QUAN HỆ GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC

Chia sẻ: Lotus_3 Lotus_3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

126
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nắm vững nội dung hai định lý, vận dụng được chúng trong những tình huống cần thiết, hiểu được phép chứng minh của định lí 1. - Biết vẽ hình đúng yêu cầu và dự đoán nhận xét các tính chất qua hình vẽ. - Biết diễn đạt một định lí thành một bài toán với hình vẽ, giả thiết và kết luận. B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: QUAN HỆ GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC

QUAN HỆ GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC. A. Mục tiêu: - Nắm vững nội dung hai định lý, vận dụng được chúng trong những tình huống cần thiết, hiểu được phép chứng minh của định lí 1. - Biết vẽ hình đúng yêu cầu và dự đoán nhận xét các tính chất qua hình vẽ. - Biết diễn đạt một định lí thành một bài toán với hình vẽ, giả thiết và kết luận. B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài. C. Bài tập Tiết 21: Bài 1: a. So sánh các góc của tam giác PQR biết rằng PQ = 7cm; QR = 7cm; PR = 5cm b. So sánh các cạnh của tam giác HIK biết rằng H = 750; K = 350 Giải: a. Từ hình vẽ bên ta có: PQ = RP P  PQR cân tại Q  R = P QR > PR  P > Q 7 5 (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện) vậy R = P > Q Q R b. I = 1800 - (750 + 350) = 1800 - 1100 = 700 H > I > K  IK > HK > HI (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện) Bài 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng AB + AC > BC Giải: Trên tia đới của tia AB lấy điểm D D sao cho AD = AC Ta có: AD = AC  ADC cân đỉnh D  ADC = ACD (1) A Tia CA nằm giữa hai tia CB và CD Do đó: BCD > ACD (2)
Từ (1) và (2) ta có: BCD > ADC B C Xét tam giác DBC có BCD > BDC suy ra DB > BC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (3) mà DB = AB + AD = AB + AC (4) Từ (3) và (4) ta có: AB + AC > BC Bài 3: Cho tam giác ABC, A = 900. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD < AC. Nối B với D. Chứng minh rằng: BC > BD B Giải: Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD Ta có: AE < AC (Vì AD < AC) Nên E nằm giữa A và C Mà BA  DE và DA = AE D A E C  BDE cân đỉnh B  BDE = BEA Ta có: BEA > BCE (BEA là góc ngoài của tam giác BEC) Do đó: BDC > BCD Xét tam giác BDC có: BDC > BCD Suy ra: BC > BD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. So sánh BAM và MAC A Giải: Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = MA Xét tam giác MAB và tam giác MDC có: B M C MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (M là TĐ của cạnh BC) Do đó: MAB  MDC (c.g.c) D Suy ra: AB = CD; BAM = MDC
Ta có: AB = CD; AB < AC  CD < CA Xét tam giác ADC có: CD < AC  MAC < MDC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) Mà MAC < MDC và BAM = MDC Suy ra: MAC < BAM Tiết 22: Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC. B Giải: Kẻ DH  BC H ABD  HBD (cạnh huyền - góc nhọn) A D C AD = DH  vuông tại H  DH < DC DHC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) DHC suy ra: AD < DC Bài 6: Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 300 thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền. Giải: Xét tam giác ABC có A = 900; B = 300 1 Cần chứng minh: AC = BC B 2 Trên BC lấy điểm D sao cho CD = CA Tam giác ACD còn có: C = 600, AD = AC = CD D
Tam giác ABD có B = 300; A2 = 300 nên là tam giác đều 1 suy ra AD = BE. Do đó: AC = BC A 2 C Bài 7: Cho tam giác ABC có A = 850, B = 400 a. So sánh các cạnh của tam giác ABC A. AB < BC < AC C. AB < AC < BC B. BC < AC < AB D. AC < AB < BC b. Trên tia đối của yia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. So sánh độ dài các đoạn CD; CB; CE A. CE < CB < CD C. CD < CE < CB B. CB < CE < CD D. CD < CB < CE Giải: a. Chọn D Vì C = 1800 - (A + B) = 1800 - (85 + 40) = 55 Khi đó nhận thấy rằng B < C < A  Ac < AB < BC b. Chọn D Bài 8: Cho tam giác ABC tia phân giác của góc D cắt AC tại D. So sánh độ dài của AB và BC, biết BDC tù. Giải: Để so sánh độ dài của AB và BC ta cần đi so sánh hai góc C và A. Theo giả thiết ta có: BDC tù D1 > 900  2D1 > 1800 Trong tam giác ABD ta có: D1 = A + B2 (1) B Trong tam giác BCD ta có: D1 + B1 + C1 = 1800 (2) Công theo vế (1) và (2) ta được: 2D1 + B1 + C = A + B2 + 1800 0  A - C = 2D1 - 180 > 0  A > C  BC > AB A D C
Tiết 23: Bài 9: Cho góc xOy = 600, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm D sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trùng trực của AC. a. Khẳng định OB = OC là đúng hay sai? A. Đúng B. Sai b. Tính số đo góc BOC A. 600; B. 900; C. 1200; D. 1500 Giải: a. Chọn A Vì OA = OB (vì Ox là đường trung trực của AB) OA = OC (vì Oy là đường trung trực của AC) Do đó: OB = OC b. Chọn C vì tam giác OAB cân ở O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân ở O nên O3 = O4 Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 + O3) = 2(xOy) = 2. 600 = 1200 Vậy ta có: BOC = 1200 Bài 10: a. Cho tam giác ABC và tam giác A1B1C1 có AB = A1B1. AC = A1C1 và BC > B1C1. So sánh số đo của hai góc A và A1 Giải: Theo giả thiết ta có: AB = A1B1; AC = A1C1 và BC > B1C1 Thì A > A1 (quan hệ giữa các cạnh đối diện trong tam giác) b. Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có AB = A1B1. AC = A1C1 và A > A1. Chứng minh rằng BC > B1C1 Giải: Xét tam giác ABC và tam giác A1B1C1 Có AB = A1B1; AC = A1C1 và A > A1 (gt) Suy ra: BC > B1C1 (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong 1 tam giác) Bài 11: Cho tam giác ABC trung tuyến AM. Lấy điểm M bất kì trên tia đối của tia MA. So sánh độ dài CD và BD. A Giải: Ta lần lượt nhận thấy
Với hai tam giác ABM và ACM có: MB = MC (vì M là trung điểm BC) M AM chung; AB < AC B C Do đó: M1 < M2  M3 < M4 Với hai tam giác BDM và CDM có MB = MC (M là trung điểm của BC) D DM chung; M3 < M4 Do đó: CD < BD Bài 12: Cho tam giác ABC với BC > AB. Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Chứng minh CD > DA Giải: Lấy K trên cạnh BC sao cho BK = BA. Có DKB và DAB B Cạnh DB chung; B1 = B2 (Vì BD là tia phân giác ABC) BK = BA (theo cách lấy điểm K) K Vậy DKB = DAB (c.g.c) Suy ra: D1 = D2; DK = DA Mặt khác: CKD là góc ngoài tam A D C giác KDB nên CKD > D1 (1) D2 là góc ngoài tam giác DBC nên D2 > BCD (2) Vì D1 = D2 ; từ (1) và (2) suy ra CKD > BCD Trong tam giác KCD vì K > C nên CD > DK hay CD > DA Tiết 24: Bài 13: Cho tam giác ABC (AC > AB) A tù, đường cao AH (đường AH  BC) và trung tuyến AM (đường AM đi qua trung điểm M của cạnh BC). Chứng minh:
a. BAM > MAC b. H nằm giữa B và M Giải: A a. Trên tia AM lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD, dễ dàng chứng minh được AMB  DMC (c.g.c) Suy ra BAM = D (1) AB = DC Trong ACD có : AC > DC do AC > AB (gt) B H M C Và AB = DC (c/m trên) Nên D > MAC (2) Từ (1) và (2) suy ra BAM > MAC D b. AC > AB  HC > HB (H thuộc đoạn thẳng BC do A là góc tù và MB = MC) suy ra: BM > BH. Vậy H nằm giữa hai điểm B và M. Bài 14: Cho tam giác MNP biết MP > MN, MD là đường trung tuyến thuộc cạnh NP. Trên tia MD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của ME. Chứng minh MEP > EMP Giải: MDN  EDP (c.g.c) DN = DP Dm = DE M MDN = EDP (đối đỉnh) Suy ra: MN = EP Mà MP > MN  MP > EP Trong tam giác MEP, MP đối diện với MEP N D P EP đối diện với EMP Do đó: MEP > EMP E
Bài 15: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết a. AB = 5cm; AC = 12cm b. AB = 7cm; AC = 13cm Giải: Tam giác ABC cân có AB = 5cm; AC = 12cm thì cạnh đáy là Ab. Thật vậy nếu cạnh bên AB = 5cm thì cạnh bên BC = 5cm Như vậy ta có: AB + BC = 10cm < CA = 12cm đó là điều vô lí (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh thứ ba) Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 5 + 2.12 = 29 cm b. Có thể xảy ra hai trường hợp - Nếu AB = 7cm là cạnh đáy thì AB = BC = 13cm là cạnh bên - Nếu chu vi tam giác ABC bằng: 7 + 2.13 = 33 cm - Nếu AB = BC = 7cm là các cạnh bên thì AC = 13cm là cạnh đáy. Chu vi của tam giác ABC là: 13 + 2.7 = 27 cm. BA Bài 16: Cho tam giác ABC biết C =  23 a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A và tính số đo góc B, góc C. b. Kẻ đường cao AH. Chứng minh B = HAC; C = BAH Giải: C B C A  B  C 180 0  30 0 (áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng a.     1 2  3 123 6 nhau) A  30 0  A  90 0 nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Vậy 3 b. Vì AH  BC nên H = 1v suy ra B + BAH = 1v Vì BAH + HAC = 1v suy ra B = HAC (2 góc phụ nhau) Tương tự ta cũng chứng minh được C = BAH.