Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là tìm hiểu về kĩ thuật di chuyển điểm trong các bài toán khoảng cách. Đưa ra một số phương pháp dạy học giúp học sinh biết cách vận dụng kĩ thuật di chuyển điểm trong các bài toán khoảng cách, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách

PHẦN I. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Hình học không gian là môn học đòi hỏi nhiều ở người học về tư duy. Là môn học làm cho nhiều học sinh cảm thấy chán nản bởi sự trừu tượng, khó hiểu của nó. Nhất là trong bối cảnh thi theo hình thức trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phải tính toán nhanh và chính xác. Điều này càng làm cho các em thêm phần lo lắng. Hiện nay, giáo dục phổ thông nước ta đã và đang chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang chương trình giáo dục tiếp cận năng lực người học. Phát triển năng lực người học được xem là cốt lõi trong các môn học nói chung và môn toán nói riêng. Để đáp ứng yêu cầu trên, đòi hỏi giáo viên phải có phương pháp phù hợp nhằm hình thành các năng lực chung và năng lực chuyên biệt cho học sinh. Bản thân tôi cũng đã suy nghĩ, tìm tòi nhiều phương pháp giảng dạy mới để bài dạy của mình ngày một hoàn thiện hơn, gần gũi với học sinh hơn và mang lại hiệu quả cao. Và trong quá trình đó, tôi nhận thấy “Các bài toán về khoảng cách” là một vấn đề mà bản thân đang còn phải trăn trở bởi nó còn tồn tại nhiều hạn chế về phát triển năng lực người học và chưa kích thích được sự hứng thú cho học sinh. Với những lí do như trên tác giả lựa chọn đề tài: “Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách”. 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài +) Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo. +) Tìm hiểu về kĩ thuật di chuyển điểm trong các bài toán khoảng cách. +) Đưa ra một số phương pháp dạy học giúp học sinh biết cách vận dụng kĩ thuật di chuyển điểm trong các bài toán khoảng cách, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông. 1.3. Đối tượng nghiên cứu Quá trình dạy học chủ đề khoảng cách trong chương trình môn Toán 11 trường THPT. 1.4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán về khoảng cách và các phương pháp vào dạy học Toán THPT. 1.5. Phương pháp nghiên cứu +) Phương pháp nghiên cứu lí luận. +) Phương pháp điều tra quan sát. 1
+) Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 1.6. Bố cục của đề tài SKKN Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách. Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 2
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. 1.1. Cơ sở lí luận Căn cứ kế hoạch giảng dạy môn Toán tại trường THPT Nguyễn Đức Mậu năm học 2020 – 2021. Căn cứ vào thực tiễn dạy học chủ đề khoảng cách và mục tiêu cần đạt được: - Kiến thức: Học sinh cần nắm được các bài toán tính khoảng cách trong không gian như khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Kĩ năng: Biết tính khoảng cách từ một điểm điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 1.2. Cơ sở thực tiễn 1.2.1. Phương pháp điều tra nghiên cứu để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài. Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, sau khi học sinh học xong phần lý thuyết về khoản g cách, bản thân tôi đã tiến hành khảo sát đối với việc nắm bài và kĩ năng giải toán của học sinh trong trường THPT mình giảng dạy. Kết quả thu được như sau: - Số lượng học sinh được khảo sát: 122 em ( 3 lớp ) - Số học sinh đạt mức giỏi: 11 em, chiếm 9,02% - Số học sinh đạt mức khá: 30 em, chiếm 24,59% - Số học sinh đạt mức trung bình: 59 em, chiếm 48,36% - Số học sinh đạt mức yếu: 22 em, chiếm 18,03% Như vậy, tỉ lệ học sinh nắm vững kiến thức và có kĩ năng giải toán là chưa cao, chủ yếu là các em đang ở mức trung bình trở xuống. 1.2.2. Những khó khăn của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học chủ để khoảng cách Qua quá trình giảng dạy và trao đổi với nhiều giáo viên dạy toán ở các trường THPT, bản thân tôi nhận thấy những khó khăn trong dạy và học chủ đề khoảng cách như sau: 3
- Về phía giáo viên: Các bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian là một vấn đề phức tạp.Vì vậy, một số giáo viên đang còn thấy lúng túng trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán. Đa số các giáo viên đang còn dạy theo cách: thầy đưa ra cách giải và trò áp dụng. Hơn nữa, thời lượng giảng dạy trên lớp lại có hạn cũng làm cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh còn nhiều hạn chế. - Về phía học sinh: Đa số học sinh đều học kém hình học không gian vì đây là môn học đòi hỏi cao ở người học. Khi gặp một bài toán tính khoảng cách, học sinh thường loay hoay, không biết giải như thế nào. Gặp bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì không biết xác định hình chiếu, gặp bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chỉ biết xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung dẫn đến khó khăn trong giải toán,….Nhiều học sinh đã học thuộc phương pháp thầy cô đưa ra nhưng vẫn không giải được. 1.2.3. Mục tiêu của đề tài Học sinh được trang bị đầy đủ kiến thức và kĩ năng, biết định hướng và giải quyết được các bài toán tính khoảng cách trong không gian bằng kĩ thuật di chuyển điểm. Khi đứng trước một bài toán khoảng cách, các em không còn thấy bỡ ngỡ, khó khăn mà phải biết tháo gỡ nút thắt, biết tìm cách giải quyết vấn đề, biết quy lạ về quen. 4
Chương 2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách. 2.1. Một số bài toán tính khoảng cách trong không gian. Bài toán 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cho điểm M và mặt phẳng  P  . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  . Cách giải: M d  M ,  P    MH Với H là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng  P  . H P Bài toán 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  . Tính khoảng cách giữa đường thẳng  d  và mặt phẳng  P  . Cách giải: M d Chọn điểm M bất kì trên đường thẳng d . Khi đó khoảng cách giữa d và  P  chính là khoảng cách từ điểm M đến  P  và : d  M ,  P    MH H trong đó  H  là hình chiếu của điểm M P lên mặt phẳng  P  . (Trở lại bài toán 1) Bài toán 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Cho hai đường thẳng chéo chau a và b . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b . 5
Cách giải: a M Tìm mặt phẳng  P  chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a . Khi đó: d  a, b   d  a,  P   H b (Trở về bài toán 2) P Kết luận: Các bài toán trên đều dẫn đến bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 2.2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách. Các bài toán tính khoảng các trong không gian đều được quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nếu giáo viên chỉ đưa ra phương pháp giải và phân loại các bài toán cụ thể thì học sinh chỉ làm theo rập khuôn, không nắm rõ bản chất vấn đề và chưa sáng tạo trong các bài toán dẫn đến nhiều lúc còn mơ hồ, khó hiểu. Chính vì vậy, bản thân tôi nhận thấy khi giải quyết một bài toán, một vấn đề…giáo viên nên định hướng cho học sinh tự tìm đường đi hơn là vẽ sẵn đường đi cho học sinh. Trong mục này, tôi vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực như: dạy học phân hóa, dạy học gợi mở - vấn đáp, dạy học khám phá… giúp cho học sinh hình thành kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách. 2.2.1. Kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng song song với mặt phẳng. 2.2.1.1 Hình thành kĩ thuật Phương pháp: dạy học phân hóa kết hợp dạy học gợi mở- vấn đáp giúp học sinh hình thành kĩ thuật. Bài toán hình thành kĩ thuật: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . SA   ABCD  , SA  a . a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  . b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  SBC  . Hoạt động 1: Chia nhóm Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm và sắp xếp chỗ ngồi phù hợp để thuận tiện cho việc thảo luận của học sinh. 6
Nhóm 1, 2: Học sinh có học lực mức trung bình khá trở xuống. Nhóm 3, 4: Học sinh có mức học khá trở lên. Hoạt động 2: Phân chia nhiệm vụ. Giáo viên yêu cầu nhóm 1, 2 giải quyết câu a đồng thời đưa ra bài toán tổng quát. Giáo viên yêu cầu nhóm 3, 4 giải quyết câu b đồng thời đưa ra bài toán tổng quát. Hoạt động 3: Hình thành kĩ thuật. Học sinh thực hiện nhiệm vụ dưới sự hướng dẫn của giáo viên thông qua phương pháp gợi mở- vấn đáp và khám phá. Hoạt động thành phần 3.1: Học sinh tiến hành thảo luận để giải quyết bài toán. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Giáo viên quan sát các nhóm thảo Học sinh tiến hành thảo luận, khám phá luận, nắm bắt tình hình và hỗ trợ kịp cách giải quyết bài toán. thời thông qua các câu hỏi gợi mở- vấn đáp. - Đặt câu hỏi cho nhóm 1,2: + Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến mặt phẳng (SBC ) thì mọi mặt - Vuông góc phẳng chứa AH sẽ như thế nào với mặt phẳng (SBC ) ? + Hãy chọn một mặt phẳng chứa A - Mặt phẳng  SAB  và vuông góc mặt phẳng (SBC ) ? - Đặt câu hỏi cho nhóm 3,4: + Hãy tìm đường thẳng qua B và song song với mặt phẳng (SBC ) ? - Đường thẳng AB Hoạt động thành phần 3.2: Học sinh báo cáo kết quả Nhóm 1, 2: ( kết quả giáo viên mong muốn) 7
Do BC   SAB  nên  SAB    SBC  S (SAB)   SBC   SB H Kẻ AH  SB tại H  d  A,  SBC    AH Áp dụng 1 1 1 a 2 A B 2  2  2  AH  M AH AS AB 2 O D C Từ việc giải quyết câu a, nhóm 1, 2 đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên chỉnh sửa và rút ra kết luận. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  trong trường hợp có mặt phẳng  Q  chứa điểm M và vuông góc với mặt phẳng  P  . Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng :  Q    P    Bước 2: Kẻ MH   , cắt  tại H Bước 3: MH  d  M ,  P   Nhóm 3,4: ( kết quả giáo viên mong muốn) Do AD  BC nên AD   SBC  S  d  D,  SBC    d  A,  SBC    AH  a 2 H 2 A B M O D C Từ việc giải quyết bài câu b, các nhóm 3, 4 đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên chỉnh sửa và rút ra kết luận. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  trong trường hợp có đường thẳng d chứa điểm M và song song với mặt phẳng  P  . 8
A M P Bước 1: Xác định mặt phẳng  Q  vuông góc mặt phẳng  P  . Bước 2: Xác định giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  Q  là A . Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P  . Nhận xét: Thông qua việc chuyển giao nhiệm vụ, bằng cách học sinh tự giải quyết vấn đề và rút ra kết luận sẽ làm cho học sinh nhớ dạng toán một cách thấu đáo. Học sinh được tự mình khám phá tri thức, được ghi nhận sự đóng góp, tạo nên không khí lớp học sôi nổi hơn. 2.2.1.2 Một số ví dụ Bài 1.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AC  a , I là trung điểm SC . Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  là trung điểm H của BC . Mặt phẳng  SAB  tạo với  ABC  một góc 60. Tính khoảng cách từ I đến  SAB  . Phân tích: - Để tính được khoảng cách này, đầu tiên giáo viên cần vấn đáp hướng dẫn cho các em cách giải quyết bài toán theo hướng sau: +) Từ điểm I có thể dựng được hình chiếu lên mặt phẳng  SAB  không? Gợi ý của giáo viên là: Để tìm được hình chiếu của I lên mặt phẳng  SAB  cần phải dựng được một mặt phẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng  SAB  , tuy nhiên quan sát để làm được điều đó cần phải tìm ra được một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  SAB  và giả thiết chưa cho phép vì mới có được một yếu tố vuông góc duy nhất là AC  AB . +) Nếu không dựng được đường vuông góc xuất phát từ I , vậy có điểm nào khác có thể dựng được đường vuông góc với  SAB  không, vì sao? 9
Câu trả lời mong muốn đó là: Có điểm H , vì H là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh S nên SH  AB , vậy chỉ cần kẻ HK  AB thì sẽ có ngay AB   SHK  hay  SHK    SAB  và hai mặt này có đường giao tuyến là SK do đó chỉ cần kẻ thêm HJ  SK thì suy ra HJ   SAB  . +) Vậy hãy liên hệ khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  so với khoảng cách từ điểm H đến  SAB  ? Vì sao lại được kết quả so sánh như vậy? Câu trả lời mong muốn nhận được từ học sinh: Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  bằng khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SAB  vì HI ||  SAB  . +) Vậy tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  bằng cách nào? Câu trả lời giáo viên chờ đợi: Bằng cách tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SAB  và chính bằng HJ . - Giáo viên chốt vấn đề: +) Như vậy thay vì tính khoảng cách trực tiếp từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  , chúng ta đã chuyển khoảng cách này sang khoảng cách từ điểm H sang mặt phẳng  SAB  bằng một đường thẳng song song với  SAB  là đường HI . +) Chú ý rằng điểm xuất phát của con đường di chuyển này là điểm I và đích đến là một điểm mà chúng ta có thể dễ dàng dựng được chân đường vuông góc đến mặt phẳng  SAB  , trong trường hợp này là điểm H (Giáo viên hỏi thêm học sinh tại sao lại là điểm H ). Thông thường chúng ta chọn nó là chân đường vuông góc từ đỉnh đến mặt đáy của các hình chóp, hình lăng trụ. Lời giải 10
S I A J C K H B Gọi K là trung điểm của AB . Khi đó:   SAB  ,  ABC     HK , SK   SKH   60 IH là đường trung bình của SCB  IH || SB   SAB   IH ||  SAB   d  I ,  SAB    d  H ,  SAB   Kẻ HJ  SK , J  SK . Khi đó HJ   SAB   d  H ,  SAB    HJ Xét SHK vuông tại H có HK  AC a a 3  ; SH  HK .tan SKH 2 2 2 1 1 1 SH .HK 3a 2  2  2  HJ   HJ SH AK SH 2  HK 2 4 Vậy d  I ,  SAB    3a . 4 Nhận xét: +) Sau khi giải quyết xong bài toán giáo viên cần chốt lại vấn đề: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  và A, B là hai điểm bất kì trên đường thẳng a , khi đó ta luôn có: 11
a A B d  A,  P    d  B,  P   P +) Giáo viên có thể khắc sâu kĩ thuật và nâng cao kiến thức của các em thông qua câu hỏi: Qua bài toán này chúng ta thấy có một sự gợi ý nhẹ từ giả thiết, đó là IH là đường trung bình của tam giác SBC nên phát hiện được quan hệ IH ||  SAB  và từ đó chuyển khoảng cách từ điểm I sang điểm H và điểm H lúc này giống như là điểm “cơ sở” để tính mọi loại khoảng cách, vậy nếu bài toán không có sự gợi ý như vậy thì làm thế nào để dựng được đường song song và tìm ra điểm H ? Bài 2.Cho hình chóp S.ABC . Tam giác ABC vuông tại A , AB  1cm , AC  3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp 5 5 S. ABC có thể tích bằng cm3 . Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng  SAB  . 6 Phân tích: Dữ liệu từ đề bài chưa cho thấy chân đường vuông góc H kẻ từ đỉnh S đến mặt phẳng  ABC  như trong bài 1), hơn nữa cũng chưa thấy hướng dựng được đường vuông góc từ C đến  SAB  hay hướng để chuyển khoảng cách từ C đến một điểm khác theo quan hệ song song. Giáo viên cần tương tự hóa bài 1 và vấn đáp giúp học sinh tìm ra điểm H để từ đó củng cố kĩ thuật di chuyển điểm C theo đường thẳng CH song song với mặt  SAB  . Lời giải Ta có tam giác SAB và SAC lần lượt vuông tại B, C nên mặt cầu ngoại tiếp S. ABC là mặt cầu đường kính SA . 12
4  SA  5 5 3 Suy ra     SA  5 cm . 3  2  6 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABC  hay SH   ABC  .  SH  AB Ta có   AB   SBH   AB  BH .  SB  AB Tương tự, ta có AC  CH . Tứ giác ABHC có BAC ABH  ACH  90  ABHC là hình chữ nhật. Có HC || AB  HC ||  SAB   d C,  SAB    d  H ,  SAB   . Có AH  BC  AB2  AC 2  2 cm . Tam giác SAH vuông tại H nên SH  SA2  AH 2  1 cm . Kẻ HK  SB  HK   SAB   HK  d  H ,  SAB   . 1 1 1 4 3 Có 2  2  2   HK  . HK SH HB 3 2 Vậy d  C ,  SAB    3 . 2 Nhận xét: Qua bài toán này Giáo viên nên hình thành cho học sinh một thói quen tính khoảng cách theo hướng di chuyển điểm cần tính khoảng cách về điểm cơ sở là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt đáy. Bài 3.Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc   30 , SA  a và BA  BC  a . Gọi D là điểm đối xứng của B qua AC . Tính BAC khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  . Phân tích: Bài toán đã cho sẵn điểm cơ sở là điểm A và con đường để di chuyển điểm B về A nhưng lại ẩn đi tính chất song song của BA với mặt phẳng  SCD  để học sinh tự tìm ra điểm mấu chốt này. Lời giải 13
S K H A D B C Vì D là điểm đối xứng của B qua AC và BA  BC nên ABCD là hình thoi cạnh a ,   30 suy ra tam giác CBD đều. và từ BAC và AB || CD  AB ||  SCD   d  B,  SCD    d  A,  SCD   a 3 Do đó d  B, CD   2 SA  AH Từ A kẻ AH  CD tại H , kẻ AK  SH tại K thì d  A,  SCD    AK  . SA2  AH 2 a 3 SA  AH 21a Trong đó SA  a , AH  d  A, CD   d  B, CD   , nên AK   . 2 SA2  AH 2 7 Một số bài tập dành cho học sinh luyện tập kĩ thuật Bài 1.(Trích đề thi thử TPHT Chuyên Quốc Học Huế – 2020) Cho lăng trụ ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a 3 và AD  a . Hình chiếu vuông góc của A trên ABCD trùng với giao điểm O của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm B đến  ABD  theo a. a 3 a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3 Bài 2.(Trích đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh– Hà Nội – lần 1-2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình chữ nhật với AB  2a, AD  3a (tham khảo hình vẽ). Tam giác SAB cân ở S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy; góc giữa mặt phẳng  SCD  và mặt đáy là 45 . Gọi H là trung điểm cạnh AB . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và CH . 3 11a 3 14a 3 10a 3 85a A. . B. . C. . D. . 11 7 109 17 14
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA   ABCD  . Gọi M là trung điểm của cạnh CD , biết SA  a 5 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM bằng 2a 39 2a 145 2a 145 2a 39 A. . B. . C. . D. . 13 15 29 3 Nhận xét chung mục 2.3.1: Mục này làm rõ hai vấn đề sau +) Vấn đề 1: Hiểu rõ bản chất của kĩ thuật di chuyển trên đường thẳng song song để tính khoảng cách là sử dụng tính chất “mọi điểm nằm trên đường thẳng song song với mặt đều có khoảng cách đến mặt đó là như nhau”, từ đó thay vì tính khoảng cách từ một điểm khó xác định khoảng cách đến mặt bằng cách chuyển khoảng cách đó về điểm dễ tính khoảng cách hơn (chẳng hạn điểm cơ sở) bằng con đường song song. +) Vấn đề 2: Trong quá trình giảng dạy, biện pháp để giáo viên đưa ra để tính khoảng cách bằng kĩ thuật này giúp học sinh thấy được bài toán tính khoảng cách thật ra cũng rất đơn giản và dấu hiệu để nhận ra kĩ thuật là nối điểm cần tính khoảng cách đến điểm cơ sở và xem xét đường thẳng tạo thành có song song với mặt cần tính khoảng cách đến hay không. 2.2.2. Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán có đường thẳng cắt mặt phẳng. Phương pháp: dạy học phân hóa kết hợp dạy học gợi mở- vấn đáp giúp học sinh hình thành kĩ thuật. 2.2.2.1. Hình thành kĩ thuật Bài toán hình thành kĩ thuật: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có canh đáy bằng 2a , SA  4a . M là trọng tâm tam giác SAB . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  . Hoạt động 1 : Chia nhóm Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm và sắp xếp chỗ ngồi phù hợp để thuận tiện cho việc thảo luận của học sinh. Nhóm 1, 2: Học sinh có học lực mức trung bình khá trở xuống. Nhóm 3, 4: Học sinh có mức học khá trở lên. Hoạt động 2: Phân chia nhiệm vụ. 15
Giáo viên yêu cầu học sinh nhóm 1, 2 giải quyết bài toán bằng cách sử dụng kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng song song với mặt phẳng. Giáo viên yêu cầu nhóm 3 giải quyết bài toán bằng hai cách. Hoạt động 3: Hình thành kĩ thuật. Học sinh thực hiện nhiệm vụ dưới sự hướng dẫn của giáo viên thông qua phương pháp gợi mở - vấn đáp và khám phá. Hoạt động thành phần 3.1: Học sinh tiến hành thảo luận để giải quyết vấn đề. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Giáo viên quan sát các nhóm thảo Học sinh tiến hành thảo luận, khám phá luận, nắm bắt tình hình và hỗ trợ kịp cách giải quyết bài toán. thời thông qua các câu hỏi gợi mở- vấn đáp. - Đặt câu hỏi cho nhóm 1,2: + Điểm A nằm trên đường thẳng nào song song với mặt phẳng  SCD  ? - AB ||  SCD  . + Em sẽ di chuyển điểm A đến điểm - Di chuyển điểm A đến điểm I . nào để tính khoảng cách? - Đặt câu hỏi cho nhóm 3,4: - Mặt phẳng  SAB  + Hãy tìm đường thẳng qua A cắt mặt phẳng (SCD) ? - Đường thẳng AC Hoạt động thành phần 3.2: Học sinh báo cáo kết quả Nhóm 1, 2 ( kết quả giáo viên mong muốn) Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD Do AB || CD nên AB ||  SCD   d  A,  SCD    d  I ,  SCD    SCD    SIJ  và  SCD    SIJ   SJ Kẻ IH  SJ tại H  d  I ,  SCD    IH 16
1 1 1 14 S 2  2  2  IH  2a IH IJ IS 15 Vậy d  A,  SCD    d  I ,  SCD    a 14 15 H A D I J O B C Nhóm 3,4 ( kết quả giáo viên mong muốn) Trình bày thêm cách 2: d  A,  SCD   AC S AO   SCD   C   2 d  C ,  SCD   OC  d  A,  SCD    2d  O,  SCD   Kẻ OK  SJ tại K thì : d  O,  SCD    OK  a 14 15 A K D Vậy d  A,  SCD    2d  O,  SCD    a 14 J 15 O B C Sau khi nhóm 3,4 giải cách 2 và đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên sửa chữa và rút ra kết luận. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  trong trường hợp có đường thẳng d chứa điểm M và cắt mặt phẳng  P  . 17
M A I P Bước 1: Tìm đường thẳng  đi qua M cắt mặt phẳng  P  tại I . Bước 2: Tìm điểm A trên  sao cho điểm A nằm trên mặt phẳng vuông góc mặt phẳng  P  . , d  A,  P   . MI Bước 3: Tính AI Bước 4: d  M ,  P    d  A,  P   . MI AI Nhận xét: Thông qua kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng cắt mặt phẳng, học sinh sẽ không còn cảm thấy khó khăn trong các bài toán khoảng cách. Bài toán khoảng cách được chuyển về bài toán tính tỉ số đoạn thẳng. 2.2.2.2 Một số ví dụ Bài 1. Cho hình chóp SABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,  ABC  30 . Tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến  SAB  . Phân tích: Để rèn luyện kĩ năng phát hiện ra kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng cắt mặt phẳng, giáo viên có thể vấn đáp học sinh theo câu hỏi: “Hãy tìm mối liên hệ về khoảng cách từ điểm C và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng d  C ,  SAB   CB  SAB  ?” và câu trả lời mà giáo viên mong muốn nhận được là  . d  H ,  SAB   HB Đây chính là điểm mấu chốt để đưa ra hướng giải quyết cho bài toán. Lời giải 18
S A I C K H B Gọi H là trung điểm BC , suy ra SH   ABC  . d  C;  SAB    2  d  C;  SAB    2d  H ;  SAB   . CB  d  H ;  SAB   HB Ta có  SAB    ABC   AB . Từ H dựng HK vuông góc với giao tuyến tại K . Nối SK , dựng HI vuông góc SK tại I . Khi đó HI  d  H ;  SAB    AB  HK Ta có:   AB   SHK   AB  HI  AB  SH  HI  SK Mà   HI   SAB   HI  d  H ;  SAB   .  HI  AB a a Trong tam giác vuông ABC ta có: AC  AB.sin 300   HK  . 2 4 HK .SH a 39 Xét tam giác vuông SHK , đường cao HI nên HI   . HK 2  SH 2 26 Vậy d  C;  SAB    2d  H ;  SAB    2HI  a 39 . 13 Nhận xét : +) Giáo viên tổng quát hóa cho tỉ số khoảng cách : Cho hai điểm A, B không nằm trên mặt phẳng  P  sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng  P  tại A P d  A,  P   AI B điểm I , khi đó ta luôn có :  d  B,  P   BI 19
+) Cụ thể trong bài toán này đường thẳng CH là đường thẳng di chuyển khoảng cách từ C về H đối với mặt phẳng  SAB  và đường thẳng CH cắt mặt phẳng  SAB  tại điểm B . Từ đó việc tìm ra tỉ số là yếu tố để liên kết được hai khoảng cách nay và hình thành được kĩ thuật di chuyển điểm trên điểm trên đường thẳng cắt mặt. Ở đây vai trò của điểm B rất qua trọng, tuy nhiên trong giả thiết do điểm B đã cho sẵn nên nhiều học sinh lẫn giáo viên không làm rõ vai trò của sự tồn tại điểm B , bài toán tiếp theo cho thấy rõ điều này. Bài 2.(Trích đề thi thử Sở GDĐT Ninh Bình – lần 2-2020) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 6a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  2a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SG và BC bằng 3a 3 a 3 A. 2a 3 . B. a 3 . C. . D. . 2 2 Phân tích: Trong bài toán này điểm G đóng vai trò chính chính trong tỉ số khoảng cách. Lời giải S H N A C G I M B Qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M , N . Ta có: BC || MN  BC ||  SMN  . Do đó: d  BC, SG   d  BC,  SMN    d  I ,  SMN   (với I là trung điểm của BC ) d  I ,  SMN   IG 1 G là giao điểm của AI với mặt phẳng  SMN  nên   d  A,  SMN   AG 2  d  I ,  SMN    d  A,  SMN   . 1 2 20