zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải quyết bài toán chia hết trong N

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Báo xấu

9
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THCS "Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải quyết bài toán chia hết trong N" được thực hiện nhằm giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản biết khai thác mở rộng kiến thức áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học 6.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải quyết bài toán chia hết trong N

Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BA VÌ ----------------- && SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI Năm Học : 2015 - 2016 1
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí do chọn đề tài Trang 3 2 Đối tượng nghiên cứu: Trang 4 3 Phạm vi nghiên cứu Trang 4 4 Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 5 5 Phương pháp nghiên cứu Trang 5 PHẦN II: NỘI DUNG A Cơ sở lí luận và thực tiễn Trang 6 B Giải pháp và cách thực hiện Trang 8 I Kiến thức cơ bản Trang 8 II Các dạng bài tập và cách giải Trang 10 Dạng 1 Vận dụng các dấu hiệu chia hết Trang 10 Dạng 2 Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa Trang 12 Dạng 3 Sử dụng quan hệ đồng dư trong các bài toán lũy thừa. Trang 14 Dạng 4 Dựa vào tính chia hết của tích Trang 15 Dạng 5 Thông qua biến đổi cấu tạo số Trang 17 Dạng 6 Sử dụng dấu hiệu chia hết của tổng Trang 19 Dạng 7 Sử dụng tính chất của ƯCLN, BCNN Trang 22 Dạng 8 Sử dụng dấu hiệu chia hết để giải toán vui và trò chơi Trang 23 C Kết quả sau thực nghiệm Trang 25 PHẦN III: KẾT LUẬN – BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KIẾN NGHỊ. 1 Kết luận Trang 27 2 Bài học kinh nghiệm Trang 27 3 Kiến nghị Trang 28 4 Phụ lục:( Các tài liệu tham khảo) Trang 29 PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài. 2
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N Trong thời đại công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước hiện nay mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với nhu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng. Toán học là một trong những môn khoa học tự nhiên đòi hỏi tính thông minh và trí tưởng tưởng cao ở mỗi người học. Toán học đã góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học tự nhiên cũng như thúc đẩy các bộ môn khoa học xã hội phát triển, nó là nền tảng để xây dựng nên các môn khoa học tự nhiên khác. Trong giáo dục, môn toán có một vị trí quan trọng. Trong nhà trường các tri thức toán giúp học sinh học tốt các môn học khác, trong đời sống hàng ngày thì toán học giúp con người có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng,... từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành các hoạt động lao động sản xuất trong thời kì công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy, học sinh lớp 6 bước đầu làm quen với chương trình THCS nên còn nhiều bỡ ngỡ gặp không ít khó khăn. Đặc biệt với phân môn số học, mặc dù đã được học ở tiểu học, nhưng với những đòi hỏi ở cấp THCS buộc các em trình bày bài toán phải lôgíc, có cơ sở nên đã khó khăn lại càng khó khăn hơn. Trong khi đó, đa số các em vận dụng kiến thức tư duy còn nhiều hạn chế, khả năng suy luận chưa nhiều, khả năng phân tích chưa cao, do đó việc giải toán của các em gặp nhiều khó khăn. Vì thế ít học sinh giải đúng, chính xác, gọn và hợp lí. Mặc khác, trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ trên tinh thần của sách giáo khoa mà chưa có phân loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải mỗi dạng toán cho học sinh. Đây là vấn đề mà các thầy cô giáo giảng dạy toán 6 và các bậc phụ huynh đều rất quan tâm, lo lắng. Do đó muốn rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh phải diễn đạt mối quan hệ những dạng toán này đến dạng toán khác, phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để phân loại chúng và đưa ra cách giải hợp lí nhất. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy là người định hướng, hướng dẫn cho học sinh cách tiến hành giải bài toán. Điều đó đòi hỏi mỗi thầy cô giáo phải tìm ra phương pháp dạy học phù hợp nhất với những đối tượng học sinh của mình. 3
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N Để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt, giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất. Do yêu cầu đổi mới phương pháp dạy và học “phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh” nên việc tổ chức cho các em tìm tòi cách giải toán là một yêu cầu tối cần thiết của người thầy. Học sinh lớp 6 còn mang nặng phong cách học của học sinh Tiểu học, chưa có kỹ năng tổng hợp kiến thức, chưa biết cách đào sâu khai thác bài toán. Vì vậy số học nói chung và toán chia hết nói riêng rất phong phú và cũng rất khó khăn đối với cả người dạy và người học. Mặt khác môn số học nói chung và toán chia hết nói riêng đòi hỏi tính lôgíc, chặt chẽ, mức độ khái quát, tổng hợp cao, là một mắt xích quan trọng trong trục chương trình là nền tảng cho học sinh học tốt bộ môn toán ở những năm tiếp theo. Vì vậy việc tháo gỡ những khó khăn về phương pháp khi đứng trước một bài toán số học nói chung và toán chia hết trong tập số tự nhiên nói riêng là một vấn đề hết sức cần thiết cho học sinh. Trong giảng dạy môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản biết khai thác mở rộng kiến thức áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học 6. Môn số học 6 là môn học rất quan trọng học sinh nắm được chắc kiến thức số học sẽ có nền móng tốt để học môn đại số các năm tiếp theo.Qua quá trình giảng dạy tôi thấy vấn đề chia hết trong N rất hay, các dạng bài tập phong phú, đa dạng các bài toán về chia hết còn được vận dụng để giải một số dạng toán khác góp phần rất lớn trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Vậy không ngoài tâm huyết với các em học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này. 2. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 6A của một trường THCS – Năm học 2015 -2016 3. Phạm vi nghiên cứu: - Trong năm học 2015 – 2016. Chương I số học. - Hoạt động dạy học Toán 6 nói riêng và Toán THCS nói chung. 4
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N 4. Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ một số vấn đề như sau: + Làm sáng tỏ cơ sở lí luận về kĩ năng giải Toán. + Đề xuất các phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS. + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài. 5. Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lí thuyết. + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. + Phương pháp thực nghiệm sư phạm. PHẦN II – NỘI DUNG 5
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N A. CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Địa phương tôi đời sống còn nhiều khó khăn so với nhiều địa phương khác. Do đó việc mua sắm tài liệu tham khảo rất ít đặc biệt là những học sinh thuộc diện hộ nghèo và cận nghèo. Vì vậy, khả năng giải toán của các em còn rất nhiều hạn chế. Trong quá trình dạy học nhiều năm ở trường THCS tôi nhận thấy đa số học sinh chưa phát huy hết năng lực giải toán của mình, nhất là học sinh đầu cấp THCS . Đặc biệt là đối với môn số học 6 là bước khởi đầu quan trọng nhất để hình thành khả năng phân tích giải toán cho học sinh trong những năm học tiếp theo. Giải bài tập toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan hệ logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận).Nhưng các qui tắc suy luận, cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh. Do đó học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập. Thực tiễn dạy học cũng cho thấy: Học sinh khá, giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cấn thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, học sinh TB, yếu kém gặp nhiều lúng túng. Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập. Quan sát đặc điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng hơn là sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải. Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó. Do đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra. Nhà toán học ĐềCác nói rất đúng rằng “Một vấn đề mà tôi giải quyết đều trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”. Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hướng suy nghĩ và cách giải. Vậy đối với khái niệm chia hết học sinh chưa hiểu sâu (chỉ trên cơ sở tính toán đối với các số cụ thể) chỉ hiểu về dấu hiệu chia hết một cách sơ sài, nông về tư duy, hẹp về kiến thức và cách giải quyết bài toán, chưa định hình được cách giải toán chia hết. Trước khi thực hiện đề tài này tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát như sau : Lần 1 (15 phút) : Chứng minh rằng a) aabb M11 b) ( 2p + 1) + ( p + 2 ) M3 Kết quả : Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB Số học sinh: 32 3 10 11 5 3 0 8 6
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N Lần 2 (20 phút) : Chứng minh rằng 4 + 42 + 43 + ... + 4100 M5 Kết quả : Điểm 0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5 9.0-10 TB Số học sinh: 32 2 9 11 6 4 0 10 Thông qua kết quả trên tôi rút ra được một số kết luận như sau: 1) Về phía giáo viên: Thực tế trong quá trình học tập trong trường THCS hiện nay, còn một vài giáo viên không xem trọng việc tự học ở nhà của học sinh mà thường giáo viên chỉ hướng dẫn một cách sơ sài, giáo viên chưa phát huy hết tác dụng của đồ dùng dạy học, đặt câu hỏi chưa rõ ràng hoặc chưa sát với yêu cầu bài toán, chưa đưa ra được các dạng bài toán tổng hợp ở cuối chương làm cho học sinh không được rèn luyện nhiều, do đó chưa hình thành được kĩ năng giải toán làm cho các em gặp nhiều khó khăn trong quá trình học toán. 2) Về phía học sinh: Học sinh của trường THCS mà tôi đang giảng dạy tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết của các bài toán chia hết vào làm bài tập còn hạn chế. Khả năng tính toán của các em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí các phương pháp giải, giải toán chưa hợp logic, khả năng phân tích, dự đoán kết quả của một số em còn hạn chế và khả năng khai thác bài toán chưa sâu. Ngoài ra một số học sinh không có khả năng phân tích một bài toán từ những gì đề bài yêu cầu sau đó tổng hợp lại, không chuyển đổi được từ ngôn ngữ bình thường sang ngôn ngữ số học hoặc không tìm ra phương pháp chung để giải các dạng toán chia hết trong N, từ đó cần có khả năng so sánh các cách giải để trình bày lời giải cho hợp lí. Nhiều học sinh một bài giải không xác định được đáp án đúng và sai. Vận dụng các cách giải đó để có thể tạo ra một bài toán mới tổng quát hơn. Mặt khác bài toán yêu cầu cao về mặt tư duy, tổng hợp kiến thức, vì vậy lần kiểm tra đầu tiên điểm quá thấp. Ở lần kiểm tra thứ hai, chất lượng và số lượng có tăng lên song rất chậm. Bên cạnh đó học sinh còn hạn chế tìm tòi các sách tham khảo để tìm ra các công thức quen thuộc và sự sáng tạo trong lời giải. Nguyên nhân: + Do thời lượng luyện tập giờ chính khoá còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập giải bài tập nhiều. 7
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học máy móc, hiểu một cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bài tập. + Cách trình bày lời giải một bài toán chưa thật chặt chẽ và thực hiện các phép tính chưa chính xác nên kết quả chưa cao. + Chưa có phương pháp học tập hợp lí; Chưa xác định đúng các dạng toán; Chưa có thời khóa biểu học ở nhà cụ thể. B. GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN: I. Kiến thức cơ bản - Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết giúp cho học sinh giải bài toán một cách thuận lợi và có thể tiếp thu một cách dễ dàng hơn. - Kiến thức cơ bản là phương tiện, là “xương sống” để từ đó phát triển, mở rộng dấu hiệu chia hết, vì thế tôi đã trang bị cho học sinh những kiến thức sau : 1. Các dấu hiệu chia hết : * Gọi A = anan 1 ...a1a0 - Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 +AM2 a0 M 2 a0 {0; 2; 4; 6; 8} +AM5 a0 M 5 a0 {0; 5} - Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 +AM3 a0+a1+…+an M 3 +AM9 a0+a1+…+an M 9 - Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 +AM4 a1a0 M 4 + A M 25 a1a0 M 25 - Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 +AM8 a2 a1a0 M 8 + A M 125 a2 a1a0 M 125 - Dấu hiệu chia hết cho 11 + A M 11 [(a0 + a2 +…) - (a1 + a3 +…)] M 11 hoặc [(a1 + a3+…) - (a0 + a2 +…)] M 11 * Xây dựng các dấu hiệu chia hết : Nếu a Mb; a Mc; UCLN ( b; c ) = 1 a M( b.c ) . Từ đó ta có các dấu hiệu chia hết : Dấu hiệu chia hết cho 6 : (6 = 2.3) 8
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N Dấu hiệu chia hết cho 15 : (15 = 3.5) Dấu hiệu chia hết cho 18 : (18 = 2.9) Dấu hiệu chia hết cho 10 : (10 = 2.5) * Xây dựng các dấu hiệu chia hết cho 2 , 5 : Nếu A = B00...0 + C k k { k chu so 0 (C là số được tách ra từ k chữ số tận cùng của A) hay A = B.2 k.5k + C thì số A có chữ số tận cùng chia hết cho 2 ( cho 5 ) thì chia hết cho 2 , 5 . k k k k 2. Phương pháp tìm chữ số tận cùng của lũy thừa Nâng các số 0; 5; 1; 6 lên lũy thừa bất kỳ cho chữ số tận cùng không đổi Chữ số tận cùng khi Chữ số tận cùng khi Chữ số tận cùng nâng lên lũy thừa 2 nâng lên lũy thừa 4 2 4 6 4 6 6 8 4 6 3 9 1 7 9 1 9 1 1 3. Kiến thức về cấu tạo số ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c abcd = 1000a + 100b + 10c + d ...... 4. Tính chất chia hết của một tổng a Mm, b Mm ( a + b ) Mm a Mm, c M m ( a + c) M m 5. Các tính chất của ƯCLN, BCNN a) Các tính chất của ƯCLN Nếu ƯCLN(a; b) = d thì ƯCLN(a; b) = Ư(d) (Mục 3 bài 7 tìm ƯC thông qua ƯCLN) ƯCLN(ka; kb) = k.ƯCLN(a; b) ( k N *) 9
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N a b UCLN ( a; b ) m UCLN ( a; b ) UCLN ; = m m m a b d = UCLN ( a; b ) UCLN ; =1 d d b) Các tính chất của BCNN Nếu m Ma; m Mb thì m MBCNN ( a; b ) BCNN(ka; kb) = k.BCNN(a; b) ( k N *) a b BCNN ( a; b ) n BCNN ( a; b ) BCNN ; = n n n ab BCNN ( a; b ) = (Bài tập 52 – SGK) UCLN ( a; b ) II.Các dạng bài tập và cách giải Dạng 1: VẬN DỤNG CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Nếu a Mm; m = p.q thì a Mp; a Mq ( p, q N *) Ví dụ 1: Tìm x, y để A = 135x4y M45 Hướng dẫn : Ta thấy 45 = 5.9 nên A chia hết cho cả 5 và 9 Vì A chia hết cho 5 nên y có giá trị là 0 hoặc 5 - Nếu y = 0 ta có : A = 135x4y M9 x =5 A = 135540 - Nếu y = 5 ta có : A = 135x4y M9 x=0 A = 135045 Vậy với x = 5, y = 0 hoặc x = 0, y = 5 thì A = 135x4y M45 Bài toán đã mở ra một hướng mới khi sử dụng kết hợp các dấu hiệu chia hết từ đó khai thác các dấu hiệu chia hết theo hướng mở rộng bắt đầu được học sinh để ý tới. Ví dụ 2: Tìm x, y để B = 23xy M20 Hướng dẫn : Ta thấy 20 = 2.10 nên B chia hết cho 10 hay y = 0 Mặt khác 20 M4 nên B chia hết cho 4 hay x0 M4 x { 0; 2; 4; 6; 8} Vậy với x { 0; 2; 4; 6; 8} và y = 0 thì B = 23xy M20 10
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N Sau khi làm xong bài tập này phương pháp giải toán chia hết thông qua kết hợp các dấu hiệu chia hết được khắc sâu hơn trong tư duy của học sinh. Trong các bài tập dạng số cụ thể, học sinh có thói quen tính toán ra kết quả vì vậy các bài toán lũy thừa là một vấn đề rất khó khăn cho học sinh, từ đó tôi giới thiệu bài toán sau : 102008 + 2 Ví dụ 3: Chứng minh rằng P= là một số tự nhiên 3 Hướng dẫn : Ta có : P = 10 + 2 = 1000...0 + 2 = 1000...0 2 2008 123 123 2008 sô 0 2008 sô 0 1 + 0 + 04 2 + ... + 0 + 2 = 3 1 4 +04 4 3 P M3 P N Tổng các chữ số của P là : 2008 sô 0 Vậy P là số tự nhiên Tuy đây là một bài toán đơn giản nhưng học sinh thường bị “choáng” khi gặp các lũy thừa bậc cao. Qua bài tập này học sinh đã tự tin hơn khi làm toán liên quan đến lũy thừa. Bài tập tự luyện : Bài 1: Tìm a, b biết rằng: a) a56b M45 b) 10ab5 M 45 c) 34a5b M36 d) 25a2b M36 e) a378b M72 102007 + 8 Bài 2: Chứng minh rằng là số tự nhiên. 9 Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n (n 0) sao cho: 19n + 7 là số tự nhiên. 7n + 11 Dạng 2: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LŨY THỪA Dạng toán này thường được dùng trong việc chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một biểu thức nào đó chia hết cho 2, cho 5. Ví dụ 1: Chứng minh rằng 73 − 2 chia hết cho 5 2003 Hướng dẫn : Ta có : 11
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N 732003 = 73.732002 = 73. ( 732 ) 1001 1001 = 73.A9 ( ) 2 500 = 73.A9. A9 500 = 73.A9.B1 500 = C7.D1 = E7 732003 − 2 = E7 − 2 = E5 M5 Vậy 73 − 2 chia hết cho 5 2003 Ví dụ 2: Chứng minh rằng 4343 – 1717 chia hết cho 5 Hướng dẫn : Ta có: 4343 = 4340 .433 = (434 )10 .433 10 = A1 .B7 = A1.B7 = C7 1717 = 1716 .17 = (17 4 ) 4 .17 4 = D1 .17 = E1.17 = F7 4343 − 1717 = C7 − F7 = G0 M5 43 17 Vậy 43 – 17 chia hết cho 5 Ví dụ 3: Chứng minh rằng 19921993 − 37520 − 1 chia hết cho cả 2 và 5 Hướng dẫn : Ta có : 12
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N 19921993 = 1992.19921992 = 1992. ( 19922 ) 996 996 = 1992.A4 ( ) 2 498 = 1992. A4 498 = 1992.B6 = 1992.C6 = D2 37520 = ( 37 2 ) 260 260 = E9 ( ) 2 130 = E9 130 = F1 = G1 19921993 − 37520 − 1 = D2 − G1 − 1 = H0 Vậy 19921993 − 37520 − 1 chia hết cho cả 2 và 5. Đối với bài toán này yêu cầu cao hơn bài toán ở ví dụ 1 và ví dụ 2, song tựu chung lại là việc tìm chữ số tận cùng của một biểu thức để kiểm tra việc chia hết cho 2 và cho 5 của biểu thức đó. Ví dụ 4: Cho n N* Chứng minh A = 34n+1 +7 chia hết cho 10 Hướng dẫn : Ta có: 34 n +1 + 7 = 34 n .3 + 7 = (34 ) n .3 + 7 n = X1 .3 + 7 = X1.3 + 7 = Y3 + 7 = Z0 M 10 Vậy A = 34n+1 +7 chia hết cho 10 Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh rằng 1131999 − 471994 chia hết cho 5 Bài 2: Chứng minh rằng 532001 + 28256 + 1 chia hết cho cả 2 và 5 Bài 3: Chứng minh rằng a) 175 + 244 − 1321 chia hết cho 10 13
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N b) (7 1969 1970 ) − (368 )1970 chia hết cho 10 Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n: a) 74n - 1 chia hết cho 5 b) 34n + 1 + 2 chia hết cho 5 c) 24n + 2 + 1 chia hết cho 5 d) 24n + 1 + 3 chia hết cho 5 e) 92n + 1 + 1 chia hết cho 10 Dạng 3 : SỬ DỤNG QUAN HỆ ĐỒNG DƯ TRONG CÁC BÀI TOÁN LŨY THỪA Cơ sở : - Nếu a; b chia cho m cùng có số dư r thì a – b chia hết cho m - Nếu a chia cho b dư r thì a n = bội số của b + r n (Bội số của b ký hiệu là BS(b)) Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia 321593 cho 7 Hướng dẫn : Ta có : 32 = 4.7 + 4 32 = BS ( 7 ) + 4 1593 1593 Mặt khác : 41593 = ( 43 ) 531 = 64531 64 = 9.7 + 1 64531 = BS ( 7 ) + 1531 Do đó 321593 chia cho 7 dư 1. Ta thấy việc giải toán dạng này qui về việc biến đổi cơ số thành bội số của số chia và một số dư, sau đó biến đổi sao cho số dư bằng 1. Việc tìm ra số dư của phép chia rất quan trọng, nếu như hai số có cùng số dư khi chia cho cùng một số thì hiệu hai số trên chia hết cho số đó. Ví dụ 2: Chứng minh rằng 15 + 9 M8 ? 1997 2002 Hướng dẫn : Ta có : 15 = 1.8 + 7 151997 = BS ( 8 ) + 71997 71997 = 7.71996 = 7.49998 49 = 6.8 + 1 49998 = BS ( 8 ) + 1998 Do đó 49998 chia cho 8 dư 1 và 7.49998 chia cho 8 dư 7 tức là 151997 chia cho 8 dư 7. 14
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N Mặt khác : 9 = 8 + 1 9 2002 = BS ( 8 ) + 12002 nên 92002 chia cho 8 dư 1. Vậy 15 1997 + 92002 M8 Đây là một dạng toán khó nên việc nắm bắt kiến thức của học sinh còn khó khăn, mơ màng nên tôi đưa ra bài toán sau : Ví dụ 3 : Chứng minh rằng A = 6 − 9 M7 570 150 Hướng dẫn : Ta có : 6570 = 36285 = ( 5.7 + 1) = BS ( 7 ) + 1285 285 9150 = ( 7 + 2 ) = BS ( 7 ) + 2150 150 2150 = 850 = ( 7 + 1) = BS ( 7 ) + 150 50 Vậy A = 6570 − 9150 chia cho 7 có số dư là 1 – 1 = 0 hay A = 6 − 9 M7 570 150 Qua bài tập trên tôi chắc chắn rằng các em đã nắm bắt được phương pháp để giải một bài toán chia hết thông qua việc tìm số dư. Từ đó tôi ra các bài tập sau cho học sinh. Bài tập tự luyện : Bài 1: Tìm số dư của phép chia 14176 cho 5 Bài 2: Chứng minh rằng A = 25 − 19 M9 738 520 Dạng 4 : DỰA VÀO TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TÍCH Cơ sở : - Nếu A = a.k thì A Ma - Nếu A MC; B MD thì A.B MC.D Ví dụ 1: Chứng minh rằng A chia hết cho 3 và 5 biết A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263 Hướng dẫn : Ta có : A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263 = ( 1 + 2 ) + 22 ( 1 + 2 ) + ... + 262 ( 1 + 2 ) = 3 + 3.2 2 + ... + 262.3 = 3.( 1 + 22 + 24 + ... + 262 ) A M3 15
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263 = ( 1 + 22 ) + ( 2 + 23 ) + ... + ( 260 + 262 ) + ( 261 + 263 ) = ( 1 + 22 ) + 2 ( 1 + 22 ) + ... + 260 ( 1 + 2 2 ) + 261 ( 1 + 22 ) = 5 + 5.2 + ... + 5.260 + 5.261 = 5.( 1 + 22 + 24 + ... + 261 ) A M5 Vậy A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263 chia hết cho 3 và 5. Ví dụ 2: Cho B = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 311 . Chứng minh rằng: a)BM 13 b)BM40 Hướng dẫn: a) Ta có: B = (1 + 3 + 32 ) + (33 + 34 + 35 ) + ... + (39 + 310 + 311 ) B = (1 + 3 + 32 ) + 33 (1 + 3 + 32 ) + ... + 39 (1 + 3 + 32 ) B = (1 + 3 + 32 )(1 + 33 + ... + 39 ) B = 13.(1 + 33 + ... + 39 ) M13 BM13 b) Ta có: B = (1 + 3 + 32 + 33 ) + (34 + 35 + 36 + 37 ) + (38 + 39 + 310 + 311 ) B = (1 + 3 + 32 + 33 ) + 34 (1 + 3 + 32 + 33 ) + 38 (1 + 3 + 32 + 33 ) B = 40(1 + 34 + 38 ) B = 40(1 + 34 + 38 ) M40 BM40 Ví dụ 3 : Cho S = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 396 + 397 + 398 + 399 . Chứng minh rằng : a) S chia hết cho 4. b) S chia hết cho 40 c) S – 1 chia hết cho 13 Hướng dẫn: Ta có : 16
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N a) S = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 396 + 397 + 398 + 399 = ( 1 + 3) + 32 ( 1 + 3) + ... + 396 ( 1 + 3) + 398 ( 1 + 3 ) = 4 + 32.4 + ... + 396.4 + 398.4 = 4.( 1 + 32 + 34 + ... + 396 + 398 ) S M4 b) S = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 396 + 397 + 398 + 399 = ( 1 + 3 + 32 + 33 ) + 34 ( 1 + 3 + 32 + 33 ) + ... + 396 ( 1 + 3 + 32 + 33 ) = 40 + 34.40 + ... + 396.40 = 40.( 1 + 34 + ... + 396 ) S M40 c)S = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 396 + 397 + 398 + 399 = 1 + 3 ( 1 + 3 + 32 ) + ... + 397 ( 1 + 3 + 32 ) = 1 + 3.13 + ... + 397 .13 = 1 + 13. ( 1 + 3 + ... + 397 ) S − 1 = 13. ( 1 + 3 + ... + 397 ) S − 1 M13 Qua các bài tập trên chắc chắn học sinh đã nắm được qui luật và hướng giải quyết dạng toán này. Tuy nhiên các em vẫn cần phải lưu ý, để chứng minh tổng S Ma , ta biến đổi S = m.a S Ma Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh rằng: A = 5 + 52 + 53 + ... + 599 + 5100 chia hết cho 6 Bài 2: Cho S = 8 + 82 + 83 + ... + 81000 . Chứng minh rằng : a) S chia hết cho 9 b) S chia hết cho 72 c) S – 8 chia hết cho 73 1 + 2 + 2 2 + ... + 299 Bài 3: Chứng tỏ rằng M = là số tự nhiên ? 31 Bài 4: Chứng minh rằng P chia hết cho 56 biết : P = 7 + 7 2 + 7 3 + ... + 7 20 Dạng 5 : THÔNG QUA BIẾN ĐỔI CẤU TẠO SỐ Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : 17
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N a) aa M11 b) bbb M37, bbb M3 c) cccc M101 Hướng dẫn : Ta có : a) aa = 10a + a = 11.a M11 b) bbb = 100b + 10b + b = 111b = 37.3.b bbb M37 bbb M3 c) cccc = 1000c + 100c + 10c + c = 1111c = 101.11.c M101 Đây là các bài toán đơn giản, thực chất là là ta phân tích các số đã cho thành tích các thừa số nguyên tố, nó sẽ xuất hiện các thừa số cần chứng minh, từ đó ta có các kết luận về bài toán. Trong bài toán này việc phân tích cấu tạo số chỉ đơn giản để học sinh được tư duy sâu sắc hơn, ta làm bài tập sau : Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : a) abcabc M7; 11; 13 ( ) b) abab + baba M101; 11 Hướng dẫn : a) Ta có : abcabc = abc000 + abc = abc.1000 + abc = 1001.abc = 7.11.13.abc Do đó abcabc chia hết cho 7; 11; 13. b) Ta có : abab + baba = 1000a + 100b + 10a + b + 1000b + 100a + 10b + a = 1111a + 1111b = 1111.( a + b ) = 101.11.( a + b ) Do đó abab + baba chia hết cho 101; 11. Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : Nếu ab M7 thì a + 5b M7 ? Hướng dẫn : Ta có : 18
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N ab = 10a + b M7 50a + 5b M7 49a + ( a + 5b ) M7 a + 5b M7 (Do 49a chia hết cho 7) Ví dụ 4: Cho abc + deg M37 . Chứng minh rằng abc deg M37 Hướng dẫn: Ta có: abc deg = 100abc + deg = 99abc + (abc + deg) Mà 999abc M37 ; abc + deg M37 Nên 999abc + (abc + deg) M37 Vậy abc deg M37 Ví dụ 5: Tìm chữ số a biết rằng 20a20a20a M7 Hướng dẫn: Ta có: 20a20a20a = 20a20a.1000 + 20a = (20a.1000 + 20a)1000 + 20a = 1001 20a 1000 + 20a Theo đề bài 20a20a20a M7 , mà 1001M7 nên 20a M7 Ta có 20a = 200 + a = [196 + (4 + a)]M7 nên (4 + a) M7 Vậy a = 3. Qua các ví dụ trên thì con đường để giải một bài toán chia hết đã được hình thành trong tư duy của học sinh. Từ kỹ năng phân tích cấu tạo số, đến kỹ năng thêm bớt, từ đó hình thành phương pháp tổng hợp cho học sinh. Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh rằng : ( ) a) ab + cd M11 abcd M11 b) ( a + 3b + 9c + 27d ) M 29 abcd M 29 c) ab M13 a + 4b M13 d) cd M17 3c + 2d M17 Bài 2: Chứng minh rằng : Nếu abc M 7 thì (2a + 3b + c) M7 . Bài 3: Cho (abc − deg) M . Chứng minh rằng abc deg M . 13 13 19
Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N Bài 4: Cho M = dcba . Chứng minh rằng: a)M M4 (a + 2b) M4 b)M M8 (a + 2b + 4c) M8 Dạng 6 : SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT CỦA TỔNG Cơ sở : a Mm, b Mm ( a + b ) Mm a Mm, c M m ( a + c) Mm Đối với dạng toán này đòi hỏi học sinh phải tư duy sáng tạo hơn. Việc sử dụng dấu hiệu chia hết của tổng theo chiều thuận rất đơn giản, nhưng để sử dụng dấu hiệu chia hết của tổng theo chiều ngược lại là vấn đề rất phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có tư duy cao hơn, để đưa biểu thức về một tổng, ở đó tổng và một số hạng đã chia hết. Ví dụ 1 : Tìm điều kiện của x để : A = 12 + 15 + 21 + x M3 Hướng dẫn : Dễ thấy ( 12 + 15 + 21) M3 , vì vậy để A chia hết cho 3 thì x phải chia hết cho 3 Ví dụ đầu tiên chỉ để củng cố kiến thức cho học sinh, vấn đề cơ bản, thuần túy chứ không mấy phức tạp. Để phát triển tư duy cho học sinh một cách cao hơn, tôi đưa ra bài toán sau : Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để : a) ( n + 3) M( n + 1) b) ( 4n + 2 ) M( 2n + 4 ) c) ( 2n + 7 ) M( n + 1) Hướng dẫn : a) Ta có : n + 3 = [ ( n + 1) + 2] M n + 1 2 Mn + 1 n + 1 U ( 2 ) = { 1; 2} +) n + 1 = 1 n=0 +) n + 1 = 2 n =1 Vậy với n { 0; 1} thì ( n + 3) M( n + 1) b) Ta có : 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022

304 tài liệu

922 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.