Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton trong đơn lớp kim loại chuyển tiếp diachalcogenides đặt trong từ trường đều

Chia sẻ: Liễu Yêu Yêu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu "Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton trong đơn lớp kim loại chuyển tiếp diachalcogenides đặt trong từ trường đều" sử dụng phương pháp toán tử FK được sử dụng để tính phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều. Trong đó, thế tương tác được dùng để mô tả tương tác giữa điện tử và lỗ trống trong exciton là thế tương tác Keldysh. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton trong đơn lớp kim loại chuyển tiếp diachalcogenides đặt trong từ trường đều

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI BÀI TOÁN EXCITON TRONG ĐƠN LỚP KIM LOẠI CHUYỂN TIẾP DIACHALCOGENIDES ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Nguyễn Phương Duy Anh Viện Phát Triển Ứng Dụng, Trường ĐH Thủ Dầu Một * Email: anhnpd@tdmu.edu.vn TÓM TẮT: Trong công trình này, phương pháp toán tử FK được sử dụng để tính phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều. Trong đó, thế tương tác được dùng để mô tả tương tác giữa điện tử và lỗ trống trong exciton là thế tương tác Keldysh. Các kết quả số thu được không chỉ cho trạng thái cơ bản mà còn cho một số trạng thái kích thích, có độ chính xác lên đến 12 chữ số thập phân cho toàn bộ miền biến đổi của từ trường. Các kết quả này hoàn toàn phù hợp với các kết quả thực nghiệm và các kết quả của mô hình lý thuyết khác. Phương pháp này có thể áp dụng cho nhiều loại đơn lớp TMD khác nhau. TỪ KHOÁ: exciton, từ trường, phương pháp toán tử FK, TMD. THE FK OPERATOR METHOD FOR THE PROBLEM OF EXCITON IN THE MONOLAYER TRANSITION-METAL DICHALCOGENIDES WITH A CONSTANT MAGNETIC FIELD ABSTRACT: In this work, we use the Feranchuk-Komarov operator method (FK-OM) to calculate energies of exciton in the monolayer transition-metal dichalcogenides with a constant magnetic field. The electron-hole interaction in two-dimensional systems such as the monolayer transition-metal dichalcogenides is used by the Keldysh potential. As a result, we are able to obtain high-accuracy numerical solutions with the precision of twelve decimal places for the ground and highly excited states in whole magnetic field. The results are in complete coincide with the results of experiment and the results of other theory. KEYWORDS: exciton, magnetic field, FK operator method, TMD. 1. Giới thiệu Phương pháp toán tử FK (FK operator method viết tắt là FK-OM) được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus, thông qua bài toán dao động tử phi điều hòa [1]. Đây là phương pháp phi nhiễu loạn giải phương trình Schrödinger, được đặt tên theo hai tác giả Feranchuk và Komarov [1]. Cho đến nay, phương pháp này đã được áp dụng cho nhiều bài toán khác nhau và đã chứng tỏ được tính ưu việt và hiệu quả so với các phương pháp khác. Đối với bài toán dao động tử phi điều hòa, FK-OM đã xây dựng được 54
chuỗi hội tụ cho các hàm riêng và trị riêng của bài toán không chỉ cho trạng thái cơ bản mà còn cho các trạng thái kích thích [1]; bài toán exciton hai chiều trong từ trường với cường độ bất kỳ, đã thu được nghiệm chính xác với độ chính xác đến 20 chữ số thập phân [2] trong toàn miền biết đổi của từ trường không chỉ cho trạng thái cơ bản mà còn cho các trạng thái kích thích... Ngoài ra, FK-OM này cũng được ứng dụng thành công cho các bài toán vật lý chất rắn, lý thuyết trường, vật lý nguyên tử, phân tử [2]. Quá trình tính toán của FK-OM được thực hiện mà không cần dùng trực tiếp đến dạng tường minh biểu thức của hàm sóng và việc tính toán đại số cũng trở nên đơn giản hơn nhờ vào dạng chuẩn của các toán tử sinh, hủy Dirac. Các tính toán đại số này có thể được lập trình dễ dàng để tìm các trị riêng với độ chính xác cần thiết. Đặc biệt, FK-OM chỉ sử dụng các tính toán thuần đại số vì vậy mà ta có thể gọi FK-OM là phương pháp đại số. Qua các kết quả thu được từ các công trình nghiên cứu cho thấy, FK-OM có thể tính toán được cho nhiều bài toán khác nhau, vì vậy chúng tôi sẽ sử dụng FK-OM để tìm phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp kim loại chuyển tiếp diachalcogenides (Transition metal diachalcogenides, viết tắt là TMD). Đơn lớp TMD có công thức hóa học là MX2, trong đó M là kim loại chuyển tiếp (thuộc nhóm IV, V, VI, VII, IX hoặc X) và X là nguyên tử chacolgen (một họ của oxygen gồm O, Se, Te,...). Cấu trúc của chúng là một lớp nguyên tử M được xếp xen kẽ giữa hai lớp nguyên tử X theo hình lục giác. Trong số khoảng 40 loại TMD hiện có, một số loại đã nhận được quan tâm đặc biệt do tính chất bán dẫn của chúng và do năng lượng vùng cấm có thể điều chỉnh được. Đặc biệt, các đơn lớp TMD trong nhóm VI (MoS2, WS2, MoSe2, WSe2) là bán dẫn có năng lượng vùng cấm trực tiếp với khả năng quang phát quang (photoluminescence) tương đối mạnh, khoảng cách giữa các mức năng lượng lớn và phổ năng lượng của các mức hẹp nên dễ dàng quan sát được [3]. Các nghiên cứu cho thấy dịch chuyển quang học chủ yếu trong TMD là hình thành các exciton, là tên gọi chung cho trạng thái liên kết của điện tử và lỗ trống, các exciton bao gồm exciton trung hòa (còn gọi là exciton), exciton âm, exciton dương, biexciton... Năng lượng liên kết của các exciton này phụ thuộc vào môi trường xung quanh thể hiện qua hằng số điện môi. Ngoài ra, các nghiên cứu quang phát quang trên các đơn lớp TMD cho thấy trong các đơn lớp này không chỉ tồn tại exciton mà còn tồn tại các trion và biexciton [4]. Đặc biệt trong TMD, sự thay đổi năng lượng vùng cấm phụ thuộc vào số lớp vật liệu. Vì vậy, việc nghiên cứu năng lượng liên kết của các exciton trong vật liệu hai chiều TMD có thể giải tích một số hiệu ứng vật lý, là vấn đề mang nhiều ý nghĩa thực tiễn. 2. Phương pháp toán tử FK Về ý tưởng, FK-OM là sự kết hợp của các phương pháp: phương pháp lý thuyết nhiễu loạn; phương pháp biến phân và phương pháp đại số. Trong đó, bộ hàm sóng cơ sở được sử dụng chính là dao động tử điều hòa. Để giải bài toán bằng FK-OM, ta phải biểu diễn toán tử Hamilton dưới dạng các toán tử sinh – huỷ aˆ + , aˆ , các toán tử này thường được định nghĩa dưới dạng:  1   +  1   aˆ = x+  ; aˆ = x−  x  . (1) 2  x  2 55
Trong đó, toán tử aˆ được gọi là toán tử huỷ, aˆ + được gọi là toán tử sinh, chúng luôn thoả hệ thức giao hoán  aˆ , aˆ +  = 1. (2) Hệ thức giao hoán (2) giúp ta có thể đưa được các toán tử sinh huỷ về dạng chuẩn, là dạng các toán tử sinh nằm bên trái và các toán tử huỷ nằm bên phải, điều này giúp thuận lợi cho các tính toán phía sau. Ngoài ra, khi định nghĩa các toán tử sinh, huỷ như trong biểu thức (1), ta thấy có sự xuất hiện của tham số  , đây là tham số thực, dương được đưa vào để tối ưu quá trình tính toán, làm tăng tốc độ hội tụ của bài toán mà không làm ảnh hưởng đến tính chính xác của bài toán. Kế đến ta sẽ toán tử Hamilton thành hai thành phần Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ ,  ,...) và Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ,...) . Việc tách toán tử Hamilton này dựa trên hình thức của các toán tử sinh và toán tử huỷ. Trong đó: toán tử Hˆ 0OM chỉ chứa các toán tử có dạng aˆ + aˆ , là dạng có số toán tử sinh và số toán tử huỷ bằng nhau được gọi là các toán tử trung hoà, thành phần Hˆ 0OM luôn có nghiệm chính xác; toán tử Vˆ OM sẽ chứa các thành phần còn lại của toán tử Hamilton sau khi đã tách thành phần Hˆ OM . Việc tách này tương tự như cách tách của phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, 0 trong đó toán tử Vˆ OM được xem là thành phần “nhiễu loạn” và thành phần này sẽ luôn được điều chỉnh “đủ nhỏ” nhờ tham số  được đưa vào khi định nghĩa các toán tử sinh huỷ. Do thành phần Hˆ OM chỉ chứa các toán tử trung hoà nên ta có thể tìm được nghiệm chính 0 xác bậc không bằng cách giải phương trình Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ ,  ,...)  n( ) = En( )  n( ) . 0 0 0 (3) Trong đó hàm sóng n ( ) được chọn là bộ hàm riêng của dao động tử điều hòa, thường được biểu diễn dưới dạng: n ( ) = 1 ( aˆ + ) 0 ( ) . n (4) n! Ở đây, ta sử dụng ký hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó biểu thức (4) được gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum) 0 ( ) được xác định bằng phương trình: aˆ 0 ( ) = 0; 0 ( ) 0 ( ) = 1. (5) Như đã trình bày ở trên, tham số  được đưa vào để tối ưu quá trình tính toán, vì vậy trong công trình [5] đã chỉ ra rằng có thể xác định  từ điều kiện: En( ) 0 = 0. (6)  56
Các thức lựa chọn giá trị  này cho kết quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc không đối với nhiều bài toán khác nhau và luôn thoả điều kiện Hˆ OM Vˆ OM . Tuy nhiên, do tham số này chỉ 0 ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ của bài toán nên ta có thể lựa chọn nó một cách ngẫu nhiên, điều này sẽ được thể hiện rõ qua phần tính toán tiếp theo. Cuối cùng để tìm nghiệm số En của bài toán, ta có thể sử dụng nhiều sơ đồ tính toán khác ( nhau như: sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn, sơ đồ vòng lặp…. Do các yếu tố ma trận Hˆ 0OM aˆ + aˆ ,  ,... ) ( ) và Vˆ OM aˆ + , aˆ , ,... được xây dựng dưới dạng đại số nên thuận lợi cho việc lập trình tính toán. Ngoài ra, trong các bài toán nguyên tử sẽ xuất hiện thành phần tương tác Coulomb có chứa 1 các thành phần tọa độ ở mẫu số dưới dạng 2 , vì vậy khi sử dụng FK-OM cho các bài toán r nguyên tử, ta thường sử dụng thêm các phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Levi-Civita để đưa các thành phần này lên tử số để thuận tiện khi tính các tác dụng lên bộ hàm cơ sở. 3. Bài toán exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều 3.1. FK-OM giải bài toán exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều Trong các công trình nghiên cứu gần đây cho thấy khi sử dụng thế tương tác Keldysh để mô tả tương tác giữa điện tử và lỗ trống trong exciton trong đơn lớp TMD thì sẽ cho kết quả phù hợp với các kết quả đo được bằng thực nghiệm [3]. Vì vậy trong công trình này, thế tương tác Keldysh sẽ được sử dụng để tính toán để tìm năng lượng của exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều. Xét exciton trong đơn lớp TMD đặt từ trường đều hướng dọc theo trục z , vuông góc với mặt phẳng đơn lớp. Khi đó phương trình Schrödinger không thứ nguyên có dạng: Hˆ ( x, y) = E ( x, y), (7) 1  2 2  i     1 Hˆ = −  2 + 2  −   x − y  +  2 ( x 2 + y 2 ) + VK (r ,  ), (8) 2  x y  2  y x  8 với r = x 2 + y 2 . Trong phương trình (7), đơn vị năng lượng và độ dài được sử dụng lần lượt là năng lượng Hartree hiệu dụng 2Ry* = m*e4 /16 2 02 2 và bán kính Bohr hiệu dụng a0* = 4 0 2 / m*e2 ; tham số từ trường không thứ nguyên  có liên quan đến từ trường theo phương trình B =   2m* Ry* / e . Như đã trình bày ở trên, để thuận tiện khi sử dụng FK-OM để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phép biến đổi Fourier đối với thành phần thế năng Keldysh VK ( r ,  ) , khi đó ta được: + + 1 eit1x +it2 y VK (r ,  ) = −  − dt1dt2 t (1 +  t ) , 2 − (9) với t = t12 + t22 . Tham số  = r0 /  a0* đặc trưng cho thế tương tác, khi  → 0 thì thế Keldysh sẽ trở thành thế tương tác Coulomb. Mặc khác, ở vế phải của biểu thức (9) được biểu diễn thông 57
qua x và y , hai biến số này có vai trò như nhau, hoàn toàn có thể đổi chỗ cho nhau x y mà không ảnh hưởng đến kết quả tính toán do r = x 2 + y 2 . Do đó exciton bị chắn vẫn có đối xứng trụ và bảo toàn moment động lượng quỹ đạo được mô tả trong phương trình (7), (8). Vì vậy, trong các tính toán tiếp theo của chúng tôi, số lượng tử từ m sẽ được xem như là một trạng thái lượng tử. Tiếp theo, ta cũng sẽ sử dụng phép biến đổi Levi-Civita, ta đưa phương trình Schrödinger (7), (8) về dạng phương trình Schrödinger của bài toán dao động tử phi điều hòa để giải [5]. Khi đó, trong không gian ( u , v ) phương trình Schrödinger của hệ được viết dưới dạng:   1  2 2   m  2 2  2 2 2 3 ˆ   −   2 + − 2   E −  ( u + v ) + ( u + v ) − V (u , v)  (u , v) = 0, (10)  8  u  v   2  8   với thế Vˆ (u, v) thu được từ rVK và chỉ phụ thuộc vào u 2 + v 2 . Trong không gian ( u , v ) , toán tử moment xung lượng có dạng i    Lˆ = −  v − u  , 2  u v  do bài toán có bảo toàn Lˆ z nên hàm sóng trong (7) phải thỏa phương trình Lˆ (u, v) = m (u, v), với m = 0, 1, 2, 3,... . Vì vậy, trong biểu thức (10), ta đã thay toán tử moment xung lượng Lˆ z bằng trị riêng m của nó. Phương trình (10) hoàn toàn tương đương với các phương trình Schrödinger (7), (8) nhưng đơn giản hơn. Đặc biệt, phương trình (10) phù hợp cho các phép tính đại số sẽ được trình bày trong phần tiếp theo. Ngoài ra, phương trình này chính là phương trình mô tả bài toán dao động tử phi điều hòa, và phép nhân vô hướng đối với hàm sóng trong không gian (u, v) được định nghĩa dưới dạng + +  |   =     dudv. * (11) − − Để sử dụng FK-OM, trước tiên ta sẽ biểu diễn toán tử Hamilton trong phương trình (10) dưới dạng các toán tử sinh huỷ. Ta sẽ định nghĩa các toán tử sinh, hủy dưới dạng:  1    1   ˆ = u +  , ˆ = + u −  u  , 2  u  2 (12)  1     1   ˆ = v + ˆ ,  = + v − , 2   v  2   v  trong đó, tham số  là tham số tự do. Ngoài ra, để thuận tiện trong các phần tính toán tiếp theo, chúng tôi sẽ sử dụng bộ toán tử sinh, hủy được biến đổi từ (12) có dạng 58
1 2 ˆ − i ˆ , aˆ + = aˆ = 1 2 ( ˆ + + i ˆ + , ) ( ) (13) bˆ = 1 2 ˆ + i ˆ , bˆ + = 1 2 ( ˆ + − i ˆ + . ) ( ) Vì khi đó toán tử moment xung lượng có dạng chuẩn: 1 Lˆ = (aˆ + aˆ − bˆ+bˆ). 2 Các toán tử sinh, hủy (13) thỏa các hệ thức giao hoán  aˆ, aˆ +  = 1, bˆ, bˆ+  = 1 (14)   là công cụ chính trong các tính toán đại số. Khi đó ta thu được dạng biểu diễn đại số của phương trình Schrödinger (10) như sau:  1 m  ˆ + ˆ ˆ  (ˆ+ ˆ ˆ 1  )  − 4  M + M − N − 2  E − 2  M + M + N   ( ) (15) 2 + +  ( 1 ) 1 ( ) 3 Mˆ + + Mˆ + Nˆ − − − dt1dt2 t ( 2 t + 1) Oˆ Mˆ + Mˆ + Nˆ  (u, v) = 0, + + 64 3 2  với t 4t 2 1 4t 2 ˆ t ˆ − Aˆ + − Mˆ + ln(1+ 4 t 2 ) t ( nˆ − Nˆ ) − M A Oˆ = e 1+ 4 t 2 e 1+ 4 t 2 e 2 tmˆ + e 2 e −2 tmˆ e 1+ 4 t 2 e 1+ 4 t 2 . (16) Trong đó ta đã đưa vào các toán tử mới dưới dạng Mˆ + = aˆ + bˆ + , Mˆ = ab ˆ ˆ, Nˆ = aˆ + aˆ + bˆ +bˆ + 1, it + t it − t −it + t it + t Aˆ + = 1 2 ( aˆ + ) − 1 2 bˆ + ( ), 2 Aˆ = 1 2 aˆ 2 + 1 2 bˆ 2 , 2 (17) t12 + t22 t12 + t22 t12 + t22 t12 + t22 −it + t −it + t −t + it −t − it Kˆ = 1 2 bˆ + aˆ − 1 2 aˆ + bˆ, mˆ + = 2 1 aˆ +bˆ, mˆ = 2 1 bˆ + aˆ , nˆ = aˆ + aˆ − bˆ +bˆ, t1 + t2 2 2 t1 + t2 2 2 t1 + t2 2 2 t12 + t22 và t = t12 + t22 / 2 . Các toán tử Mˆ + , Mˆ , Nˆ , Aˆ , Aˆ + , Kˆ , m ˆ + , mˆ , nˆ được đưa vào để giúp cho dạng biểu diễn của (15) được thuận tiện hơn và các toán tử này cũng lập thành bộ đại số kín như trong [6]. Để tính các yếu tố ma trận, chúng tôi chọn bộ hàm cơ sở là bộ hàm riêng của dao động tử điều hòa 1 ( aˆ + ) bˆ+ 0 ( ) , ( ) n1 n2 n1 , n2 osc = (18) n1 !n2 ! với n1 , n2 là các số nguyên không âm; trạng thái chân không được định nghĩa aˆ 0 ( ) = 0, bˆ 0 ( ) = 0, (19) với điều kiện chuẩn hóa 0 ( ) | 0 ( ) = 1 . 59
Do bài toán có bảo toàn Lˆ z nên bộ hàm cơ sở (18) phải thỏa mãn phương trình Lˆz n1 , n2 osc = m n1 , n2 osc , (20) với m là số lượng tử từ, nhận các giá trị m = 0, 1, 2, 3,... . Từ (18) và (20) ta được 1 ( n1 − n2 ) .m= (21) 2 Do m là số nguyên, vì vậy n1 − n2 phải là số chẵn. Khi đó n1 + n2 cũng sẽ là số chẵn, nên ta đặt 2n = n1 + n2 (22) là số nguyên không âm. Đối với bài toán đang xét, có sự bảo toàn số lượng tử từ m , vì vậy ta sẽ sử dụng các chỉ số n, m thay cho n1 , n2 khi xét các trạng thái lượng tử. Từ (21), (22) ta được n1 = n + m, n2 = n − m với −n  m  n . Khi đó, ta sẽ chuyển bộ hàm sóng cơ sở n1 , n2 osc thành bộ hàm cơ sở n, m osc đã được chuẩn hóa như sau: ( aˆ ) ( bˆ ) 1 n−m + n+m n, m = + 0 ( ) , (23) osc ( )( n+m ! n−m ! ) trong đó n = 0,1, 2,.... và m = 0, 1, 2,...,  n . Ta cũng thấy rằng bộ hàm cơ sở (23) là trực giao và chuẩn hóa nghĩa là n, m1 k , m2 =  n,k  m1 ,m2 . Từ đây ta sẽ sử dụng phương trình Schrödinger đại số (15) bộ hàm sóng (23) để tính các yếu tố ma trận. Để có thể đạt được độ chính xác cao khi sử dụng FK-OM giải bài toán này thì ta cần thực hiện một số sửa đổi khi tính toán. Cụ thể, đối với bộ hàm cơ sở đã được xây dựng (23), khi khai triển bộ hàm cơ sở này thì các hệ số khai triển được FK-OM gợi ý tính toán bằng phương pháp lặp [6]. Tuy nhiên, đối với trường hợp các trạng thái kích thích cao, việc tính các hệ số khai triển bằng phương pháp lặp như vậy có thể dẫn đến sự chồng chéo các trạng thái lượng tử. Vì vậy, trong phần tính toán này, ta sẽ sử dụng một cách thức khác để giải trực tiếp hệ phương trình tuyến tính cho các hệ số khai triển. Khi đó, ta xét hàm sóng dưới dạng s +|m| | ( s )  = C j =|m| (s) j | j, m, (24) với s là bậc khai triển gần đúng của bộ hàm sóng, khi s → + thì hàm sóng (24) càng chính xác. Ngoài ra, khi dùng FK-OM để giải đại số bài toán này thông qua các toán tử sinh hủy, ta cũng đã đưa vào tham số  với vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của bài toán sao cho bậc khai triển của s không vượt quá 100, điều này giúp cải thiện đáng kể tốc độ tính toán. Để thuận tiện khi tính toán, ta viết lại phương trình Schrödinger (15) dưới dạng ( Hˆ − ERˆ  ( ) = 0, s ) (25) Rˆ = Nˆ + Mˆ + Mˆ + , (26) 60
 ˆ ˆ ˆ+  ( ) ( ) 2 2 3 Hˆ = N − M − M + 2 Nˆ + Mˆ + Mˆ + − 2Vˆ , (27) 2 8 với E = E − m / 2 . Thay (24) vào (25) ta thu được ( s + 1) phương trình tuyến tính cho hệ số C j và trị riêng E . Để thuận tiện, ta sẽ viết hệ phương trình tuyến tính này dưới dạng một phương trình ma trận dưới dạng ( −E ) = 0, (28) với và là ma trận vuông có kích thước ( s + 1)  ( s + 1) với các yếu tố ma trận R jk = N jk + M jk + M +jk , (29) 2 2 H jk = 2 ( N jk − M jk − M +jk ) + 8 2 Fjk − 2V jk . (30) Trong đó, các yếu tố ma trận N jk , M jk , Fjk ,V jk được định nghĩa dưới dạng N jk =  j , m | Nˆ | k , m, M jk =  j , m | Mˆ | k , m, M +jk =  j , m | Mˆ + | k , m, Fjk =  j , m | ( Nˆ + Mˆ + Mˆ + )3 | k , m, V jk =  j , m | Vˆ | k , m. Từ đây, việc giải phương trình Schrödinger (15) trở thành giải phương trình tuyến tính với các ma trận vuông , và ma trận cột . Hình 1. Ảnh hưởng của sự lựa chọn tối ưu của  đối với năng lượng trạng thái cơ bản. Bậc gần đúng s cần thiết cho năng lượng của trạng thái cơ bản để đạt độ chính xác 10 chữ số thập phân. Bậc gần đúng này phụ thuộc rất nhiều vào tham số tự do  và tồn tại một giá trị tối ưu để có độ chính xác cao nhất. Bậc s càng cao, khối lượng tính toán càng nhiều. Dữ liệu được trình bày cho hai trường hợp  = 0 và  = 0.025 . Một trong những lợi thế của FK-OM là sử dụng tham số tự do  để giảm khối lượng tính toán bằng cách kiểm soát tốc độ hội tụ của các nghiệm. Ở đây, tham số  không phải là tham số 61
biến phân. Nói cách khác, các nghiệm chính xác của phương trình Schrödinger không phụ thuộc vào tham số  mà ứng với mỗi giá trị  khác nhau thì ta sẽ có các bộ hàm cơ sở khác nhau. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ của các nghiệm gần đúng phụ thuộc rất nhiều vào giá trị của  . Như trong hình 1, cho thấy tồn tại giá trị tối ưu của  sao cho phần khai triển của (24) hội tụ nhanh nhất. Đối với việc lựa chọn tham số tự do tối ưu, chúng ta cũng có thể làm theo cách được đưa ra trong [1]. Trong công trình này, bằng cách thức ước lượng số, các giá trị tối ưu của  thu được và được thực hiện trong chương trình giúp giảm đáng kể khối lượng tính toán. Như trong hình 1 cho thấy, để đạt được năng lượng có độ chính xác là 10 chữ số thập phân khi chưa xét đến thế chắn đối với trạng thái cơ bản trong trường hợp  = 0 , chúng tôi đã chạy cho một loạt các giá trị  từ 0.75 đến 2.25 . Với mỗi giá trị  khác nhau để đạt được độ chính xác cho trước, chúng tôi sẽ chạy đến bậc gần đúng s khác nhau. Khi đó, chúng tôi nhận thấy ứng với giá trị  = 1.25 , số bậc gần đúng cần thiết là s = 40 thì đạt được độ chính xác là 10 chữ số thập phân. Vì vậy, chúng tôi gọi giá trị opt = 1.25 là giá trị  tối ưu cho trạng thái cơ bản khi chưa xét đến thế chắn với ứng với  = 0 và vùng  có giá trị trong khoảng 0.95    1.7 , là vùng đáy thấp nhất của đồ thị hình 1, là vùng tham số tự do tối ưu, nghĩa là khi chọn giá trị  trong vùng này thì nghiệm hội tụ nhanh nhất. Tiếp tục, chúng tôi khảo sát cho trường hợp khi  = 0.025 , cho trạng thái cơ bản khi chưa xét đến thế chắn, thì cũng thu được giá trị tối ưu là opt = 1.5 và vùng tham số tự do tối ưu là 1.2    1.7 . Qua khảo sát cho nhiều trạng thái khác, chúng tôi nhận thấy với mỗi trạng thái khác nhau, với mỗi giá trị từ trường khác nhau thì giá trị opt tối ưu và vùng tối ưu của  sẽ khác nhau. Qua hình 1, chúng tôi nhận thấy các vùng tối ưu này có sự chồng chập lẫn nhau, phần gạch chéo trên hình 1, và giá trị opt cũng không có sự khác biệt lớn. Vì vậy, trong các phần tính toán tiếp theo, chúng tôi sẽ sử dụng giá trị opt = 1.5 cho tất cả các trạng thái cần xét, với bậc khai triển của hàm sóng là s = 100 . 2.3. Nghiệm số chính xác của bài toán Trong phần này, nghiệm số chính xác của bài toán exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều được trình bày thông qua đơn lớp WS2 với giá trị tham số  tối ưu được chọn là opt = 1.5 . Để thuận tiện so sánh với kết quả thu được trong công trình [3], ta sẽ sử dụng giá trị của các tham số cấu trúc là độ dài chắn và khối lượng hiệu dụng rút gọn của exction như trong [3] đề xuất bằng m* = 0.16me ,  = 22,677 (tương ứng với r0 = 75 Å ) và thu được số liệu được trình bày trong bảng 1.  1s 2s 3s 4s 5s 6s 0.000 - - - - - - 00 0.0732172823 0.0348470094 0.0217064647 0.0149730045 0.0109674108 0.0083745704 75 1 42 36 24 82 0.001 - - - - - - 62
25 0.0732114893 0.0347920121 0.0215198581 0.0145332038 0.0101184188 0.0069441798 40 46 38 81 45 86 0.002 - - - - - - 50 0.0731941260 0.0346284048 0.0209784289 0.0133235905 0.0079674799 0.0036579260 25 41 95 86 22 09 0.005 - - - - - 0.0052351992 00 0.0731249067 0.0339927914 0.0190147262 0.0093645403 0.0016263012 25 92 78 88 55 38 0.007 - - - - 0.0060954211 0.0155565562 50 0.0730103524 0.0329890624 0.0161881745 0.0041863786 10 90 82 81 75 50 0.010 - - - 0.0017043848 0.0145597928 0.0266152538 00 0.0728516093 0.0316741401 0.0127716919 95 71 71 82 69 41 0.025 - - 0.0137402548 0.0434780079 0.0717216934 0.0991580961 00 0.0710665065 0.0196126012 61 88 59 20 55 43 0.050 - 0.0077900788 0.0663127352 0.1214285041 0.1750317760 0.2277851964 00 0.0657377881 64 10 42 50 59 63 0.100 - 0.0714120032 0.1802950301 0.2858127678 0.3897684673 0.4928258224 00 0.0503604948 65 04 49 03 47 45 0.500 0.1209040614 0.6417046377 1.1514543551 1.6577600788 2.1623860448 2.6660203011 00 88 77 60 61 23 54 0.750 0.2378351284 1.0086973073 1.7686286870 2.5250876819 3.2798431042 4.0335893812 00 73 68 52 66 97 03 1.000 0.3569908809 1.3779214806 2.3879700131 3.3945265957 4.3993644404 5.4031822023 00 36 96 67 59 64 12 Bảng 1: Năng lượng của exciton hai chiều trong từ trường đều với độ dài chắn không thứ nguyên  = 22.677 cho đơn lớp TMD WS2. Trong hệ đơn vị nguyên tử, độ lớn của năng lượng là 4.354eV ;  = 0.01 tương ứng với từ trường có giá trị là 60.16 Tesla. Các số liệu trong bảng 1.1 thể hiện năng lượng của exciton ở các trạng thái 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s tại một số giá trị của từ trường lên đến B = 60.16T . Để so sánh với số liệu thực nghiệm trong công trình [3], ta viết lại các nghiệm số thu được trong bảng 1 cho trường hợp không có từ trường  = 0 theo đơn vị eV, và kết quả là thu được các giá trị năng lượng liên kết cho các trạng thái 1s, 2s, 3s, 4s, 5s như sau: Eb1 = 0.318788eV ; Eb2 = 0.151724eV ; Eb3 = 0.094509eV ; 63
Eb4 = 0.065192eV ; Eb5 = 0.047752eV . Các kết quả này trùng khớp với các kết quả đo được bằng thực nghiệm trong [3] cho trường hợp khi không có từ trường. Điều này cho thấy tính đúng đắn của phương pháp. Ngoài các kết quả được trình bày trong bảng 1 cho các trạng thái 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s với giá trị từ trường không thứ nguyên thay đổi từ  = 0 đến  = 1 , nghiệm số còn được khảo sát đến giá trị từ trường không thứ nguyên  = 20 , các nghiệm số này đủ để phân tích các số liệu thực nghiệm. Tiếp theo, từ các số liệu trong bảng 1, ta có thể phân tích được tác động của thế chắn lên hiệu ứng từ trường. Như chúng ta đã biết, dưới ảnh hưởng của từ trường, từ trường càng lớn thì cách mức năng lượng sẽ dần trở nên cách đều nhau, vì vậy để thấy rõ được sự ảnh hưởng của thế chắn lên hiệu ứng từ trường, ta sẽ chọn các số liệu trong vùng từ trường giá trị từ  = 0 đến  = 0.05 , tương ứng với 0  B  300.8T . Hình 2: Phổ năng lượng của trạng thái cơ bản và các trạng thái kích thích ns với số lượng tử chính lên đến n = 6 cho exciton khi không bị chắn (a) và khi bị chắn với  = 22.677 tương đương với độ dài chắn là r0 = 75 Å (b) trong từ trường đều. Từ trường có giá trị  từ $0$ đến 0.05 tương đương với B = 300.8 Tesla. Từ đồ thị của hình 2 cho thấy, khi giá trị từ trường tăng dần từ  = 0 đến  = 0.05 , ở hình 2a, khi chưa xét ảnh hưởng của thế chắn Keldysh thì khoảng cách giữa cách mức năng lượng 1s − 2s , 2s − 3s , 3s − 4s , 5s − 6s có sự chênh lệch rất nhiều, sự cách đều giữa các mức năng lượng vẫn chưa xảy ra, mặc dù giá trị từ trường đã tăng dần. Ở hình 2b, khi có sự xuất hiện của thế chắn Keldysh với  = 22.677 thì sự chênh lệch giữa các mức năng lượng đã dần thu hẹp lại, không còn khác biệt lớn như ở hình 2a. Điều này cho thấy rằng các mức năng lượng đã bắt đầu có dấu hiệu đồng đều, và sự đồng đều này diễn ra nhanh hơn khi từ trường tăng dần. Như vậy khi có hiệu ứng chắn thì hiệu ứng từ trường diễn ra nhanh hơn. 3. Kết luận Qua các kết quả tính toán trên cho thấy FK-OM có thể áp dụng được cho bài toán exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường đều có cường độ bất kì, cụ thể là đối với đơn lớp 64
WS2. Cách thức lựa chọn tham số  được đề xuất và chọn được giá trị tham số  tối ưu là opt = 1.5 ứng với đơn lớp WS2. Phổ năng lượng của exciton trong đơn lớp TMD WS2 được tính cho các trạng thái ns với độ chính xác cao, đến 12 chữ số thập phân với giá trị từ trường được khảo sát lên đến  = 1 , các số liệu này hoàn toàn phù hợp với số liệu thực nghiệm trong công trình [3]. Dựa vào các số liệu này đã phân tích được sự ảnh hưởng của hiệu ứng chắn lên hiệu ứng từ trường. Ngoài ra, các yếu tố ma trận này hoàn toàn có thể tính được cho các đơn lớp TMD bất kì. 4. Tài liệu tham khảo [1]. I. D. Feranchuk and L. I. Komarov, “The operator method of the approx- imate solution of the schr odinger equation”, Physics Letters A, vol. 88, p. 211, 1982. [2]. D. N. T. Hoang, D. L. Pham, and V. H. Le, “ Exact numerical solutions of the schrodinger equation for a two-dimensional exciton in a constant mag- netic field of arbitrary strength”, Physica B: Condensed Matter, vol. 423, p. 31, 2013. [3]. A. Chernikov, T. C. Berkelbach, H. M. Hill, A. Rigosi, Y. Li, O. B. Aslan, D. R. Reichman, M. S. Hybertsen, and T. F. Heinz, “Exciton binding energy and nonhydrogenic rydberg series in monolayer WS2”, Physical Review Letters, vol. 113, p. 076802, 2014. [4]. A. Splendiani, L. Sun, Y. Zhang, T. Li, J. Kim, C.-Y. Chim, G. Galli, and F. Wang, “Emerging photoluminescence in monolayer MoS2”, Nano letters, vol. 10, p. 1271, 2010. [5]. V. H. Le and T. G. Nguyen, “The algebraic method for two-dimensional quantum atomic systems”, Journal of Physics A: Mathematical and Gen- eral, vol. 26, p. 1409, 1993. [6]. P. D. A. Nguyen, D. N. Ly, D. N. Le, D. N. T. Hoang, and V. H. Le, “ High- accuracy energy spectra of a two-dimensional exciton screened by reduced dimensionality with the presence of a constant magnetic field”, Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, vol. 113, p. 152, 2019. 65