. cd với a , b , c ≥ 0 , 33 abc (Côsi 3 số ) b. a + b+ c a + b+ c a + b+ c a + b+ c + 4.4 abc  3 3 4 a + b+ c a + b+ c � + b+ c � a + b+ c a ⇔ ⇔ 4 abc abc � � 3 3 �3 3 � 3 � + b+ c � a 3 ⇔� � abc ⇔ a + b + c 3 abc . �3 � 22. Chứng minh: a3 + b3 + c3 a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0 a3 + abc 2a2 bc , b3 + abc 2b2 ac , c3 + abc 2c2 ab ° 2( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) a3 + b3 + c3 + 3abc ° 2( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) , ⇒ 2( a3 + b3 + c3 ) vì : a3 + b3 + c3 3abc 3 3 3 2 2 2 Vậy: a +b +c a bc + b ac + c ab 23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 44 c 99 abc 3  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c 99 abc ° x 18 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2x x 18 x 18 y= + =6 2 . Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:  2x 2x x 18 � x2 = 36 � x = � , chọn x = 6. = 6 ° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 2x Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 x 2 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x−1 x−1 2 1  y= + + x−1 2 2 x−1 2 ,  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : 2 x−1 11
  12. Bất đẳng thức x−1 x−1 2 2 1 15 y= + + += 2 . x−1 2 2 x−1 2 2 2 x=3 x−1 2 2 � ( x − 1) = 4 � = ° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = −1(loa� x−1 i) 2 5 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 2 3x 1 26. Cho y = + , x > −1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x+1 3(x + 1) 1 3 y= + −  x+1 2 2 3( x + 1) 1 ,  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : x+1 2 3( x + 1) 3( x + 1) 1 1 3 3 3 y= + − − = 6− 2 . x+1 2 x+1 2 2 2 2 ° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 6 x= −1 3( x + 1) 1 2 3 2 � ( x + 1) = � = ⇔ x+1 2 3 6 x= − − 1(loa� i) 3 3 6 − 1 thì y đạt GTNN bằng 6 − Vậy: Khi x = 2 3 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 3 2x − 1 2 2x − 1 5 1  y= + + 2x − 1 3 6 2x − 1 5 ,  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : 2x − 1 6 2x − 1 2x − 1 5 30 + 1 5 1 1 y= + + += 2 . 2x − 1 3 6 2x − 1 3 6 3 Dấu “ = ” xảy ra 30 + 1 x= 2x − 1 5 2 2 � ( 2x − 1) = 30 � = ⇔ 2x − 1 6 − 30 + 1 x= (loa� i) 2 30 + 1 30 + 1 Vậy: Khi x = thì y đạt GTNN bằng 3 2 12
  13. Bất đẳng thức x 5 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 1− x x ° 5( 1− x) + 5x x−1 x 1− x x x f(x) = + = +5 +5 +5= 2 5+5 2 5 1− x 1− x 1− x x x x 2 1− x 5− 5 x �x � Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ =5 �= 5� x= (0 < x < 1) �� 1− x �− x � x 1 4 5− 5 ° Vậy: GTNN của y là 2 5 + 5 khi x = 4 x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. x2 x3 + 1 1 xx1 xx 1 3 = x+ = + + 2 33 =3 ° 2 2 2 22x 22x 4 x x xx 1 Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ = = 2 ⇔ x = 3 2 . ° 22x 3 Vậy: GTNN của y là 3 khi x = 3 2 ° 4 x2 + 4x + 4 30. Tìm GTNN của f(x) = , x > 0. x x2 + 4x + 4 4 4 = x+ + 4 +4= 8 ° 2 x. x x x 4 Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ x = ° ⇔ x = 2 (x > 0). x ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 2 2 31. Tìm GTNN của f(x) = x + 3 , x > 0. x 3 2 x2 x2 x2 1 � 2 ��1 � 2 1 x 5 ° x2 + = + + + + 55 � �� 3 � = 3 3 x3 x3 5 3 3 �3 �� � 27 x x 2 x 1 = 3 � x = 5 3 ⇔ x = 2 (x > 0). ° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ 3x 5 khi x = 5 3 . ° Vậy: GTNN của y là 5 27 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 2 11 � x � 11 � 1 1 � f(x) = –10x2 + 11x – 3 = −10� 2 − ° � 3 = −10� − − �+ x x 10 � � 20 � 40 40 � 13
  14. Bất đẳng thức 11 Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = ° 20 11 1 Vậy: Khi x = ° thì y đạt GTLN bằng . 20 40 Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN. 33.  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6): ° 6 = x + ( 6 − x) 2 x ( 6 − x) ⇒ x(6 – x) ≤ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3 ° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 5 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ . Định x để y đạt GTLN. 34. 2 1  y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 2 5� � −  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , � 3 x : � � 2� 121 1 °11 = ( 2x + 6) + ( 5 − 2x) 2 ( 2x + 6) ( 5 − 2x) ⇒ (2x + 6)(5 – 2x) ≤ 8 2 1 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔ x = − 4 121 1 ° Vậy: Khi x = − thì y đạt GTLN bằng . 8 4 5 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − x 5 . Định x để y đạt GTLN. 35. 2 1  y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2 �5 � − x 5�  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , � : �2 � 625 1 °( 2x + 5) + ( 10 − 2x) 2 ( 2x + 5) ( 10 − 2x) ⇒ (2x + 5)(10 – 2x) ≤ 8 2 5 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔ x = 4 625 5 ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng 8 4 1 5 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − ≤ x ≤ . Định x để y đạt GTLN 36. 2 2  y = 3(2x + 1)(5 – 2x) �1 5� − x  Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , � : � �2 2� 14
  15. Bất đẳng thức ( 2x + 1) + ( 5 − 2x) 2 ( 2x + 1) ( 5 − 2x) ⇒ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9 ° ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 – 2x ⇔ x = 1 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. x 37. Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN x +2 1 x 1 y ° 2 + x2 2 2x2 = 2x 2 ⇔ 2⇒ 2 2 2+ x 22 Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x2 = 2 v� >0 ° x x= 2 1 ° Vậy: Khi x = 2 thì y đạt GTLN bằng . 22 x2 38. Cho y = . Định x để y đạt GTLN ( x2 + 2) 3 x2 1 (2 �) + 3 27x2 .1.1 ⇔ x 2 32 ° 2 2 x + 2 = x + 1+ 1 3 x ( x2 + 2) 3 27 Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x2 = 1� x = � ° 1 1 Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng ° . 27 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki 1. () ⇔ a2b2 + 2abcd + c2d2 a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2 ⇔ a2d2 + c2b2 − 2abcd 0 ⇔ ( ad − cb) 2 0. Chứng minh: sinx + cos x 2 2.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : ( 12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x) sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x ° =2 Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ≥ 7.2 2 3.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4b : ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) ⇔ 3a2 + 4b2 ≥ 7. ° 3a + 4b = 3. 3a + 4. 4b 725 3a2 + 5b2 ≥ Chứng minh: 4. Cho 2a – 3b = 7. . 47 2 3 2a − 3b = 3a − 5b  3 5 2 3 , 3a , − , 5b:  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 5 15
  16. Bất đẳng thức 2 3 � 9� 2 4 735 � + �3a + 5b ) ⇔ 3a2 + 5b2 ≥ ( 2 3a − ° 5b . � 5� 3 47 3 5 2464 Chứng minh: 7a2 + 11b2 ≥ 5. Cho 3a – 5b = 8. . 137 3 5 3a − 5b = 7a − 11b  7 11 3 5 , 7a , − , 11b :  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 7 11 2464 3 5 � 25 � 2 9 �7a + 11 ) ⇔ 7a2 + 11b2 ≥ ( b2 7a− �+ ° 11b . 137 � 11 � 7 7 11 Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2. 6. Cho a + b = 2.  Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ( 1+ 1) ( a2 + b2 ) ° ⇔ a2 + b2 2= a+b ≥2 ( a2 + b2 ) ( 1+ 1) ( a4 + b4 ) ° ⇔ a4 + b4 2 ≥2 1 2 2 Chứng minh: a + b Cho a + b ≥ 1 7. 2 1 1�a + b � ( 1 + 1 ) ( a2 + b2 ) � a2 + b2 � 2 2 ° 2 16
  17. Bất đẳng thức PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC (CĐGT II 2003 dự bị) 1. x2 + xy + y2 + x2 + xz+ 2 y2 + yz+ 2 Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: z z (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 2. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 111 A=x+y+z+ + + thức: xyz 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) 5 Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 41 biểu thức: A = + . x 4y 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: a b c d + + + 0 thì (x + 1)2 � � 16. ≥ 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) a + b+ c a + b+ c a + b+ c + + 9 Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: a b c 8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều ki ện: a + b + c = 1 1 1 �a b c� + b + c 3� a + b + c � 1 thì: a 3 3 3 3 3 3� � 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: 17
  18. Bất đẳng thức a b c 33 + + 2 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) a2 + b2 + c2 = 2 Cho các số a, b, c thoả: ab + bc + ca = 1 4 44 44 4 Chứng minh: − ;− ;− a b c 3 33 33 3 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) 13. Cho ∆ ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 � 1 1� 1 + + 2� + + � p− a p− b p− c a b c� � (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) 14. Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 2y 2x 2z 1 1 1 +3 +3 + 2+ 2 3 2 2 2 2 x +y y +z z +x x y z (ĐH PCCC khối A 2001) 15. Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc+ a b + loga+b c > 1 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) 16. α Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: x + α – 1 ≥ αx. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: a3 b3 c3 abc + + ++ 3 3 3 bca b c a 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b − 1 + b a − 1 ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của m ột tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 2 2 Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a3 + b3 > c 3 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả đi ều ki ện a + b + c = 0. Ch ứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều ki ện: ab + bc + ca = abc. Ch ứng b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 minh rằng: + + 3 ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 18
  19. Bất đẳng thức 3 a + b3 3 � + b� a Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: �2 � 2 � � 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nh ỏ nh ất c ủa bc ca ab +2 +2 biểu thức: P = 2 a b + a c b c + b a c a + c2b 2 2 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: ( ) 3 (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc 26. (ĐH Y HN 2000) 23 + = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện xy của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 2 + xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị l ớn nhất của biểu thức: A = a + 1+ b + 1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với m ọi số th ực x, y, z b ất kì 1 1 1 9 khác không: 2 + 2 + 2 x + y2 + z2 2 x y z BĐT cuối cùng luôn đúng ⇒ BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) a2 b2 c2 a b c + + ++ Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: b2 c2 a2 b c a 33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1 + + + + 2 1+ x 1+ y 1+ z 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Ch ứng minh r ằng: 19
  20. Bất đẳng thức 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc mi ền trong c ủa ∆ ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 (a, b, c là các cạnh của ∆ ABC, R là x+ y+ z 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) 5 Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn đi ều ki ện x + y = . Tìm 4 41 S= + giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. a c b2 + b + 50 + Chứng minh bất đẳng thức: và tìm giá trị nhỏ nhất bd 50b ac của biểu thức: S = + . bd 38. (Đại học 2002 dự bị 6) 3 Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các 2 cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ t ừ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: � 1� � 1 1� 1 1 1 � + b + c �h + h + h � 3 � a � �a � c� b 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 82 x y z 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3 cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: 4p(p − a) bc (1) C 2 3−3 A B sin sin sin = (2) 2 2 2 8 a + b+ c trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 2 42. (Đại học khối A 2005) 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
953=>2