Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh khá giỏi THPT thông qua bài toán tương giao hai đồ thị hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh khá giỏi THPT thông qua bài toán tương giao hai đồ thị hàm số" nhằm phân tích, hệ thống cơ sở lý luận, thực tiễn để phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh khá giỏi THPT thông qua bài toán tương giao hai đồ thị hàm số. Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận một số bài toán tương giao hai đồ thị hàm số trong đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh khá giỏi THPT thông qua bài toán tương giao hai đồ thị hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THPT THÔNG QUA BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ MÔN: TOÁN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN SỸ SÁCH ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THPT THÔNG QUA BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ MÔN: TOÁN Tác giả: Trần Đình Hiền Tổ: Toán Năm thực hiện 2021 - 2022 SĐT liên hệ: 0949 996 500
MỤC LỤC Trang PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 I. Lý do chọn đề tài 1 II. Tính mới, đóng góp của đề tài 1 III. Đối tượng nghiên cứu 2 IV. Kế hoạch nghiên cứu 2 V. Phương pháp nghiên cứu 2 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3 I. Cơ sở thực tiễn 3 II. Cơ sở lý luận 3 1. Năng lực toán học 3 2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh 4 3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện được 5 4. Đánh giá kết quả giáo dục môn toán 5 5. Một số bài toán cơ bản trong đề tài 6 III. Nội dung đề tài 8 1. Giải bài toán tương giao của đường thẳng d : y px q với đồ thị hàm số y f (x ) khi biết công thức hàm số, đồ thị hoặc bảng biến 10 thiên của hàm số. 2. Biện luận tham số m của phương trình hoặc bất phương trình bằng 16 cách sử dụng hàm số đặc trưng 3. Biện luận tham số m của phương trình bằng cách sử dụng phép biến 17 đổi đồ thị hàm số. 4. Biện luận tham số m của phương trình bằng cách tìm hệ số góc của 21 đường thẳng hoặc hệ số góc tiếp tuyến 5. Biện luận tham số m của phương trình bằng cách đưa về hệ phương 24 trình 6. Giải bài toán bằng cách tìm phương trình hoành độ giao điểm của 25 hai hàm số 7. Giải bài toán tương giao hai đồ thị hàm số khi biết đồ thị của hàm số 28
y f '(x ) 8. Biện luận tham số m của phương trình bằng cách vận dụng kiến 30 thức của hàm hợp 9. Biện luận tham số m của phương trình bằng cách vẽ bảng biến thiên 33 của hàm số. 10. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện 35 PHẦN III. KẾT LUẬN 43 I. Những kết luận 44 II. Những kiến nghị đề xuất 44 Danh mục tài liệu tham khảo 45
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi luôn tự hỏi làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân nhận thấy rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá những điều chưa biết. Để có một bài giảng thu hút được học sinh, giúp học sinh phát triển năng lực toán học đòi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tòi, cập nhật các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh. Dạy học dựa trên phát triển năng lực (trong đó có dạy học dựa trên phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học) là chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy và học. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân. Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng. Trong số những bài toán tương giao hai đồ thị hàm số trong đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, đề thi học sinh giỏi các tỉnh/thành phố, các bài toán cơ bản, đơn giản được phát triển đa dạng, để trở thành những bài toán vận dụng, vận dụng cao, những bài toán đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết. Trong dạy học bài toán tương giao hai đồ thị hàm số giúp học sinh phát triển được năng lực toán học. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm của mình: “Phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh khá giỏi THPT thông qua bài toán tương giao hai đồ thị hàm số”. II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI. Đề tài phân tích, hệ thống cơ sở lý luận, thực tiễn để phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh khá giỏi THPT thông qua bài toán tương giao hai đồ thị hàm số. Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận một số bài toán tương giao hai đồ thị hàm số trong đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố. Xác định được vấn đề và giải quyết vấn đề trong bài toán tương giao hai đồ thị hàm số. 1
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. Đặc biệt, đối với học sinh lớp lớp 12 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để ôn thi TN THPT năm 2022, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. Học sinh lớp 12 THPT và giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT. IV. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU. Quá trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh khá, giỏi để hoàn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp trong quá trình học tập, giải quyết các bài toán tương giao hai đồ thị hàm số. Trao đổi chuyên môn cùng quý Thầy, Cô môn Toán trong tổ, ngoài trường và trên các diễn đàn toán học. Đề tài được thực hiện trong năm học 2021-2022 với kế hoạch cụ thể như sau. TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm Từ 20/9/2021 Chọn đề tài Đăng ký đề tài SKKN 1 đến 2/11/2021 Từ 3/11/2021 đến Viết đề cương nghiên Trình xét duyệt bản 2 15/12/2021 cứu đề cương SKKN Từ 16/12/2021 Đọc tài liệu lý thuyết viết Tập hợp tài liệu lý 3 đến 30/12/2021 cơ sở lý luận thuyết Từ 1/1/2022 Trao đổi với đồng nghiệp Tập hợp ý kiến đóng 4 và đề xuất sáng kiến góp của đồng nghiệp đến 15/1/2022 Từ 16/1/2022 Dạy thử nghiệm tại các Thống kê các kết quả đến 30/1/2022 lớp 12A, 12D, 12E thử nghiệm 5 trường THPT Đặng Thúc Hứa Từ 1/2/2022 Dạy thử nghiệm tại các Thống kê các kết quả 6 đến 6/3/2022 lớp 12 trường THPT thử nghiệm huyện Thanh Chương Từ 7/3/2022 Hoàn thiện đề tài nghiên Hoàn thành SKKN 7 cứu đến 15/4/2022 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan đến bài toán tương giao hai đồ thị hàm số, phương pháp dạy học theo phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện. Giảng dạy tại các lớp 12 trường THPT Đặng Thúc Hứa, THPT Nguyễn Sỹ Sách. Phối hợp với giáo viên 2
môn Toán trường THPT trong huyện Thanh Chương, trong tỉnh Nghệ An để dạy thử nghiệm tại các lớp 12. PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. CƠ SỞ THỰC TIỄN. Trường THPT Đặng Thúc Hứa và trường THPT Nguyễn Sỹ Sách đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá. Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao năng lực tư duy và lập luận toán học, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp hoặc làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo niềm vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán. Kết quả khảo sát học sinh ở một số lớp và giáo viên Toán THPT trên địa bàn huyện Thanh Chương về nội dung tương giao hai đồ thị hàm số, chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán dạng này. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN. 1. Năng lực toán học. Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động. Năng lực toán học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện. 3
1.1. Năng lực tư duy toán học. Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. 1.2. Năng lực lập luận toán học. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng. 2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh. 2.1. Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh. Phương pháp dạy học phải đi từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó; không chỉ coi trọng tính logic của khoa học toán học mà cần chú ý cách tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của học sinh. 2.2. Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”. 4
Phương pháp dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề. 2.3. Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực. Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn. Cấu trúc bài học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa giữa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng và các thành phần khác. 2.4. Sử dụng được các phương tiện, thiết bị dạy học. Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định đối với môn Toán; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp và hiệu quả. 3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện được trong năng lực tư duy và lập luận toán học. Thực hiện được các thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch. Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và lập luận hợp lí trước khi kết luận. Giải thích và điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương tiện toán học. 4. Đánh giá kết quả giáo dục môn toán. 4.1. Mục tiêu đánh giá. Cung cấp thông tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển năng lực và sự tiến bộ của học sinh trên cơ sở yêu cầu cần đạt ở mỗi lớp học, cấp học. Điều chỉnh các hoạt động dạy học, bảo đảm sự tiến bộ của từng học sinh và nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung. 4.2. Hình thức đánh giá. Đánh giá quá trình (hay đánh giá thường xuyên) do giáo viên phụ trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá của giáo viên môn học khác; của bản thân học sinh được đánh giá và của các học sinh khác trong tổ, trong lớp hoặc đánh giá của cha mẹ học sinh; đi liền với tiến trình hoạt động học tập của học sinh, tránh tình trạng tách rời giữa quá trình dạy học và quá trình đánh giá, bảo đảm mục tiêu đánh giá vì sự tiến bộ trong học tập của học sinh. Đánh giá định kì (hay đánh giá tổng kết) có mục đích chính là đánh giá việc thực hiện các mục tiêu học tập. Kết quả đánh giá định kì và đánh giá tổng kết được sử dụng để chứng nhận cấp độ học tập, công nhận thành tích của học sinh. Đánh giá định kì do cơ sở giáo dục tổ chức hoặc thông qua các kì kiểm tra, đánh giá 5
quốc gia. 4.3. Phương pháp đánh giá. Quan sát, ghi lại quá trình thực hiện; Vấn đáp, trắc nghiệm khách quan; Tự luận, kiểm tra viết; Bài tập thực hành; Các dự án/ sản phẩn học tập; Thực hiện nhiệm vụ thực tiễn, … 4.4. Mức độ đánh giá. Bốn mức độ đánh giá đường phát triển năng lực môn toán. Mức 1: Nhận biết, nhắc lại. Mức 2: Hiểu, trình bày, giải thích được theo cách hiểu cá nhân. Mức 3: Vận dụng giải quyết những vấn đề quen thuộc, tương tự trong học tập, trong cuộc sống. Mức 4: Vận dụng giải quyết vấn đề mới hoặc đưa ra những phản hồi hợp lý trong học tập, cuộc sống một cách linh hoạt. 5. Một số bài toán cơ bản trong đề tài. 5.1. Phép biến đổi đồ thị hàm số Bài toán 1. Cho hàm số y f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y | f (x ) | . - Giữ nguyên phần đồ thị (C ) thuộc trục hoành và nằm trên trục hoành. - Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) ở dưới trục hoành qua trục hoành. - Bỏ phần đồ thị (C ) ở phía dưới trục hoành. Bài toán 2. Cho hàm số y f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y f (| x |). - Giữ nguyên phần đồ thị (C ) thuộc trục tung và nằm bên phải trục tung. - Bỏ phần đồ thị (C ) ở bên trái trục tung. - Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) ở bên phải trục tung qua trục tung. 6
Bài toán 3. Cho hàm số y f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y f (| x a |). Bước 1: Vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số y f (| x |). - Giữ nguyên phần đồ thị (C ) thuộc trục tung và nằm bên phải trục tung. - Bỏ phần đồ thị (C ) ở bên trái trục tung. - Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) ở bên phải trục tung qua trục tung. Bước 2: Vẽ đồ thị (C 2 ) của hàm số y f (| x a |). - Nếu a 0 thì tịnh tiến đồ thị (C 1 ) sang phải | a | đơn vị. - Nếu a 0 thì tịnh tiến đồ thị (C 1 ) sang trái a đơn vị. Bài toán 4. Cho hàm số y f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y | f (x ) b | . Bước 1: Vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số y f (x ) b. - Nếu b 0 thì tịnh tiến đồ thị (C ) xuống dưới | b | đơn vị. - Nếu b 0 thì tịnh tiến đồ thị (C ) lên trên b đơn vị. Bước 2: Vẽ đồ thị (C 2 ) của hàm số y | f (x ) b | . - Giữ nguyên phần đồ thị (C 1 ) thuộc trục hoành và nằm trên trục hoành. - Lấy đối xứng phần đồ thị (C 1 ) ở dưới trục hoành qua trục hoành. - Bỏ phần đồ thị (C 1 ) ở dưới trục hoành. 5.2. Định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai, bậc ba. 5.2.1. Định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai. 7
Nếu phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 (a 0) có 2 nghiệm x 1, x 2 thì b x1 x2 a c x 1x 2 a 5.2.2. Định lý Vi-ét cho phương trình bậc ba. Nếu phương trình bậc ba ax 3 bx 2 cx d 0 (a 0) có 3 nghiệm b x1 x2 x3 a c x 1, x 2, x 3 thì x 1x 2 x 2x 3 x 3x 1 a d x 1x 2x 3 a 5.3. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f (x ) m có n nghiệm phân biệt trên đoạn , . Bài toán 1. Cho hàm số y f (x ) liên tục trên đoạn , , phương trình f (x ) m có nghiệm trên đoạn , khi min f (x ) m max f (x ) . [ ; ] [ ; ] Bài toán 2. Cho hàm số y f (x ) liên tục trên đoạn , . Số nghiệm của phương trình f (x ) m trên đoạn , bằng số giao điểm của đường thẳng y m với đồ thị hàm số y f (x ) trên đoạn , . 5.4. Cách tính diện tích tam giác. a b 5.4.1. Ký hiệu ad cb c d 5.4.2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC . Giả sử AB (a;b), AC (c;d ) . 1 AB 1 a b 1 Diện tích tam giác ABC là S | ad cb | ABC 2 AC 2 c d 2 III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong các đề thi TN THPT, học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố có nhiều bài toán tương giao hai đồ thị hàm số đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết. Ví dụ 1: [Câu 44 Mã đề 110– Đề thi THPT QG năm 2017] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx cắt đồ thị 3 2 hàm số y x 3x m 2 tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho AB BC . 8
A. m ( ; 1). B. m ( ; ). C. m (1; ). D. m ( ; 3). Ví dụ 2: [Câu 45 Mã đề 103 năm 2019] Cho hàm số bậc ba y f (x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương 3 trình f (x 3 3x ) là 2 A. 7. B. 3. C. 8. D. 4. Ví dụ 3: [Câu 45 Đề Minh họa 2020 lần 1] Cho hàm số y f (x ) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn [ ;2 ] của phương trình 2 f (sin x ) 3 0 là A. 4. B. 6. C. 3. D. 8. Ví dụ 4: [Chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2020] Cho hàm số y f (x ) ax 3 bx 2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ( 5;5) để phương trình f 2 (x ) (m 4) | f (x ) | 2m 4 0 có 6 nghiệm phân biệt A. 2. B. 4. C. 3. D. 5. Ví dụ 5: [Câu 50 Mã đề 102 năm 2020 Lần 1] Cho hàm số y f (x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f (x 3 f (x )) 1 0 là A. 6. B. 4. C. 5. D. 8. 9
Ví dụ 6: [Sở GD&ĐT Hưng Yên năm 2019] Cho các hàm số f (x ) mx 4 nx 3 px 2 qx r , (m, n, p, q, r ) và g(x ) ax 3 bx 2 cx d (a,b, c, d ) thỏa mãn f (0) g(0) . Các hàm số f '(x ), g '(x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình f (x ) g(x ) có số phần tử là A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Ví dụ 7: [Câu 49 Mã đề 101– Đề thi THPT QG năm 2019] x 3 x 2 x 1 x Cho hai hàm số y và x 2 x 1 x x 1 y | x 2 | x m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. [2; ). B. ( ;2). C. (2; ). D. ( ;2]. Trong quá trình giảng dạy, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tương tác với học sinh ở nội dung tương giao hai đồ thị hàm số, nhiều giáo viên gặp khó khăn khi lập luận, giải thích để học sinh hiểu; phần lớn học sinh lớp 12 không biết định hướng cách làm và thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích, lập luận của giáo viên, bạn bè. Trong đề tài này việc phát triển năng lực tư duy, lập luận toán học dựa trên nguyên tắc của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngoài đến bản chất bên trong. Sau đây là một số dạng bài toán vận dụng, vận dụng cao được phân tích, suy luận, giải quyết từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực tư duy và lập luận toán học. 1. Giải bài toán tương giao của đường thẳng d : y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x) khi biết công thức hàm số, đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số. 1.1. Giải bài toán tìm tham số m để đường thẳng d : y = px + q cắt đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K. Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm f (x ) px q (1) x x0 Bước 2: Phương trình tương đương với g(x ) ax 2 bx c 0 (2) Bước 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (2) có 2 nghiệm phân 10
biệt khác x 0 . Áp dụng định lí Vi-ét của phương trình bậc hai. Bước 4: Biến đổi điều kiện K . Bài toán 1. Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị (C ) của hàm số y x3 2mx 2 (m 3)x 4 và đường thẳng d : y x 4 cắt nhau tại ba điểm phân biệt M (0; 4), A, B sao cho điện tích tam giác EAB bằng 8 2 với E (1; 3). A. 3. B. 8. C. 1. D. 5. 3 2 GY: Phương trình hoành độ giao điểm x 2mx (m 3)x 4 x 4 x 0 x3 2mx 2 (m 2)x 0 g(x ) x2 2mx m 2 0 (2) Đồ thị (C ) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0. Ta có điều kiện m 1, m 2, m 2. Giả sử phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 . Theo định lý Vi-ét ta x1 x2 2m có . Giả sử điểm A(x 1; x 1 4), B(x 2 ; x 2 4). x 1x 2 m 2 Ta có EA (x 1 1; x 1 1), EB(x 2 1; x 2 1) , S EAB 8 2 | x1 x2 | 8 2 m2 m 34 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt m1, m2 thỏa mãn điều kiện. Tổng T m1 m2 1 Đáp án C.  Học sinh hiểu được phép biến đổi phương trình hoành độ giao điểm, sử dụng định lí Vi-ét của phương trình bậc hai, cách tính diện tích tam giác trong bài toán trắc nghiệm. Từ đó giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học; học sinh có thể giải quyết được hoặc xây dựng được những bài toán tương tự, bài toán mới. Bài toán 2. Gọi m 0 là số thực sao cho phương trình | x 3 12x | m 0 có 3 nghiệm dương phân biệt x 1, x 2, x 3 thỏa mãn x 1 x2 x3 1 4 3. Biết rằng m0 a 3 b với a, b là các số hữu tỷ. Tính T 4a 2 8b ? A. 106. B. 115. C. 113. D. 101. GY: Đồ thị hàm số f (x ) x3 12x và đồ thị hàm số | f (x ) | | x 3 12x | như hình vẽ Phương trình x3 12x m0 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1, x 2, x 3 . Theo định lý Vi-ét và giả thiết ta có 11
x1 x2 x3 1 4 3 1 4 3 x3 (x 1 x2) x3 0 2 x 1x 2 x 32 12 x 3 (x 1 x2) x 1x 2 12 m0 x 1x 2x 3 x 1x 2x 3 m0 3 97 m0 3 T 4a 2 8b 106. Đáp án A. 2 8  Học sinh hiểu được phép biến đổi đồ thị hàm số, biết sử dụng định lí Viet của phương trình bậc ba. Từ đó giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, lập luận toán học; học sinh có thể giải quyết được hoặc xây dựng được những bài toán tương tự, bài toán mới. Bài toán 3. [THPT Thanh Chương 1, lần 2, năm 2019]. Cho hàm số y f (x ) có đồ thị như hình vẽ. Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (f (x ) 1) m có 3 nghiệm phân biệt bằng A. 15. B. 1. C. 13. D. 11. GY: Xét 6 trường hợp TH1: Nếu 2 m 14 thì phương trình f (f (x ) 1) m f (x ) 1 x 0 (2; 3) f (x ) x 0 1 (1;2) phương trình có 3 nghiệm phân biệt. TH2: Nếu 13 m 1 thì phương trình f (f (x ) 1) m f (x ) 1 t0 (0;1) f (x ) t0 1 ( 1; 0) phương trình có 3 nghiệm phân biệt. TH3: Nếu 1 m 2 thì phương trình f (f (x ) 1) m có các nghiệm f (x ) 1 a (0;1) f (x ) a 1 ( 1; 0) f (x ) 1 b (1;2) f (x ) b 1 (0;1) mỗi phương trình có 3 nghiệm f (x ) 1 c (2; 3) f (x ) c 1 (1;2) phân biệt. Do đó phương trình có 9 nghiệm phân biệt. TH4: Nếu m 2, m 1 thì phương trình có 6 nghiệm phân biệt TH5: Nếu m 13, m 14 thì phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm. TH6: Nếu m 13, m 14 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 12
Tập các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn là S { 12, 11,..., 2, 3, 4,...,13} . Do đó tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 11 Đáp án D.  Học sinh biết cách nêu vấn đề, giải quyết vấn đề ở các trường hợp khác nhau, từ đó hình thành, phát trển năng lực tư duy và lập luận toán học; học sinh có thể giải quyết được hoặc xây dựng được những bài toán tương tự, bài toán mới. Bài tập áp dụng 1. Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3x 2 4 và đường thẳng y mx m cắt nhau tại ba điểm phân biệt M ( 1; 0), A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 64. A. m 14. B. m 15. C. m 16. D. m 17. Bài tập áp dụng 2. Gọi m 0 là số thực sao cho phương trình | x 3 6x | m 0 có 3 nghiệm dương phân biệt x 1, x 2, x 3 thỏa mãn x 1 x2 x3 2 2 3. Biết rằng m0 a b 3 với a, b là các số hữu tỷ. Tính T a b A. 6. B. 4. C. 5. D. 10. 1.2. Giải bài toán tìm tham số m để đường thẳng d : y = px + q cắt đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ y = f(x) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K. Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm f (x ) px q (1) Bước 2: Phương trình tương đương với g(x ) ax 2 bx c 0 (2) Bước 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác x 0 . Áp dụng định lí Vi-ét của phương trình bậc hai. Bước 4: Biến đổi điều kiện K . Bài toán 1 [Toán học tuổi trẻ 2019]. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số x y (C ) cắt đường thẳng d : y x m tại hai điểm phân biệt A, B sao 1 x cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 600 (với O là gốc tọa độ)? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. GY: Tập xác định: D \ {1}. x Phương trình hoành độ giao điểm x m mx m 0 (1) x2 1 x Đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Do đó m 2 4m 0 m 0, m 4 (2) . Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 , theo định Định lí Vi-ét ta x1 x2 m có . Giả sử điểm A(x 1; x 1 m ), B(x 2 ; x 2 m ). x 1x 2 m Gọi là góc giữa hai đường thẳng OA và OB , khi đó 13
| x 1x 2 (x 1 m )(x 2 m) | 1 cos | cos(OA,OB ) | x 12 (x 1 m )2 x 22 (x 2 m )2 2 m2 4m 12 0 m 2, m 6 thỏa mãn điều kiện (2) Đáp án A.  Học sinh hiểu được phép biến đổi tương đương của phương trình chứa tham số m, sử dụng định lí Vi-ét của phương trình bậc hai, góc giữa hai đường thẳng. Từ đó giúp học sinh hình thành, phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học; học sinh có thể giải quyết được hoặc xây dựng được những bài toán tương tự, bài toán mới. x Bài toán 2. Cho hàm số y (C ) và điểm A( 1;1). Tìm m để đường 1 x thẳng d : y mx m 1 cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt M , N sao cho T AM 2 AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 A. m 1. B. m 0. C. m 2. D. m . 3 GY: Tập xác định D \ {1}. Phương trình hoành độ giao điểm x mx m 2mx m 1 0 (1) 1 mx 2 1 x Đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Ta có điều kiện m 0 (2) . Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2 . x1 x2 2 Theo định lý Vi-ét m 1 . Giả sử M (x 1; mx 1 m 1) , x 1x 2 m N (x 2 ; mx 2 m 1) . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN I (1; 1) 2 2 2 MN 2 Ta có T AM AN 2AI nhỏ nhất khi 2 1 MN 2 (m 2 1)(x 1 x 2 )2 4(m ) 8 . Do đó minT 20 đạt được khi m m 1 Đáp án A.  Học sinh hiểu được cách áp dụng định lí Vi-ét của phương trình bậc hai, công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, bất đẳng thức AM-GM. Từ đó giúp học sinh hình thành, phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. 1.3. Giải bài toán tìm tham số m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị (C) của hàm số trùng phương y = f(x) tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K. Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm 4 2 f (x ) m ax bx c 0 (1) 14
Bước 2: Đặt t x 2, t 0. Phương trình at 2 bt c 0 (2) - Đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại 4 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 0 2 nghiệm dương phân biệt t1, t2 (0 t1 t2 ) S 0 P 0 - Đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có c 0 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn điều kiện 0 bt1 t2 0 a - Đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn điều kiện t1 0 t2 hoặc 0 t1 t2 ac 0 hoặc 0 S 0 Bài toán 1 [THPT Lương Thế Vinh - HN năm 2018]. Cho hàm số y f (x ) x4 3x 2 2 . Tìm số thực dương m để đường thẳng d : y m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ. 3 A. m 2. . B. m C. m 3. D. m 1. 2 GY: Phương trình hoành độ giao điểm x 4 3x 2 2 m 0 (1) . Đặt t x 2, t 0. Phương trình trở thành t 2 3t m 2 0 (2) có 4m 17 Đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại đúng 2 điểm phân biệt khi phương trình (2) có đúng 1 nghiệm dương. Do đó xảy ra 2 trường hợp 0 17 6 17 6 17 TH1: b m A( ; ), B( ; ) không t1,2 0 4 2 4 2 4 2a thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O . TH2: t1 0 t2 ac 0 m 2. 3 4m 17 3 4m 17 Ta có A( ; m ), B( ; m) 2 2 Tam giác OAB vuông tại O nên OAOB . 0 4m 17 2m 2 3 m 2 thỏa mãn , m 1,75 (loại) Đáp án A.  Học sinh hiểu được cách tư duy, lập luận cho các trường hợp có thể xảy ra của bài toán. Học sinh có thể giải quyết được hoặc xây dựng được những bài toán tương tự, bài toán mới. 15
2. Biện luận tham số m của phương trình hoặc bất phương trình bằng cách sử dụng hàm số đặc trưng. Bài toán 1. Cho hàm số f (x ) x 1 x 2 . Số giá trị nguyên của tham số 1 4x m 1 m để phương trình xf (x ) 0 có hai nghiệm phân biệt là f( 1 4x m 1) A. 2. B. 3. C. 6. D. 4. GY: Xét hàm số g(x ) xf (x ) 2x 2 1 2x x 2 1 g '(x ) f (x ) xf '(x ) 0 . Do đó hàm số 2 x 1 y g(x ) đồng biến trên . 1 1 Ta có f ( x ) x x2 1 x x2 1 f (x ) Phương trình tương đương với xf (x ) (1 4x m 1)f (1 4x m 1) g(x ) g(1 4x m 1) x 1 x 1 4x m 1 . Phương trình có 2 nghiệm phân m x2 6x 2 biệt khi 7 m 3. Do đó có 4 giá trị nguyên thỏa mãn bài toán Đáp án D.  Học sinh biết cách chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến; cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số… từ đó hình thành và phát triển năng lực tư duy, lập luận toán học; học sinh có thể giải quyết được hoặc xây dựng được những bài toán tương tự, bài toán mới. Bài toán 2 [ TTLT Thanh Tường - lần 3 năm 2019]. Cho đồ thị hàm số bậc ba y f (x ) và đồ thị hàm số y f '(x ) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (f (x ) m ) x m có 3 nghiệm phân biệt? A. 3. B. 1. C. 5. D. 7. x3 GY: Từ giải thiết ta có f '(x ) x2 1 f (x ) x C 3 x3 f (x ) x. Phương trình f (f (x ) m) x m 3 f (f (x ) m) f (x ) m f (x ) x (1) . 16