Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và ứng dụng" nhằm tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài toán ứng dụng. Phát triển năng lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và ứng dụng

t SÁNG KIẾN KINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG” Năm học: 2021 - 2022 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT PHAN THÚC TRỰC --------------------------- Đề tài: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG” \ Họ và tên: Phan Bá Giáp; Trần Văn Kiên. Đơn vị: Trƣờng THPT Phan Thúc Trực Điện thoại: 0987507024 Năm học: 2021 - 2022 2
MỤC LỤC Phần II. Đặt vấn đề Trang 1 1 Lý do chọn đề tài. Trang 1 2. Mục đích nghiên cứu. Trang 1 3. Đối tượng nghiên cứu. Trang 2 4. Kế hoạch nghiên cứu. Trang 2 5. Phương pháp nghiên cứu. Trang 2 6. Đóng góp của đề tài. Trang 3 Phần II. Nội dung Trang 4 I. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng. Trang 4 II. Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra. Trang 4 III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả. Trang 4 IV. Cơ sở lý luận. Trang 4 1. Năng lực toán học Trang 4 2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học Trang 6 cho học sinh. 3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực Trang 6 hiện được. 4. Đánh giá kết quả giáo dục môn toán. Trang 8 5. Các kiến thức liên quan được sử dụng trong đề tài. Trang 9 V. Nội dung đề tài. Trang 11 1. Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số dựa vào các Trang 12 hệ thức cơ bản của phương pháp quy nạp toán học. 2. Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách Trang 17 quy về cấp số cộng và cấp số nhân. 3
3. Ứng dụng của bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy Trang 30 số vào các bài toán về dãy số. 4. Hệ thống bài tập tự ôn luyện Trang 31 Kết quả nghiên cứu Trang 34 C. Kết luận Trang 34 I. Những kết luận Trang 34 II. Những kiến nghị, đề xuất. Trang 35 Danh mục tài liệu tham khảo Trang 36 4
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi luôn tự hỏi làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân nhận thấy rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá những điều chưa biết. Để có một bài giảng thu hút được học sinh, giúp học sinh phát triển năng lực toán học đòi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tòi, cập nhật các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh. Dạy học dựa trên phát triển năng lực là chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy và học. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân. Thông qua dạy học nội dung tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài toán ứng dụng, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài toán ứng dụng là những bài toán gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm của mình: “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài toán ứng dụng. Phát triển năng lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện 5
học toán. Đặc biệt, đối với học sinh lớp 11 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để luyện thi học sinh giỏi toán. 3. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU. Học sinh lớp 11 THPT. Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT. 4. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU. Quá trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh khác nhau để hoàn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp. Trao đổi chuyên môn cùng quý Thầy, Cô môn Toán trong tổ, ngoài trường và trên các diễn đàn toán học. Đề tài được thực hiện trong năm học 2021-2022 với kế hoạch cụ thể như 5. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn liên quan đến bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy, phương pháp dạy học theo phát triển năng lực. Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện. Giảng dạy tại các lớp 11 trường THPT Phan Thúc Trực. Phối hợp với giáo viên môn Toán trường THPT trong huyện Yên Thành để dạy thử nghiệm tại các lớp 11. Đề tài được thực hiện trong năm học 2021 – 2022 với kế hoạch cụ thể như TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm 1 20/9/2021 đến Chọn đề tài, Đăng ký đề tài 20/10/2021 SKKN 2 21/10/2021 đến Viết đề cương nghiên cứu Trình xét duyệt 21/12/2021 bản đề cương SKKN 2 22/12/2021 Đọc tài liệu lý thuyết, viết Tập hợp tài liệu đến 15/1/2022 cơ sở lý luận 3 16/1/2021 đến Trao đổi với đồng nghiệp, Tập hợp ý kiến 30/1/20127 đề xuất sáng kiến đóng góp của đồng nghiệp 4 1/2/2022 đến Dạy thử nghiệm tại các lớp Thống kê kết quả 30/2/2022 11A, 11A1 và 11A2 trường thử nghiệm THPT Phan Thúc Trực 6
5 1/3/2022 đến Hoàn thiện đề tài Đề tài chính thức – 15/4/202022 6. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI. - Về mặt lí luận: Góp phần làm sáng tỏ cách dạy học theo định hướng và phát triển năng lực cho học sinh. - Về mặt thực tiễn: + Đưa ra hệ thống lý thuyết cùng các dạng liên quan đến số hạng tổng quát của dãy số nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh. + Thông qua giải quyết các bài toán theo các mức độ từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ các nội dung đơn lẻ đến tích hợp, từ cụ thể đến trừu tượng, khái quát hóa và sáng tạo các bài toán mới theo trình tự từ dễ đến khó học sinh có cơ hội phát triển năng lực giải quyết vấn đề; năng lực khái quát hóa; năng lực tương tự hóa và năng lực sáng tạo. + Đáp ứng yêu cầu đổi mới trong giáo dục hiện nay; là tài liệu để học sinh và giáo viên tham khảo cho kỳ THPT. 7
PHẦN II: NỘI DUNG I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƢỚC KHI ÁP DỤNG. Trường THPT Phan Thúc Trực đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá. Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao năng lực giải quyết bài tập tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài toán liên quan, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp hoặc làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo niềm vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán. Kết quả khảo sát học sinh ở một số lớp và giáo viên Toán THPT trên địa bàn huyện Yên Thành về nội dung tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài toán liên quan chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán dạng này. II. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA. Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy. Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và 50% trong số đó biết cách tìm tòi, xây dựng những bài toán tương tự, bài toán mới. III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ. Đề tài là tài liệu tham khảo cho các lớp chọn, các đội tuyển học sinh giỏi THPT. Đề tài có thể áp dụng để phát triển thêm những lớp bài toán khác cho giáo viên Toán ở trường THPT. Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán. IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN. 1. Năng lực toán học. Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực toán học phổ thông là 4 khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong 8
cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động. Năng lực toán học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện. 1.1. Năng lực tƣ duy và lập luận. Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, 5 xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng. 1.2. Năng lực mô hình hóa toán học. Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng cá nhân về phiên dịch các vấn đề thực tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu, bảng biểu, đồ thị… 1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học. Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết các tình huống mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường. 1.4. Năng lực giao tiếp toán học. Năng lực giao tiếp toán học là khả năng cá nhân sử dụng ngôn ngữ toán học để tiếp nhận, chuyển tải các ý tưởng, kiến thức, đưa ra lập luận, chứng minh, phản ánh, thảo luận trong quá trình giao tiếp để đạt được mục tiêu dạy học. 1.5. Năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện học toán. 9
Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện dạy học toán là khả năng của cá nhân hiểu, biết sử dụng, bảo quản các công cụ, phương tiện khoa học để đạt được mục tiêu dạy học. 2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh 2.1. Phƣơng pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh. Phương pháp dạy học phải đi từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó; không chỉ coi trọng tính logic của khoa học toán học mà cần chú ý cách tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của học sinh. 2.2. Quán triệt tinh thần “lấy ngƣời học làm trung tâm”. Phương pháp dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề. 2.3. Linh hoạt trong việc vận dụng các phƣơng pháp kỹ thuật dạy học tích cực. Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng 6 kiến thức toán học vào thực tiễn. Cấu trúc bài học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa giữa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng và các thành phần khác. 2.4. Sử dụng đƣợc các phƣơng tiện, thiết bị dạy học. Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định đối với môn Toán; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp và hiệu quả. 3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện đƣợc. TT Thành tố của năng Các tiêu chí, chỉ báo lực môn toán 1 Năng lực tư duy và - Thực hiện được các thao tác tư duy: So sánh, lập luận toán học phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; 10
tương tự; quy nạp, diễn dịch. - Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và lập luận hợp lí trước khi kết luận. - Giải thích và điều chỉnh cách thực giải quyết vấn đề về phương tiện toán học 2 Năng lực mô hình - Sử dụng được các phép toán và công thức để mô hóa toán học tả các tình huống đặt ra trong thực tế. - Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. - Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu có cách giải không phù hợp. 3 Năng lực giải quyết - Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết vấn đề toán học bằng toán học. - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề bằng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích. - Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự. 4 Năng lực giao tiếp - Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông toán học tin cần thiết được trình bày dạng văn bản toán học. - Trình bày, diễn đạt các ý tưởng giải pháp toán học khi tương tác với người khác. - Sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng khi thảo luận với người khác. 5 Năng lực sử dụng - Biết gọi tên, tác dụng, quy cách sử dụng, cách công cụ, phương thức bảo quản, các phương tiện khoa học công tiện học toán nghệ phục vụ cho việc học toán. - Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và 11
phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi và giải quyết các vấn đề toán học phù hợp lứa tuổi - Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của các công cụ, phương tiện hỗ trợ để cách sử dụng hợp lý. 4. Đánh giá kết quả giáo dục môn toán. 4.1. Mục tiêu đánh giá. Cung cấp thông tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển năng lực và sự tiến bộ của học sinh trên cơ sở yêu cầu cần đạt ở mỗi lớp học, cấp học. Điều chỉnh các hoạt động dạy học, bảo đảm sự tiến bộ của từng học sinh và nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung. 4.2. Hình thức đánh giá. Đánh giá quá trình (hay đánh giá thường xuyên) do giáo viên phụ trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá của giáo viên môn học khác; của bản thân học sinh được đánh giá và của các học sinh khác trong tổ, trong lớp hoặc đánh giá của cha mẹ học sinh; đi liền với tiến trình hoạt động học tập của học sinh, tránh tình trạng tách rời giữa quá trình dạy học và quá trình đánh giá, bảo đảm mục tiêu đánh giá vì sự tiến bộ trong học tập của học sinh. Đánh giá định kì (hay đánh giá tổng kết) có mục đích chính là đánh giá việc thực hiện các mục tiêu học tập. Kết quả đánh giá định kì và đánh giá tổng kết được sử dụng để chứng nhận cấp độ học tập, công nhận thành tích của học sinh. Đánh giá định kì do cơ sở giáo dục tổ chức hoặc thông qua các kì kiểm tra, đánh giá quốc gia. 4.3. Phƣơng pháp đánh giá. Quan sát, ghi lại quá trình thực hiện; Vấn đáp, trắc nghiệm khách quan; Tự luận, kiểm tra viết; Bài tập thực hành; Các dự án/ sản phẩn học tập; Thực hiện nhiệm vụ thực tiễn, … 4.4. Mức độ đánh giá. Bốn mức độ đánh giá đường phát triển năng lực môn toán. Mức 1: Nhận biết, nhắc lại. Mức 2: Hiểu, trình bày, giải thích được theo cách hiểu cá nhân. 12
Mức 3: Vận dụng giải quyết những vấn đề quen thuộc, tương tự trong học tập, trong cuộc sống. Mức 4: Vận dụng giải quyết vấn đề mới hoặc đưa ra những phản hồi hợp lý trong học tập, cuộc sống một cách linh hoạt. 5. Các kiến thức liên quan đƣợc sử dụng trong đề tài. a) Phƣơng pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn * Dãy số  un  gọi là dãy số tăng nếu un  un1 , n  * * Dãy số  un  gọi là dãy số giảm nếu un  un1 , n  * Vậy: Nếu un1  un  0, n  suy ra  un  là dãy số tăng * Nếu un1  un  0, n  suy ra  un  là dãy số giảm * * Nếu tồn tại số M sao cho un  M , n  thì  un  bị chặn trên * * Nếu tồn tại số m sao cho un  m , n  thì  un  bị chặn dưới * * Nếu dãy số  un  bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số  un  là cấp số cộng  un1  un  d với n  * , trong đó d là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng. * Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì un  u1   n  1 d * Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì tổng n Sn  u1  u2  ...  un   u1  un  2 d) Cấp số nhân * Dãy số  un  là cấp số nhân  un1  un .q với n  * , trong đó q là số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân. * Nếu dãy số  un  là cấp số nhân thì un  u1.q n1 * Nếu dãy số  un  là cấp số nhân vơi q  1, q  0 thì tổng 13
1  qn Sn  u1  u2  ...  un  u1. 1 q e) Một số định lí về giới hạn - Nếu q  1 thì lim q  0 n - Nếu q  1 thì lim q   n - Nếu các dãy số an  bn  cn , n  và lim an  lim cn  L thì * lim bn  L - Nếu dãy số  un  tăng và bị chặn trên thì  un  có giới hạn Nếu dãy số  un  giảm và bị chặn dưới thì  un  có giới hạn. f) Một số các hệ thức cơ bản chứng minh đƣợc bằng phƣơng pháp quy nạp toán học. n  * ta luôn có các đẳng thức sau: n  n  1 1  2  3  ...  n  (1) 2 n  n  1 2n  1 12  22  32  ...  n 2  (2) 6  n  n  1  2 1  2  3  ...  n   3 3 3 3  (3)  2  1 1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1  n  n  1 n  2  (4) 3 1 1 1 1 n    ...   (5) 1.3 3.5 5.7  2n  1 2n  1 2n  1 14
V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI. Trong chương trình học và thi các cấp độ, chúng ta thường gặp các bài tập tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức dạng truy hồi, ví dụ: Bài toán 1. (Bài 2.5 Trang 206 sách Bài tập đại số và giải tích 11 cơ bản)  u1  5 Cho dãy số (un ) xác định bởi  un 1  un  3n  2; n  1 Tìm công thức số hạng tổng quát Bài toán 2. (Ví dụ 3 trang 116 sách Bài tập đại số và giải tích 11 cơ bản) Dãy số (un ) cho như sau: u1  2004; u2  2005   2un  un1 un1  3 ;n  2 a, Lập dãy (vn ) với vn  un1  un . Chứng minh rằng (vn ) là một cấp số nhân. b. Lập công thức tính un theo n Bài toán 3: (câu 2.b Đề thi HSG tỉnh Nghệ An bảng A năm 2015-2016) u1  1  Cho dãy số (un ) xác định bởi  3 n4 u   (u  ); n  * n 2  3n  2 n 1 n 2 Xác định công thức tổng quát của un theo n . Trong quá trình giảng dạy, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tương tác với học sinh ở nội dung tìm số hạng tổng quát của dãy số và các bài toán liên quan, nhiều giáo viên gặp khó khăn khi diễn đạt, lập luận, giải thích để học sinh hiểu; phần lớn học sinh lớp 11 không biết định hướng cách làm và thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích của giáo viên, bạn bè. Trong đề tài này việc phát triển năng lực toán học dựa trên nguyên tắc của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngoài đến bản chất bên trong. Sau đây là một số các bài toán, lớp các bài toán thực hiện các bước phân tích, suy luận, tương tự hóa, đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực toán học. 15
1. Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số dựa vào các hệ thức cơ bản của phƣơng pháp quy nạp toán học. Các bước thực hiện: Bước 1: Biểu diễn lần lượt u2 , u3 , u4 ...un qua các số hạng liền trước nó Bước 2: Cộng các biểu thức thu được từ Bước 1 và giản ước, ta thu được một biểu thức chứa quan hệ giữa u1 và un . Bước 3: Dựa vào các hệ thức cơ bản của phương pháp quy nạp toán học để tính kết quả thu được. Ví dụ 1.1. (Bài 2.5 Trang 206 sách Bài tập đại số và giải tích 11 cơ bản)  u1  5 Cho dãy số (un ) xác định bởi  un1  un  3n  2; n  1 Tìm công thức số hạng tổng quát Hƣớng dẫn giải Theo đề bài suy ra ; u1  5 u2  u1  3.1  2 u3  u2  3.2  2 u4  u3  3.3  2 … … un  un 1  3. n  1  2 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un  5  3 1  2  ...   n  1   2(n  1) Ta luôn có 1  2  ...   n  1   n  1 n (1) là đẳng thức đã biết 2  un  5   n  1 (3n  4) 2 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  5   n  1 (3n  4) 2 Ví dụ 1.2. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây 16
 u1  3  un 1  un  2n ; n  1 3 Hƣớng dẫn giải Theo đề bài suy ra ; u1  3 u2  u1  2.13 u3  u2  2.23 u4  u3  2.33 … … un  un1  2. n  1 3 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un  3  2 13  23  ...   n  1  3    n  n  1  2 Với đẳng thức đã biết 13  23  ...  n3    (3)  2    n  1 n  2  1  2  ...   n  1   3 3 3   2  n2  n  1 2  un  3  4 n2  n  1 2 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3  4 Ví dụ 1.3. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi  u1  1  dưới đây  un u  ;n  1  n 1 1   3n  2  u n Hƣớng dẫn giải 1 1 Từ công thức truy hồi suy ra   3n  2; n  1 un1 un Từ đó ta có 17
1 1 u1 1 1   3.1  2 u2 u1 1 1   3.2  2 u3 u2 1 1   3.3  2 u4 u3 … … 1 1   3 n  1  2 un un1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được 1  1  3 1  2  ...   n  1  2  n  1 un 1  n  1 n  2 n  1  3n2  n  2  1 3   un 2 2 2  un  3n  n  2 2 2 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3n  n  2 2 Ví dụ 1.4. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi   u1  1 dưới đây  un1  un  n  1; n  1  2 2 Hƣớng dẫn giải Từ công thức truy hồi suy ra un21  un2  n2  1; n  1 Từ đó ta có u12  1 u22  u12  12  1 u32  u22  22  1 18
u42  u32  32  1 … … un2  un21   n  1  1 2 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un2  12  22  32  ...   n  1  n 2 n  n  1 2n  1 Với đẳng thức đã biết 12  22  32  ...  n2  (2) 6  12  22  32  ...   n  1  2  n  1 n  2n  1 6  n  1 n  2n  1  n  1 n Nên un2  6 6  2n 2  3n  7  6n  2n2  3n  7  1  un  6 6n  2n2  3n  7  1 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  6 Ví dụ 1.5. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây  u1  1; u2  2  un 1  2un  un 1  1; n  2 Hƣớng dẫn giải Từ công thức truy hồi suy ra u1  1 u2  2 u3  2u2  u1  1 u4  2u3  u2  1 ... ... un  2un1  un2  1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được u1  un  un1  2  n  1 19
 un  un1  n (*) Từ đề bài và (*) ta lại suy ra u1  1 u2  u1  1 u3  u2  2 u4  u3  3 … … un  un1  n  1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un  1  1  2  3  ...   n  1  1  (1  2  3  ...   n  1)  n  1 n  1 1 2 2 n 2  n  2  n  n  2 1 2 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  2 Nhận xét: Ở các bài toán trên hầu như chúng ta đang xét về các dãy số có công thức truy hồi được cho dưới dạng “quan hệ 1-1 giữa un và un1 ” nên việc áp dụng phương pháp cộng đa thức để đưa về quan hệ giữa un và u1 là tương đối dễ dàng. Nhưng với các bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số, không phải lúc nào cũng có công thức truy hồi được cho dưới dạng “quan hệ 1-1 giữa un và un1 ” đẹp như vậy. Ví dụ: u1   “Bài toán 1. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức:  un  a1un 1  b1 ; n  2 (Trong đó  , a1 , b1 là các hằng số) Tìm số hạng tổng quát của dãy số.” Để nghiên cứu sâu hơn về việc tìm hướng giải của các bài toán như trên, phần tiếp theo của SKKN xin được đề cập tới một số lớp các bài toán được xây dựng trên kiến thức của cấp số cộng, cấp số nhân, đồng thời thực hiện các bước phân tích, suy luận, tương tự hóa, đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực toán học. 20