Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác và phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa Toán 10 để tạo hứng thú học tập, góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài "Khai thác và phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa Toán 10 để tạo hứng thú học tập, góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh" là chỉ ra những khó khăn học sinh gặp phải trong quá trình học tập môn toán. Lí do các em chưa yêu thích môn toán và đưa ra giải pháp để giúp học sinh khối 10 tiếp cận các bài tập ở mức độ vận dụng một cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ đó giúp các em tự tin, có hứng thú trong học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác và phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa Toán 10 để tạo hứng thú học tập, góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CỜ ĐỎ ------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 10 ĐỂ TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP, GÓP PHẦN HÌNH THÀNH NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Người thực hiện: Lê Duy Hân Tổ bộ môn: Toán - Tin Năm thực hiện đề tài: 2021 - 2022 Số điện thoại: 0988698112 Nghệ An - 2022
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Một trong những vấn đề cốt lõi trong đổi mới phương pháp dạy học hiện nay đó là dạy học hướng tới việc hình thành và phát triển năng lực cho người học, trong đó năng lực tư duy sáng tạo và giải quyết vấn đề là rất quan trọng. Tuy nhiên thực trạng hiện nay cho thấy, trong nhà trường phổ thông nhiều giáo viên vẫn còn gặp khá nhiều khó khăn trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực trong quá trình giảng dạy, vì thế chưa phát huy được nhiều ở học sinh sự chủ động, tính tích cực, tự giác, học sinh ít được tham gia vào quá trình hình thành kiến thức, tri thức. Dạy học bài tập toán có nhiều cơ hội để góp phần hình thành và phát triển năng lực cho học sinh. Trong học tập bài tập toán, nhiều học sinh đã làm tốt các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu trong sách giáo khoa, nhưng khi làm các bài tập có tính vận dụng thì lại gặp nhiều khó khăn. Một trong những nguyên nhân quan trọng dẫn đến những khó khăn đó là do trong quá trình dạy học bài tập toán, giáo viên chưa quan tâm đến việc định hướng học sinh tìm ra cách thức để khai thác kiến thức cơ bản, phát triển các bài tập theo hệ thống logic, các em không biết rõ nguồn gốc của những bài toán đó từ đâu ra và giải bài toán như thế nào, do đó không khơi dậy được niềm đam mêm học tập của học sinh cũng như không tạo được nhiều cơ hội để góp phần hình thành và phát triển năng lực cho học sinh.Ngoài ra việc thiếu động cơ học tập, thiếu sự định hướng về tương lai dẫn đến các em học tập hời hợt nên ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục đại trà. Từ những lí do nêu trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Khai thác và phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa toán 10 để tạo hứng thú học tập, góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh”. 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào những khó khăn học sinh gặp phải trong quá trình học tập môn toán, khi bắt gặp một bài toán khó. Qua đó đưa ra giải pháp để khắc phục khó khăn của học sinh trong quá trình học tập và để hình thành cho các em những phẩm chất năng lực cần thiết. 2.2. Phạm vi nghiên cứu Để thực hiện đề tài này tôi nghiên cứu dựa trên thực tiễn giảng dạy các lớp nguồn, ý kiến khảo sát của các em có học lực yếu, trung bình, khá và giỏi lớp 10. Qua đó tôi tập trung vào giải pháp tháo gỡ khó khăn cho các em học sinh. Giải pháp tôi đưa ra chủ yếu ở hai phần chính: 1
Phương pháp tạo hứng thú, hướng dẫn các em cách phân tích và xử lí số liệu điều tra, cách tạo dựng một chuyên đề về toán học qua đó tạo niềm say mê học toán ở các em. Sử dụng các bài tập trong sách giáo khoa mà các em có thể làm được ở mức độ nhận biết, thông hiểu. Qua đó thay đổi, thêm bớt một số dữ kiện bài toán để được một bài toán mới ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao. Từ đó hình thành ở các em năng lực tư duy sáng tạo, logic để liên kết những dạng toán cơ bản trong sách giáo khoa từ đó hình thành hướng giải quyết vấn đề cho những bài toán ở mức độ vận dụng. 3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là chỉ ra những khó khăn học sinh gặp phải trong quá trình học tập môn toán. Lí do các em chưa yêu thích môn toán và đưa ra giải pháp để giúp học sinh khối 10 tiếp cận các bài tập ở mức độ vận dụng một cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ đó giúp các em tự tin, có hứng thú trong học tập. Qua đó hình thành ở các em những năng lực và phẩm chất cần thiết để học tập và trong cuộc sống. Ngoài ra đề tài làm nổi bật được những khó khăn mà học sinh thường mắc phải trong quá trình học tập môn toán . Để từ đó hiểu được tâm lí của các em học yếu môn toán nhằm giúp bản thân điều chỉnh được phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng. 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Tiến hành lấy số liệu thống kê số học sinh thích học môn Toán, số học sinh không thích học môn Toán. Lí do thích học môn toán và lí do không thích học môn toán của học sinh khối 10 năm học 2021- 2022. Qua đó thống kê những khó khăn chủ yếu học sinh thường gặp phải trong quá trình học tập môn Toán. Tìm hiểu và nghiên cứu tài liệu, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy từ đó hình thành lên giải pháp giải quyết khó khăn cho các em học sinh và giáo viên trong khi học tập, dạy học ở trường trung học phổ thông. Ghi chép và tổng hợp các kết quả thực nghiệm thu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy. 4. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau: - Nghiên cứu lý luận - Điều tra quan sát thực tiễn - Thực nghiệm sư phạm. 5. Tính mới của đề tài - Điểm mới thứ nhất của đề tài là phân chia lớp thành 3 nhóm để các em tự thu thập phiếu điều tra về tình hình học tập, những khó khăn học sinh thường 2
gặp khi học tập môn Toán của học sinh khối 10 năm học 2021 – 2022. Cho các em có cơ hội được tự điều tra và tự tổng hợp số liệu điều tra qua đó các em sẽ có được những giải pháp để hạn chế những khó khăn thường gặp. - Điểm mới thứ hai là giúp các em có thể tự phát triển các bài toán ở mức độ nhận biết, thông hiểu thành các bài toán ở mức độ vận dụng. Qua đó các nhóm học sinh có thể tự ra đề cho nhau trong quá trình học tập để tạo thêm sự hứng thú và sáng tạo trong khi học của các em. - Điểm mới thứ ba là dựa vào kết quả điều tra, báo cáo của các nhóm giáo viên đúc rút thành những giải pháp cụ thể để các em học tập một cách hiệu quả nhất. 3
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở khoa học - Dựa vào kết quả khảo sát tình hình học tập môn Toán của học sinh lớp 10 năm học 2021-2022. - Dựa vào các kiến thức cơ sở, các khái niệm cơ bản. - Dựa vào các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập. - Dựa vào các đề thi đại học, thi trung học phổ thông quốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh các năm. - Dựa vào việc phân nhiệm vụ để các em tự nghiên cứu và hoàn thành chủ để của nhóm qua đó các em được tự hoạt động, tự điều tra, phân tích dữ liệu điều tra, tự đưa ra ý kiến bản thân để hình thành ở các em niềm yêu thích toán học. Để từ đó phát triển thành niềm đam mê, tìm tòi sáng tạo trong học toán và trong cuộc sống. 2. Quá trình nghiên cứu 2.1. Phân chia nhóm nghiên cứu. Chia lớp thành 3 nhóm và phân chia nhiệm vụ cho các nhóm như sau: Nhóm 1: Khảo sát về phương trình bậc hai một ẩn. Nhóm 2: Khảo sát về bất đẳng thức. Nhóm 3: Khảo sát về phương trình đường thẳng. + Mỗi nhóm sẽ khảo sát học sinh khối 10 gồm 4 lớp gồm 2 lớp nguồn 10A1, 10A2 và hai lớp đại trà10C3, 10C4 về tình hình học toán theo mẫu. + Sau khi có kết quả điều tra khảo sát các nhóm sẽ tự phân tích và đưa ra kết luận về khó khăn của học sinh gặp phải và giải pháp tháo gỡ khó khăn bằng một buổi thuyết trình trên lớp. Dựa vào đó các nhóm còn lại, giáo viên giảng dạy đưa ra nhận xét và đi đến kết luận cuối cùng cho từng nhóm. + Dựa vào những phân tích trên các nhóm sẽ nghiên cứu chủ đề của nhóm để đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản, những bài toán có tính chất xâu chuỗi đơn giản để học sinh có sự tìm hiểu về toán học qua đó hình thành và vun đắp đam mê toán học cho các em. PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH KHỐI 10 Khảo sát về:……………………. Họ và tên:……………………………………………..Lớp:…… Học sinh trả lời các câu hỏi khảo sát sau: 4
Không Thỉnh Thường Nội dung điều tra bao giờ Thoảng xuyên 1. Khi giải toán em có khó khăn trong việc tìm lời giải cho một bài toán không? 2. Em có đọc trước bài mới ở nhà không 3. Em có phân tích đề bài để giải quyết vấn đề của bài toán không? 4. Khi gặp bài toán chưa biết cách giải em có xét các trường hợp đặc biệt hay dự đoán kết quả để tìm lời giải không? 5. Em tự làm được bài tập trong SGK. 6. Em tự làm được bài tập trong SBT. 7. Em có làm bài tập trong sách tham khảo không? 8. Em có làm bài tập trên các diễn đàn Toán học, trên các nhóm Toán học…không ? 9. Em có yêu thích học về phần…. 10. Em có định hướng về công việc của bản thân trong tương lai không? Những khó khăn em thường gặp khi giải toán. …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Sau khi tiến hành khảo sát các nhóm sẽ tổng hợp kết quả theo mẫu bảng. 2.2. Phát triển các bài toán từ bài tập về phương trình bậc hai một ẩn. Bảng tổng hợp kết quả điều tra khảo sát nhóm 1 phần phương trình bậc hai một ẩn. Thường Không bao giờ Thỉnh Thoảng xuyên Nội dung điều tra Số lượng Số lượng Số lượng A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 1. Khi giải toán em có khó 2/80 0/80 60/80 30/80 18/80 50/80 5
khăn trong việc tìm lời giải cho một bài toán không? 2. Em có đọc trước bài mới 5/80 30/80 25/80 35/80 50/80 15/80 ở nhà không? 3. Em có phân tích đề bài để giải quyết vấn đề của bài 2/80 40/80 10/80 30/80 68/80 10/80 toán không? 4. Khi gặp bài toán chưa biết cách giải em có xét các trường hợp đặc biệt hay dự 15/80 60/80 45/80 15/80 20/80 5/80 đoán kết quả để tìm lời giải không? 5. Em tự làm được bài tập 20/80 50/80 20/80 20/80 40/80 10/80 trong SGK. 6. Em tự làm được bài tập 23/80 60/80 20/80 15/80 37/80 5/80 trong SBT. 7. Em có làm bài tập trong 40/80 70/80 25/80 6/80 55/80 4/80 sách tham khảo không? 8. Em có học tập trên các diễn đàn Toán học, trên các 25/80 65/80 45/80 13/80 40/80 2/80 nhóm Toán học…không ? 9. Em có yêu thích học về phần phương trình bậc hai 0/80 50/80 20/80 20/80 60/80 10/80 một ẩn? 10. Em có định hướng về công việc của bản thân 5/80 30/80 25/80 40/80 50/80 10/80 trong tương lai không? 2.2.1. Những khó khăn học sinh gặp phải khi giải bài toán về phương trình bậc hai một ẩn Qua kết quả điều tra khảo sát ở hai nhóm lớp, nhóm chúng tôi rút ra được những khó khăn thường gặp của học sinh như sau: a) Đối với học sinh yếu, kém - Chưa xác định được động cơ học tập của bản thân - Chưa nắm chắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn - Phụ thuộc nhiều vào máy tính dẫn đến hay quên công thức, khi áp dụng với dạng tham số phải tự tính nên hay sai dẫn đến thiếu tự tin vào bản thân. 6
- Do học tập trực tuyến cũng ảnh hưởng đến khả năng tiếp thu kiến thức mới. - Chưa định hướng được cách giải khi gặp bài toán mới. - Chưa biết cách liên kết kiến thức cơ bản với nhau khi giải toán. - Kiến thức nền khi học các lớp dưới yếu dẫn đến thiếu tự tin khi giải toán và trình bày lời giải. b) Đối với học sinh khá, giỏi - Có nhiều dạng phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn mà các em không biết cách tổng hợp dẫn đến việc nhớ rập khuôn nhiều dạng toán do đó không biết cách sử dụng linh hoạt khi bị thay đổi dự kiện cũng như câu hỏi. - Số lượng sách tham khảo nhiều, nhiều hình thức tự học trên mạng nhưng chưa có sự định hướng của giáo viên dẫn đến các em không biết lựa chọn sách phù hợp. - Việc ít rèn luyện khả năng tính nhẩm của bản thân nên khi làm bài trắc nghiệm hay sai dẫn đến thiếu tự tin học tập. Do đó cũng ảnh hưởng đến đam mê học toán của các em. 2.2.2. Đưa ra hệ thống dạng toán giải phương trình cơ bản a) Công thức nghiệm Phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) (a  0) có   b2  4ac +Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm b +Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2  2a +Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b   b   x1  ; x2  2a 2a b) Công thức nghiệm thu gọn b Phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) có '  b'2  ac; b'  2 + Nếu '  0 thì phương trình vô nghiệm b' + Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2  ' a + Nếu '  0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b'   b'   x1  ; x2  a a 7
c) Hệ thức Vi-ét +) Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình b c thì : S  x1  x2  ; P  x1 x2  a a +) Ứng dụng: - Hệ quả 1: Nếu phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) có: a  b  c  0 thì phương trình c có nghiệm: x1  1; x2  a - Hệ quả 2: Nếu phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) có: a  b  c  0 thì phương trình c có nghiệm: x1  1; x2  a +) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x1; x2 có S  x1  x2 ; P  x1 x2 thì x1; x2 là nghiệm của phương trình: x2  Sx  P  0 ( x1; x2 tồn tại khi S 2  4P ) d) Giải pháp khắc phục khó khăn và sai lầm khi giải toán. - Giải bài toán cụ thể, thay đổi giả thiết để tăng độ khó cho bài toán. - Chú ý các cách biến đổi tương đương. - Chú ý các điều kiện của bài toán, vận dụng các giả thiết đã cho. - Khi dùng phép biến đổi hệ quả cần thay kết quả vào phương trình để kiểm tra. 2.2.3. Phát triển bài toán từ các bài tập mức độ nhận biết, thông hiểu qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài toán về phương trình bậc hai một ẩn Bài toán 1: Bắt đầu từ bài toán giải phương trình bậc hai cơ bản: 2x  7 x  5  0 (1) 2 Cách giải phương trình trên như sau: Ta có   b2  4ac  (7)2  4.2.5  9  0 Do   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 8
(7)  9 5 (7)  9 x1   ; x2  1 2.2 2 2.2 Ta có thể thay 2 và 7 bằng những biểu thức chứa ẩn sẽ đưa bài toán về những bài toán khó hơn. Ví dụ như khi thay 2 bởi m 1 ta được bài toán 2 Bài toán 2: Cho phương trình: (m 1) x2  7 x  5  0 .(2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình trên. Việc giải phương trình (1) đối với học sinh lớp 10 là không khó khăn. Nhưng giải phương trình (2), đối với học sinh yếu và trung bình thì đó là một thách thức không nhỏ. Cần cho học sinh thấy rằng nó cũng là một phương trình bậc hai nên việc giải phương trình cũng cần tính   b2  4ac như ở giải phương trình (1). Khi đó học sinh sẽ tính được   b2  4ac và qua đó hình thành nên các bước giải phương trình bậc hai chứa tham số. Cách giải phương trình (2) như sau: Ta có   b2  4ac  (7)2  4(m 1)5  20m  69 Nhận thấy giá trị của  phụ thuộc vào m nên để xét dấu của  thì cần giải bất phương trình bậc nhất theo m . Dạng toán đưa ra là quen thuộc với học sinh nên sẽ không khó khăn để giải toán. Sau khi học sinh đã biện luận được nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể thay đổi yêu cầu của bài toán ở mức độ khó hơn. Ví dụ như có thể thay câu hỏi “ Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình bằng các câu hỏi có độ khó tăng dần như: Yêu cầu 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  3 Yêu cầu 2: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x21  x22  3 Yêu cầu 3: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều x1 x2 kiện  3 x2 x1 Yêu cầu 4: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x31  x32  3 Hoặc khi thay 2 bởi m 1 , 7 bởi 2m 1 ta có phương trình bậc hai chứa tham số phức tạp hơn phương trình (2) như sau (m 1) x2  (2m 1) x  5  0 (3). Sauk hi học sinh đã làm được nhóm bài tập ở phương trình (2) thì các em sẽ có đủ tự tin để giải bài toán sau: Bài toán 3: Cho phương trình: (m 1) x2  (2m 1) x  5  0 .(3) 9
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x x 2 3 2 1 2 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2  3 x2 x1 d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x x 2 3 3 1 3 Khi thay 2 bởi 1, 7 bởi m và 5 bởi m 1 ta có bài toán với mức độ vận dụng cao như sau: Bài toán 4: Cho phương trình x2  mx  m 1  0 (4) Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình (4). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ 2x1 x2  3 nhất của biểu thức . x  x12  2( x1 x2  1) 2 1 Học sinh đã tự làm được các bài toán ở phương trình (3) thì bằng cách vận dụng kiến thức đã học các em có thể định hướng được cách giải bài toán (4). Và có thể tự tin hoàn thành bài toán đó. 2.3. Phát triển các bài toán từ bài tập về bất đẳng thức Bảng tổng hợp kết quả điều tra khảo sát nhóm 2 phần bất đẳng thức Thường Không bao giờ Thỉnh Thoảng xuyên Nội dung điều tra Số lượng Số lượng Số lượng A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 1. Khi giải toán em có khó khăn trong việc tìm lời giải 0/80 0/80 10/80 2/80 70/80 78/80 cho một bài toán không? 2. Em có đọc trước bài mới 50/80 70/80 10/80 5/80 20/80 5/80 ở nhà không? 3. Em có phân tích đề bài để giải quyết vấn đề của bài 40/80 70/80 30/80 8/80 10/80 2/80 toán không? 4. Khi gặp bài toán chưa 60/80 75/80 15/80 5/80 5/80 0/80 biết cách giải em có xét các 10
trường hợp đặc biệt hay dự đoán kết quả để tìm lời giải không? 5. Em tự làm được bài tập 60/80 76/80 10/80 4/80 10/80 0/80 trong SGK. 6. Em tự làm được bài tập 62/80 60/80 10/80 15/80 8/80 5/80 trong SBT. 7. Em có làm bài tập trong 70/80 80/80 5/80 0/80 5/80 0/80 sách tham khảo không? 8. Em có học tập trên các diễn đàn Toán học, trên các 75/80 80/80 3/80 0/80 2/80 0/80 nhóm Toán học…không ? 9. Em có yêu thích học về 75/80 80/80 3/80 0/80 2/80 0/80 phần bất đẳng thức 10. Em có định hướng về công việc của bản thân 5/80 30/80 25/80 40/80 50/80 10/80 trong tương lai không? 2.3.1. Những khó khăn học sinh gặp phải khi giải bài toán về bất đẳng thức Qua kết quả điều tra khảo sát ở hai nhóm lớp, nhóm chúng tôi rút ra được những khó khăn thường gặp của học sinh. Đối với nhóm học sinh đại trà thì đây là phần kiến thức vượt qua khả năng của các em, do đó nhóm 2 chỉ phân tích khó khăn ở các em học sinh lớp nguồn như sau: - Không chú ý điều kiện để BĐT xảy ra. - Nhầm lẫn trong các phép suy luận. - Không nắm vững các thao tác biến đổi tương đương. - Không chọn đúng điểm rơi của BĐT. - Không chọn được BĐT phụ để áp dụng hoặc áp dụng nhầm BĐT phụ. - Không sử dụng hoặc không sử dụng hết các điều kiện có trong giả thiết. 2.3.2. Đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. a) Một số khái niệm. Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. - a < b có nghĩa là bé hơn b. - a > b có nghĩa là lớn hơn b. 11
Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có: - a ≤ b có nghĩa là bé hơn hoặc bằng b. - a ≥ b có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng b. - a > b có nghĩa là lớn hơn b rất nhiều. - Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. - Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. - Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm. b) Tính chất. - Tính chất phản xứng. - Tính chất bắc cầu. - Tính chất cộng với cùng một số. - Tính chất cộng các BĐT cùng chiều. - Tính chất nhân với cùng một số khác 0. - Tính chất nhân các BĐT cùng chiều. - Các tính chất về lũy thừa. c) Một số bất đẳng thức quan trọng. - Bất đẳng thức Bunyakovsky. - Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. - Bất đẳng thức tam giác. - Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. d) Những sai lầm học sinh thường gặp. * Chọn nhầm điểm rơi. Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x  2 x Lời giải sai: A  x  2 x  x  2 x 11  ( x 1)2 1 12
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 vì ( x 1)2  0 . Phân tích lỗi sai: Sau khi chứng minh A  1, chưa chỉ ra giá trị x khi dấu "=" xảy ra. Dấu "=" xảy ra x 1  0  x  1 (vô lý). Lời giải đúng: Để tồn tại x thì phải có điều kiện x  0 . Với x  0 thì A  0 Vậy min A  0  x  0 * Không chú ý điều kiện. 1 Ví dụ: Với x  2 tìm GTNN của biểu thức: S  3x  x Lời giải sai: 1 Với x  2 , áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: S  2 3x.  2 3 x 3 Vậy GTNN của S là S  2 3 khi x  3 Phân tích lỗi sai: 3 Khi kết luận GTNN của S đạt được khi x  là chưa đúng do không đối 3 3 chiếu điểm rơi x  với điều kiện của bài toán là x  2 . 3 3 Nhận thấy x   2 nên kết luận trên là sai. 3 Lời giải đúng: 1 12 11 Ta có: S  3x   3x   (1) x x x Vì x  2 áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: 12 S  2 3x.  12 x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2 11 11 11 11 Vì x  2     (2) x 2 x 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2 13
11 13 Từ (1) và (2) ta có: S  12   2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2 13 Vậy GTNN của S là khi x  2 . 2 e) Giải pháp khắc phục khó khăn và sai lầm khi giải toán. - Giải bài toán cụ thể, thay đổi giả thiết để tăng độ khó cho bài toán. - Nắm vững các bất đẳng thức phụ. - Chú ý các cách biến đổi tương đương, dấu của bất đẳng thức. - Chú ý các điều kiện của bài toán, vận dụng các giả thiết đã cho. - Sau khi giải thì thay giá trị của biến vào để kiểm tra lại. - Khi áp dụng các bất đẳng thức phụ thì phải chú ý điều kiện, chiều của bất đẳng thức, điểm rơi. 2.3.3. Phát triển bài toán từ các bài tập mức độ nhận biết, thông hiểu qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài toán về bất đẳng thức Bài toán gốc: Chứng minh rằng: Với các số thực dương a, b, c ta có bất đẳng thức a b c 3 A    (1) bc c  a a b 2 Lời giải: 1 1 1 Ta có: A  3  (a  b  c)(   ) bc c  a a b Đặt x  b  c, y  c  a, z  a  b , ta có: 1 1 1 1 A  3  ( x  y  x)(   ) 2 x y z 1 1 1 Đặt B  ( x  y  x)(   ) x y z Lại có: x y y z x z B  3      y x z y z x 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được B  9 . Suy ra A  . 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c . 14
Khai thác bài toán: ta thấy, khi nhân cả 2 vế của bất đẳng thức (1) với a  b  c thì ta được một bất đẳng thức mới: a b c 3 (a  b  c)(  )  ( a  b  c) bc ca ab 2 a 2 b2 c2 a bc     bc ca ab 2 Từ đó, ta có bài toán sau: Bài toán 1: Với các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c    (2) b c c  a a b 2 Ta thấy từ vế phải của (2) nếu thêm điều kiện abc  1 thì theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b  c  3 3 abc  3 . Khi đó biến đổi và từ tính chất bắc cầu của bất đẳng thức ta có bài toán 2. Bài toán 2: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc  1. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 3    (3) bc c  a a b 2 Như vậy muốn chứng minh BĐT (3) ta xuất phát từ BĐT (1), sau đó thực hiện hai bước sau ta sẽ có khẳng định: Bước 1: Nhân hai vế của (1) với a  b  c và biến đổi. abc 3 Bước 2: Chứng minh BĐT  2 2 Đến đây, nếu từ (3) và từ giả thiết ta biến đổi theo các bước: Bước 1: Bình phương hai vế của (3). 1 Bước 2: Nhân hai vế của BĐT thu được sau bước 1 với . 2 Bước 3: Thay thế các biểu thức a2b2 , b2c2 , c2a2 bằng các biểu thức tương 1 1 1 ứng , , c 2 b2 a 2 Từ ba bước biến đổi, ta có bài toán 3. Bài toán 3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc  1. Chứng minh rằng: a4 b4 c4 1 1 1 1    2  2  2  2(b  c) 2(c  a) 2(a  b) c (a  c)(b  c) a (c  a)(b  a) b (c  b)(a  b) 8 2 2 2 15
2.4. Phát triển các bài toán từ bài tập về hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy Bảng tổng hợp kết quả điều tra khảo sát nhóm 3 phần hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy Thường Không bao giờ Thỉnh Thoảng xuyên Nội dung điều tra Số lượng Số lượng Số lượng A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 1. Khi giải toán em có khó khăn trong việc tìm lời giải 3/80 0/80 40/80 10/80 37/80 70/80 cho một bài toán không? 2. Em có đọc trước bài mới 2/80 35/80 28/80 35/80 50/80 10/80 ở nhà không 3. Em có phân tích đề bài để giải quyết vấn đề của bài 2/80 60/80 50/80 17/80 28/80 3/80 toán không? 4. Khi gặp bài toán chưa biết cách giải em có xét các trường hợp đặc biệt hay dự 50/80 78/80 15/80 2/80 15/80 0/80 đoán kết quả để tìm lời giải không? 5. Em tự làm được bài tập 20/80 50/80 20/80 20/80 40/80 10/80 trong SGK. 6. Em tự làm được bài tập 30/80 70/80 30/80 5/80 20/80 5/80 trong SBT. 7. Em có làm bài tập trong 50/80 80/80 25/80 0/80 5/80 0/80 sách tham khảo không? 8. Em có học tập trên các diễn đàn Toán học, trên các 25/80 65/80 45/80 13/80 40/80 2/80 nhóm Toán học…không ? 9. Em có yêu thích học về 0/80 50/80 50/80 20/80 30/80 10/80 phương trình đường thẳng. 10. Em có định hướng về công việc của bản thân 5/80 30/80 25/80 40/80 50/80 10/80 trong tương lai không? 16
2.4.1. Những khó khăn học sinh gặp phải khi giải bài toán phương trình đường thẳng Qua kết quả điều tra khảo sát ở hai nhóm lớp, nhóm chúng tôi rút ra được những khó khăn thường gặp của học sinh như sau: a) Đối với học sinh yếu, kém - Khó khăn đầu tiên là các em chưa xác định được đúng mục đích của việc học tập dẫn đến học tập hời hợt qua loa. Thiếu sự nỗ lực, yêu thích và say mê học toán. - Chưa nắm vững các khái niệm, các công thức, các tính chất, ví dụ như chưa biết đâu là vecto pháp tuyến, đâu là vecto chỉ phương, đâu là phương trình tổng quát, đâu là phương trình tham số,… - Chưa xác định được dạng toán và hướng giải. - Lười, về nhà không học lại bài cũ, không luyện thêm đề và bài tập, không học thuộc công thức cũng như trước khi đi học không xem trước. - Trong giờ học bị mất tập trung . - Phương pháp dạy của thầy cô ở THPT khác các thầy cô ở THCS nên có thể mới lên lớp 10 nên chưa thích nghi được. - Quá tự ti về bản thân, nghĩ mình không làm được nên không thử làm. b) Đối với học sinh khá, giỏi - Có nhiều bạn năng lực học tập rất tốt nhưng chưa có sự yêu thích, đam mê học toán dẫn đến các em chỉ làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập cho xong nhiệm vụ nên chưa phát huy hết được năng lực của bản thân. - Khó khăn trong việc tìm đề để làm, do nguồn thông tin hiện nay nhiều và lộn xộn. - Khó khăn trong việc trình bày và lung túng khi gặp nghiệm không đẹp. - Đôi khi làm phức tạp hóa vấn đề, suy nghĩ quá nhiều khiến bài toán trở nên rắc rối hơn. - Có nhiều bài toán khó chưa liên kết được các kiến thức để tìm ra lời giải. 2.4.2. Thông qua những khó khăn học sinh gặp phải đưa ra giải pháp khắc phục Thông qua những khó khăn mà học sinh tổng hợp từ kết quả điều tra, chúng tôi đưa ra giải pháp dành cho hai nhóm học sinh. a) Giải pháp đối với học sinh yếu, kém - Nên tập trung nghe giảng, đọc và nắm lại toàn bộ những kiến thức cơ bản, công thức hình học. - Nên chăm chỉ luyện đề hơn, học bài cũ và nghiên cứu trước bài mới. 17
- Cần tự tin hơn, đừng ngại thử, nếu lần này ko làm đc thì lần sau sẽ làm được. - Nên tìm một người bạn đồng hành và cả hai cùng nhau học và phát triển. b) Giải pháp đối với học sinh khá, giỏi - Liên hệ thầy cô, các anh chị khóa trước để xin đề, lấy đề làm. - Vẫn nên tìm một hay một nhóm bạn cùng chí hướng cùng nhau học tập. - Nên chắc chắn từng bước giải, làm đến đâu chắc đến đó để khi ra nghiệm không như mong muốn đỡ bối rối. - Khi luyện đề nên chú ý đến trình bày để khi cần trình bày thì biết cách trình bày. 2.4.3. Phát triển bài toán từ các bài tập mức độ nhận biết, thông hiểu qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài toán về hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy Bài toán 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2) và có vecto pháp tuyến là n(2; 3) Lời giải: Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là: a( x  x0 )  b( y  y0 )  0  2( x 1)  3( y  2)  0  2x  3 y  4  0 Để tăng mức độ bạn có thể thay dữ kiện “ có vecto pháp tuyến là n(2; 3) thành vecto chỉ phương u(3;2) . Ta có bài toán 2. Bài toán 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2) và có vecto chỉ phương u(3;2) . Từ vecto chỉ phương ta theo công thức suy ra được vecto pháp tuyến là n(2; 3) rồi làm tiếp như trên Tiếp theo thay vecto chỉ phương u(3;2) thành 1 điểm N (2;5) ta có bài toán 3. Bài toán 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2) và N (2;5) . Lúc này, ta có: u  MN (1;3) Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:  1( x 1)  3( y  2)  0  x  3y  7  0 Sau đó, ta thay điểm N (2;5) đó thành dữ kiện” đường thẳng d song song với d’: 2x-5y+6=0 ta được bài toán 4. 18
Bài toán 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2) và song song với đường thẳng d ': 2x  5 y  6  0 . Giải: Do d song song với d’ nên nd  nd ' (2; 5) Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:  2( x 1)  5( y  2)  0  2x  5 y  8  0 Ngoài ra, cũng có thể thay quan hệ song song thành quan hệ vuông góc, khi đó ta có bài toán 5 Bài toán 5: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2) và vuông góc với đường thẳng d ': 2x  5 y  6  0 . Giải: Do d song song với d’ nên ud  ud ' (2; 5)  nd (5;2) Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:  5( x 1)  2( y  2)  0  5x  2 y  9  0 Và nếu ta thay dữ kiện vuông góc thành giao điểm của hai đường thẳng ta được bài toán 6. Bài toán 6: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng  : 2x  y 1  0;  ':3x  2 y  5  0 . Giải : Tọa độ I của  : 2x  y 1  0;  ':3x  2 y  5  0 là nghiệm của hệ  2 x  y 1  0   x  3    3x  2 y  5  0   y7  Ta có đường thẳng d đi qua hai điểm M (1;2) và I (3;7) ) Tương tự bài toán 3 ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 8x  5 y  59  0 Khi các em đã làm thành thạo 6 bài toán về phương trình đường thẳng trên. Giáo viên nâng cao lên là các bài toán gắn với các hình học đặc biệt như là tam giác, hình thang vuông, hình vuông,… Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(2;2) , hai đường cao có phương trình là  : 2x  y 1  0;  ':3x  2 y  5  0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác . Giải: - Ta quy về những bài toán nhỏ: +) Lập phương trình đường thẳng AB biết AB vuông góc với  ' và đi quả điểm A 19