Phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ của một bài toàn biên đối với phương trình song điều hòa

Phí Hùng Cường<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 81(05): 79 - 83<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP GIẢI LẶP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT<br /> BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA<br /> Lê Tùng Sơn*<br /> Trường ĐH Sư phạm - ĐH Thái Nguyên<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Trong bài báo này chúng tôi chúng tôi trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặp<br /> tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa trong [2] nhờ việc sử<br /> dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev mà sự hội tụ của sơ đồ lặp này về nghiệm gốc của<br /> bài toán ban đầu được đánh giá qua tính chất hoàn toàn liên tục của một toán tử biên xác định trên<br /> không gian Sobolev HS(∂Ω), s≥0. Phần cuối là một số thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm<br /> kiểm chứng về sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh về mặt lí thuyết.<br /> Keywords: BVP: Boundary Value Problem<br /> <br /> GIỚI THIỆU*<br /> Trong [2], chúng tôi đưa ra công thức nghiệm<br /> giải tích cho một bài toán biên đối với<br /> phương trình song điều hòa mô tả dao động<br /> của bản mỏng với điều kiện biên ngàm đàn<br /> hồi trên miền Ω là một hình tròn. Đó là bài<br /> toán biên đối với phương trình song điều hòa<br /> <br /> trong đó Ω chỉ là miền giới nội trong R2 có<br /> biên ∂Ω đủ trơn, ∆ là toán tử Laplace, µ là<br /> tham số không âm, q-1 là một hàm số dương,<br /> n là véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ. Sử<br /> dụng phương pháp tọa độ cực, với x, x là<br /> hai điểm tùy ý thuộc Ω \ Γ có tọa độ cực<br /> tương ứng là ( r ,ϕ ), ( r ,ϕ ) . s, s là hai<br /> điểm tùy ý thuộc biên Γ có tọa độ cực tương<br /> ứng là ( R,ψ ), ( R,ψ ) . ns , ns lần lượt là<br /> các véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ tại<br /> các điểm s, s . Khi đó nghiệm gốc u của bài<br /> toán trên được cho bởi công thức:<br /> <br /> u ( x) = − ∫ G ( x, x )v( x )dx ,<br /> Ω<br /> <br /> G(x, s)<br /> v0 (s)dΓs<br /> ∂<br /> n<br /> s<br /> Ω<br /> <br /> v(x) = −∫ G(x, x) f (x)dx − ∫<br /> Ω<br /> <br /> *<br /> <br /> Tel: 0280 3856 894; Email: letungson.dhsptn@gmail.com<br /> <br /> G ( x, x )<br /> <br /> là hàm Green được của toán tử<br /> <br /> Laplace ∆<br /> G ( x, x ) =<br /> <br /> 1<br /> ln<br /> 2π<br /> <br /> R2 +<br /> <br /> r 2 (r )2<br /> R 2 − 2 rrc os(ϕ − ϕ )<br /> <br /> r 2 − ( r ) 2 − 2 rrc os(ϕ − ϕ )<br /> Hơn nữa, chúng tôi còn chứng minh được với<br /> <br /> f ∈ H s −3/2 (Ω) thì v0 ∈ H s (Γ) và do đó,<br /> u ∈ H s +5/2 (Ω) .<br /> Trong<br /> đó,<br /> H s −3/2 (Ω), H s (Γ), H s +5/2 (Ω) là các<br /> không gian Sobolev, s ≥ 0.<br /> Dưới đây, chúng tôi giới thiệu một phương<br /> pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán trên. Có<br /> thể tóm tắt như sau: sau khi phân rã bài toán<br /> gốc cấp bốn đối với phương trình song điều<br /> hòa về dãy các bài toán biên cấp hai đối với<br /> phương trình elliptic, xuất hiện thêm một ẩn<br /> hàm biên v0 , ẩn hàm biên này được đưa vào<br /> một phương trình toán tử có dạng Av0 = f.<br /> Một trong những phương pháp số tìm v0 là<br /> giải lặp phương trình Av0 = f bằng sơ đồ lặp<br /> hai lớp của Samarski – Nikolaev giới thiệu<br /> trong [6]. Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ về<br /> nghiệm gốc của phương trình toán tử trên chủ<br /> yếu được đánh giá qua hai định lí: định lí 1<br /> trong [1] của Đặng Quang Á và định lí 1<br /> trong [6] của Samarski – Nikolaev. Phần cuối<br /> của bài báo, chúng tôi đưa ra một số kết quả<br /> thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm kiểm<br /> tra sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh<br /> về mặt lí thuyết.<br /> 85<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Lê Tùng Sơn<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> Trong quá trình tìm nghiệm giải tích của bài<br /> toán (1.1) – (1.3), việc tìm ra dãy các hàm<br /> riêng của toán tử là một cơ sở trực chuẩn của<br /> không gian H0(Ω) = L2(Ω) đóng vai trò then<br /> chốt. Sẽ rất khó khăn nếu Ω⊂Rn, n>2. Mặt<br /> khác, trong quá trình tính toán, đòi hỏi các<br /> tích phân đều phải được tính tường minh.<br /> Điều này không phải lúc nào cũng thực hiện<br /> được. Các lí do trên cho thấy, việc tìm<br /> nghiệm giải tích chỉ mang tính khả thi cho<br /> một lớp khá hẹp các bài toán biên đối với<br /> phương trình song điều hòa. Chúng tôi hi vọng<br /> phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho<br /> bài toán (1.1) – (1.3) mà chúng tôi trình bày<br /> dưới đây phần nào khắc phục được những khó<br /> khăn nói trên. Mặt khác, nghiệm xấp xỉ tìm<br /> được có đánh giá sai số đủ nhỏ với nghiệm<br /> gốc sẽ mang ý nghĩa thực tiễn khi sử dụng.<br /> GIẢI BÀI TOÁN (1.1)-(1.3)<br /> 1. Đưa bài toán (1.1) – (1.3) về phương trình<br /> toán tử biên<br /> Đặt ∆u = v và kí hiệu v = v0 , từ bài toán<br /> Γ<br /> (1.1) – (1.3) ta được dãy các bài toán sau<br /> <br /> x ∈ Ω,<br /> ∆v = f ,<br /> <br />  v = v0 , x ∈ Γ = ∂Ω,<br /> x ∈ Ω,<br /> ∆u = v,<br /> <br />  u = 0, x ∈ Γ = ∂Ω.<br /> <br /> (1.4)<br /> <br /> và<br /> <br /> (1.5)<br /> <br /> (1.4) và (1.5) là các bài toán biên đối với<br /> phương trình Poisson với điều kiện biên<br /> Dirichlet, theo [4], với<br /> <br /> f ∈H<br /> <br /> s−<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> (Ω), v0 ∈ H s (Γ), s ≥ 0 thì<br /> <br /> (1.4) có duy nhất nghiệm v∈H (Ω) do đó,<br /> (1.5) có duy nhất nghiệm U∈HS+5/2(Ω).<br /> Ẩn hàm biên v0 được xác định phải thỏa mãn<br /> điều kiện: khi thay v0 vào (1.4), giải liên tiếp<br /> hai bài toán (1.4), (1.5), ta được nghiệm u của<br /> bài toán (1.1) – (1.3).<br /> Trước hết, ta định nghĩa một toán tử biên B<br /> được xác định bởi công thức:<br /> S+1/2<br /> <br /> ∂u<br /> Bv0 =<br /> , (1.6)<br /> ∂n Γ<br /> <br /> 81(05): 85 - 89<br /> <br /> trong đó, v và u lần lượt là nghiệm của các bài<br /> toán:<br /> <br />  ∆v = 0,<br /> <br /> v = v0 ,<br /> <br /> x ∈ Ω,<br /> x ∈ Γ,<br /> <br /> (1.7)<br /> <br />  ∆u = v, x ∈ Ω,<br /> <br /> x ∈ Γ.<br /> u = 0,<br /> <br /> và<br /> <br /> (1.8)<br /> <br /> Sử dụng điều kiện (1.3) trong bài toán gốc,<br /> kết hợp với (1.6), ta có phương trình<br /> <br /> µ qv0 + Bv0 = −<br /> trong (1.9),<br /> <br /> ∂u1<br /> ,<br /> ∂n Γ<br /> <br /> (1.9)<br /> <br /> u1 là nghiệm của dãy các bài toán<br /> <br /> ∆v1 = f , x ∈Ω,<br /> (1.10) và<br /> <br /> x ∈Γ,<br /> v1 = 0,<br />  ∆u1 = v1 , x ∈ Ω,<br /> (1.11)<br /> <br /> u<br /> =<br /> 0,<br /> x<br /> ∈<br /> Γ<br /> .<br />  1<br /> F =−<br /> <br /> Đặt<br /> <br /> f ∈H<br /> u1 ∈ H<br /> <br /> s−<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> s+<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> ∂u1<br /> ∂n<br /> <br /> (1.12), với giả thiết<br /> Γ<br /> <br /> (Ω), dễ dàng suy ra:<br /> (Ω). Vì vậy, theo định lí vết:<br /> <br /> F∈Hs-1(Γ), s ≥ 0. Từ (1.7) và (1.12), ta có<br /> phương trình Sv0 = F (1.13) S = µQI (1.14).<br /> B được xác định bởi (1.6), I là toán tử đơn vị<br /> cho việc xác định ẩn hàm biên v0, với vế phải<br /> F hoàn toàn xác định.<br /> Định lí 2.1. (xem[2]) Với B là toán tử xác<br /> định bởi (1.6), (1.7), (1.8). Khi đó<br /> i) B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương<br /> trong không gian Hilbert L2(Γ) với tích vô<br /> hướng<br /> <br /> (v0 , t0 )L2 (Γ) = ∫ v0 .t0d Γ.<br /> Γ<br /> <br /> ii)<br /> <br /> B : H s (Γ) → H s+1(Γ)<br /> <br /> tục, s ≥ 0. H (Γ ), H<br /> gian Sobolev.<br /> s<br /> <br /> s +1<br /> <br /> hoàn toàn liên<br /> <br /> (Γ) là các không<br /> <br /> 86<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Phí Hùng Cường<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> Nhận xét<br /> Từ kết quả của Định lí 2.1, ta rút ra:<br /> + Nếu µ = 0, q > 0 thì S = B, do đó S là toán<br /> tử tuyến tính, đối xứng, dương, hoàn toàn liên<br /> tục.<br /> + Nếu µ > 0, q ≥ q0 > 0 thì S là toán tử tuyến<br /> tính, đối xứng, giới nội và xác định dương.<br /> 2. Phép lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán<br /> (1.1) – (1.3)<br /> Xét phương trình toán tử (1.23) Sv0 - F.<br /> Từ nhận xét trên, với µ = 0, q > 0, khi đó ta<br /> có phương trình Bv0 = F, (2.1) trong đó, toán<br /> tử B được xác định bởi (1.6), F được xác định<br /> bởi (1.12). Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp<br /> Samarski - Nikolaev trong [6] giải lặp phương<br /> trình toán tử (2.1) cho bởi công thức:<br /> <br /> 81(05): 79 - 83<br /> <br /> hàm u, v có sự phân tích u = u1 + u2, v = v1 +<br /> v+2, trong đó, v1, u1 lần lượt là nghiệm của<br /> các bài toán (1.10), (1.11), còn v2, u2 thỏa<br /> mãn các bài toán<br /> <br />  ∆v2 = 0, x ∈ Ω,<br /> <br /> x ∈ Γ,<br /> v2 = v0 ,<br /> ∆u2 = v2 , x ∈ Ω,<br /> <br /> x ∈ Γ,<br />  u2 = 0,<br /> <br /> (2.6)<br /> <br /> và<br /> <br /> (2.7)<br /> <br /> nên từ (2.6) và (2.7), kết hợp với phương<br /> trình (1.6), ta có<br /> <br /> ∂u2<br /> .<br /> (2.8)<br /> ∂n Γ<br /> ∂u ∂u1 ∂u2<br /> Mặt khác, vì<br /> =<br /> +<br /> , x ∈ Γ nên<br /> ∂n ∂n ∂n<br /> Bv0 =<br /> <br /> tại mỗi bước lặp k ta luôn có<br /> ( k +1)<br /> 0<br /> <br /> v<br /> <br /> τ<br /> <br /> −v<br /> <br /> k<br /> 0<br /> <br /> + Bv<br /> <br /> (k )<br /> 0<br /> <br /> = F,<br /> <br /> k = 0,1,2,... ,(2.2)<br /> <br /> τ là tham số lặp.<br /> <br /> và từ (2.8) ta thu được<br /> <br /> Vì B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương và<br /> hoàn toàn liên tục, nên theo Bổ đề 1 trong [1],<br /> sơ đồ lặp (2.2) sẽ hội tụ về nghiệm của<br /> phương trình (2.1). Khi đó sơ đồ lặp (2.2)<br /> được thực hiện bởi quá trình lặp sau cho việc<br /> tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.1) – (1.3)<br /> Bước 1. Cho giá trị xấp xỉ ban đầu của<br /> <br /> v0(0) ∈ L2 (Γ) , chẳng hạn v0(0) = 0 .<br /> Bước 2. Biết v0 , k = 0,1, 2,... , giải liên<br /> tiếp hai bài toán<br /> (k )<br /> <br />  ∆v ( k ) = f ,<br />  (k )<br /> (k )<br />  v = v0 ,<br />  ∆u ( k ) = v ( k ) ,<br />  (k )<br />  u = 0,<br /> <br /> x ∈ Ω,<br /> (2.3)<br /> x ∈ Ω.<br /> <br /> x ∈ Ω,<br /> (2.4)<br /> x ∈ Ω.<br /> <br /> Bước 3. Tính xấp xỉ mới<br /> <br /> v0( k +1) = v0( k ) − τ<br /> <br /> ∂u ( k ) ∂u1 ∂u2 ( k )<br /> =<br /> +<br /> , x ∈ Γ (2.9)<br /> ∂n<br /> ∂n<br /> ∂n<br /> <br /> ∂u2 ( k )<br /> ∂n<br /> <br /> (2.10)<br /> Γ<br /> <br /> Từ (2.9) và (2.10), ta suy ra<br /> <br /> ∂u ( k ) ∂u1<br /> =<br /> + Bv0( k ) , x ∈ Γ (2.11)<br /> ∂n<br /> ∂n<br /> Thay (2.11) vào (2.5), ta nhận được sơ đồ lặp<br /> (2.2).<br /> MỘT SỐ THỰC NGHIỆM VÀ KẾT QUẢ<br /> Chúng tôi tiến hành một số thực nghiệm trên<br /> máy tính nhằm kiểm tra sự hội tụ của quá<br /> trình lặp (2.3) – (2.5) đã được chứng minh về<br /> mặt lí thuyết. miền Ω được lựa chọn làm<br /> thực nghiệm là hình vuông đơn vị. Phủ Ω<br /> bởi lưới đều có cỡ của bước lưới lần lượt là<br /> <br /> 1<br /> , tương ứng với lưới 33X33,<br /> 32<br /> 1<br /> h = h1 = h2 =<br /> , tương ứng với lưới<br /> 64<br /> 1<br /> 65 × 65 , h = h1 = h2 =<br /> , tương ứng với<br /> 128<br /> h = h1 = h2 =<br /> <br /> ∂u ( k )<br /> , x ∈ Γ. (2.5)<br /> ∂n<br /> (k )<br /> <br /> Bv0 ( k ) =<br /> <br /> (k )<br /> <br /> Với mỗi k, gọi v , u<br /> lần lượt là<br /> nghiệm của các bài toán (2.3), (2.4), vì các<br /> <br /> 87<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Lê Tùng Sơn<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> lưới 129 × 129 . Các hàm u được chọn trước<br /> làm nghiệm gốc của bài toán (1.1) – (1.3), từ<br /> đó các hàm vế phải được tính theo u sao cho<br /> thỏa mãn các điều kiện biên. Các bài toán vi<br /> phân (2.3), (2.4) được xấp xỉ bậc hai trên các<br /> lưới, các đạo hàm theo pháp tuyến và các đạo<br /> hàm riêng được được xấp xỉ bởi công thức sai<br /> phân có độ chính xác cùng bậc. Các hệ<br /> phương trình thu được sau sai phân được giải<br /> bằng phương pháp thu gọn khối lượng tính<br /> toán trong [6]. Tiêu chuẩn dừng lặp cho quá<br /> trình lặp (2.3) – (2.5) là:<br /> <br /> u ( k +1) − u ( k )<br /> <br /> ∞<br /> <br /> < ε = O(h 2 ), h<br /> <br /> là bước lưới. Thông qua con đường thực<br /> nghiệm, chúng tôi nhận thấy: khi chọn các giá<br /> trị tham số lặp τ dần đến 1 thì số lần lặp K<br /> thực hiện thuật toán sẽ giảm và nhỏ nhất khi<br /> τ = 1 , vì vậy trong các thực nghiệm dưới<br /> đây, tham số lặp τ được chọn trước bằng 1.<br /> Sai số Erro=<br /> <br /> u − uapp<br /> <br /> ∞<br /> <br /> , uapp là<br /> <br /> nghiệm<br /> <br /> xấp xỉ của quá trình tính toán. Các thực<br /> nghiệm được thực hiện trên PC Pentium 4<br /> Bảng 1:<br /> <br /> Qua các kết quả thực nghiệm chúng tôi nhận<br /> thấy khi phủ Ω bởi lưới dày hơn, chẳng hạn<br /> thay lưới 65 × 65 bởi lưới 129 × 129 , thì số<br /> mắt lưới tăng lên, do đó, số lần thực hiện thực<br /> hiện thuật toán buộc phải tăng lên, tỉ lệ thuận<br /> với giá trị của K và thời gian thực hiện, nhưng<br /> sai số giữa nghiệm gốc và nghiệm xấp xỉ<br /> giảm xuống, tức độ chính xác được tăng lên.<br /> Cũng cần lưu ý rằng thời gian thực hiện thuật<br /> toán trên mỗi loại PC có thể không như nhau,<br /> tùy thuộc vào cấu hình và tốc độ xử lí của<br /> mỗi loại.<br /> Thời gian tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu<br /> về quá trình lặp cho bài toán này trong trường<br /> hợp µ > 0, q ≥ q0 > 0, tức là S là toán tử toán<br /> tử tuyến tính, đối xứng, giới nội và xác định<br /> dương và một số thực nghiệm trên máy tính<br /> điện tử có tốc độ xử lí cao.<br /> Error<br /> 1.02e-4<br /> 2.35e-5<br /> 4.18e-5<br /> <br /> Thời gian(giây)<br /> 4.13<br /> 7.36<br /> 12.09<br /> <br /> K<br /> 7<br /> 7<br /> 15<br /> <br /> Error<br /> 6.33e-3<br /> 3.72e-4<br /> 2.09e-4<br /> <br /> Thời gian(giây)<br /> 2.53<br /> 4.17<br /> 9.55<br /> <br /> Error<br /> 5.21e-4<br /> 1.37e-4<br /> 3.09e-5<br /> <br /> Thời gian(giây)<br /> 2.43<br /> 5.12<br /> 8.40<br /> <br /> Error<br /> 1.78e-4<br /> 2.62e-4<br /> 8.07e-5<br /> <br /> Thời gian(giây)<br /> 1.27<br /> 4.41<br /> 6.30<br /> <br /> u = ( x 2 − 1)e y + ( y 2 − 1)e x<br /> <br /> Lưới<br /> 33 X 33<br /> 65 X 65<br /> 129 X 129<br /> Bảng 4:<br /> <br /> Nhận xét<br /> <br /> K<br /> 8<br /> 11<br /> 14<br /> <br /> u = sin(π x).cos(π y )<br /> <br /> Lưới<br /> 33 X 33<br /> 65 X 65<br /> 129 X 129<br /> Bảng 3:<br /> <br /> CPU 1.80Ghz trong môi trường MATLAB.<br /> Các kết quả chính của thực nghiệm được<br /> thống kê qua các bảng dưới đây.<br /> <br /> u = ( x 2 − 1)2 .( y 2 − 1)<br /> <br /> Lưới<br /> 33 X 33<br /> 65 X 65<br /> 129 X 129<br /> Bảng 2:<br /> <br /> 81(05): 85 - 89<br /> <br /> K<br /> 4<br /> 4<br /> 7<br /> <br /> u = 0.25 x 4 + 0.5 y 4 + x 2 + y 2<br /> <br /> Lưới<br /> 33 X 33<br /> 65 X 65<br /> 129 X 129<br /> <br /> K<br /> 3<br /> 4<br /> 6<br /> <br /> 88<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Phí Hùng Cường<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Dang Quang A, Construction of iterative<br /> method for solving a mixed boundary problem for<br /> biharmonic equation, Proceedings of the Fifth<br /> Mathematical Conference of Vietnam, Ssi. And<br /> Tech. Publ. House, Hanoi, 47 – 55, 1999.<br /> [2]. Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn (2001), “Xây<br /> dựng nghiệm giải tích của một bài toán biên đối<br /> với phương trình song điều hòa”, Tạp chí Khoa<br /> học và Công nghệ , Đại học Thái Nguyên, 4(20),<br /> 66 – 71.<br /> <br /> 81(05): 79 - 83<br /> <br /> [3]. Dang Quang A, Le Tung Son, Iterative<br /> method for solving a mixed boundary value<br /> problem for biharmoniv type equation, Tạp chí<br /> Tin học và Điều khiển học, Vol. 22. No. 3. 229 –<br /> 234. 2006<br /> [4]. Lions J. L. and Magenes E. Problems aux<br /> limites non honogenes es applications, Vol. 1,<br /> Dunod, Paris. 1968<br /> [5]. Samarski A. A. The Theory of Difference<br /> Schemes, NewYork, Marcel, Dekker. 2001<br /> [6]. Samarski A. A. and Nikolaev E. S. Numerical<br /> Methods for Grid equations, Vol. 1, Direct<br /> Methods, Birkhauser, Basel Boston, Berlin, 1989<br /> <br /> SUMMARY<br /> AN ITERATIVE METHOD IN FINDING APPROXIMATE SOLUTIONS<br /> OF THE BOUNDARY PROBLEM FOR BIHARMONIC EQUATION<br /> Le Tung Son*<br /> College of Education - Thai Nguyen University<br /> <br /> In this paper, we propose a method for constructing of boundary operator for a boundary value<br /> problem type equation and constructing an iterative process for it. It is based on the reduction the<br /> BVP for differential equations of degree four to BVP for equations of degree two and the result of<br /> some pratices to verify the convergence of the iterative scheme for the original problem.<br /> Keywords: BVP: Boundary Value Problem<br /> <br /> *<br /> <br /> Tel: 0280 3856 894; Email: letungson.dhsptn@gmail.com<br /> <br /> 89<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br />