zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Báo xấu

19
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THCS "Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau" được thực hiện nhằm đề ra các phương pháp sư phạm với mục đích: “Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 7 nói riêng và toán THCS nói chung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ----------------- && SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU MÔN: TOÁN 7 Cấp học: Cấp THCS Họ và tên tác giả: NGUYỄN HẢI YẾN Đơn vị công tác: Trường THCS Tản Hồng - Ba Vì – Hà Nội Chức vụ: Giáo viên Năm học : 2018 – 2019 1/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí do chọn đề tài Trang 2 2 Đối tượng nghiên cứu Trang 3 3 Mục đích nghiên cứu Trang 3 4 Phạm vi nghiên cứu Trang 3 5 Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 3 6 Phương pháp nghiên cứu Trang 3 PHẦN II: NỘI DUNG A Cơ sở lí luận và thực tiễn Trang 4 B Giải pháp và cách thực hiện Trang 6 I Kiến thức cơ bản Trang 6 II Các dạng bài tập Trang 7 Dạng 1 Vận dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Trang 7 Dạng 2 Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau sau khi Trang 8 đã biến đổi để sử dụng dữ kiện của bài toán. Dạng 3 Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau mà phần Trang 10 điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa. Dạng 4 Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chứng Trang 12 minh một tỉ lệ thức, một đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước. Dạng 5 Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải Trang 14 các bài toán có lời văn mang nội dung thực tế. C Kết quả sau thực nghiệm Trang 16 PHẦN III: KẾT LUẬN – BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KHUYẾN NGHỊ 1 Kết luận Trang 18 2 Bài học kinh nghiệm Trang 18 3 Khuyến nghị Trang 19 4 Danh mục các tài liệu tham khảo Trang 20 A- ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài. Trong thời đại công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước hiện nay mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con 2/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với nhu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng. Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật và sự phát triển mạnh mẽ của đất nước, đòi hỏi ngành giáo dục phải thay đổi tầm nhìn và phương thức hoạt động là yêu cầu tất yếu, vì sản phẩm của giáo dục là con người. Nó quyết định vận mệnh tương lai của một đất nước, điều này thể hiện rõ trong chính sách: “Coi giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu cùng với khoa học công nghệ là yếu tố quyết định góp phần phát triển khoa học và xã hội”. Do đó cần phải đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo của Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế. Trong giáo dục, môn toán có một vị trí quan trọng. Trong nhà trường phổ thông Toán học là một môn học cơ bản. Đối với đa số học sinh, toán là một môn học khó nên trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông đòi hỏi phải có tư duy rất tích cực của học sinh. Trong đời sống hàng ngày thì toán học giúp con người có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng,... từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành các hoạt động lao động sản xuất trong thời kì công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước. Để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt, giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất. Do yêu cầu đổi mới phương pháp dạy và học “phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh” nên việc tổ chức cho các em tìm tòi cách giải toán là một yêu cầu tối cần thiết của người thầy. Trong giảng dạy môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản biết khai thác mở rộng kiến thức áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Qua quá trình giảng dạy tôi thấy các bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau rất hay, các dạng bài tập phong phú, đa dạng và còn được vận dụng để giải một số dạng toán khác góp phần rất lớn trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Nhưng thời gian để học sinh làm quen với tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình còn rất ít nên đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng thành thạo thì học sinh lại rất lúng túng trong quá trình giải toán. 3/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Bên cạnh đó tôi còn thấy: + Kỹ năng giải bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau của các em còn yếu nếu không được rèn luyện nhiều. + Các bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau các em còn mơ màng và không có khả năng suy luận, còn hay bị nhầm lẫn trong khi giải. Vậy để khắc phục những nhược điểm trên và gây cho các em hứng thú giờ học toán, thông qua giờ học phát triển được trí tuệ rèn luyện được tư duy sáng tạo về phương pháp, kỹ năng giải các bài toán vận dụng tính chất của của dãy tỉ số bằng nhau đạt hiệu quả cao nhất. Xuất phát từ lý do trên và sự tâm huyết với các em học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này. 2. Đối tượng nghiên cứu: + Lớp áp dụng đề tài: Học sinh lớp 7A. + Lớp đối chứng( không áp dụng đề tài): Học sinh lớp 7B. Hai lớp này tôi đang trực tiếp giảng dạy của một trường THCS - Năm học 2018 – 2019. 3 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu nhằm đề ra các phương pháp sư phạm với mục đích: “Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 7 nói riêng và toán THCS nói chung. 4. Phạm vi nghiên cứu: Thời gian: Từ tháng 9 năm 2018 đến tháng 1 năm 2019. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ một số vấn đề như sau: + Làm sáng tỏ cơ sở lí luận về kĩ năng giải toán. + Đề xuất các phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài. 6. Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lí thuyết. + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. + Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 4/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau PHẦN II – NỘI DUNG A. CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Địa phương tôi đời sống còn nhiều khó khăn so với nhiều địa phương khác. Do đó việc mua sắm tài liệu tham khảo rất ít đặc biệt là những học sinh thuộc diện hộ nghèo và cận nghèo. Vì vậy, khả năng giải toán của các em còn rất nhiều hạn chế khi vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Thực tiễn dạy học cũng cho thấy: Học sinh khá, giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cấn thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, học sinh TB, yếu kém gặp nhiều lúng túng. Để có kỹ năng giải bài tập toán phải qua quá trình luyện tập. Quan sát đặc điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng hơn là sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải. Sự thực là khi giải bài tập toán thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó. Do đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập toán cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải quyết vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra. Nhà toán học Đề-Các nói rất đúng rằng: “Một vấn đề mà tôi giải quyết đều trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”. Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hướng suy nghĩ và cách giải. Vậy đối với các bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học sinh chưa có kĩ năng giải linh hoạt chỉ hiểu một cách sơ sài, nông về tư duy, hẹp về kiến thức. Trước khi thực hiện đề tài tôi cho học sinh bài toán sau: (làm bài trong 15 phút). Tìm các số x, y, z biết: a) 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95 x y z b) và 5x + y - 2z = 28 10 6 21 Với đề bài như trên kết quả thu được của 2 lớp 7 mà tôi đang giảng dạy tại một trường THCS như sau: * Lớp 7A: Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB Số học sinh: 36 0 7 12 11 3 3 17 * Lớp 7B: Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB Số học sinh: 37 0 8 14 11 3 1 15 Thông qua kết quả trên tôi rút ra được một số kết luận như sau: 5/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 1) Về phía giáo viên: Thực tế trong quá trình học tập trong trường THCS hiện nay, còn một vài giáo viên không xem trọng việc tự học ở nhà của học sinh mà thường giáo viên chỉ hướng dẫn một cách sơ sài, giáo viên chưa phát huy hết tác dụng của đồ dùng dạy học, đặt câu hỏi chưa rõ ràng hoặc chưa sát với yêu cầu bài toán, chưa đưa ra được các dạng bài toán tổng hợp ở cuối chương làm cho học sinh không được rèn luyện nhiều, do đó chưa hình thành được kĩ năng giải toán làm cho các em gặp nhiều khó khăn trong quá trình học toán. 2) Về phía học sinh: Học sinh của trường THCS mà tôi đang giảng dạy tiếp thu bài còn chậm và giải toán vận dụng kiến thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau còn hạn chế. Khả năng tính toán của các em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí các phương pháp giải, giải toán chưa hợp logic, khả năng phân tích, dự đoán kết quả của một số em còn hạn chế và khả năng khai thác bài toán chưa sâu. Ngoài ra một số học sinh không có khả năng phân tích một bài toán từ những gì đề bài yêu cầu sau đó tổng hợp lại, hoặc không tìm ra phương pháp chung để giải các bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Bên cạnh đó học sinh còn hạn chế tìm tòi các sách tham khảo để tìm ra các công thức quen thuộc và sự sáng tạo trong lời giải. Nguyên nhân: + Do thời lượng luyện tập giờ chính khoá còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập giải bài tập nhiều. + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học máy móc, hiểu một cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bài tập. + Cách trình bày lời giải một bài toán chưa thật chặt chẽ nên kết quả chưa cao. + Chưa có phương pháp học tập hợp lí; Chưa xác định đúng các dạng toán; Chưa có thời khóa biểu học ở nhà cụ thể. + Đại đa số các em chỉ làm được những bài tập đơn giản. + Khi gặp một số bài toán đòi hỏi phải có kĩ năng suy luận thì hầu hết học sinh không làm được. Thông qua kết quả trên tôi thấy rằng cần phải khuấy động phong trào học toán, khơi dậy lòng ham học của các em để các em đạt được kết quả cao hơn. Vì vậy tôi đã áp dụng đề tài vào học sinh lớp 7A của một trường THCS mà tôi đang trực tiếp giảng dạy. B. GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN: - Trang bị và yêu cầu học sinh nắm chắc lí thuyết. 6/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Hệ thống các dạng bài tập. * Nội dung đề tài. I. Kiến thức cơ bản. - Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết giúp cho học sinh giải bài toán một cách thuận lợi và có thể tiếp thu một cách dễ dàng hơn. - Kiến thức cơ bản là phương tiện, là “xương sống” để từ đó phát triển, mở rộng cho tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, vì thế tôi đã trang bị cho học sinh những kiến thức sau : a c 1. Định nghĩa của tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số = . b d Ta còn viết: a : b = c : d. Trong đó a và d là các ngoại tỉ; b và c là các trung tỉ. a c = 2. Tính chất của tỉ lệ thức: b d a c Tính chất 1: Nếu = thì a.d = b.c b d Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức: a c a b d c d b = ; = ; = ; = . b d c d b a c a a c a b d c d b Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức = suy ra các tỉ lệ thức: = , = , = b d c d b a c a 3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: a c a c a+c a−c Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức = suy ra = = = , (b ≠ ± d) b d b d b+d b−d a c e Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau b d f a c e a c e ta suy ra: = (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b d f b d f Lưu ý: * Tính chất trên còn mở rộng cho n số (n 2) a a a a Nếu có b = b = b = ... = b thì 1 2 3 n 1 2 3 n a1 a2 a3 a a + a + a + ... + an a1 − a2 + a3 + ... − an = = = ... = n = 1 2 3 = b1 b2 b3 bn b1 + b2 + b3 + ... + bn b1 − b2 + b3 + ... − bn (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) x y z * Có dãy tỉ số = = ta nói x, y, z tỉ lệ với a, b, c và cũng viết x:y:z = a:b:c a b c II. Các dạng bài tập. Dạng 1: Vận dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Ví dụ 1: (Bài 74/T27 – Sách chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7) 7/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x y Tìm x, y biết: = và x + y = 54 10 8 Hướng dẫn x y Theo đề bài ta có: = và x + y = 54 10 8 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x + y 54 = = = =3 10 8 10 + 8 18 Do đó x = 3.10 = 30 y = 3.8 = 24 Vậy: x = 30, y = 24 Ví dụ 2: (Bài 55/T30 – Sách giáo khoa toán 7 tập 1) Tìm x, y biết: x : 2 = y : (-5) và x y 7 Hướng dẫn x y Theo đề bài ta có: x : 2 = y : (-5) => = và x - y = -7 2 −5 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x − y −7 = = = = −1 2 −5 2 + 5 7 Do đó x = 2.( −1) = −2 y = (−5).(−1) = 5 Vậy: x = -2, y = 5. Ví dụ 3: (Ví dụ 3/T49 – Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 7) x y z Tìm x, y, z biết: = = và x + y + z = −360 2 5 3 Hướng dẫn x y z Theo đề bài ta có: = = và x + y + z = −360 2 5 3 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x + y + z −360 = = = = = −36 2 5 3 2+5+3 10 Do đó x = 2.( −36) = −72 y = 5.(−36) = −180 z = 3.(−36) = −108 Vậy: x = -72, y = -180, z = -108. 8/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Ví dụ 4: (Bài 79/T22 – Sách bài tập toán 7 tập 1) Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a : b : c : d = 2 : 3 : 4 : 5 và a + b + c + d = -42 Hướng dẫn a b c d Theo đề bài: a : b : c : d = 2 : 3 : 4 : 5 => = = = và a + b + c + d = -42 2 3 4 5 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c d a b c d 42 3 2 3 4 5 2 3 4 5 14 Do đó a = −3.2 = −6 b = −3.3 = −9 c = −3.4 = −12 d = −3.5 = −15 Vậy: a = -6, b = -9, c = -12, d = -15 Nhận xét:: Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng trong quá trình làm bài tập tôi nhận thấy các em vẫn mắc phải sai lầm: x y (1) x + y 54 Chẳng hạn ở ví dụ 1 học sinh trình bày như sau: = = = 3! 10 8 10 + 8 18 Sai lầm là học sinh dùng dấu “=>” thay cho dấu “=” tại (1) Bài tập tự luyện: x y Bài 1: Tìm x, y biết: = và x + y = 110 7 3 x y z Bài 2: Tìm x, y, z biết: và x y z 20 3 2 5 y z Bài 3: Tìm x, y, z biết: x và x – y + z = 36 2 3 Bài 4: Biết ba số x, y, z tỉ lệ với 2; 3; 5 và x + y + z = 10. Tính x – y – z ? Dạng 2: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã biến đổi để sử dụng dữ kiện của bài toán. a a.m Cơ sở: 1) (m 0) b b.m a c a.m c.n 2) (m, n 0) b d b.m d.n a b c 3) Khi cho a, b, c tỉ lệ với x, y, z => x y z Ví dụ 1: (Bài 41/T26 – Sách bổ trợ và nâng cao toán 7 tập 1) 9/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x y Tìm x, y biết: = và −3 x + 2 y = 55 4 −5 Hướng dẫn Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y −3 x 2 y −3 x + 2 y 55 5 = = = = = = 4 −5 −12 −10 −12 + (−10) −22 −2 x 5 5 Do đó = x= .4 = −10 4 −2 −2 y 5 5 25 = y = .( −5) = −5 −2 −2 2 25 Vậy: x = -10, y = . 2 Ví dụ 2: ( Bài 148/T31 – Sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7) x 2 y 3z Cho P = . Tính giá trị của P biết x, y, z tỉ lệ với 5; 4; 3. x 2 y 3z Hướng dẫn x y z x 2 y 3z Theo đề bài ta có = = và P = 5 4 3 x 2 y 3z Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được: x y z 2 y 3 z x + 2 y − 3 z x − 2 y + 3z 4 2 2 = = = = = = = = . Vậy p = 5 4 3 8 9 5 +8 −9 5 −8 + 9 6 3 3 Ví dụ 3: (Bài 39/T54 - Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 7) x y y z Tìm x, y, z biết: = và = và x + y + z = 92 2 3 5 7 Hướng dẫn x y y z x y y z x y z Từ = và = ta biến đổi thành = và = => = = 2 3 5 7 10 15 15 21 10 15 21 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x+ y+z 92 = = = = =2 10 15 21 10 + 15 + 21 46 Do đó: x = 10.2 = 20; y = 15.2 = 30; z = 21.2 = 42 Vậy: x = 20; y = 30; z = 42 Ví dụ 4: (Bài 61/T20 – Sách nâng cao và phát triển toán 7 tập 1) 2x 3y 4z Tìm x, y, z biết: = = ( 1) và x + y + z = 49 3 4 5 10/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Hướng dẫn Chia mỗi tỉ số của (1) cho BCNN (2; 3; 4) = 12 2x 3y 4z x y z ta được: = = hay = = 3.12 4.12 5.12 18 16 15 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x+y+z 49 = = = = =1 18 16 15 18 + 16 + 15 49 Suy ra : x = 18; y = 16; z = 15 Nhận xét: Dạng 2 này kích thích khả năng hứng thú cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Lưu ý: Khi sử dụng tính chất 1 hoặc tính chất 2 học sinh tránh nhầm chỉ nhân trên tử hoặc dưới mẫu. Chẳng hạn ở ví dụ 1 hs trình bày: x y −3 x + 2 y 55 = = = = 55! 4 −5 4 + (−5) −1 Bài tập tự luyện: x y z Bài 1: Tìm x, y, z biết: = = và x − 3 y + 4 z = 62 4 3 9 Bài 2: Tìm x, y, z biết: 5x = 3y = 6z và 2x + 3y – z = -74 x y y z Bài 3: Tìm x, y, z biết: a) = ; = và 2 x + 3 y − z = 372 3 4 5 7 6 9 18 Bài 4: Tìm x, y, z biết: x = y = z và -x + y + z = -120 11 2 5 Dạng 3: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa. x y z Ví dụ 1: Tìm x, y, z biết : và 2 x 2 y 2 3z 2 77 3 4 5 Hướng dẫn x y z x2 y2 z2 Từ (1) 3 4 5 9 16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: x2 9 x 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z 2x 3z 2x y 3z 77 1 y2 16 y 4 9 16 25 18 75 18 16 75 77 z2 25 z 5 kết hợp với (1) => (x; y; z) = { (3;4;5);(−3; −4; −5)} 11/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Ví dụ 2: (Bài 8/T65 – Sách kiến thức cơ bản và nâng cao toán 7 tập 1) y2 x 2 x 2 y2 10 10 Tìm x, y biết và x .y 1024 3 5 Hướng dẫn Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 2y 2 y2 (1) 3 5 3 5 8 4 y 2 − x 2 x 2 + y 2 y 2 − x 2 − x 2 − y 2 −2 x 2 x 2 Mặt khác ta lại có : = = = = (2) 3 5 3−5 −2 1 5 5 x2 y2 x2 y2 10 y10 Từ (1) và (2) suy ra : hay x nhân hai vế với 1 4 1 4 210 y 20 y10 ta có : x 10 .y1010 1024 210 y 20 2 20 y 2 từ đó => x = 1 2 Vậy có 4 cặp (x; y) thỏa mãn đề bài là : (1; 2) ; (-1; -2) ; (1; -2) ; ( -1; 2) Ví dụ 3: (Bài 10/T65 – Sách kiến thức cơ bản và nâng cao toán 7 tập 1) x 3 y3 z3 2 Tìm x, y, z biết và x y 2 z 2 14 8 64 216 Hướng dẫn x 3 y3 z3 x y z x 2 y2 z2 Từ => => 8 64 216 2 4 6 4 16 36 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 14 1 = = = = = 4 16 36 4 + 16 + 36 56 4 Suy ra x 2 = 1; y 2 = 4; z 2 = 9 => x = 1; y = 2; z = 3 Vậy có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn đề bài là : (1; 2; 3) ; (-1; -2; -3) Nhận xét: Dạng toán này mang tính tư duy cao hơn hẳn các dạng trước. Lưu ý:+ Học sinh tránh mắc sai lầm là thay dấu “=>” bởi dấu “=” tại (1) x y z (1) x 2 y 2 z 2 Chẳng hạn: Ví dụ 1: HS trình bày ta có: = = = = = 3 4 5 9 16 25 + Khi giải các bài toán lũy thừa mũ chẵn khi lấy nghiệm học sinh thường sót nghiệm âm. Bài tập tự luyện: x y z Bài 1: Tìm x, y, z biết: = = và x2 - y2 + 2z2 = 108 2 3 4 12/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x y y z 2 Bài 2: Tìm x, y, z biết: ; và x y2 80 2 3 4 5 x3 y3 z3 Bài 3: Tìm x, y, z biết: và 2 x 2 2 y2 z2 1 8 64 216 40 20 28 Bài 4: Tìm x, y, z biết: x 30 y 15 z 21 và x - y - z = - 4 Dạng 4: Vận dung tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chứng minh một tỉ lệ thức, một đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước. Dùng tính chất của tỉ lệ thức biến đổi sau đó sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (Dạng này có thể giải nhiều cách nhưng trong đề tài này tôi chủ yếu khai thác cách giải áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau) Ví dụ 1: (Ví dụ 7/T58 – Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 7) a c a c Cho = 1; abcd 0 chứng minh rằng = b d a −b c − d Hướng dẫn a c a b Từ = = b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a −b a c = = = (đpcm) c d c−d a −b c −d Ví dụ 2: (Ví dụ 6/T68 – Để học tốt toán 7 tập 1) a c Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức = (a − b 0, c − d 0) ta có thể suy ra b d a +b c +d tỉ lệ thức = a −b c −d Hướng dẫn a c a b Từ = => = b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a +b a −b a+b c+d = = = = ( đpcm) c d c+d c−d a −b c −d Ví dụ 3: (Bài 63/T36 – Sách tuyển chọn 400 bài tập toán 7) a +b c +a CMR: Nếu a 2 = bc thì = ( giả thiết các tỉ lệ thức có nghĩa ) a −b c −a Hướng dẫn 13/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a b Ta có: a = bc = 2 c a Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a +b a −b a +b c +a = = = = ( đpcm) c a c+a c−a a −b c −a Ví dụ 4: (Bài 80/T28 – Sách chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7) Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 = a1a3 ; a3 = a2 a4 và 2 3 a13 + a23 + a33 a1 a +a +a 3 3 3 0 , chứng minh rằng: 3 = 2 3 4 a2 + a33 + a43 a4 Hướng dẫn : a1 a2 a2 a3 Từ a2 = a1a3 = (1) ; a33 = a2 a4 = (2) 2 a2 a3 a3 a4 a1 a2 a3 a13 a23 a33 a1 a2 a3 a1 Từ (1) và (2) suy ra a2 = a3 = a4 = = = = (3) a23 a33 a 34 a2 a3 a4 a4 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a 31 a 32 a 33 a 31 + a 32 + a 33 = = = (4) a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 + a 33 + a 3 4 a 31 + a 32 + a 33 a1 Từ (3) và (4) suy ra: a 32 + a 33 + a 34 = a4 Nhận xét: Đây là dạng toán giống như chứng minh một định lí, để giải được cần hướng dẫn học sinh bám vào giả thiết từ đó tìm phương hướng biến đổi dẫn đến kết luận, mỗi bài toán có thể có một hướng đi khác nhau chứ không như thuật toán . Vì vậy đòi hỏi học sinh có kiến thức tổng hợp tốt, khả năng biến đổi linh hoạt. Lưu ý: Học sinh tránh mắc sai lầm như sau: a c (1) a b a b ( 2 ) a c Chẳng hạn như ví dụ 1: b d c d c d a b c d Sai lầm thay dấu “=>” bởi dấu “=” tại (1) và (2) Bài tập tự luyện: a c a+b c+d Bài 1: Cho = chứng minh rằng = b d b d 14/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a c ab ( a b) 2 Bài 2: Cho . Chứng minh rằng: b d cd (c d ) 2 a 5 b 6 a 5 Bài 3: Cho (a ≠ 5; b ≠ 6), chứng minh rằng a 5 b 6 b 6 a c a−b 4 a4 + b4 Bài 4: CMR: Nếu = thì = 4 b d c−d c + d4 Dạng 5: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán có lời văn mang nội dung thực tế. Dạng toán này gồm các bài toán mang tính thực tế, đề bài có lời văn, cần thiết phải chuyển nội dung bài toán sang dạng kí hiệu có công thức. Dạng toán này giúp học sinh thấy được ý nghĩa của toán học gắn liền với thực tế. Ví dụ 1: (Bài 77/T22 – Sách bài tập toán 7 tập 1) Tính số học của lớp 7A và lớp 7B, biết rằng lớp 7A ít hơn lớp 7B là 5 học sinh và tỉ số học sinh của hai lớp là 8 : 9 Hướng dẫn Gọi số học sinh hai lớp 7A, 7B lần lượt là a, b (a, b N *) b a Theo đề bài ta có: a : b = 8 : 9 hay và b – a = 5 9 8 a b b a 5 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 5 8 9 9 8 1 Suy ra a = 8.5 = 40, b = 9.5 = 45. Vậy số học sinh của lớp 7A là 40 học sinh, 7B là 45 học sinh. Ví dụ 2: (Bài 129/T44 – Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 7) Một hợp tác chia 1500kg thóc cho ba đội sản xuất tỉ lệ với số người của mỗi đội. Biết rằng số người đội hai bằng trung bình cộng số người đội thứ nhất và đội thứ ba. Đội thứ nhất lĩnh nhiều hơn đội thứ ba 300kg thóc. Hỏi mỗi đội lĩnh được bao nhiêu kg thóc. Hướng dẫn Gọi số người của ba đội sản xuất lần lượt là a, b, c ( a, b, c N * ) tương ứng số kg thóc lĩnh được lần lượt là x, y, z (x, y, z > 0) x y z Do số người của mỗi đội tỉ lệ thuận với số thóc được lĩnh nên a b c a c Theo đề bài ta có : x + y + z = 1500 (1); b 2b a c và x – z = 300 2 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 15/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x y z x z x z 2y x z 2y a b c a c 2b 2b Thay x + z = 2y vào (1) ta được 2y + y = 1500 => y = 500 x + z = 2y = 2.500 = 1000 và x – z = 300 Suy ra x = (1000 + 300) : 2 = 650 z = (1000 – 300) : 2 = 350 Vậy số thóc lĩnh được của ba đội lần lượt là : 650kg; 500kg; 350kg. Ví dụ 3: (Ví dụ 18/T32 – Sách nâng cao và phát triển toán 7 tập 1) 1 Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm số gạo của 7 1 2 kho đó, xuất ở kho B đi số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi số gạo của kho 9 7 đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo Hướng dẫn Gọi số tạ gạo ở ba kho A, B, C lúc đầu lần lượt là x, y, z (x, y, z > 0) 1 Thì số tạ gạo ở kho A sau khi nhập gạo vào là x + x , số tạ gạo ở kho B , kho 7 1 2 C sau khi xuất đi còn lần lượt là y y , z z . 9 7 1 1 2 Theo đầu bài ta có : x x y y z z và y – x = 20 7 9 7 1 1 2 8 8 5 x x y y z z x y z 7 9 7 7 9 7 8x 8y 5z x y z = = => = = 40.7 40.9 40.7 35 45 56 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x y z y−x 20 = = = = =2 35 45 56 45 − 35 10 Suy ra : x = 35.2 = 70; y = 45.2 = 90; z = 56.2 = 112 Vậy số gạo ở kho A, B, C lúc đầu lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ. Nhận xét: Ở dạng này là một số học sinh thường lúng túng trong việc gọi ẩn và chuyển nội dung bài toán thực tế sang bài toán viết bởi các ẩn cho bởi dữ kiện bài toán. 16/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Vì vậy khi gặp dạng này yêu cầu học sinh cần đọc kĩ đề bài và tóm tắt được bài. Dạng này giúp các em làm quen dần với bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình các em sẽ học các năm tiếp theo. Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính độ dài các cạnh một tam giác biết nữa chu vi là 90 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 3; 5; 7. Bài 2: Ba công nhân tiện tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiện một dụng cụ người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút. Tính số dụng cụ mỗi người tiện được. Bài 3: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 số thóc ở kho I, 5 1 1 số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng 6 11 nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc Trên đây là hệ thống bài tập tôi đã trang bị cho học sinh trong năm học vừa qua, tuy chưa được nhiều nhưng đã củng cố được kiến thức chắc cho các em. Mong được các thầy cô góp ý thêm. C. Kết quả sau thực nghiệm: Qua nghiên cứu, theo dõi và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm của bản thân ở lớp 7A sau một năm học thực hiện đề tài trang bị cho các em hệ thống bài toán có vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi đã thấy có kết quả rõ rệt, có sự chuyển biến rõ nét trong nhận thức của các em. Vì tiếp thu chắc chắn kiến thức ngay từ gốc, nắm chắc lí thuyết và được mở mang kiến thức qua các bài tập nâng cao học sinh có sự hứng thú học tập một cách thực sự phát huy được tính tích cực của học sinh. Các em học sinh khá, giỏi có điều kiện để trau rồi kiến thức của mình. Những học sinh trung bình nắm chắc chắc kiến thức cơ bản để vận dụng cho những năm tiếp theo. Chắc chắn với những kiến thức này học sinh có thể yên tâm cho những năm học tới. Cũng với cách làm như trước khi thực hiện đề tài. Sau khi kết thúc đề tài tôi cho học sinh làm bài 15 phút với đề bài như sau: Bài 1: Tìm x, y, z biết : x y y z ; và 2x + 3y - z = 186 3 4 5 7 17/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a c 5a 3b 5c 3d Bài 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: b d 5a 3b 5c 3d *Kết quả cụ thể như sau: + Khi chưa áp dụng đề tài: * Lớp 7A: Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB Số học sinh: 36 0 7 12 11 3 3 17 * Lớp 7B: Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB Số học sinh: 37 0 8 14 11 3 1 15 + Sau khi áp dụng đề tài : :(qua thực tế áp dụng đề tài) * Lớp 7A:(Áp dụng đề tài) Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB Số học sinh: 36 0 0 0 4 13 19 36 - Học sinh có hứng thú hơn rất nhiều so với lớp tôi dạy theo cách bình thường. - Học sinh định hướng một cách chính xác các dạng bài toán. - Học sinh có cách trình bày chặt chẽ rõ ràng và đặc biệt thời gian hoàn thành bài toán được rút ngắn khoảng 50% so với lớp đối chứng. - Nhiều HS tự tin hơn trong cách giải những bài tập khó. - Số lượng HS đạt điểm từ trung bình trở lên tăng lên đáng kể, đầu khá giỏi cũng được tăng lên. * Lớp 7B:(Không áp dụng đề tài) Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB Số học sinh: 37 0 5 10 14 5 3 22 PHẦN III : KẾT LUẬN - BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận : 18/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Được sự chỉ đạo sâu sát của Phòng GD&ĐT, Ban giám hiệu nhà trường cũng như của Tổ chuyên môn thông qua việc đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới sách giáo khoa do Bộ giáo dục đề ra và dựa trên thực tế giảng dạy và qua quá trình thực hiện đề tài này tôi thấy rằng việc trang bị và rèn luyện cho học sinh lí thuyết và kiến thức cơ bản là rất quan trọng giúp học sinh từ chỗ nắm chắc kiến thức cơ bản dẫn đến hứng thú và say mê học tập. Từ đó nâng cao dần, mở mang thêm cho học sinh thông qua các bài tập nâng cao giúp cho học sinh khá, giỏi phát huy được khả năng của mình tạo nên một không khí học tập sôi nổi trên lớp học sinh tự tin vào bản thân mình. Tôi mong rằng, cùng với việc triển khai các chuyên đề, để phát huy tính tích cực của học sinh trong quá trình học toán, lấy học sinh làm trung tâm và những vấn đề mà tôi trình bày trên đây sẽ góp một phần nhỏ bé vào việc nâng cao hiệu suất lên lớp, nâng dần chất lượng học môn toán. Sau khi áp dụng đề tài này vào trong giảng dạy, tôi đã nhận thấy rằng hiệu quả của đề tài mang lại rất tốt: Tăng khả năng phân tích, khả năng tính toán, khả năng tư duy, khả năng lập luận chính xác và logic, khả năng sáng tạo, hứng thú và say mê học toán của học sinh được nâng lên đáng kể. Đặc biệt chất lượng dạy học được nâng lên một cách rõ rệt thể hiện ở kết quả áp dụng đề tài. Công việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần phải làm thường xuyên và làm lâu dài mới tạo thành kĩ năng giải toán cho học sinh.Qua đó cũng góp phần thúc đẩy nâng cao chất lượng giảng dạy cũng như chất lượng giáo dục. Từ đó tìm ra những học sinh năng khiếu trong nhà trường để có điều kiện bồi dưỡng cho các em và giúp các em phát huy hết khả năng giải toán của mình. 2. Bài học kinh nghiệm: Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy việc thực hiện các chuyên đề là rất cần thiết vì từ đó học sinh được nâng cao, mở rộng kiến thức, người thầy cũng được bồi dưỡng thêm về chuyên môn, nghiệp vụ. Trong quá trình dạy học, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tìm tòi cách giải, phát huy tính tích cực, gợi hướng tư duy cho học sinh, không áp đặt đặc biệt không chữa bài tập một cách tràn lan. Bài tập trong SGK rất hay và cơ bản mà người thầy phải khai thác nó, tạo thành chiều sâu trong kiến thức cho học sinh nhưng để làm được điều này, đòi hỏi người thầy phải đầu tư thời gian, công sức và cả nhiệt huyết sư phạm. Ngoài ra học sinh còn nắm vững các kiến thức và khắc sâu được kiến thức đã học, rèn luyện khả năng phân tích và tìm mối các quan hệ giữa các bài toán, định hướng được các dạng bài toán để thực hiện, tăng khả năng sáng tạo và khả năng tự học của các em. 19/20
Hướng dẫn học sinh cách giải một số bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Đề tài mạng lại chất lượng và hiệu quả dạy học rất tốt. 3. Khuyến nghị: Do thời gian học chính khoá có hạn mà kiến thức toán rộng lớn, trong đó có nhiều chuyên đề, nhiều dạng toán đòi hỏi người học sinh phải tích luỹ được nhiều kinh nghiệm thì mới có thể giải được những dạng bài đó. Do đó tôi đề nghị nhà trường tạo điều kiện về thời gian và cơ sở vật chất giúp giáo viên và học sinh có thêm những buổi ngoại khoá để cô trò cùng nhau trao đổi, tháo gỡ những thắc mắc, khó khăn trong việc học môn toán nói chung và môn số học nói riêng, giúp học sinh có thêm những kinh nghiệm giải toán và vốn kiến thức vững vàng để các em tiếp thu những kiến thức mới ở các lớp trên một cách tốt hơn. Đối với ngành tổ chức những chuyên đề để giáo viên có điều kiện học hỏi và nâng cao nghiệp vụ chuyên môn để thúc đẩy được lòng yêu nghề của các thầy cô và thúc đẩy được sự tiến bộ của ngành. Đề tài của tôi được áp dụng ở lớp 7A tại một trường THCS đã mang lại kết quả đáng mừng và rất rõ nét. Tuy nhiên trong đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của các quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn chỉnh hơn, và đề tài sẽ được ứng dụng có hiệu quả trong quá trình giảng dạy. Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục ở địa phương nói riêng, cũng như toàn ngành giáo dục nói chung. Qua việc nghiên cứu tôi nhận thấy có rất nhiều các thầy cô giáo tâm huyết với nghề đã nghiên cứu tìm tòi có rất nhiều những sáng kiến, những đề tài hay, những sáng kiến được giải cao nhưng việc triển khai và sử dụng những chất sám đó thì chưa được rộng dãi. Vì vậy qua việc viết đề tài này tôi cũng mong các cấp quản lí quan tâm hơn đến sự nhiệt tình của các thầy cô, mong rằng những ý tưởng hay không bị lãng phí có như vậy thì mới thúc đẩy được lòng say mê nghiên cứu của các thầy cô và nền giáo dục nước nhà ngày một vững mạnh hơn. Xin chân thành cảm ơn các cấp ban ngành, cảm ơn các thầy cô! Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này không sao chép của người khác. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm với lời cam đoan trên. DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ************* 20/20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1111 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.