Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải quyết được phần được coi là khó của đề thi, đòi hỏi phải có tư duy cao. Phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề, biết quy lạ về quen, rèn luyện tư duy sáng tạo, phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập của HS, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPTQG và HSG tỉnh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Người thực hiện: Đào Thị Trường Lê Thị Thu Hằng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán SĐT: 0384117204; 0389229510 NGHỆ AN NĂM 2023
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài. Sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế xã hội trong giai đoạn hiện nay đòi hỏi con người phải năng động sáng tạo, không ngừng đổi mới để thích nghi. Nhằm đáp ứng nhu cầu đó của xã hội, nền giáo dục Việt Nam không ngừng đổi mới để phát triển năng lực cho HS. Thực tế cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp sẽ kích thích được hứng thú học tập của HS, giúp HS phát triển tư duy lĩnh hội được tri thức và đạt được mục đích học tập. Năm học 2022 - 2023 chúng tôi được phân công giảng dạy toán 12 và bồi dưỡng HSG tỉnh 12 chúng tôi thấy: Các bài toán về cực trị của hàm số chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong chương trình toán phổ thông và nó được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế và thường xuất hiện trong đề thi THPTQG và các đề thi HSG. Khi gặp phải phần này gây không ít khó khăn cho HS. Trong quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy HS gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt các bài toán ở mức độ vận dụng. Từ khi Bộ GD&ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những kiến thức sâu rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất. Phần cực trị của hàm số đã được yêu cầu rộng hơn, mức độ khó hơn trước, đặc biệt là các bài toán về tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyêt đối, nó đòi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức về cực trị thật vững và tư duy linh hoạt mới giải quyết được lớp các bài toán dạng này bởi lẽ có những câu vận dụng cao tìm cực trị hàm số mà không cho hàm cụ thể nên việc sử dụng máy tính Casio để có thể tìm đáp án là hạn chế. Vì những lí do trên, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có những cách tiếp cận nhanh nhất, có hệ thống kiến thức vững chắc về cực trị đặc biệt là cực trị của hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng tôi xây dựng một chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh và quan trọng hơn là bồi dưỡng chuyên môn cho chính bản thân mình nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục, chúng tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối”. Với đề tài này chúng tôi hi vọng và mong muốn sẽ giúp cho học sinh phát triền tư duy, dễ dàng nắm bắt và thành thạo trong việc giải các bài toán về cực trị nói chung và giải được các bài toán về cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng. 2
2. Mục đích nghiên cứu. - Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải quyết được phần được coi là khó của đề thi, đòi hỏi phải có tư duy cao. Phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề, biết quy lạ về quen, rèn luyện tư duy sáng tạo, phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập của HS, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPTQG và HSG tỉnh. - Giải quyết các vấn đề mà HS còn lúng túng, mắc nhiều sai lầm và thậm chí là không có định hướng về lời giải trong việc tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Làm cho HS thấy được vấn đề cốt lõi của chương học, tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo. - Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần nâng cao chất lượng dạy học. 3. Đối tượng và thời gian nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 12 trường THPT Đô Lương 2 - Đô Lương - Nghệ an. 3.2. Thời gian nghiên cứu - Năm học 2022 - 2023 4. Phạm vi nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu và xây dựng hệ thống bài tập tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm góp phần phát triển tư duy cho HS lớp 12 Trường THPT Đô lương 2 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu những khó khăn của HS khi làm các dạng bài tập liên quan đến cực trị của hàm hợp hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Tự tìm tòi, trao đổi với đồng nghiệp khám phá, đưa vào thực nghiệm và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo từng mức độ từ dễ đến khó. - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tham khảo ý kiến của GV và thăm dò ý kiến HS. - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Thống kê và xử lí số liệu kết quả học tập của HS trước và sau khi áp dụng sáng kiến. - Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan. - Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4, 12C2, 12C4 trường THPT Đô lương 2 - Nghệ an 3
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nhiệm đề tài trong dạy học để rút ra hiệu quả. - Phương pháp thống kê toán học. - Phương pháp đối chứng. 6. Những đóng góp mới của đề tài. Trong nhiều đề thi những năm gần đây những bài toán liên quan đến cực trị hàm hợp, hàm ẩn đặc biệt là hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều. Vấn đề này đã gây không ít khó khăn cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập. Sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” bắt kịp xu thế dạy học hiện nay, tạo thêm nguồn tài liệu cho GV và HS tham khảo. Đề tài của chúng tôi đã cung cấp được hệ thống kiến thức lý thuyết và phương pháp cụ thể cho các dạng toán được nêu ra. Đồng thời cập nhật được các bài toán tương tự các bài trong đề thi THPTQG hàng năm. Qua đó HS thấy được sự cần thiết phải học tập chuyên đề này. Phân loại các dạng toán để làm mềm các lớp bài toán, từ đó giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết các bài toán phân loại sâu ở mức khó trong đề thi. Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân chúng tôi đã áp dụng đề tài của mình vào giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đã rất chủ động và hứng thú khi tiếp cận với những bài toán liên quan. Từ đó phát huy tính tích cực, tư duy logic, hệ thống và khái quát hoá tính sáng tạo của mình trong học tập. Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo trong bồi dưỡng HSG, ôn thi THPTQG cho học sinh khá giỏi. 4
PHẦN II: NỘI DUNG. Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài. 1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1. Tư duy - Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người ta chưa biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết đó ngày một sâu sắc phải vạch ra những cái bản chất và quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó được gọi là tư duy. Tư duy có đặc điểm cơ bản sau: - Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực đến thế giới khách quan. - Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. - Bản chất của tư duy là sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng. - Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo . - Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người. 1.1.2. Các kiến thức cơ bản liên quan 1.1.2.1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b ) và điểm x0 ( a; b ) . + Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ) với mọi x ( x0 − h; x0 + h ) và x x0 thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 . + Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ) với mọi x ( x0 − h; x0 + h ) và x x0 thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 . Lưu ý: + Nếu hàm số f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, còn điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của đồ thị hàm số. + Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x0 thì f ' ( x0 ) = 0. + f ( x ) có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 . + Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. 5
+ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. 1.1.2.2. Tính chất Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h; x0 + h ) và có đạo hàm trên K hoặc K \ { x0 } , với h > 0. + Nếu f ' ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ' ( x ) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x ) . + Nếu f ' ( x ) < 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ' ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) . Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( x0 − h; x0 + h) , với h > 0 . Khi đó: + Nếu f ' ( x0 ) = 0 và f '' ( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. + Nếu f ' ( x0 ) = 0 và f '' ( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số. - Thông qua quá trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các dạng bài toán liên quan. - Trong thực tiễn tôi đã vận dụng khá tốt các nội dung của chuyên đề. Từ đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này. 1.2. Cơ sở thực tiễn: Trong những năm gần đây các đề minh họa của bộ GD&ĐT, đề thi THPTQG và đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc, học sinh thường gặp một số câu về tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao. Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, chúng tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh trường THPT Đô lương 2 năm học 2022 - 2023 (thông qua các lớp trực tiếp giảng dạy) về các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng tôi đã thu được kết quả như sau: Bảng 1: Khảo sát chất lượng học tập trước khi sử dụng giải pháp Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 12C4 42 1 2,4% 4 9,5% 24 57,1% 9 21,5% 4 9,5% 12A4 41 0 0% 4 9,8% 22 53,6% 11 26,8% 4 9,8% 12C2 39 1 2,6% 6 15,4% 22 56,4% 8 20% 2 5% 12A1 41 0 0% 3 7,3% 21 51,2% 12 32,2% 3 9,3% 12B1 40 0 0% 2 5% 20 50% 13 32.5% 5 12.5% 12B4 38 0 0% 2 5.3% 23 60.5% 10 26.3% 3 7.9% Bảng 2: Kết quả khảo sát độ hứng thú Lớp 12A1(41) 12A4(41) 12C2(39) Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Độ hứng thú lượng % lượng % lượng % Rất thích 2 4.9% 3 7.3% 5 12.8% Thích 7 17.1% 9 22% 8 20.5% Bình thường 23 56.1% 20 48.8% 19 48.7% 6
Không thích 9 21.9% 9 21.9% 7 18% Bảng 3: Kết quả khảo sát độ hứng thú Lớp 12B1(40) 12B1(38) 12C4(41) Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Độ hứng thú lượng % lượng % lượng % Rất thích 0 0% 0 0% 3 7.3% Thích 0 0% 0 0% 8 19.5% Bình thường 15 37.5% 10 26.3% 23 56.1% Không thích 25 62.5% 28 73.3% 7 17.1% Thực tế cho thấy số lượng hầu như học sinh chưa nắm được dạng toán này, có rất nhiều em chưa định hướng được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết. Thực hiện đề tài này chúng tôi đã hệ thống lại các phương pháp tìm cực trị của hàm số đã được học để áp dụng cho hàm ẩn, hàm hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thông qua các phương pháp giải cụ thể và ví dụ tương ứng cho mỗi phương pháp đó. Cuối cùng là bài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết. Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra các phương pháp tìm cực trị đó là: Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng y = f ( u ) với u = u ( x ) và phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá tri tuyệt đối quen thuộc là y = f ( x ) , y = f ( x ) và y = f ( x ) . 7
Chương 2: Các giải pháp tổ chức thực hiện 2.1. Giải pháp nhằm góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để thực hiện đề tài này chúng tôi chia nội dung thành hai phần : Phần 1. Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng y = f ( u ) với u = u ( x) . Phần 2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phần này chúng tôi chia thành 3 dạng: Dạng 1: y = f ( x ) Dạng 2: y = f ( x ) Dạng 3: y = f ( x ) Mỗi phần được thực hiện theo các bước: - Đưa ra phương pháp giải. - Nêu các ví dụ áp dụng. - Đưa ra các bài tập tương tự để học sinh tự luyện. 2.2. Nội dung cụ thể. 2.2.1. Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng y = f ( u ) với u = u ( x). 2.2.1.1. Phương pháp giải: Bài toán: Cho hàm số y = f ( x ) (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của f ( x ) , f ' ( x ) ). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( u ) trong đó u là một hàm số đối với x Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) Bước 1. Tính đạo hàm y ' = u '. f ' ( u ) u' = 0 Bước 2. Giải phương trình y ' = 0 f '( u ) = 0 Bước 3. Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà y ' không xác định. Kết luận 2.2.1.2. Ví dụ áp dụng: Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số f ' ( x ) như sau: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 2 x ) là 2 A. 9. B. 3. C. 7. D. 5. Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toán này là: - Tìm y . 8
- Xét số nghiệm phương trình y = 0 và lí luận các nghiệm đôi một khác nhau. Lời giải Chọn C Ta có y = 2 ( x − 1) . f ( x − 2 x ) . 2 x =1 y =0 f ( x2 − 2x ) = 0 x =1 x =1 x2 − 2x = a ( − ; − 1) x 2 − 2 x − a = 0, a ( − ; − 1) (1) x2 − 2x = b ( −1;0 ) x 2 − 2 x − b = 0, b ( −1;0 ) (2) . x2 − 2x = c ( 0;1) x 2 − 2 x − c = 0, c ( 0;1) (3) x2 − 2x = d ( 1; + ) x 2 − 2 x − d = 0, d ( 1; + ) (4) Phương trình (1) vô nghiệm, các phương trình (2),(3),(4) đều có hai nghiệm phân biệt khác 1 và do b, c, d đôi một khác nhau nên các nghiệm của phương trình (2),(3),(4) cũng đôi một khác nhau. Do đó f ( x 2 − 2 x ) = 0 có 6 nghiệm phân biệt. Vậy y = 0 có 7 nghiệm phân biệt, do đó số điểm cực trị của hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) là 7. Câu 2. Cho hàm số f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số f ( x ) như sau: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 4 x + 4 x ) là 2 A. 5. B. 9. C. 7. D. 3. Lời giải Chọn C ( Có f ( 4 x 2 + 4 x ) ) = ( 8x + 4) f ( 4 x2 + 4 x ) , 1 x=− ( f ( 4x 2 + 4x) ) =0 2 . f ( 4x + 4x ) = 0 2 9
4 x 2 + 4 x = a1 ( − ; −1) 4 x 2 + 4 x = a2 ( −1;0 ) Từ bảng biến thiên trên ta có f ( 4 x + 4 x ) = 0 2 . (1) 4 x 2 + 4 x = a3 ( 0;1) 4 x 2 + 4 x = a4 ( 1; + ) 1 Xét g ( x ) = 4 x + 4 x , g ( x ) = 8 x + 4 , g ( x ) = 0 x=− 2 ta có bảng biến thiên 2 Kết hợp bảng biến thiên của g ( x ) và hệ (1) ta thấy: Phương trình 4 x + 4 x = a1 2 (− ; −1) vô nghiệm. 1 Phương trình 4 x + 4 x = a2 2 ( −1;0 ) tìm được hai nghiệm phân biệt khác − . 2 Phương trình 4 x + 4 x = a2 2 ( 0;1) tìm được thêm hai nghiệm mới phân biệt khác 1 − . 2 Phương trình 4 x + 4 x = a2 2 ( 1; + ) tìm được thêm hai nghiệm phân biệt khác 1 − . 2 Vậy hàm số y = f ( 4 x + 4 x ) có tất cả 7 điểm cực trị. 2 Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R . Đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( x + 4 x ) − x − 4 x có bao nhiêu điểm cực trị 2 2 thuộc khoảng ( −5;1) ? 10
A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 . Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : - Tìm nghiệm y = 0 - Cách chọn nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ. Lời giải Chọn A Đặt g ( x ) = f ( x + 4 x ) − x − 4 x 2 2 g ( x ) = ( 2x + 4) f ( x2 + 4x ) − ( 2x + 4) = ( 2x + 4) f ( x2 + 4x ) − 1 . 2x + 4 = 0 x 2 + 4 x = −4 (1) Ta có g ( x ) = 0 . x2 + 4 x = 0 (2) x2 + 4 x = a ( 1;5) (3) Xét phương trình x + 4 x = a 2 ( 1;5) , ta có BBT của hàm số y = x 2 + 4 x trên ( −5;1) như sau: Suy ra (1) có nghiệm kép x = −2 , (2) có 2 nghiệm phân biệt x = −4; x = 0 , (3) có 2 nghiệm phân biệt x = x1 ; x = x2 khác −2; 0; − 4 . Do đó phương trình g ( x ) = 0 có 5 nghiệm trong đó có x = −2 là nghiệm bội ba, các nghiệm x = −4; x = 0 ; x = x1 ; x = x2 là các nghiệm đơn. Vậy g ( x ) có 5 điểm cực trị. Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R , có đồ thị f ( x ) như hình vẽ. y y= f'(x) O 2 x Số điểm cực tiểu của hàm số g ( x ) = f ( − x + x ) là 2 11
A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có g ( x ) = f ( − x + x ) g ( x ) = ( −2 x + 1) f ( − x 2 + x ) . 2 g ( x) = 0 ( −2 x + 1) f ( − x2 + x ) = 0 1 1 x= x= 2 −2 x + 1 = 0 2 x =1 . −x + x = 0 2 f ( − x2 + x ) = 0 x=0 − x2 + x = 2 −2 x + 1 > 0 f ( − x2 + x ) > 0 Do đó g ( x ) > 0 ( −2 x + 1) f ( − x2 + x ) > 0 −2 x + 1 < 0 f ( − x2 + x ) < 0 1 1 x< x< 2 2 − x2 + x > 2 x >1 x
Vì hàm số y = f ( x ) có đúng ba điểm cực trị là −2; −1;0 và có đạo hàm liên tục trên R nên f ( x ) = 0 có ba nghiệm là −2; −1;0 (ba nghiệm bội lẻ). Xét hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có y = ( 2 x − 2 ) . f (x 2 − 2x ) ; x =1 x =1 x 2 − 2 x = −2 y =0 ( 2x − 2) . f (x 2 − 2x) = 0 x 2 − 2 x = −1 x=0. x=2 x2 − 2x = 0 Do y = 0 có một nghiệm bội lẻ ( x = 1 ) và hai nghiệm đơn ( x = 0 ; x = 2 ) nên hàm số y = f ( x − 2 x ) chỉ có ba điểm cực trị. 2 Câu 6: Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = ( x 3 − x ) f ( x + 1) 2 là A. 11. B. 8. C. 13. D. 10. Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên ta thấy rằng f ( x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt, gọi 4 nghiệm đó lần lượt là x1 , x2 , x3 , x4 với x1 < −1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 . Khi đó: g ( x) = ( x 3 − x ) a ( x + 1 − x1 ) ( x + 1 − x2 ) ( x + 1 − x3 ) ( x + 1 − x4 ) 2 (với a > 0 ). Ta có g ( x ) = 0α−−−− x { 0; 1; x1 1; x2 1; x3 1; x4 1} , trong đó x1 − 1, x2 − 1, x3 − 1, x4 − 1 là các nghiệm kép. Ta có bảng biến thiên của g ( x ) như sau: 13
Vậy g ( x) có 10 điểm cực trị. Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là −2 ; 0 ; 2 ; a ; 6 với 4 < a < 6 . Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 3 x ) là 6 2 A. 8. B. 11. C. 9. D. 7. Lời giải Chọn B Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; a ; 6 là tất cả các nghiệm của f ( x) . ( Ta có: y = f ( x 6 − 3x 2 ) ) = ( 6x 5 − 6 x ) f ( x 6 − 3x 2 ) x = 0, x = 1 x = 0, x = 1 x 6 − 3 x 2 = −2 x= 1 6 x5 − 6 x = 0 x6 − 3x 2 = 0 x = 0, x = 4 3 y' = 0 f ( x6 − 3x 2 ) = 0 x6 − 3x 2 = 2 x= 2 x − 3x = a 6 2 x = m, m > 2 x − 3x = 6 6 2 x = n, n > m Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = x − 3 x 6 2 Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = x − 3 x , ta suy ra 1 là nghiệm kép 6 2 của phương trình x 6 − 3x 2 = −2 và 0 là nghiệm kép của phương trình x 6 − 3x 2 = 0 14
Do đó 1 và 0 là nghiệm kép của f ( x − 3x ) . Do vậy 1 và 0 là nghiệm bội ba 6 2 của y . Các nghiệm khác 1 và 0 của y đều là nghiệm đơn. Vậy hàm số đã cho có 11 cực trị. Câu 8: Cho hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Tìm số điểm cực trị của hàm số y = e2 f ( x )+1 + 5 f ( x ) . A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : Thiếu tỉnh táo trong việc lí luận xét dấu y’ (Dấu của ý chính là dấu của f ( x ) vì 2e2 f ( x )+1 + 5 f ( x ) ln 5 > 0, ∀x ) Lời giải Chọn D Ta có y = e2 f ( x )+1 + 5 f ( x ) y = 2 f ( x ) .e2 f ( x )+1 + f ( x ) .5 f ( x ) ln 5 = f ( x ) ( 2e 2 f ( x ) +1 + 5 f ( x ) ln 5 ) . Nhận xét: 2e2 f ( x )+1 + 5 f ( x ) ln 5 > 0, ∀x làm cho f ( x ) xác định nên dấu của y phụ thuộc hoàn toàn vào f ( x) . Vì vậy, do f ( x ) đổi dấu 3 lần nên số điểm cực trị của hàm số y = e2 f ( x )+1 + 5 f ( x ) là 3 . Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) trên khoảng ( − ; + ) . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ 15
Đồ thị của hàm số y = ( f ( x ) ) có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu? 2 A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. Lời giải: Chọn A Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên f ( x) = 0 y = ( f ( x) ) y = 2 f ( x) . f ( x) = 0 . 2 f ( x) = 0 x=0 x = x1 Quan sát đồ thị ta có f ( x ) = 0 x = 1 và f ( x) = 0 x = 1 với x1 ( 0;1) và x=3 x = x2 x2 ( 1;3) . f ( x) > 0 f ( x) > 0 x ( 3; + ) Suy ra y > 0 f ( x) < 0 x ( 0; x1 ) ( 1; x2 ) f ( x) < 0 x ( 0; x1 ) ( 1; x2 ) ( 3; + ) Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = ( f ( x ) ) 2 16
Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Câu 10. Cho hàm số bậc bốn f ( x ) có bảng xét dấu như sau: Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = x 4 f ( x + 1) 2 là A. 11. B. 9 . C. 7 . D. 5 . Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : - Xác định f '( x) . - Xác định nghiệm g '( x) = 0 Lời giải Chọn B Ta chọn hàm f ( x ) = 5 x − 10 x + 3 . 4 2 Đạo hàm g ( x ) = 4 x 3 f ( x + 1) + 2 x 4 f ( x + 1) f ( x + 1) 2 = 2 x3 f ( x + 1) 2 f ( x + 1) + xf ( x + 1) . x=0 2 x3 f ( x + 1) = 0 Ta có g ( x ) = 0 f ( x + 1) = 0 . 2 f ( x + 1) + xf ( x + 1) = 0 2 f ( x + 1) + xf ( x + 1) = 0 17
x +1 1,278 x +1 0,606 +) f ( x + 1) = 0 ( *) 5 ( x + 1) − 10 ( x + 1) + 3 = 0 4 x +1 −0,606 x +1 −1,278 Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 . t = x +1 +) 2 f ( x + 1) + xf ( x + 1) = 0 2 ( 5t 4 − 10t 2 + 3) + ( t − 1) ( 20t 3 − 20t ) = 0 t 1,199 t 0,731 30t 4 − 20t 3 − 40t 2 + 20t + 6 = 0 t −0, 218 t −1,045 Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình ( *) . Vậy số điểm cực trị của hàm số g ( x ) là 9 Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số 5sin x − 1 (5sin x − 1) 2 g ( x) = 2 f + + 3 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 2 4 (0;2π ) . A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là : - Đạo hàm của hàm số lượng giác. - Công thức lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản. Lời giải Chọn B 18
5sin x − 1 5 Ta có: g ( x) = 5cos xf + cos x ( 5sin x − 1) . 2 2 5sin x − 1 5 g ( x) = 0 5cos xf + cos x ( 5sin x − 1) = 0 2 2 cos x = 0 5sin x − 1 5sin x − 1 f =− 2 2 cos x = 0 5sin x − 1 cos x = 0 = −3 cos x = 0 2 sin x = −1 5sin x − 1 = −6 5sin x − 1 1 = −1 5sin x − 1 = −2 sin x = − 2 5 2 5sin x − 1 1 5sin x − 1 = 1 = 3 sin x = 2 3 3 5sin x − 1 = 2 5sin x − 1 3 =1 sin x = 2 5 π 3π x= x= 2 2 cos x = 0 3π x= sin x = −1 2 1 1 1 sin x = − x = π − arc sin − x = 2π + arc sin − (Vì 0 < x < 2π ). 5 5 5 1 1 1 sin x = x = arc sin x = π − arc sin 3 3 3 3 sin x = 3 3 5 x = arc sin x = π − arc sin 5 5 19
3π Suy phương trình g ( x ) = 0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm x = là nghiệm 2 kép. Vậy hàm số y = g ( x ) có 7 cực trị. Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) = 3x − 4 x − 12 x + 1 . Số điểm cực trị của hàm số 4 3 2 y = f ( f ( x ) ) bằng A. 13 . B. 10 . C. 3 . D. 11 . Lời giải Chọn A Ta có f ( x ) = 12 x − 12 x − 24 x , 3 2 f ( x) = 0 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x = 0 x = 0, x = −1, x = 2 . Bảng biến thiên Cách 1: Ta có y = f ( f ( x) ) . f ( x) , f ( x) = 0 (1) y =0 f ( f ( x) ) . f ( x) = 0 f ( f ( x ) ) = 0 (2) ( 1) x = −1; x = 0; x = 2 . f ( x ) = −1 (3) ( 2) f ( x ) = 0 (4) f ( x ) = 2 (5) Theo bảng biến thiên thì (3) và (4) có bốn nghiệm phân biệt và (5) có hai nghiệm phân biệt. Do đó phương trình y = 0 có 13 nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó. Vậy hàm số đã cho có 13 điểm cực trị. Cách 2: Sử dụng phương pháp ghép trục. Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) ) , ta có bảng biến thiên của g ( x ) như sau 20